სეგმენტზე ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნა. როგორ მოვძებნოთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები შეზღუდულ დახურულ რეგიონში

მათემატიკური ანალიზის ასეთი ობიექტის, როგორც ფუნქციის შესწავლას დიდი მნიშვნელობა აქვს მნიშვნელობადა მეცნიერების სხვა სფეროებში. მაგალითად, ეკონომიკურ ანალიზში მუდმივად არის ქცევის შეფასების საჭიროება ფუნქციებიმოგება, კერძოდ მისი უდიდესის განსაზღვრა მნიშვნელობადა შეიმუშავეთ სტრატეგია მის მისაღწევად.

ინსტრუქციები

ნებისმიერი ქცევის შესწავლა ყოველთვის უნდა დაიწყოს განსაზღვრების დომენის ძიებით. როგორც წესი, კონკრეტული პრობლემის პირობების მიხედვით, აუცილებელია ყველაზე დიდის დადგენა მნიშვნელობა ფუნქციებიან მთელ ამ ტერიტორიაზე, ან მის კონკრეტულ ინტერვალზე ღია ან დახურული საზღვრებით.

საფუძველზე, ყველაზე დიდი არის მნიშვნელობა ფუნქციები y(x0), რომელშიც განსაზღვრების დომენის ნებისმიერი წერტილისთვის მოქმედებს უტოლობა y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0). გრაფიკულად, ეს წერტილი ყველაზე მაღალი იქნება, თუ არგუმენტის მნიშვნელობები განთავსდება აბსცისის ღერძის გასწვრივ, ხოლო თავად ფუნქცია ორდინატთა ღერძის გასწვრივ.

რათა დადგინდეს უდიდესი მნიშვნელობა ფუნქციები, მიჰყევით სამსაფეხურიან ალგორითმს. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ თქვენ უნდა შეძლოთ მუშაობა ცალმხრივ და , ასევე წარმოებულის გამოთვლა. ასე რომ, მიეცით რაიმე ფუნქცია y(x) და თქვენ უნდა იპოვოთ მისი უდიდესი მნიშვნელობაგარკვეულ ინტერვალზე სასაზღვრო მნიშვნელობებით A და B.

გაარკვიეთ არის თუ არა ეს ინტერვალი განსაზღვრების ფარგლებში ფუნქციები. ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთ იგი ყველა შესაძლო შეზღუდვის გათვალისწინებით: გამოხატულებაში წილადის, კვადრატული ფესვის და ა.შ. განმარტების დომენი არის არგუმენტების მნიშვნელობების ერთობლიობა, რომლისთვისაც ფუნქციას აზრი აქვს. დაადგინეთ არის თუ არა მოცემული ინტერვალი მისი ქვესიმრავლე. თუ კი, მაშინ გადადით შემდეგ ეტაპზე.

იპოვეთ წარმოებული ფუნქციებიდა ამოიღეთ მიღებული განტოლება წარმოებულის ნულთან გათანაბრებით. ამ გზით თქვენ მიიღებთ ე.წ სტაციონარული წერტილების მნიშვნელობებს. შეაფასეთ, ეკუთვნის თუ არა ერთი მათგანი მაინც A, B ინტერვალს.

მესამე ეტაპზე განიხილეთ ეს პუნქტები და ჩაანაცვლეთ მათი მნიშვნელობები ფუნქციაში. ინტერვალის ტიპის მიხედვით, შეასრულეთ შემდეგი დამატებითი ნაბიჯები. თუ არსებობს ფორმის სეგმენტი [A, B], სასაზღვრო წერტილები ჩართულია ინტერვალში, ეს მითითებულია ფრჩხილებით. გამოთვალეთ მნიშვნელობები ფუნქციები x = A და x = B. თუ ინტერვალი ღიაა (A, B), სასაზღვრო მნიშვნელობები პუნქციაა, ე.ი. მასში არ შედის. ამოხსენით x→A და x→B ცალმხრივი ზღვრები. [A, B) ან (A, B) ფორმის კომბინირებული ინტერვალი, რომლის ერთი საზღვრები მას ეკუთვნის, მეორე არ იპოვის ცალმხრივ ზღვარს, რადგან x მიდრეკილია პუნქცია მნიშვნელობისკენ და ჩაანაცვლეთ მეორე უსასრულო ორმხრივი ინტერვალი (-∞, +∞) ან ფორმის ცალმხრივი უსასრულო ინტერვალით: უსასრულო, მოძებნეთ ლიმიტები x→-∞ და x→+∞, შესაბამისად.

დავალება ამ ეტაპზე

მინიატურული და საკმაოდ მარტივი ისეთი პრობლემა, რომელიც მცურავი სტუდენტისთვის მაშველია. ბუნებაში ივლისის შუა რიცხვებია, ამიტომ დროა დაისვენოთ თქვენი ლეპტოპით სანაპიროზე. დილით ადრე, თეორიის მზის სხივმა დაიწყო თამაში, რათა მალე ფოკუსირება მოახდინონ პრაქტიკაზე, რომელიც, მიუხედავად გამოცხადებული სიმსუბუქისა, ქვიშაში შუშის ნამსხვრევებს შეიცავს. ამასთან დაკავშირებით, გირჩევთ, კეთილსინდისიერად გაითვალისწინოთ ამ გვერდის რამდენიმე მაგალითი. პრაქტიკული პრობლემების გადასაჭრელად თქვენ უნდა შეძლოთ იპოვნეთ წარმოებულებიდა გაიგეთ სტატიის მასალა მონოტონურობის ინტერვალები და ფუნქციის ექსტრემები.

პირველ რიგში, მოკლედ მთავარის შესახებ. გაკვეთილზე იმის შესახებ ფუნქციის უწყვეტობამე მივეცი უწყვეტობის განმარტება წერტილში და უწყვეტობა ინტერვალში. ფუნქციის სამაგალითო ქცევა სეგმენტზე ჩამოყალიბებულია ანალოგიურად. ფუნქცია უწყვეტია ინტერვალზე, თუ:

1) ის უწყვეტია ინტერვალზე;
2) უწყვეტი წერტილში უფლებადა წერტილში დატოვა.

მეორე პარაგრაფში ვისაუბრეთ ე.წ ცალმხრივი უწყვეტობაფუნქციონირებს წერტილში. მისი განსაზღვრის რამდენიმე მიდგომა არსებობს, მაგრამ მე დავრჩები იმ ხაზს, რომელიც ადრე დავიწყე:

ფუნქცია უწყვეტია წერტილში უფლებათუ ის განსაზღვრულია მოცემულ წერტილში და მისი მარჯვენა ზღვარი ემთხვევა მოცემულ წერტილში ფუნქციის მნიშვნელობას: . ის უწყვეტია წერტილში დატოვა, თუ განსაზღვრულია მოცემულ წერტილში და მისი მარცხენა ლიმიტი უდრის ამ წერტილში არსებულ მნიშვნელობას:

წარმოიდგინეთ, რომ მწვანე წერტილები არის ფრჩხილები, რომელზეც ჯადოსნური ელასტიური ზოლია დამაგრებული:

გონებრივად აიღეთ წითელი ხაზი თქვენს ხელში. ცხადია, რამდენადაც არ უნდა გავწელოთ გრაფიკი მაღლა და ქვევით (ღერძის გასწვრივ), ფუნქცია მაინც დარჩება შეზღუდული– ღობე ზევით, ღობე ბოლოში და ჩვენი პროდუქტი ძოვს პადოკში. ამრიგად, მასზე შემოსაზღვრულია ინტერვალზე უწყვეტი ფუნქცია. მათემატიკური ანალიზის დროს ეს ერთი შეხედვით მარტივი ფაქტი დაფიქსირებულია და მკაცრად დადასტურებულია. ვაიერშტრასის პირველი თეორემა....ბევრს აღიზიანებს, რომ ელემენტარული განცხადებები მათემატიკაში მოსაბეზრებლად არის დასაბუთებული, მაგრამ ამას მნიშვნელოვანი მნიშვნელობა აქვს. დავუშვათ, შუა საუკუნეების ტერიტორიის გარკვეულმა ბინადარმა ცაში ხილვადობის საზღვრებს მიღმა აიღო გრაფიკი, ეს იყო ჩასმული. ტელესკოპის გამოგონებამდე კოსმოსში შეზღუდული ფუნქცია სულაც არ იყო აშკარა! მართლა, როგორ იცით, რა გველოდება ჰორიზონტზე? დედამიწა ხომ ოდესღაც ბრტყლად ითვლებოდა, ამიტომ დღეს ჩვეულებრივი ტელეპორტაციაც კი მოითხოვს მტკიცებულებას =)

მიხედვით ვაიერშტრასის მეორე თეორემა, უწყვეტი სეგმენტზეფუნქცია აღწევს თავისას ზუსტი ზედა ზღვარიდა შენი ზუსტი ქვედა კიდე .

ნომერსაც ეძახიან ფუნქციის მაქსიმალური მნიშვნელობა სეგმენტზედა აღინიშნება , და რიცხვი არის ფუნქციის მინიმალური მნიშვნელობა სეგმენტზემონიშნული .

ჩვენს შემთხვევაში:

შენიშვნა : თეორიულად, ჩანაწერები ხშირია .

უხეშად რომ ვთქვათ, ყველაზე დიდი მნიშვნელობა არის იქ, სადაც არის ყველაზე მაღალი წერტილი გრაფიკზე, ხოლო ყველაზე პატარა მნიშვნელობა არის სადაც არის ყველაზე დაბალი წერტილი.

მნიშვნელოვანი!როგორც უკვე აღინიშნა სტატიაში ფუნქციის უკიდურესი, ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობადა ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა – არა იგივე, რა მაქსიმალური ფუნქციადა მინიმალური ფუნქცია. ასე რომ, განსახილველ მაგალითში რიცხვი არის ფუნქციის მინიმალური, მაგრამ არა მინიმალური მნიშვნელობა.

სხვათა შორის, რა ხდება სეგმენტის გარეთ? დიახ, წყალდიდობაც კი, განსახილველი პრობლემის კონტექსტში, ეს საერთოდ არ გვაინტერესებს. ამოცანა მხოლოდ ორი რიცხვის პოვნას გულისხმობს და ეს არის ის!

უფრო მეტიც, გამოსავალი არის წმინდა ანალიტიკური, შესაბამისად არ არის საჭირო ნახატის გაკეთება!

ალგორითმი ზედაპირზე დევს და თავს გვთავაზობს ზემოთ მოყვანილი ფიგურიდან:

1) იპოვნეთ ფუნქციის მნიშვნელობები კრიტიკული წერტილები, რომლებიც ამ სეგმენტს განეკუთვნება.

დაიჭირეთ კიდევ ერთი ბონუსი: აქ არ არის საჭირო ექსტრემისთვის საკმარისი მდგომარეობის შემოწმება, რადგან, როგორც ნაჩვენებია, მინიმალური ან მაქსიმუმის არსებობა ჯერ არ იძლევა გარანტიასრა არის მინიმალური ან მაქსიმალური მნიშვნელობა. საჩვენებელი ფუნქცია აღწევს მაქსიმუმს და, ბედის ნებით, იგივე რიცხვი არის ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა სეგმენტზე. მაგრამ, რა თქმა უნდა, ასეთი დამთხვევა ყოველთვის არ ხდება.

ასე რომ, პირველ ეტაპზე, უფრო სწრაფი და ადვილია ფუნქციის მნიშვნელობების გამოთვლა სეგმენტის კრიტიკულ წერტილებში, ისე, რომ არ შეწუხდეთ, არის თუ არა მათში ექსტრემები.

2) ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის მნიშვნელობებს სეგმენტის ბოლოებში.

3) პირველ და მე-2 აბზაცებში ნაპოვნი ფუნქციის მნიშვნელობებს შორის აირჩიეთ ყველაზე პატარა და უდიდესი რიცხვი და ჩაწერეთ პასუხი.

ჩვენ ვსხდებით ლურჯი ზღვის ნაპირზე და ქუსლებით ვეჯახებით ზედაპირულ წყალს:

მაგალითი 1

იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები სეგმენტზე

გამოსავალი:
1) მოდით გამოვთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობები ამ სეგმენტის კრიტიკულ წერტილებში:

მოდით გამოვთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობა მეორე კრიტიკულ წერტილში:

2) გამოვთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობები სეგმენტის ბოლოებში:

3) „თამამი“ შედეგები იქნა მიღებული ექსპონენტებითა და ლოგარითმებით, რაც მნიშვნელოვნად ართულებს მათ შედარებას. ამ მიზეზით, შევიარაღოთ კალკულატორით ან Excel-ით და გამოვთვალოთ სავარაუდო მნიშვნელობები, არ დაგვავიწყდეს, რომ:

ახლა ყველაფერი გასაგებია.

უპასუხე:

წილად-რაციონალური მაგალითი დამოუკიდებელი ამოხსნისთვის:

მაგალითი 6

იპოვეთ ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური მნიშვნელობები სეგმენტზე

პრაქტიკული თვალსაზრისით, ყველაზე დიდი ინტერესი არის წარმოებულის გამოყენება ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების მოსაძებნად. რასთან არის ეს დაკავშირებული? მოგების მაქსიმიზაცია, ხარჯების მინიმიზაცია, აღჭურვილობის ოპტიმალური დატვირთვის დადგენა... სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ცხოვრების ბევრ სფეროში გვიწევს ზოგიერთი პარამეტრის ოპტიმიზაციის პრობლემების გადაჭრა. და ეს არის ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნის ამოცანები.

უნდა აღინიშნოს, რომ ფუნქციის უდიდეს და უმცირეს მნიშვნელობებს, როგორც წესი, ეძებენ გარკვეულ X ინტერვალზე, რომელიც არის ფუნქციის მთელი დომენი ან განმარტების დომენის ნაწილი. თავად X ინტერვალი შეიძლება იყოს სეგმენტი, ღია ინტერვალი , უსასრულო ინტერვალი.

ამ სტატიაში ვისაუბრებთ ერთი ცვლადის y=f(x) მკაფიოდ განსაზღვრული ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნაზე.

გვერდის ნავიგაცია.

ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა - განმარტებები, ილუსტრაციები.

მოკლედ გადავხედოთ ძირითად განმარტებებს.

ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა რომ ვინმესთვის უთანასწორობა მართალია.

ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა y=f(x) X ინტერვალზე ასეთ მნიშვნელობას უწოდებენ რომ ვინმესთვის უთანასწორობა მართალია.

ეს განმარტებები ინტუიციურია: ფუნქციის უდიდესი (უმცირესი) მნიშვნელობა არის ყველაზე დიდი (უმცირესი) მიღებული მნიშვნელობა აბსცისაზე განსახილველ ინტერვალზე.

სტაციონარული წერტილები- ეს არის არგუმენტის მნიშვნელობები, რომლის დროსაც ფუნქციის წარმოებული ხდება ნული.

რატომ გვჭირდება სტაციონარული წერტილები უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნისას? ამ კითხვაზე პასუხს იძლევა ფერმას თეორემა. ამ თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ თუ დიფერენცირებად ფუნქციას აქვს უკიდურესი (ადგილობრივი მინიმალური ან ლოკალური მაქსიმუმი) რაღაც მომენტში, მაშინ ეს წერტილი სტაციონარულია. ამრიგად, ფუნქცია ხშირად იღებს თავის უდიდეს (უმცირეს) მნიშვნელობას X ინტერვალზე ამ ინტერვალიდან ერთ-ერთ სტაციონარულ წერტილში.

ასევე, ფუნქციას ხშირად შეუძლია მიიღოს თავისი უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები იმ წერტილებში, რომლებშიც ამ ფუნქციის პირველი წარმოებული არ არსებობს და თავად ფუნქცია არის განსაზღვრული.

მოდით დაუყოვნებლივ ვუპასუხოთ ერთ-ერთ ყველაზე გავრცელებულ კითხვას ამ თემაზე: „ყოველთვის შესაძლებელია თუ არა ფუნქციის უდიდესი (უმცირესი) მნიშვნელობის დადგენა“? არა, ყოველთვის არა. ზოგჯერ X ინტერვალის საზღვრები ემთხვევა ფუნქციის განსაზღვრის დომენის საზღვრებს, ან X ინტერვალი უსასრულოა. და ზოგიერთმა ფუნქციამ უსასრულობაში და განსაზღვრების დომენის საზღვრებში შეიძლება მიიღოს როგორც უსასრულოდ დიდი, ასევე უსასრულოდ მცირე მნიშვნელობები. ამ შემთხვევაში, ფუნქციის უდიდეს და უმცირეს მნიშვნელობაზე ვერაფერს ვიტყვით.

სიცხადისთვის, ჩვენ მივცემთ გრაფიკულ ილუსტრაციას. შეხედეთ სურათებს და ბევრი რამ გაირკვევა.

სეგმენტზე

პირველ ფიგურაში ფუნქცია იღებს უდიდეს (max y) და უმცირეს (min y) მნიშვნელობებს სეგმენტის შიგნით მდებარე სტაციონარულ წერტილებში [-6;6].

განვიხილოთ მეორე ფიგურაში ასახული შემთხვევა. მოდით შევცვალოთ სეგმენტი . ამ მაგალითში ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა მიიღწევა სტაციონარულ წერტილში, ხოლო უდიდესი აბსცისის წერტილში, რომელიც შეესაბამება ინტერვალის მარჯვენა საზღვარს.

სურათზე 3, სეგმენტის სასაზღვრო წერტილები [-3;2] არის ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობის შესაბამისი წერტილების აბსციები.

ღია ინტერვალზე

მეოთხე ფიგურაში ფუნქცია იღებს უდიდეს (max y) და უმცირეს (min y) მნიშვნელობებს ღია ინტერვალის შიგნით მდებარე სტაციონარულ წერტილებში (-6;6).

ინტერვალზე არ შეიძლება დასკვნის გაკეთება ყველაზე დიდი მნიშვნელობის შესახებ.

უსასრულობაში

მეშვიდე ფიგურაში წარმოდგენილ მაგალითში ფუნქცია იღებს უდიდეს მნიშვნელობას (max y) აბსცისის x=1 სტაციონარული წერტილით, ხოლო უმცირესი მნიშვნელობა (min y) მიიღწევა ინტერვალის მარჯვენა საზღვარზე. მინუს უსასრულობაში, ფუნქციის მნიშვნელობები ასიმპტომურად უახლოვდება y=3.

ინტერვალის მანძილზე ფუნქცია არ აღწევს არც უმცირეს და არც უდიდეს მნიშვნელობას. როდესაც x=2 მარჯვნიდან უახლოვდება, ფუნქციის მნიშვნელობები მიდრეკილია მინუს უსასრულობამდე (ხაზი x=2 არის ვერტიკალური ასიმპტოტი), და რადგან აბსცისა მიდრეკილია პლუს უსასრულობისკენ, ფუნქციის მნიშვნელობები ასიმპტომურად უახლოვდება y=3. ამ მაგალითის გრაფიკული ილუსტრაცია ნაჩვენებია 8-ში.

სეგმენტზე უწყვეტი ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნის ალგორითმი.

მოდით დავწეროთ ალგორითმი, რომელიც საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები სეგმენტზე.

1. ჩვენ ვპოულობთ ფუნქციის განსაზღვრის დომენს და ვამოწმებთ შეიცავს თუ არა ის მთელ სეგმენტს.
2. ჩვენ ვპოულობთ ყველა წერტილს, რომლებშიც პირველი წარმოებული არ არსებობს და რომლებიც შეიცავს სეგმენტს (ჩვეულებრივ, ასეთი წერტილები გვხვდება ფუნქციებში არგუმენტით მოდულის ნიშნით და სიმძლავრის ფუნქციებში წილად-რაციონალური მაჩვენებლით). თუ ასეთი პუნქტები არ არის, გადადით შემდეგ პუნქტზე.
3. ჩვენ ვადგენთ ყველა სტაციონალურ წერტილს, რომელიც შედის სეგმენტში. ამისათვის ვატოლებთ მას ნულს, ვხსნით მიღებულ განტოლებას და ვირჩევთ შესაფერის ფესვებს. თუ არ არის სტაციონარული წერტილები ან არცერთი მათგანი არ მოხვდება სეგმენტში, გადადით შემდეგ წერტილზე.
4. ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის მნიშვნელობებს შერჩეულ სტაციონალურ წერტილებზე (ასეთის არსებობის შემთხვევაში), იმ წერტილებში, რომლებშიც პირველი წარმოებული არ არსებობს (ასეთის არსებობის შემთხვევაში), ასევე x=a და x=b.
5. ფუნქციის მიღებული მნიშვნელობებიდან ვირჩევთ უდიდეს და უმცირესს - ისინი იქნება ფუნქციის საჭირო უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები, შესაბამისად.

მოდით გავაანალიზოთ მაგალითის ამოხსნის ალგორითმი, რომ ვიპოვოთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები სეგმენტზე.

მაგალითი.

იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა

• სეგმენტზე;
• სეგმენტზე [-4;-1].

გამოსავალი.

ფუნქციის განსაზღვრის დომენი არის რეალური რიცხვების მთელი ნაკრები, გარდა ნულისა, ანუ. ორივე სეგმენტი შედის განმარტების დომენში.

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული:

ცხადია, ფუნქციის წარმოებული არსებობს სეგმენტების ყველა წერტილში და [-4;-1].

განტოლებიდან განვსაზღვრავთ უძრავ წერტილებს. ერთადერთი რეალური ფესვი არის x=2. ეს სტაციონარული წერტილი ხვდება პირველ სეგმენტში.

პირველ შემთხვევაში, ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის მნიშვნელობებს სეგმენტის ბოლოებში და სტაციონარულ წერტილში, ანუ x=1, x=2 და x=4:

აქედან გამომდინარე, ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა მიიღწევა x=1-ზე და ყველაზე მცირე მნიშვნელობაზე – x=2-ზე.

მეორე შემთხვევაში, ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის მნიშვნელობებს მხოლოდ სეგმენტის ბოლოებში [-4;-1] (რადგან ის არ შეიცავს ერთ სტაციონარულ წერტილს):

რა არის ფუნქციის ექსტრემუმი და რა არის ექსტრემუმის აუცილებელი პირობა?

ფუნქციის უკიდურესობა არის ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური.

ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური (უკიდურობის) აუცილებელი პირობაა შემდეგი: თუ f(x) ფუნქციას აქვს უკიდურესი x = a წერტილში, მაშინ ამ ეტაპზე წარმოებული არის ან ნული, ან უსასრულო, ან აქვს. არ არსებობს.

ეს პირობა აუცილებელია, მაგრამ არა საკმარისი. წარმოებული x = a წერტილში შეიძლება წავიდეს ნულამდე, უსასრულობამდე, ან არ არსებობდეს ფუნქციას ამ წერტილში ექსტრემის გარეშე.

რა არის საკმარისი პირობა ფუნქციის უკიდურესობისთვის (მაქსიმალური თუ მინიმალური)?

პირველი პირობა:

თუ x = a წერტილთან საკმარისად სიახლოვეს, წარმოებული f?(x) დადებითია a-დან მარცხნივ და უარყოფითია მარჯვნივ a-დან, მაშინ x = a წერტილში აქვს f(x) ფუნქცია. მაქსიმუმ

თუ x = a წერტილთან საკმარისად სიახლოვეს, წარმოებული f?(x) უარყოფითია a-დან მარცხნივ და დადებითია a-დან მარჯვნივ, მაშინ x = a წერტილში აქვს f(x) ფუნქცია. მინიმალურიიმ პირობით, რომ ფუნქცია f(x) აქ არის უწყვეტი.

ამის ნაცვლად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ მეორე საკმარისი პირობა ფუნქციის ექსტრემისთვის:

მოდით x = a წერტილში გაქრეს f?(x) პირველი წარმოებული; თუ მეორე წარმოებული f??(a) უარყოფითია, მაშინ f(x) ფუნქციას აქვს მაქსიმუმი x = a წერტილში, თუ დადებითია, მაშინ მას აქვს მინიმალური.

რა არის ფუნქციის კრიტიკული წერტილი და როგორ მოვძებნოთ იგი?

ეს არის ფუნქციის არგუმენტის მნიშვნელობა, რომლის დროსაც ფუნქციას აქვს ექსტრემუმი (ანუ მაქსიმუმი ან მინიმალური). მის პოვნა გჭირდებათ იპოვნეთ წარმოებულიფუნქცია f?(x) და ნულის ტოლფასი, განტოლების ამოხსნა f?(x) = 0. ამ განტოლების ფესვები, ისევე როგორც ის წერტილები, რომლებზეც ამ ფუნქციის წარმოებული არ არსებობს, არის კრიტიკული წერტილები, ანუ არგუმენტის მნიშვნელობები, რომლებშიც შეიძლება იყოს ექსტრემუმი. მათი ამოცნობა ადვილად შეიძლება ნახვით წარმოებული გრაფიკი: ჩვენ გვაინტერესებს არგუმენტის ის მნიშვნელობები, რომლებშიც ფუნქციის გრაფიკი კვეთს აბსცისის ღერძს (Ox ღერძი) და ის მნიშვნელობები, რომლებზეც გრაფიკი განიცდის უწყვეტობას.

მაგალითად, ვიპოვოთ პარაბოლის ექსტრემუმი.

ფუნქცია y(x) = 3x2 + 2x - 50.

ფუნქციის წარმოებული: y?(x) = 6x + 2

ამოხსენით განტოლება: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

ამ შემთხვევაში კრიტიკული წერტილია x0=-1/3. ფუნქციას აქვს ამ არგუმენტის მნიშვნელობით ექსტრემალური. მას იპოვე, გამოსახულებაში ნაპოვნი რიცხვი ჩაანაცვლეთ ფუნქციით "x"-ის ნაცვლად:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

როგორ განვსაზღვროთ ფუნქციის მაქსიმუმი და მინიმალური, ე.ი. მისი ყველაზე დიდი და პატარა მნიშვნელობები?

თუ წარმოებულის ნიშანი x0 კრიტიკულ წერტილში გავლისას იცვლება „პლუს“-დან „მინუსში“, მაშინ x0 არის მაქსიმალური ქულა; თუ წარმოებულის ნიშანი იცვლება მინუსიდან პლუსზე, მაშინ x0 არის მინიმალური ქულა; თუ ნიშანი არ იცვლება, მაშინ x0 წერტილში არ არის არც მაქსიმუმი და არც მინიმალური.

განხილული მაგალითისთვის:

ჩვენ ვიღებთ არგუმენტის თვითნებურ მნიშვნელობას კრიტიკული წერტილის მარცხნივ: x = -1

x = -1-ზე წარმოებულის მნიშვნელობა იქნება y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (ანუ ნიშანი არის „მინუს“).

ახლა ჩვენ ვიღებთ არგუმენტის თვითნებურ მნიშვნელობას კრიტიკული წერტილის მარჯვნივ: x = 1

x = 1-ზე წარმოებულის მნიშვნელობა იქნება y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (ანუ ნიშანი არის „პლუს“).

როგორც ხედავთ, წარმოებულმა შეცვალა ნიშანი მინუსიდან პლუსზე კრიტიკულ წერტილში გავლისას. ეს ნიშნავს, რომ x0 კრიტიკულ მნიშვნელობაზე გვაქვს მინიმალური წერტილი.

ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა ინტერვალზე(სეგმენტზე) გვხვდება იგივე პროცედურის გამოყენებით, მხოლოდ იმის გათვალისწინებით, რომ, შესაძლოა, ყველა კრიტიკული წერტილი არ იყოს მითითებულ ინტერვალში. ის კრიტიკული წერტილები, რომლებიც ინტერვალის მიღმაა, უნდა გამოირიცხოს განხილვისგან. თუ ინტერვალის შიგნით არის მხოლოდ ერთი კრიტიკული წერტილი, მას ექნება ან მაქსიმუმი ან მინიმუმი. ამ შემთხვევაში, ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების დასადგენად, ჩვენ ასევე გავითვალისწინებთ ფუნქციის მნიშვნელობებს ინტერვალის ბოლოებში.

მაგალითად, ვიპოვოთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები

y(x) = 3sin(x) - 0.5x

ინტერვალებით:

ასე რომ, ფუნქციის წარმოებული არის

y?(x) = 3cos(x) - 0.5

ჩვენ ვხსნით განტოლებას 3cos(x) - 0.5 = 0

cos(x) = 0.5/3 = 0.16667

x = ±arccos(0.16667) + 2πk.

კრიტიკულ წერტილებს ვპოულობთ ინტერვალზე [-9; 9]:

x = arccos(0.16667) - 2π*2 = -11.163 (არ შედის ინტერვალში)

x = -arccos(0.16667) – 2π*1 = -7.687

x = arccos (0.16667) - 2π*1 = -4.88

x = -arccos(0.16667) + 2π*0 = -1.403

x = arccos (0.16667) + 2π*0 = 1.403

x = -arccos (0.16667) + 2π*1 = 4.88

x = arccos (0.16667) + 2π*1 = 7.687

x = -arccos(0.16667) + 2π*2 = 11.163 (არ შედის ინტერვალში)

ჩვენ ვპოულობთ ფუნქციის მნიშვნელობებს არგუმენტის კრიტიკულ მნიშვნელობებზე:

y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398

y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256

y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256

y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398

y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885

ჩანს, რომ ინტერვალზე [-9; 9] ფუნქციას აქვს უდიდესი მნიშვნელობა x = -4.88:

x = -4.88, y = 5.398,

და ყველაზე პატარა - x = 4.88-ზე:

x = 4.88, y = -5.398.

ინტერვალზე [-6; -3] გვაქვს მხოლოდ ერთი კრიტიკული წერტილი: x = -4.88. ფუნქციის მნიშვნელობა x = -4.88-ზე უდრის y = 5.398-ს.

იპოვეთ ფუნქციის მნიშვნელობა ინტერვალის ბოლოებში:

y(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838

y(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077

ინტერვალზე [-6; -3] გვაქვს ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა

y = 5,398 x = -4,88-ზე

ყველაზე პატარა ღირებულება -

y = 1.077 x = -3-ზე

როგორ ვიპოვოთ ფუნქციის გრაფიკის დახრის წერტილები და განვსაზღვროთ ამოზნექილი და ჩაზნექილი გვერდები?

y = f(x) წრფის ყველა გადახრის წერტილის მოსაძებნად, თქვენ უნდა იპოვოთ მეორე წარმოებული, გაათანაბროთ იგი ნულამდე (გადაწყვიტეთ განტოლება) და შეამოწმოთ x-ის ყველა ის მნიშვნელობა, რომლისთვისაც მეორე წარმოებული არის ნული, უსასრულო ან არ არსებობს. თუ ამ სიდიდეებიდან ერთ-ერთის გავლისას მეორე წარმოებული ცვლის ნიშანს, მაშინ ფუნქციის გრაფიკს ამ ეტაპზე აქვს ფლექსია. თუ ის არ იცვლება, მაშინ არ არის მოსახვევი.

განტოლების ფესვები ვ? (x) = 0, ისევე როგორც ფუნქციის შესაძლო შეწყვეტის წერტილები და მეორე წარმოებული, ყოფს ფუნქციის განსაზღვრის დომენს რამდენიმე ინტერვალებად. ამოზნექულობა მათ თითოეულ ინტერვალზე განისაზღვრება მეორე წარმოებულის ნიშნით. თუ მეორე წარმოებული შესწავლილი ინტერვალის წერტილში დადებითია, მაშინ y = f(x) წრფე არის ჩაზნექილი ზემოთ, ხოლო თუ უარყოფითია, მაშინ ქვემოთ.

როგორ მოვძებნოთ ორი ცვლადის ფუნქციის უკიდურესი?

f(x,y) ფუნქციის ექსტრემის საპოვნელად, დიფერენცირებადი მისი სპეციფიკაციის დომენში, დაგჭირდებათ:

1) იპოვეთ კრიტიკული წერტილები და ამისთვის - ამოხსენით განტოლებათა სისტემა

fh? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) თითოეული კრიტიკული წერტილისთვის P0(a;b) გამოიკვლიეთ, რჩება თუ არა სხვაობის ნიშანი უცვლელი

ყველა წერტილისთვის (x;y) საკმარისად ახლოს P0-თან. თუ სხვაობა დადებითი რჩება, მაშინ P0 წერტილში გვაქვს მინიმალური, თუ უარყოფითი, მაშინ გვაქვს მაქსიმუმი. თუ განსხვავება არ ინარჩუნებს თავის ნიშანს, მაშინ P0 წერტილში არ არის ექსტრემუმი.

ფუნქციის უკიდურესობა განისაზღვრება არგუმენტების უფრო დიდი რაოდენობით ანალოგიურად.

რაზეა მულტფილმი "შრეკი სამუდამოდ შემდეგ"?
მულტფილმი: “Shrek Forever After” გამოშვების წელი: 2010 პრემიერა (რუსეთის ფედერაცია): 20 მაისი, 2010 ქვეყანა: აშშ რეჟისორი: მაიკლ პიტჩელი სცენარი: ჯოშ კლაუსნერი, დარენ ლემკე ჟანრი: საოჯახო კომედია, ფანტასტიკა, სათავგადასავლო ოფიციალური საიტი: www.shrekforeverafter .com ჯორი ნაკვეთი

შესაძლებელია თუ არა სისხლის დონაცია მენსტრუაციის დროს?
ექიმები მენსტრუაციის დროს სისხლის დონორობას არ გირჩევენ, რადგან... სისხლის დაკარგვა, თუმცა არა მნიშვნელოვანი რაოდენობით, სავსეა ჰემოგლობინის დონის დაქვეითებით და ქალის კეთილდღეობის გაუარესებით. სისხლის დონაციის პროცედურის დროს თქვენი ჯანმრთელობის მდგომარეობა შეიძლება გაუარესდეს სისხლდენის დაწყებამდე. ამიტომ, მენსტრუაციის დროს ქალებმა თავი უნდა შეიკავონ სისხლის დონაციისგან. და უკვე მე-5 დღეს მათი დასრულებიდან

რამდენ კკალ/საათში იხარჯება იატაკის მოწმენდისას?
ფიზიკური აქტივობის სახეები ენერგიის მოხმარება, კკალ/საათში მომზადება 80 ჩაცმა 30 ავტომობილის მართვა 50 მტვრის ამოღება 80 ჭამა 30 მებაღეობა 135 დაუთოება 45 საწოლის გაშლა 130 შოპინგი 80 მჯდომარე სამუშაო 75 შეშის ჭრა 300 იატაკის რეცხვა 130-დაბალი სქესი A10

რას ნიშნავს სიტყვა "თაღლითი"?
თაღლითი არის ქურდი, რომელიც ეწევა წვრილმან ქურდობას, ან ცბიერი ადამიანი, რომელიც მიდრეკილია თაღლითური ხრიკებისკენ. ამ განმარტების დადასტურებას შეიცავს კრილოვის ეტიმოლოგიური ლექსიკონი, რომლის მიხედვითაც სიტყვა „თაღლითი“ წარმოიქმნება სიტყვა „ჟალ“ (ქურდი, თაღლითი), რომელიც დაკავშირებულია ზმნასთან &la.

რა ჰქვია ძმები სტრუგაცკის ბოლო გამოქვეყნებულ მოთხრობას?
არკადიისა და ბორის სტრუგატსკის მოთხრობა "ციკლოტაციის საკითხზე" პირველად გამოქვეყნდა 2008 წლის აპრილში მხატვრული ლიტერატურის ანთოლოგიაში "XXI საუკუნე" (ჟურნალის "მსოფლიოს დანართში", რომელიც გამოქვეყნდა ბორისის რედაქტორობით. სტრუგატსკი). გამოცემა დაემთხვა ბორის სტრუგატსკის 75 წლის იუბილეს.

სად შეგიძლიათ წაიკითხოთ ისტორიები Work And Travel USA პროგრამის მონაწილეებისგან?
Work and Travel USA (მუშაობა და მოგზაურობა აშშ-ში) არის სტუდენტთა გაცვლის პოპულარული პროგრამა, რომლის ფარგლებშიც შეგიძლიათ ზაფხული გაატაროთ ამერიკაში, ლეგალურად იმუშაოთ მომსახურების სექტორში და იმოგზაუროთ. პროგრამა Work & Travel-ის ისტორია შედის მთავრობათაშორისი გაცვლითი პროგრამაში Cultural Exchange Pro

ყური. კულინარიული და ისტორიული ფონი ორნახევარ საუკუნეზე მეტია, სიტყვა "უხა" გამოიყენება სუპების ან ახალი თევზის დეკორქციის აღსანიშნავად. მაგრამ იყო დრო, როდესაც ეს სიტყვა უფრო ფართოდ იყო განმარტებული. ის ნიშნავდა წვნიანს - არა მარტო თევზს, არამედ ხორცს, ბარდას და ტკბილსაც კი. ასე რომ, ისტორიულ დოკუმენტში - ”

საინფორმაციო და რეკრუტირების პორტალები Superjob.ru - დაქირავების პორტალი Superjob.ru 2000 წლიდან მუშაობს რუსეთის ონლაინ რეკრუტირების ბაზარზე და ლიდერია სამუშაოს და პერსონალის ძიებაში არსებულ რესურსებს შორის. ყოველდღე, საიტის მონაცემთა ბაზას ემატება სპეციალისტების 80000-ზე მეტი რეზიუმე და 10000-ზე მეტი ვაკანსია.

რა არის მოტივაცია
მოტივაციის განმარტება მოტივაცია (ლათინურიდან moveo - ვმოძრაობ) - მოქმედების სტიმული; დინამიური ფიზიოლოგიური და ფსიქოლოგიური პროცესი, რომელიც აკონტროლებს ადამიანის ქცევას, განსაზღვრავს მის მიმართულებას, ორგანიზაციას, აქტივობას და სტაბილურობას; ადამიანის უნარი შრომით დააკმაყოფილოს თავისი მოთხოვნილებები. მოტივაცია

ვინ არის ბობ დილანი
ბობ დილანი (ინგლისური Bob Dylan, ნამდვილი სახელი - Robert Allen Zimmerman ინგლისური. Robert Allen Zimmerman; დაიბადა 1941 წლის 24 მაისს) არის ამერიკელი სიმღერების ავტორი, რომელიც, ჟურნალ Rolling Stone-ის გამოკითხვის მიხედვით, მეორეა (

როგორ გადავიტანოთ შიდა მცენარეები
შიდა მცენარეების შეძენის შემდეგ მებაღეს აწყდება დავალება, როგორ მიაწოდოს შეძენილი ეგზოტიკური ყვავილები უვნებლად. ამ პრობლემის მოგვარებაში დაგეხმარებათ შიდა მცენარეების შეფუთვისა და ტრანსპორტირების ძირითადი წესების ცოდნა. მცენარეები უნდა იყოს შეფუთული, რათა მოხდეს ან ტრანსპორტირება. რაც არ უნდა მცირე მანძილზე იყოს მცენარეთა ტრანსპორტირება, ისინი შეიძლება დაზიანდეს, გამოშრეს და ზამთარში და მ

ვნახოთ, როგორ გამოვიკვლიოთ ფუნქცია გრაფიკის გამოყენებით. გამოდის, რომ გრაფიკის დათვალიერებით, ჩვენ შეგვიძლია გავარკვიოთ ყველაფერი, რაც გვაინტერესებს, კერძოდ:

• ფუნქციის დომენი
• ფუნქციის დიაპაზონი
• ფუნქცია ნულები
• გაზრდისა და კლების ინტერვალები
• მაქსიმალური და მინიმალური ქულები
• სეგმენტზე ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა.

მოდით დავაზუსტოთ ტერმინოლოგია:

აბსციზაარის წერტილის ჰორიზონტალური კოორდინატი.
ორდინატი- ვერტიკალური კოორდინატი.
აბსცისის ღერძი- ჰორიზონტალური ღერძი, რომელსაც ყველაზე ხშირად უწოდებენ ღერძს.
Y ღერძი- ვერტიკალური ღერძი, ან ღერძი.

არგუმენტი- დამოუკიდებელი ცვლადი, რომელზედაც დამოკიდებულია ფუნქციის მნიშვნელობები. ყველაზე ხშირად მითითებულია.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ ვირჩევთ, ჩავანაცვლებთ ფუნქციებს ფორმულაში და ვიღებთ.

განმარტების დომენიფუნქციები - იმ (და მხოლოდ იმ) არგუმენტების მნიშვნელობების ნაკრები, რომლებისთვისაც არსებობს ფუნქცია.
მითითებულია: ან .

ჩვენს ფიგურაში, ფუნქციის განსაზღვრის დომენი არის სეგმენტი. სწორედ ამ სეგმენტზეა დახატული ფუნქციის გრაფიკი. ეს არის ერთადერთი ადგილი, სადაც ეს ფუნქცია არსებობს.

ფუნქციის დიაპაზონიარის მნიშვნელობების ნაკრები, რომელსაც იღებს ცვლადი. ჩვენს ფიგურაში ეს არის სეგმენტი - ყველაზე დაბალიდან უმაღლეს მნიშვნელობამდე.

ფუნქცია ნულები- წერტილები, სადაც ფუნქციის მნიშვნელობა ნულია, ანუ. ჩვენს ფიგურაში ეს არის პუნქტები და .

ფუნქციის მნიშვნელობები დადებითიასად . ჩვენს ფიგურაში ეს არის ინტერვალები და .
ფუნქციის მნიშვნელობები უარყოფითიასად . ჩვენთვის ეს არის ინტერვალი (ან ინტერვალი) დან .

ყველაზე მნიშვნელოვანი ცნებები - მზარდი და შემცირების ფუნქციარაღაც კომპლექტზე. როგორც ნაკრები, შეგიძლიათ აიღოთ სეგმენტი, ინტერვალი, ინტერვალების გაერთიანება ან მთელი რიცხვითი ხაზი.

ფუნქცია იზრდება

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რაც უფრო მეტი, მით მეტი, ანუ გრაფიკი მიდის მარჯვნივ და ზემოთ.

ფუნქცია მცირდებასიმრავლეზე თუ რომელიმე და მიეკუთვნება სიმრავლეს, უტოლობა გულისხმობს უთანასწორობას.

კლებადი ფუნქციისთვის, უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება უფრო მცირე მნიშვნელობას. გრაფიკი მიდის მარჯვნივ და ქვევით.

ჩვენს ფიგურაში ფუნქცია იზრდება ინტერვალზე და მცირდება ინტერვალებზე და .

მოდით განვსაზღვროთ რა არის ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური ქულები.

მაქსიმალური ქულა- ეს არის განმარტების დომენის შიდა წერტილი, ისეთი, რომ მასში ფუნქციის მნიშვნელობა მეტია, ვიდრე მასთან საკმარისად ახლოს ყველა წერტილში.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მაქსიმალური წერტილი არის წერტილი, სადაც არის ფუნქციის მნიშვნელობა მეტივიდრე მეზობელებში. ეს არის ადგილობრივი "გორაკი" გრაფიკზე.

ჩვენს ფიგურაში არის მაქსიმალური წერტილი.

მინიმალური ქულა- განმარტების დომენის შიდა წერტილი, ისეთი, რომ მასში ფუნქციის მნიშვნელობა ნაკლებია, ვიდრე მასთან საკმარისად ახლოს ყველა წერტილში.
ანუ მინიმალური წერტილი ისეთია, რომ მასში ფუნქციის მნიშვნელობა ნაკლებია, ვიდრე მეზობლებში. ეს არის ლოკალური "ხვრელი" გრაფიკზე.

ჩვენს ფიგურაში არის მინიმალური წერტილი.

წერტილი არის საზღვარი. ეს არ არის განმარტების დომენის შიდა წერტილი და, შესაბამისად, არ შეესაბამება მაქსიმალური წერტილის განსაზღვრას. ბოლოს და ბოლოს, მას მეზობლები არ ჰყავს მარცხენა მხარეს. ანალოგიურად, ჩვენს სქემაზე არ შეიძლება იყოს მინიმალური წერტილი.

მაქსიმალური და მინიმალური ქულები ერთად ეწოდება ფუნქციის უკიდურესი წერტილები. ჩვენს შემთხვევაში ეს არის და.

რა უნდა გააკეთო, თუ უნდა იპოვოთ, მაგალითად, მინიმალური ფუნქციასეგმენტზე? ამ შემთხვევაში პასუხია: . იმიტომ რომ მინიმალური ფუნქციაარის მისი მნიშვნელობა მინიმალურ წერტილში.

ანალოგიურად, ჩვენი ფუნქციის მაქსიმალური არის . ის მიღწეულია წერტილში.

შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ფუნქციის უკიდურესობები ტოლია და .

ზოგჯერ პრობლემები მოითხოვს პოვნას ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობებიმოცემულ სეგმენტზე. ისინი სულაც არ ემთხვევა უკიდურესობებს.

ჩვენს შემთხვევაში ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობასეგმენტზე უდრის და ემთხვევა ფუნქციის მინიმუმს. მაგრამ მისი უდიდესი მნიშვნელობა ამ სეგმენტზე უდრის . იგი მიიღწევა სეგმენტის მარცხენა ბოლოში.

ნებისმიერ შემთხვევაში, სეგმენტზე უწყვეტი ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები მიიღწევა ან უკიდურეს წერტილებში ან სეგმენტის ბოლოებში.