ლოგარითმი ერთი რომელიმე ბაზის მიმართ ტოლია. ლოგარითმები: მაგალითები და ამონახსნები

b რიცხვის ლოგარითმი (b > 0) a საფუძვლამდე (a > 0, a ≠ 1)– მაჩვენებელი, რომელზეც უნდა გაიზარდოს რიცხვი b-ის მისაღებად.

b-ის ფუძის 10 ლოგარითმი შეიძლება დაიწეროს როგორც ჟურნალი (ბ)და ლოგარითმი e ფუძისკენ ( ბუნებრივი ლოგარითმი) –ln(b).

ხშირად გამოიყენება ლოგარითმებით ამოცანების გადაჭრისას:

ლოგარითმების თვისებები

ოთხი ძირითადია ლოგარითმების თვისებები.

მოდით a > 0, a ≠ 1, x > 0 და y > 0.

თვისება 1. პროდუქტის ლოგარითმი

პროდუქტის ლოგარითმი ჯამის ტოლილოგარითმები:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

თვისება 2. კოეფიციენტის ლოგარითმი

კოეფიციენტის ლოგარითმი სხვაობის ტოლილოგარითმები:

log a (x / y) = log a x – log a y

თვისება 3. სიმძლავრის ლოგარითმი

ხარისხის ლოგარითმი პროდუქტის ტოლისიმძლავრეები ლოგარითმზე:

თუ ლოგარითმის საფუძველი ხარისხშია, მაშინ გამოიყენება სხვა ფორმულა:

თვისება 4. ფესვის ლოგარითმი

ეს თვისება შეიძლება მივიღოთ ხარისხების ლოგარითმის თვისებიდან, რადგან n-ე ხარისხის ფესვი ძალაუფლების ტოლი 1/n:

ერთი ბაზის ლოგარითმიდან მეორე ბაზის ლოგარითმში გადაყვანის ფორმულა

ეს ფორმულა ასევე ხშირად გამოიყენება ლოგარითმებზე სხვადასხვა ამოცანების გადაჭრისას:

Განსაკუთრებული შემთხვევა:

ლოგარითმების შედარება (უტოლობები)

მოდით გვქონდეს 2 ფუნქცია f(x) და g(x) ლოგარითმების ქვეშ ერთი და იგივე ფუძეებით და მათ შორის არის უტოლობის ნიშანი:

მათი შესადარებლად, ჯერ უნდა გადახედოთ ლოგარითმების საფუძველს:

თუ a > 0, მაშინ f(x) > g(x) > 0
თუ 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

როგორ გადავჭრათ პრობლემები ლოგარითმებით: მაგალითები

პრობლემები ლოგარითმებთანმათემატიკაში ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში შედის მე-11 კლასის დავალება 5 და დავალება 7, შეგიძლიათ იპოვოთ ამოცანები გადაწყვეტილებებით ჩვენს ვებსაიტზე შესაბამის განყოფილებებში. ასევე, ლოგარითმებით ამოცანები გვხვდება მათემატიკის ამოცანების ბანკში. თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ყველა მაგალითი საიტის ძიებით.

რა არის ლოგარითმი

ლოგარითმები ყოველთვის განიხილებოდა რთული თემავ სკოლის კურსიმათემატიკა. Ბევრნი არიან სხვადასხვა განმარტებებილოგარითმი, მაგრამ რატომღაც სახელმძღვანელოების უმეტესობა იყენებს მათგან ყველაზე რთულ და წარუმატებელს.

ჩვენ განვსაზღვრავთ ლოგარითმს მარტივად და ნათლად. ამისათვის შევქმნათ ცხრილი:

ასე რომ, ჩვენ გვაქვს ორი ძალა.

ლოგარითმები - თვისებები, ფორმულები, როგორ ამოხსნათ

თუ თქვენ აიღებთ რიცხვს ქვედა ხაზიდან, შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ ძალა, რომელზედაც მოგიწევთ აწიოთ ორი ამ რიცხვის მისაღებად. მაგალითად, 16-ის მისაღებად, თქვენ უნდა აწიოთ ორი მეოთხე ხარისხზე. და 64-ის მისაღებად, თქვენ უნდა აიყვანოთ ორი მეექვსე ხარისხამდე. ეს ჩანს ცხრილიდან.

ახლა კი - რეალურად, ლოგარითმის განმარტება:

x არგუმენტის a ფუძე არის ძალა, რომლითაც უნდა გაიზარდოს რიცხვი x რიცხვის მისაღებად.

აღნიშვნა: log a x = b, სადაც a არის საფუძველი, x არის არგუმენტი, b არის ის, რისი ტოლია რეალურად ლოგარითმი.

მაგალითად, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (8-ის მე-2 ლოგარითმი არის სამი, რადგან 2 3 = 8). იგივე წარმატებით, ჟურნალი 2 64 = 6, ვინაიდან 2 6 = 64.

მოცემულ ფუძეზე რიცხვის ლოგარითმის პოვნის ოპერაცია ეწოდება. მოდით დავამატოთ ახალი ხაზი ჩვენს ცხრილს:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
ჟურნალი 2 2 = 1	ჟურნალი 2 4 = 2	ჟურნალი 2 8 = 3	ჟურნალი 2 16 = 4	ჟურნალი 2 32 = 5	ჟურნალი 2 64 = 6

სამწუხაროდ, ყველა ლოგარითმი ასე მარტივად არ გამოითვლება. მაგალითად, შეეცადეთ იპოვოთ ჟურნალი 2 5. რიცხვი 5 არ არის ცხრილში, მაგრამ ლოგიკა გვკარნახობს, რომ ლოგარითმი იქნება სადმე ინტერვალზე. რადგან 2 2< 5 < 2 3 , а чем მეტი ხარისხიორი, რაც უფრო დიდია რიცხვი.

ასეთ რიცხვებს ირაციონალურს უწოდებენ: ათწილადის შემდეგ რიცხვები შეიძლება დაიწეროს უსასრულოდ და ისინი არასოდეს განმეორდება. თუ ლოგარითმი ირაციონალური აღმოჩნდება, უმჯობესია ასე დავტოვოთ: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ ლოგარითმი არის გამოხატულება ორი ცვლადით (ბაზა და არგუმენტი). თავდაპირველად, ბევრი ადამიანი იბნევა სად არის საფუძველი და სად არის არგუმენტი. შემაშფოთებელი გაუგებრობის თავიდან ასაცილებლად, უბრალოდ შეხედეთ სურათს:

ჩვენს წინაშე სხვა არაფერია, თუ არა ლოგარითმის განმარტება. გახსოვდეთ: ლოგარითმი არის ძალა, რომელშიც არგუმენტის მისაღებად საფუძველი უნდა იყოს ჩაშენებული. ეს არის ბაზა, რომელიც ამაღლებულია სიმძლავრემდე - სურათზე წითლად არის მონიშნული. გამოდის, რომ ბაზა ყოველთვის ბოლოშია! ჩემს მოსწავლეებს ვეუბნები ამ შესანიშნავ წესს პირველივე გაკვეთილზე - და დაბნეულობა არ ჩნდება.

როგორ დავთვალოთ ლოგარითმები

ჩვენ გავარკვიეთ განმარტება - რჩება მხოლოდ ვისწავლოთ ლოგარითმების დათვლა, ე.ი. მოიშორეთ "ლოგი" ნიშანი. დასაწყისისთვის, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ განმარტებიდან გამომდინარეობს ორი მნიშვნელოვანი ფაქტი:

არგუმენტი და საფუძველი ყოველთვის უნდა იყოს ნულზე მეტი. ეს გამომდინარეობს ხარისხის განსაზღვრებიდან რაციონალური მაჩვენებელი, რომელზედაც მოდის ლოგარითმის განმარტება.
ბაზა უნდა განსხვავდებოდეს ერთისგან, რადგან ერთი ნებისმიერი ხარისხით მაინც რჩება. ამის გამო უაზროა კითხვა „რომელ ძალამდე უნდა აწიო ადამიანი, რომ მიიღო ორი“. ასეთი ხარისხი არ არსებობს!

ასეთ შეზღუდვებს ე.წ რეგიონი მისაღები ღირებულებები (ოძ). გამოდის, რომ ლოგარითმის ODZ ასე გამოიყურება: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

გაითვალისწინეთ, რომ არ არსებობს შეზღუდვები რიცხვზე b (ლოგარითმის მნიშვნელობა). მაგალითად, ლოგარითმი შეიძლება იყოს უარყოფითი: log 2 0.5 = −1, რადგან 0,5 = 2 −1.

თუმცა, ახლა ჩვენ განვიხილავთ მხოლოდ რიცხვით გამოსახულებებს, სადაც არ არის საჭირო ლოგარითმის VA-ს ცოდნა. პრობლემების ავტორებმა ყველა შეზღუდვა უკვე გაითვალისწინეს. მაგრამ როდესაც ლოგარითმული განტოლებები და უტოლობები ამოქმედდება, DL მოთხოვნები გახდება სავალდებულო. ყოველივე ამის შემდეგ, საფუძველი და არგუმენტი შეიძლება შეიცავდეს ძალიან ძლიერ კონსტრუქციებს, რომლებიც აუცილებლად არ შეესაბამება ზემოთ მოცემულ შეზღუდვებს.

ახლა განვიხილოთ ზოგადი სქემალოგარითმების გამოთვლა. იგი შედგება სამი ეტაპისგან:

ფუძე a და არგუმენტი x წარმოადგინეთ ხარისხად მინიმალურით შესაძლო მიზეზი, ერთზე მეტი. გზაში, აჯობებს ათწილადების მოშორება;
ამოხსენით b ცვლადის განტოლება: x = a b ;
შედეგად მიღებული რიცხვი b იქნება პასუხი.

Სულ ეს არის! თუ ლოგარითმი ირაციონალური აღმოჩნდება, ეს უკვე პირველივე საფეხურზე გამოჩნდება. მოთხოვნა, რომ ბაზა ერთზე მეტი იყოს, ძალიან მნიშვნელოვანია: ეს ამცირებს შეცდომის ალბათობას და მნიშვნელოვნად ამარტივებს გამოთვლებს. იგივე ათწილადები: თუ მათ დაუყოვნებლივ გადააქცევთ ჩვეულებრივზე, შეცდომები გაცილებით ნაკლები იქნება.

ვნახოთ, როგორ მუშაობს ეს სქემა კონკრეტული მაგალითების გამოყენებით:

დავალება. გამოთვალეთ ლოგარითმი: log 5 25

წარმოვიდგინოთ საფუძველი და არგუმენტი ხუთის ხარისხად: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

შევქმნათ და მოვაგვაროთ განტოლება:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

მივიღეთ პასუხი: 2.

დავალება. გამოთვალეთ ლოგარითმი:

დავალება. გამოთვალეთ ლოგარითმი: log 4 64

წარმოვიდგინოთ საფუძველი და არგუმენტი ორის ხარისხად: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
შევქმნათ და მოვაგვაროთ განტოლება:
ჟურნალი 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
მივიღეთ პასუხი: 3.

დავალება. გამოთვალეთ ლოგარითმი: log 16 1

წარმოვიდგინოთ საფუძველი და არგუმენტი ორის ხარისხად: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0;
შევქმნათ და მოვაგვაროთ განტოლება:
ჟურნალი 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
მივიღეთ პასუხი: 0.

დავალება. გამოთვალეთ ლოგარითმი: log 7 14

წარმოვიდგინოთ საფუძველი და არგუმენტი შვიდის ხარისხად: 7 = 7 1 ; 14 არ შეიძლება იყოს წარმოდგენილი შვიდის ხარისხად, რადგან 7 1< 14 < 7 2 ;
წინა აბზაციდან გამომდინარეობს, რომ ლოგარითმი არ ითვლება;
პასუხი არ იცვლება: ჟურნალი 7 14.

პატარა შენიშვნა ბოლო მაგალითი. როგორ შეგიძლიათ დარწმუნებული იყოთ, რომ რიცხვი არ არის სხვა რიცხვის ზუსტი ხარისხი? ეს ძალიან მარტივია - უბრალოდ დაყავით იგი ძირითადი ფაქტორები. თუ გაფართოებას აქვს მინიმუმ ორი განსხვავებული ფაქტორი, რიცხვი არ არის ზუსტი სიმძლავრე.

დავალება. გაარკვიეთ არის თუ არა რიცხვები ზუსტი ხარისხები: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - ზუსტი ხარისხი, რადგან არის მხოლოდ ერთი მულტიპლიკატორი;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - არ არის ზუსტი სიმძლავრე, რადგან არსებობს ორი ფაქტორი: 3 და 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - ზუსტი ხარისხი;
35 = 7 · 5 - ისევ არ არის ზუსტი სიმძლავრე;
14 = 7 · 2 - ისევ არ არის ზუსტი ხარისხი;

ასევე აღვნიშნოთ, რომ ჩვენ თვითონ მარტივი რიცხვებიყოველთვის არის საკუთარი თავის ზუსტი ხარისხები.

ათწილადი ლოგარითმი

ზოგიერთი ლოგარითმი იმდენად გავრცელებულია, რომ მათ აქვთ სპეციალური სახელი და სიმბოლო.

არგუმენტის x არის ლოგარითმი 10-ის საფუძვლამდე, ე.ი. სიმძლავრე, რომელზეც რიცხვი 10 უნდა გაიზარდოს x რიცხვის მისაღებად. აღნიშვნა: lg x.

მაგალითად, ჟურნალი 10 = 1; ლგ 100 = 2; lg 1000 = 3 - და ა.შ.

ამიერიდან, როდესაც სახელმძღვანელოში გამოჩნდება ფრაზა, როგორიცაა „Find lg 0.01“, იცოდეთ, რომ ეს არ არის შეცდომა. ეს არის ათობითი ლოგარითმი. თუმცა, თუ თქვენ არ იცნობთ ამ აღნიშვნას, ყოველთვის შეგიძლიათ გადაწეროთ იგი:
ჟურნალი x = ჟურნალი 10 x

ყველაფერი, რაც მართალია ჩვეულებრივი ლოგარითმებისთვის, ასევე მართალია ათობითი ლოგარითმებისთვის.

ბუნებრივი ლოგარითმი

არსებობს კიდევ ერთი ლოგარითმი, რომელსაც აქვს საკუთარი აღნიშვნა. გარკვეულწილად, ეს კიდევ უფრო მნიშვნელოვანია ვიდრე ათობითი. ეს დაახლოებითბუნებრივი ლოგარითმის შესახებ.

x-ის არგუმენტი არის ლოგარითმი e-ს საფუძვლამდე, ე.ი. სიმძლავრე, რომელზეც რიცხვი e უნდა გაიზარდოს x რიცხვის მისაღებად. აღნიშვნა: ln x.

ბევრი იკითხავს: რა არის რიცხვი e? ეს ირაციონალური რიცხვი, მისი ზუსტი ღირებულებაშეუძლებელია პოვნა და ჩაწერა. მე მივცემ მხოლოდ პირველ ციფრებს:
e = 2.718281828459…

რა არის ეს რიცხვი და რატომ არის საჭირო, დეტალურად არ განვიხილავთ. უბრალოდ გახსოვდეთ, რომ e არის ბუნებრივი ლოგარითმის საფუძველი:
ln x = log e x

ამრიგად ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - და ა.შ. მეორეს მხრივ, ln 2 არის ირაციონალური რიცხვი. ზოგადად, ნებისმიერის ბუნებრივი ლოგარითმი რაციონალური რიცხვიირაციონალური. ერთის გარდა, რა თქმა უნდა: ln 1 = 0.

ბუნებრივი ლოგარითმებისთვის მოქმედებს ყველა წესი, რომელიც მართებულია ჩვეულებრივი ლოგარითმებისთვის.

Იხილეთ ასევე:

ლოგარითმი. ლოგარითმის თვისებები (ლოგარითმის ძალა).

როგორ გამოვსახოთ რიცხვი ლოგარითმის სახით?

ჩვენ ვიყენებთ ლოგარითმის განმარტებას.

ლოგარითმი არის მაჩვენებელი, რომელზეც ფუძე უნდა გაიზარდოს ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ მყოფი რიცხვის მისაღებად.

ამგვარად, იმისათვის, რომ გარკვეული რიცხვი c ლოგარითმად წარმოვადგინოთ a საფუძველზე, ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ უნდა დააყენოთ სიმძლავრე იგივე ფუძით, როგორც ლოგარითმის ფუძე და დაწეროთ ეს რიცხვი c მაჩვენებლად:

აბსოლუტურად ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ლოგარითმად - დადებითი, უარყოფითი, მთელი რიცხვი, წილადი, რაციონალური, ირაციონალური:

იმისათვის, რომ არ აირიოთ a და c ტესტის ან გამოცდის სტრესულ პირობებში, შეგიძლიათ გამოიყენოთ დამახსოვრების შემდეგი წესი:

რაც ქვევით არის ქვევით მიდის, რაც ზევით არის მაღლა.

მაგალითად, თქვენ უნდა წარმოადგინოთ ნომერი 2, როგორც ლოგარითმი 3-ის ბაზაზე.

გვაქვს ორი რიცხვი - 2 და 3. ეს რიცხვები არის ფუძე და მაჩვენებელი, რომელსაც დავწერთ ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ. რჩება იმის დადგენა, ამ რიცხვებიდან რომელი უნდა ჩაიწეროს ხარისხამდე და რომელი – ზევით, მაჩვენებელამდე.

ლოგარითმის აღნიშვნით ფუძე 3 არის ბოლოში, რაც ნიშნავს, რომ როდესაც ლოგარითმად წარმოვადგენთ ორს მე-3 ფუძესთან, ჩვენ ასევე დავწერთ 3-ს ფუძეზე.

2 სამზე მაღალია. და მეორე ხარისხის აღნიშვნით ჩვენ ვწერთ სამზე მაღლა, ანუ მაჩვენებლის სახით:

ლოგარითმები. პირველი დონე.

ლოგარითმები

ლოგარითმი დადებითი რიცხვი ბდაფუძნებული ა, სად a > 0, a ≠ 1, ეწოდება მაჩვენებელს, რომელზეც რიცხვი უნდა გაიზარდოს ა, მისაღებად ბ.

ლოგარითმის განმარტებამოკლედ შეიძლება დაიწეროს ასე:

ეს თანასწორობა მოქმედებს b > 0, a > 0, a ≠ 1.მას ჩვეულებრივ უწოდებენ ლოგარითმული იდენტურობა.
რიცხვის ლოგარითმის პოვნის მოქმედებას ეწოდება ლოგარითმით.

ლოგარითმების თვისებები:

პროდუქტის ლოგარითმი:

კოეფიციენტის ლოგარითმი:

ლოგარითმის ბაზის შეცვლა:

ხარისხის ლოგარითმი:

ფესვის ლოგარითმი:

ლოგარითმი დენის ბაზით:

ათწილადი და ბუნებრივი ლოგარითმები.

ათწილადი ლოგარითმინომრები ამ რიცხვის ლოგარითმს უწოდებენ 10-ს და წერენ lg ბ
ბუნებრივი ლოგარითმირიცხვებს უწოდებენ ამ რიცხვის ლოგარითმს ფუძემდე ე, სად ე- ირაციონალური რიცხვი დაახლოებით 2,7-ის ტოლია. ამავე დროს ისინი წერენ ln ბ.

სხვა შენიშვნები ალგებრასა და გეომეტრიაზე

ლოგარითმების ძირითადი თვისებები

ლოგარითმები, ისევე როგორც ნებისმიერი რიცხვი, შეიძლება ყველანაირად დაემატოს, გამოკლდეს და გარდაიქმნას. მაგრამ რადგან ლოგარითმები ზუსტად არ არის ჩვეულებრივი ნომრები, აქ არის წესები, რომლებიც ე.წ ძირითადი თვისებები.

თქვენ აუცილებლად უნდა იცოდეთ ეს წესები - მათ გარეშე არც ერთი სერიოზული ლოგარითმული პრობლემის გადაჭრა შეუძლებელია. გარდა ამისა, ისინი ძალიან ცოტაა - ყველაფრის სწავლა ერთ დღეში შეგიძლიათ. მოდით დავიწყოთ.

ლოგარითმების შეკრება და გამოკლება

განვიხილოთ ორი ლოგარითმი ერთნაირი ფუძეებით: log a x და log a y. შემდეგ მათი დამატება და გამოკლება შესაძლებელია და:

log a x + log a y = log a (x y);
log a x − log a y = log a (x: y).

მაშასადამე, ლოგარითმების ჯამი ტოლია ნამრავლის ლოგარითმისა, ხოლო სხვაობა უდრის კოეფიციენტის ლოგარითმს. Შენიშვნა: საკვანძო მომენტიᲐქ - იდენტური საფუძველი. თუ მიზეზები განსხვავებულია, ეს წესები არ მუშაობს!

ეს ფორმულები დაგეხმარებათ გამოთვალოთ ლოგარითმული გამოხატულება მაშინაც კი, როცა მისი ცალკეული ნაწილები არ არის გათვალისწინებული (იხილეთ გაკვეთილი „რა არის ლოგარითმი“). გადახედეთ მაგალითებს და ნახეთ:

ჟურნალი 6 4 + ჟურნალი 6 9.

ვინაიდან ლოგარითმებს აქვთ იგივე ფუძეები, ვიყენებთ ჯამის ფორმულას:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 2 48 − log 2 3.

საფუძვლები იგივეა, ჩვენ ვიყენებთ განსხვავების ფორმულას:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 3 135 − log 3 5.

ისევ ბაზები იგივეა, ამიტომ გვაქვს:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

როგორც ხედავთ, ორიგინალური გამონათქვამები შედგება "ცუდი" ლოგარითმებისგან, რომლებიც ცალკე არ არის გამოთვლილი. მაგრამ გარდაქმნების შემდეგ მიიღება სრულიად ნორმალური რიცხვები. ბევრი აგებულია ამ ფაქტზე ტესტის ფურცლები. რაც შეეხება კონტროლს? მსგავსი გამონათქვამებიმთელი სერიოზულობით (ზოგჯერ პრაქტიკულად ცვლილებების გარეშე) სთავაზობენ ერთიან სახელმწიფო გამოცდას.

მაჩვენებლის ამოღება ლოგარითმიდან

ახლა ცოტა გავართულოთ დავალება. რა მოხდება, თუ ლოგარითმის საფუძველი ან არგუმენტი არის ძალა? მაშინ ამ ხარისხის მაჩვენებლის ამოღება შესაძლებელია ლოგარითმის ნიშნიდან შემდეგი წესების მიხედვით:

ადვილი მისახვედრია, რომ ბოლო წესი პირველ ორს მიჰყვება. მაგრამ უმჯობესია დაიმახსოვროთ ის მაინც - ზოგიერთ შემთხვევაში ეს მნიშვნელოვნად შეამცირებს გამოთვლების რაოდენობას.

რა თქმა უნდა, ყველა ამ წესს აქვს აზრი, თუ ლოგარითმის ODZ დაფიქსირდა: a > 0, a ≠ 1, x > 0. და კიდევ ერთი რამ: ისწავლეთ ყველა ფორმულის გამოყენება არა მხოლოდ მარცხნიდან მარჯვნივ, არამედ პირიქით. , ე.ი. თქვენ შეგიძლიათ შეიყვანოთ რიცხვები ლოგარითმის ნიშანიმდე ლოგარითმში.

როგორ ამოხსნათ ლოგარითმები

ეს არის ის, რაც ყველაზე ხშირად საჭიროა.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 7 49 6 .

მოდით, თავი დავაღწიოთ არგუმენტის ხარისხს პირველი ფორმულის გამოყენებით:
ჟურნალი 7 49 6 = 6 ჟურნალი 7 49 = 6 2 = 12

დავალება. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

გაითვალისწინეთ, რომ მნიშვნელი შეიცავს ლოგარითმს, რომლის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი ხარისხებია: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Ჩვენ გვაქვს:

ვფიქრობ, ბოლო მაგალითი მოითხოვს გარკვეულ განმარტებას. სად წავიდა ლოგარითმები? ბოლო მომენტამდე ჩვენ ვმუშაობთ მხოლოდ მნიშვნელით. იქ მდგომი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი წარვადგინეთ სიმძლავრეების სახით და ამოვიღეთ მაჩვენებლები - მივიღეთ „სამსართულიანი“ წილადი.

ახლა გადავხედოთ ძირითად წილადს. მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს ერთსა და იმავე რიცხვს: log 2 7. ვინაიდან log 2 7 ≠ 0, შეგვიძლია შევამციროთ წილადი - 2/4 დარჩება მნიშვნელში. არითმეტიკის წესების მიხედვით, ოთხი შეიძლება გადავიდეს მრიცხველზე, რაც გაკეთდა. შედეგი იყო პასუხი: 2.

ახალ საძირკველზე გადასვლა

ლოგარითმების შეკრების და გამოკლების წესებზე საუბრისას, მე კონკრეტულად ხაზგასმით აღვნიშნე, რომ ისინი მუშაობენ მხოლოდ ერთი და იგივე ფუძეებით. რა მოხდება, თუ მიზეზები განსხვავებულია? რა მოხდება, თუ ისინი არ არიან იგივე რიცხვის ზუსტი სიმძლავრეები?

ახალ საძირკველზე გადასვლის ფორმულები სამაშველოში მოდის. მოდით ჩამოვაყალიბოთ ისინი თეორემის სახით:

მიეცეს ლოგარითმის ჟურნალინაჯახი. მაშინ ნებისმიერი c რიცხვისთვის ისეთი, რომ c > 0 და c ≠ 1, ტოლობა მართალია:

კერძოდ, თუ დავაყენებთ c = x, მივიღებთ:

მეორე ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი შეიძლება შეიცვალოს, მაგრამ ამ შემთხვევაში მთელი გამოთქმა „გადატრიალებულია“, ე.ი. ლოგარითმი გამოჩნდება მნიშვნელში.

ეს ფორმულები იშვიათად გვხვდება ჩვეულებრივში რიცხვითი გამონათქვამები. შესაძლებელია შეაფასოთ რამდენად მოსახერხებელია ისინი მხოლოდ გადაწყვეტილებით ლოგარითმული განტოლებებიდა უთანასწორობები.

თუმცა არის პრობლემები, რომელთა მოგვარებაც საერთოდ შეუძლებელია, გარდა ახალ ფონდში გადასვლისა. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მათგანს:

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 5 16 log 2 25.

გაითვალისწინეთ, რომ ორივე ლოგარითმის არგუმენტები შეიცავს ზუსტ ძალას. ამოვიღოთ ინდიკატორები: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; ჟურნალი 2 25 = ჟურნალი 2 5 2 = 2ლოგი 2 5;

ახლა მოდით "შევუბრუნდეთ" მეორე ლოგარითმს:

ვინაიდან პროდუქტი არ იცვლება ფაქტორების გადაწყობისას, ჩვენ მშვიდად გავამრავლეთ ოთხი და ორი, შემდეგ კი ლოგარითმებს მივმართეთ.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 9 100 lg 3.

პირველი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი სიმძლავრეებია. მოდით დავწეროთ ეს და მოვიშოროთ ინდიკატორები:

ახლა დავაღწიოთ თავი ათობითი ლოგარითმიახალ ბაზაზე გადასვლა:

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა

ხშირად ამოხსნის პროცესში აუცილებელია რიცხვის ლოგარითმის სახით წარმოდგენა მოცემულ ბაზაზე.

ამ შემთხვევაში შემდეგი ფორმულები დაგვეხმარება:

პირველ შემთხვევაში, რიცხვი n ხდება არგუმენტის მაჩვენებელი. რიცხვი n შეიძლება იყოს აბსოლუტურად ნებისმიერი, რადგან ის მხოლოდ ლოგარითმის მნიშვნელობაა.

მეორე ფორმულა რეალურად არის პერიფრაზირებული განმარტება. ასე ჰქვია: .

ფაქტობრივად, რა მოხდება, თუ რიცხვი b გაიზარდა ისეთ ხარისხამდე, რომ რიცხვი b ამ ხარისხში იძლევა რიცხვს a? მართალია: შედეგი არის იგივე რიცხვი a. კიდევ ერთხელ ყურადღებით წაიკითხეთ ეს აბზაცი - ბევრი ადამიანი ჩერდება მასზე.

ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულების მსგავსად, ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა ზოგჯერ ერთადერთი შესაძლო გამოსავალია.

დავალება. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

გაითვალისწინეთ, რომ log 25 64 = log 5 8 - უბრალოდ აიღო კვადრატი ლოგარითმის ფუძიდან და არგუმენტიდან. ძალაუფლების გამრავლების წესების გათვალისწინებით იგივე საფუძველი, ვიღებთ:

თუ ვინმემ არ იცის, ეს იყო რეალური დავალება ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან :)

ლოგარითმული ერთეული და ლოგარითმული ნული

დასასრულს, მე მივცემ ორ იდენტობას, რომლებსაც ძნელად შეიძლება ვუწოდოთ თვისებები - უფრო მეტიც, ისინი ლოგარითმის განსაზღვრის შედეგებია. ისინი გამუდმებით ჩნდებიან პრობლემებში და, რა გასაკვირია, პრობლემებს უქმნიან თუნდაც „მოწინავე“ მოსწავლეებს.

log a a = 1 არის. ერთხელ და სამუდამოდ დაიმახსოვრეთ: ლოგარითმი ამ ფუძის ნებისმიერი a ფუძის ტოლია ერთის.
log a 1 = 0 არის. ფუძე a შეიძლება იყოს ნებისმიერი, მაგრამ თუ არგუმენტი შეიცავს ერთს - ლოგარითმს ნულის ტოლი! რადგან 0 = 1 არის პირდაპირი შედეგიგანმარტებიდან.

ეს არის ყველა თვისება. დარწმუნდით, რომ ივარჯიშეთ მათ პრაქტიკაში! ჩამოტვირთეთ მოტყუების ფურცელი გაკვეთილის დასაწყისში, ამობეჭდეთ და მოაგვარეთ პრობლემები.

ლოგარითმები, ისევე როგორც ნებისმიერი რიცხვი, შეიძლება ყველანაირად დაემატოს, გამოკლდეს და გარდაიქმნას. მაგრამ რადგან ლოგარითმები არ არის ზუსტად ჩვეულებრივი რიცხვები, აქ არის წესები, რომლებსაც უწოდებენ ძირითადი თვისებები.

ლოგარითმების შეკრება და გამოკლება

განვიხილოთ ორი ლოგარითმი ერთნაირი ფუძეებით: log ა xდა შესვლა ა წ. შემდეგ მათი დამატება და გამოკლება შესაძლებელია და:

ჟურნალი ა x+ლოგი ა წ= ჟურნალი ა (x · წ);
ჟურნალი ა x- ჟურნალი ა წ= ჟურნალი ა (x : წ).

მაშასადამე, ლოგარითმების ჯამი ტოლია ნამრავლის ლოგარითმისა, ხოლო სხვაობა უდრის კოეფიციენტის ლოგარითმს. გთხოვთ გაითვალისწინოთ: მთავარი აქ არის იდენტური საფუძველი. თუ მიზეზები განსხვავებულია, ეს წესები არ მუშაობს!

ეს ფორმულები დაგეხმარებათ გამოთვალოთ ლოგარითმული გამოხატულება მაშინაც კი, როცა მისი ცალკეული ნაწილები არ არის გათვალისწინებული (იხ. გაკვეთილი „რა არის ლოგარითმი“). გადახედეთ მაგალითებს და ნახეთ:

ჟურნალი 6 4 + ჟურნალი 6 9.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 2 48 − log 2 3.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 3 135 − log 3 5.

ისევ ბაზები იგივეა, ამიტომ გვაქვს:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

როგორც ხედავთ, ორიგინალური გამონათქვამები შედგება "ცუდი" ლოგარითმებისგან, რომლებიც ცალკე არ არის გამოთვლილი. მაგრამ გარდაქმნების შემდეგ მიიღება სრულიად ნორმალური რიცხვები. ბევრი ტესტი ეფუძნება ამ ფაქტს. დიახ, ტესტის მსგავსი გამონათქვამები წარმოდგენილია მთელი სერიოზულობით (ზოგჯერ პრაქტიკულად ცვლილებების გარეშე) ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე.

მაჩვენებლის ამოღება ლოგარითმიდან

რა თქმა უნდა, ყველა ამ წესს აქვს აზრი, თუ შეინიშნება ლოგარითმის ODZ: ა > 0, ა ≠ 1, x> 0. და კიდევ ერთი: ისწავლეთ ყველა ფორმულის გამოყენება არა მარტო მარცხნიდან მარჯვნივ, არამედ პირიქით, ე.ი. თქვენ შეგიძლიათ შეიყვანოთ რიცხვები ლოგარითმის ნიშანიმდე ლოგარითმში. ეს არის ის, რაც ყველაზე ხშირად საჭიროა.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 7 49 6 .

დავალება. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:
[წარწერა სურათზე]

[წარწერა სურათზე]

ახალ საძირკველზე გადასვლა

მიეცით ლოგარითმის ჟურნალი ა x. შემდეგ ნებისმიერი ნომრისთვის გისეთივე როგორც გ> 0 და გ≠ 1, ტოლობა მართალია:
[წარწერა სურათზე]
კერძოდ, თუ დავაყენებთ გ = x, ვიღებთ:
[წარწერა სურათზე]

ეს ფორმულები იშვიათად გვხვდება ჩვეულებრივ ციფრულ გამონათქვამებში. მათი მოხერხებულობის შეფასება შესაძლებელია მხოლოდ ლოგარითმული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 5 16 log 2 25.

ახლა მოდით "შევუბრუნდეთ" მეორე ლოგარითმს:

[წარწერა სურათზე]

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 9 100 lg 3.

[წარწერა სურათზე]

ახლა მოდით დავაღწიოთ ათობითი ლოგარითმი ახალ ბაზაზე გადასვლით:

[წარწერა სურათზე]

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა

ხშირად ამოხსნის პროცესში აუცილებელია რიცხვის ლოგარითმის სახით წარმოდგენა მოცემულ ბაზაზე. ამ შემთხვევაში შემდეგი ფორმულები დაგვეხმარება:

პირველ შემთხვევაში, ნომერი ნხდება არგუმენტში მდგომი ხარისხის მაჩვენებელი. ნომერი ნშეიძლება იყოს აბსოლუტურად ნებისმიერი, რადგან ეს მხოლოდ ლოგარითმის მნიშვნელობაა.

მეორე ფორმულა რეალურად არის პერიფრაზირებული განმარტება. სწორედ ამას ჰქვია: ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა.

ფაქტობრივად, რა მოხდება, თუ ნომერი ბაიყვანეთ ისეთ ძალამდე, რომ რიცხვი ბამ ძალას აძლევს რიცხვს ა? ეს მართალია: თქვენ მიიღებთ იმავე რიცხვს ა. კიდევ ერთხელ ყურადღებით წაიკითხეთ ეს აბზაცი - ბევრი ადამიანი ჩერდება მასზე.

დავალება. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:
[წარწერა სურათზე]

გაითვალისწინეთ, რომ log 25 64 = log 5 8 - უბრალოდ აიღო კვადრატი ლოგარითმის ფუძიდან და არგუმენტიდან. იმავე ფუძით ძალაუფლების გამრავლების წესების გათვალისწინებით, მივიღებთ:

[წარწერა სურათზე]

თუ ვინმემ არ იცის, ეს იყო რეალური დავალება ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან :)

ლოგარითმული ერთეული და ლოგარითმული ნული

ჟურნალი ა ა= 1 არის ლოგარითმული ერთეული. ერთხელ და სამუდამოდ დაიმახსოვრეთ: ლოგარითმი ნებისმიერ ბაზაზე ასწორედ ამ ფუძიდან უდრის ერთს.
ჟურნალი ა 1 = 0 არის ლოგარითმული ნული. ბაზა აშეიძლება იყოს ნებისმიერი, მაგრამ თუ არგუმენტი შეიცავს ერთს, ლოგარითმი ნულის ტოლია! იმიტომ რომ ა 0 = 1 არის განმარტების პირდაპირი შედეგი.

რა არის ლოგარითმი?

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალები 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც ძალიან "არ არის ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

რა არის ლოგარითმი? როგორ ამოხსნათ ლოგარითმები? ეს კითხვები ბევრ კურსდამთავრებულს აბნევს. ტრადიციულად, ლოგარითმების თემა განიხილება რთული, გაუგებარი და საშინელი. განსაკუთრებით განტოლებები ლოგარითმებით.

ეს აბსოლუტურად არ შეესაბამება სიმართლეს. აბსოლუტურად! არ გჯერა? ჯარიმა. ახლა, სულ რაღაც 10-20 წუთში თქვენ:

1. გაიგებთ რა არის ლოგარითმი.

2. ისწავლეთ მთელი კლასის ამოხსნა ექსპონენციალური განტოლებები. მაშინაც კი, თუ მათ შესახებ არაფერი გსმენიათ.

3. ისწავლეთ მარტივი ლოგარითმების გამოთვლა.

უფრო მეტიც, ამისათვის თქვენ მხოლოდ უნდა იცოდეთ გამრავლების ცხრილი და როგორ ავიყვანოთ რიცხვი ხარისხამდე...

ვგრძნობ, რომ ეჭვი გეპარება... კარგი, კარგი, მონიშნე დრო! წადი!

პირველ რიგში, ამოხსენით ეს განტოლება თქვენს თავში:

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. ვისწავლოთ - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

მოგეხსენებათ, გამონათქვამების ძალებით გამრავლებისას მათი მაჩვენებლები ყოველთვის იკრიბება (a b *a c = a b+c). ეს მათემატიკური კანონიმიღებული იქნა არქიმედეს მიერ, მოგვიანებით კი, მე-8 საუკუნეში, მათემატიკოსმა ვირასენმა შექმნა მთელი რიცხვების მაჩვენებლების ცხრილი. სწორედ ისინი ემსახურებოდნენ ლოგარითმების შემდგომ აღმოჩენას. ამ ფუნქციის გამოყენების მაგალითები შეგიძლიათ ნახოთ თითქმის ყველგან, სადაც თქვენ უნდა გაამარტივოთ რთული გამრავლება მარტივი შეკრებით. თუ 10 წუთს დაუთმობთ ამ სტატიის კითხვას, ჩვენ აგიხსნით რა არის ლოგარითმები და როგორ იმუშაოთ მათთან. მარტივი და ხელმისაწვდომი ენით.

განმარტება მათემატიკაში

ლოგარითმი არის შემდეგი ფორმის გამოხატულება: log a b=c, ანუ ნებისმიერი არაუარყოფითი რიცხვის (ანუ ნებისმიერი დადებითი) ლოგარითმი "b" მის ფუძეზე "a" ითვლება "c" ხარისხად. ” რომელზედაც უნდა გაიზარდოს ფუძე “a”, რათა საბოლოოდ მივიღოთ მნიშვნელობა “b”. გავაანალიზოთ ლოგარითმი მაგალითების გამოყენებით, ვთქვათ არის გამონათქვამი log 2 8. როგორ მოვძებნოთ პასუხი? ეს ძალიან მარტივია, თქვენ უნდა იპოვოთ სიმძლავრე ისეთი, რომ 2-დან საჭირო სიმძლავრემდე მიიღოთ 8. თქვენს თავში გარკვეული გამოთვლების გაკეთების შემდეგ მივიღებთ რიცხვს 3! და ეს მართალია, რადგან 2 3-ის ხარისხზე იძლევა პასუხს, როგორც 8.

ლოგარითმების სახეები

ბევრი მოსწავლისა და სტუდენტისთვის ეს თემა რთული და გაუგებარი ჩანს, მაგრამ სინამდვილეში ლოგარითმები არც ისე საშინელია, მთავარია გაიგოთ მათი ზოგადი მნიშვნელობა და გახსოვდეთ მათი თვისებები და რამდენიმე წესი. არის სამი ცალკეული სახეობებილოგარითმული გამონათქვამები:

ბუნებრივი ლოგარითმი ln a, სადაც ფუძეა ეილერის რიცხვი (e = 2.7).
ათწილადი a, სადაც ფუძე არის 10.
ნებისმიერი b რიცხვის ლოგარითმი a>1-მდე.

თითოეული მათგანი წყდება სტანდარტული გზით, მათ შორის გამარტივება, შემცირება და შემდგომი შემცირება ერთ ლოგარითმზე ლოგარითმული თეორემების გამოყენებით. ლოგარითმების სწორი მნიშვნელობების მისაღებად, მათი ამოხსნისას უნდა გახსოვდეთ მათი თვისებები და მოქმედებების თანმიმდევრობა.

წესები და გარკვეული შეზღუდვები

მათემატიკაში არის რამდენიმე წესი-შეზღუდვა, რომლებიც მიღებულია აქსიომად, ანუ ისინი არ ექვემდებარება განხილვას და არის ჭეშმარიტება. მაგალითად, რიცხვების ნულზე გაყოფა შეუძლებელია და ასევე შეუძლებელია ლუწი ფესვის ამოღება უარყოფითი რიცხვები. ლოგარითმებს ასევე აქვთ საკუთარი წესები, რომელთა დაცვით შეგიძლიათ მარტივად ისწავლოთ მუშაობა გრძელი და ტევადი ლოგარითმული გამონათქვამებითაც კი:

ფუძე "a" ყოველთვის უნდა იყოს ნულზე მეტი და არა 1-ის ტოლი, წინააღმდეგ შემთხვევაში გამოთქმა დაკარგავს თავის მნიშვნელობას, რადგან "1" და "0" ნებისმიერი ხარისხით ყოველთვის მათი მნიშვნელობების ტოლია;
თუ a > 0, მაშინ a b >0, გამოდის, რომ „c“ ასევე უნდა იყოს ნულზე მეტი.

როგორ ამოხსნათ ლოგარითმები?

მაგალითად, დავალება მოცემულია პასუხის პოვნა განტოლებაზე 10 x = 100. ეს ძალიან მარტივია, თქვენ უნდა აირჩიოთ სიმძლავრე ათი რიცხვის აწევით, რომლითაც მივიღებთ 100-ს. ეს, რა თქმა უნდა, არის 10 2 = 100.

ახლა წარმოვიდგინოთ ეს გამონათქვამი ლოგარითმული ფორმით. ვიღებთ log 10 100 = 2. ლოგარითმების ამოხსნისას ყველა მოქმედება პრაქტიკულად იყრის თავს იმ სიმძლავრის საპოვნელად, რომელზედაც საჭიროა ლოგარითმის ფუძის შეყვანა მოცემული რიცხვის მისაღებად.

უცნობი ხარისხის მნიშვნელობის ზუსტად დასადგენად, თქვენ უნდა ისწავლოთ როგორ იმუშაოთ გრადუსების ცხრილთან. ეს ასე გამოიყურება:

როგორც ხედავთ, ზოგიერთი მაჩვენებლის გამოცნობა შესაძლებელია ინტუიციურად, თუ თქვენ გაქვთ ტექნიკური გონება და ცოდნა გამრავლების ცხრილის შესახებ. თუმცა იმისთვის დიდი ღირებულებებიდაგჭირდებათ ხარისხების ცხრილი. მისი გამოყენება შეუძლიათ მათაც, ვინც საერთოდ არაფერი იცის კომპლექსის შესახებ მათემატიკური თემები. მარცხენა სვეტი შეიცავს რიცხვებს (ბაზა a), რიცხვების ზედა მწკრივი არის c სიმძლავრის მნიშვნელობა, რომელზედაც ამაღლებულია რიცხვი. კვეთაზე, უჯრედები შეიცავს ნომრის მნიშვნელობებს, რომლებიც პასუხია (a c =b). ავიღოთ, მაგალითად, პირველივე უჯრედი 10-ით და კვადრატში მივიღოთ მნიშვნელობა 100, რომელიც მითითებულია ჩვენი ორი უჯრედის გადაკვეთაზე. ყველაფერი ისეთი მარტივი და მარტივია, რომ ყველაზე ჭეშმარიტი ჰუმანისტიც კი მიხვდება!

განტოლებები და უტოლობა

გამოდის, რომ გარკვეულ პირობებში მაჩვენებლის მაჩვენებელი ლოგარითმია. აქედან გამომდინარე, ნებისმიერი მათემატიკური რიცხვითი გამონათქვამი შეიძლება დაიწეროს ლოგარითმული ტოლობის სახით. მაგალითად, 3 4 = 81 შეიძლება ჩაიწეროს, როგორც 81-ის მე-3 ლოგარითმი, რომელიც ტოლია ოთხს (log 3 81 = 4). ამისთვის უარყოფითი ძალებიწესები იგივეა: 2 -5 = 1/32 ვწერთ ლოგარითმად, ვიღებთ log 2 (1/32) = -5. მათემატიკის ერთ-ერთი ყველაზე მომხიბვლელი განყოფილება არის "ლოგარითმების" თემა. განტოლებების მაგალითებსა და ამონახსნებს განვიხილავთ ქვემოთ, მათი თვისებების შესწავლისთანავე. ახლა ვნახოთ, როგორ გამოიყურება უტოლობები და როგორ განვასხვავოთ ისინი განტოლებისგან.

მოცემულია შემდეგი ფორმის გამოხატულება: log 2 (x-1) > 3 - ეს არის ლოგარითმული უტოლობა, ვინაიდან უცნობი მნიშვნელობა "x" ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ იმყოფება. და ასევე გამონათქვამში შედარებულია ორი სიდიდე: სასურველი რიცხვის ლოგარითმი ორზე მეტია სამზე.

ყველაზე მნიშვნელოვანი განსხვავება ლოგარითმულ განტოლებებსა და უტოლობას შორის არის ის, რომ განტოლებები ლოგარითმებით (მაგალითად, ლოგარითმი 2 x = √9) გულისხმობს ერთ ან მეტ კონკრეტულ პასუხს. რიცხვითი მნიშვნელობები, ხოლო უთანასწორობის ამოხსნისას განისაზღვრება როგორც დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი, ასევე ამ ფუნქციის წყვეტის წერტილები. შედეგად, პასუხი არ არის მარტივი ნაკრები ინდივიდუალური ნომრებიროგორც პასუხში არის განტოლება, ხოლო a არის უწყვეტი სერია ან რიცხვების სიმრავლე.

ძირითადი თეორემები ლოგარითმების შესახებ

ლოგარითმის მნიშვნელობების პოვნის პრიმიტიული ამოცანების გადაჭრისას, მისი თვისებები შეიძლება არ იყოს ცნობილი. თუმცა, როდესაც საქმე ეხება ლოგარითმულ განტოლებებს ან უტოლობას, უპირველეს ყოვლისა, აუცილებელია ლოგარითმების ყველა ძირითადი თვისების მკაფიოდ გაგება და პრაქტიკაში გამოყენება. განტოლებათა მაგალითებს განვიხილავთ ჯერ უფრო დეტალურად.

ძირითადი იდენტურობა ასე გამოიყურება: a logaB =B. იგი გამოიყენება მხოლოდ მაშინ, როდესაც a მეტია 0-ზე, არ უდრის ერთს და B არის ნულზე მეტი.
პროდუქტის ლოგარითმი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგი ფორმულით: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. ამ შემთხვევაში სავალდებულო პირობაა: d, s 1 და s 2 > 0; a≠1. ამ ლოგარითმული ფორმულის მტკიცებულება შეგიძლიათ მაგალითებითა და ამოხსნით. მოდით log a s 1 = f 1 და log a s 2 = f 2, შემდეგ a f1 = s 1, a f2 = s 2. მივიღებთ, რომ s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (თვისებები გრადუსი ), და შემდეგ განმარტებით: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, რაც დასამტკიცებლად იყო საჭირო.
კოეფიციენტის ლოგარითმი ასე გამოიყურება: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
ფორმულის სახით თეორემა იღებს შემდეგ ფორმას: log a q b n = n/q log a b.

ამ ფორმულას ეწოდება "ლოგარითმის ხარისხის თვისება". იგი წააგავს ჩვეულებრივი ხარისხების თვისებებს და გასაკვირი არ არის, რადგან ყველა მათემატიკა ემყარება ბუნებრივ პოსტულატებს. მოდით შევხედოთ მტკიცებულებას.

მოდით log a b = t, გამოდის t =b. თუ ორივე ნაწილს ავწევთ m ხარისხზე: a tn = b n;

მაგრამ რადგან a tn = (a q) nt/q = b n, ამიტომ log a q b n = (n*t)/t, მაშინ log a q b n = n/q log a b. თეორემა დადასტურდა.

პრობლემებისა და უთანასწორობის მაგალითები

ლოგარითმებზე ამოცანების ყველაზე გავრცელებული ტიპები არის განტოლებებისა და უტოლობების მაგალითები. ისინი გვხვდება თითქმის ყველა პრობლემურ წიგნში და ასევე არის მათემატიკის გამოცდების აუცილებელი ნაწილი. უნივერსიტეტში ჩაბარებისთვის ან ჩაბარებისთვის მისაღები გამოცდებიმათემატიკაში თქვენ უნდა იცოდეთ როგორ გადაჭრათ ასეთი ამოცანები სწორად.

სამწუხაროდ, გადაჭრისა და განსაზღვრის ერთიანი გეგმა ან სქემა არ არსებობს უცნობი ღირებულებაარ არსებობს ლოგარითმი, მაგრამ შეგიძლიათ გამოიყენოთ იგი ყველა მათემატიკური უტოლობის ან ლოგარითმული განტოლებისთვის. გარკვეული წესები. უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გაარკვიოთ, შეიძლება თუ არა გამოხატვის გამარტივება ან გამოიწვიოს იერი. გაამარტივეთ გრძელი ლოგარითმული გამონათქვამებიშესაძლებელია მათი თვისებების სწორად გამოყენების შემთხვევაში. მოდით გავეცნოთ მათ სწრაფად.

ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნისას უნდა განვსაზღვროთ რა ტიპის ლოგარითმი გვაქვს: მაგალითის გამოხატულება შეიძლება შეიცავდეს ბუნებრივ ლოგარითმს ან ათობითი.

აქ არის მაგალითები ln100, ln1026. მათი გამოსავალი ემყარება იმ ფაქტს, რომ მათ უნდა დაადგინონ სიმძლავრე, რომლის ფუძე 10 ტოლი იქნება, შესაბამისად, 100 და 1026. ბუნებრივი ლოგარითმების ამონახსნებისთვის საჭიროა მიმართოთ ლოგარითმული იდენტობებიან მათი თვისებები. მოდით შევხედოთ გამოსავალს მაგალითებით ლოგარითმული პრობლემებიგანსხვავებული ტიპები.

როგორ გამოვიყენოთ ლოგარითმის ფორმულები: მაგალითებითა და გადაწყვეტილებებით

ასე რომ, მოდით შევხედოთ ლოგარითმების შესახებ ძირითადი თეორემების გამოყენების მაგალითებს.

პროდუქტის ლოგარითმის თვისება შეიძლება გამოყენებულ იქნას ამოცანებში, სადაც საჭიროა გაფართოება დიდი მნიშვნელობარიცხვები b მარტივ ფაქტორებად. მაგალითად, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. პასუხი არის 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - როგორც ხედავთ, ლოგარითმის სიმძლავრის მეოთხე თვისების გამოყენებით, ჩვენ მოვახერხეთ ერთი შეხედვით რთული და ამოუხსნელი გამოსახულების ამოხსნა. თქვენ უბრალოდ უნდა დაადგინოთ საფუძველი და შემდეგ ამოიღოთ მაჩვენებლების მნიშვნელობები ლოგარითმის ნიშნიდან.

დავალებები ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან

ლოგარითმები ხშირად გვხვდება მისაღები გამოცდები, განსაკუთრებით ბევრი ლოგარითმული პრობლემა ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში ( სახელმწიფო გამოცდასკოლის ყველა დამამთავრებელთათვის). როგორც წესი, ეს ამოცანები წარმოდგენილია არა მხოლოდ A ნაწილში (გამოცდის ყველაზე მარტივი ტესტი), არამედ C ნაწილში (ყველაზე რთული და მოცულობითი ამოცანები). გამოცდა მოითხოვს ზუსტ და სრულყოფილ ცოდნას თემის „ბუნებრივი ლოგარითმები“.

მაგალითები და პრობლემების გადაწყვეტა აღებულია ოფიციალური პირებისგან ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ვარიანტები. ვნახოთ, როგორ წყდება ასეთი ამოცანები.

მოცემული ჟურნალი 2 (2x-1) = 4. ამოხსნა:
მოდით გადავიწეროთ გამონათქვამი, გავამარტივოთ იგი ცოტა log 2 (2x-1) = 2 2, ლოგარითმის განმარტებით მივიღებთ, რომ 2x-1 = 2 4, შესაბამისად 2x = 17; x = 8.5.

უმჯობესია, ყველა ლოგარითმი ერთსა და იმავე ფუძეზე შევიყვანოთ, რათა გამოსავალი არ იყოს რთული და დამაბნეველი.
ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ მყოფი ყველა გამონათქვამი მითითებულია, როგორც დადებითი, ამიტომ, როდესაც გამოხატვის გამოხატულება, რომელიც არის ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ და მისი ფუძე ამოღებულია მულტიპლიკატორად, ლოგარითმის ქვეშ დარჩენილი გამოხატულება უნდა იყოს დადებითი.

ბუნებრივი ლოგარითმის ძირითადი თვისებები, გრაფიკი, განსაზღვრების სფერო, მნიშვნელობების სიმრავლე, ძირითადი ფორმულები, წარმოებული, ინტეგრალი, გაფართოება დენის სერიადა ln x ფუნქციის წარმოდგენა რთული რიცხვების გამოყენებით.

განმარტება

ბუნებრივი ლოგარითმიარის ფუნქცია y = n x, ექსპონენციალურის შებრუნებული, x = e y, და არის ლოგარითმი e რიცხვის ფუძის მიმართ: ln x = log e x.

ბუნებრივი ლოგარითმი ფართოდ გამოიყენება მათემატიკაში, რადგან მის წარმოებულს აქვს უმარტივესი ფორმა: (ln x)′ = 1/ x.

დაფუძნებული განმარტებები, ბუნებრივი ლოგარითმის საფუძველია რიცხვი ე:
e ≅ 2.718281828459045...;
.

y = ფუნქციის გრაფიკი n x.

ბუნებრივი ლოგარითმის გრაფიკი (ფუნქციები y = n x) მიიღება ექსპონენციალური გრაფიკიდან სარკისებური გამოსახულებასწორი ხაზის მიმართ y = x.

ბუნებრივი ლოგარითმი განისაზღვრება x ცვლადის დადებითი მნიშვნელობებისთვის. იგი მონოტონურად იზრდება მისი განმარტების დომენში.

x-ზე → 0 ბუნებრივი ლოგარითმის ზღვარი არის მინუს უსასრულობა (-∞).

როგორც x → + ∞, ბუნებრივი ლოგარითმის ზღვარი არის პლუს უსასრულობა (+ ∞). დიდი x-ისთვის ლოგარითმი საკმაოდ ნელა იზრდება. ნებისმიერი დენის ფუნქცია x a დადებითი მაჩვენებლით a იზრდება უფრო სწრაფად ვიდრე ლოგარითმი.

ბუნებრივი ლოგარითმის თვისებები

განსაზღვრების დომენი, მნიშვნელობების ნაკრები, ექსტრემა, ზრდა, შემცირება

ბუნებრივი ლოგარითმი არის მონოტონურად მზარდი ფუნქცია, ამიტომ მას არ აქვს ექსტრემები. ბუნებრივი ლოგარითმის ძირითადი თვისებები წარმოდგენილია ცხრილში.

ln x მნიშვნელობები

ln 1 = 0

ძირითადი ფორმულები ბუნებრივი ლოგარითმებისთვის

შებრუნებული ფუნქციის განმარტებიდან გამომდინარე ფორმულები:

ლოგარითმების ძირითადი თვისება და მისი შედეგები

ბაზის შეცვლის ფორმულა

ნებისმიერი ლოგარითმი შეიძლება გამოიხატოს ბუნებრივი ლოგარითმებით ბაზის ჩანაცვლების ფორმულის გამოყენებით:

ამ ფორმულების მტკიცებულებები წარმოდგენილია განყოფილებაში "ლოგარითმი".

ინვერსიული ფუნქცია

ბუნებრივი ლოგარითმის ინვერსია არის მაჩვენებელი.

თუ, მაშინ

თუ, მაშინ.

წარმოებული ln x

ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებული:
.
x მოდულის ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებული:
.
n-ე რიგის წარმოებული:
.
ფორმულების გამოყვანა > > >

ინტეგრალური

ინტეგრალი გამოითვლება ნაწილების ინტეგრირებით:
.
Ისე,

გამოთქმები რთული რიცხვების გამოყენებით

განვიხილოთ z რთული ცვლადის ფუნქცია:
.
გამოვხატოთ რთული ცვლადი ზმოდულის საშუალებით რდა არგუმენტი φ :
.
ლოგარითმის თვისებების გამოყენებით, ჩვენ გვაქვს:
.
ან
.
არგუმენტი φ არ არის ცალსახად განსაზღვრული. თუ დააყენებთ
, სადაც n არის მთელი რიცხვი,
ეს იქნება იგივე რიცხვი სხვადასხვა n-სთვის.

ამრიგად, ბუნებრივი ლოგარითმი, როგორც რთული ცვლადის ფუნქცია, არ არის ერთმნიშვნელოვანი ფუნქცია.

დენის სერიის გაფართოება

როდესაც გაფართოება ხდება:

ცნობები:
ი.ნ. ბრონშტეინი, კ.ა. სემენდიაევი, მათემატიკის სახელმძღვანელო ინჟინრებისა და კოლეჯის სტუდენტებისთვის, „ლან“, 2009 წ.