ვიეტის კვადრატული განტოლება. ვიეტას თეორემა: მისი გამოყენების მაგალითები კვადრატულ განტოლებებთან მუშაობისას

ფრანსუა ვიეტი (1540-1603) - მათემატიკოსი, ცნობილი ვიეტის ფორმულების შემქმნელი.

ვიეტას თეორემასაჭიროა კვადრატული განტოლებების სწრაფად ამოსახსნელად (მარტივი სიტყვებით).

მაშინ უფრო დეტალურად ვიეტას თეორემა არის ის, რომ მოცემული კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამი უდრის მეორე კოეფიციენტს, რომელიც აღებულია საპირისპირო ნიშნით და ნამრავლი უდრის თავისუფალ წევრს. ნებისმიერ შემცირებულ კვადრატულ განტოლებას, რომელსაც აქვს ფესვები, აქვს ეს თვისება.

ვიეტას თეორემის გამოყენებით, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად ამოხსნათ კვადრატული განტოლებები შერჩევით, ასე რომ, მოდით ვუთხრათ „მადლობა“ ამ მათემატიკოსს მახვილით ხელში ჩვენი ბედნიერი მე-7 კლასისთვის.

ვიეტას თეორემის დადასტურება

თეორემის დასამტკიცებლად შეგიძლიათ გამოიყენოთ ცნობილი ძირეული ფორმულები, რომელთა წყალობითაც შევადგენთ კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამს და ნამრავლს. მხოლოდ ამის შემდეგ შეგვიძლია დავრწმუნდეთ, რომ ისინი თანაბარია და, შესაბამისად, .

ვთქვათ, გვაქვს განტოლება: . ამ განტოლებას აქვს შემდეგი ფესვები: და . მოდით დავამტკიცოთ, რომ .

კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულების მიხედვით:

1. იპოვეთ ფესვების ჯამი:

მოდით შევხედოთ ამ განტოლებას, როგორ მივიღეთ ის ზუსტად ასე:

= .

Ნაბიჯი 1. წილადების საერთო მნიშვნელამდე შემცირება, გამოდის:

= = .

ნაბიჯი 2. ჩვენ გვაქვს წილადი, სადაც უნდა გავხსნათ ფრჩხილები:

წილადს ვამცირებთ 2-ით და ვიღებთ:

ჩვენ დავამტკიცეთ კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამის მიმართება ვიეტას თეორემის გამოყენებით.

2. იპოვეთ ფესვების პროდუქტი:

= = = = = .

დავამტკიცოთ ეს განტოლება:

Ნაბიჯი 1. არსებობს წილადების გამრავლების წესი, რომლის მიხედვითაც ვამრავლებთ ამ განტოლებას:

ახლა გავიხსენოთ კვადრატული ფესვის განმარტება და გამოვთვალოთ:

= .

ნაბიჯი 3. გავიხსენოთ კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი: . მაშასადამე, D-ის (დისკრიმინანტის) ნაცვლად ვანაცვლებთ ბოლო წილადში, შემდეგ გამოდის:

= .

ნაბიჯი 4. გახსენით ფრჩხილები და დაამატეთ მსგავსი ტერმინები წილადს:

ნაბიჯი 5. ჩვენ ვამოკლებთ „4a“-ს და ვიღებთ.

ამრიგად, ჩვენ დავამტკიცეთ ფესვების ნამრავლის მიმართება ვიეტას თეორემის გამოყენებით.

ᲛᲜᲘᲨᲕᲜᲔᲚᲝᲕᲐᲜᲘ!თუ დისკრიმინანტი ნულია, მაშინ კვადრატულ განტოლებას მხოლოდ ერთი ფესვი აქვს.

თეორემა ეწინააღმდეგება ვიეტას თეორემას

ვიეტას თეორემის შებრუნებული თეორემის გამოყენებით, ჩვენ შეგვიძლია შევამოწმოთ სწორად არის თუ არა ამოხსნილი ჩვენი განტოლება. თავად თეორემის გასაგებად, თქვენ უნდა განიხილოთ იგი უფრო დეტალურად.

თუ ნომრები ასეთია:

და მაშინ ისინი კვადრატული განტოლების ფესვებია.

ვიეტას საპირისპირო თეორემის დადასტურება

Ნაბიჯი 1.მოდით ჩავანაცვლოთ გამონათქვამები მისი კოეფიციენტებისთვის განტოლებაში:

ნაბიჯი 2.გადავცვალოთ განტოლების მარცხენა მხარე:

ნაბიჯი 3. ვიპოვოთ განტოლების ფესვები და ამისთვის გამოვიყენოთ თვისება, რომ ნამრავლი ნულის ტოლია:

ან . საიდან მოდის: ან .

მაგალითები ამონახსნებით ვიეტას თეორემის გამოყენებით

მაგალითი 1

ვარჯიში

იპოვეთ კვადრატული განტოლების ფესვების კვადრატების ჯამი, ნამრავლი და ჯამი განტოლების ფესვების პოვნის გარეშე.

გამოსავალი

Ნაბიჯი 1. გავიხსენოთ დისკრიმინაციის ფორმულა. ჩვენ ვცვლით ჩვენს ნომრებს ასოებით. ანუ , – ეს ანაცვლებს , და . ეს გულისხმობს:

გამოდის:

Title="წარმოებულია QuickLaTeX.com-ის მიერ" height="13" width="170" style="vertical-align: -1px;">. Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма , а произведение . !}

გამოვხატოთ ფესვების კვადრატების ჯამი მათი ჯამისა და ნამრავლის მეშვეობით:

უპასუხე

7; 12; 25.

მაგალითი 2

ვარჯიში

ამოხსენით განტოლება. თუმცა, არ გამოიყენოთ კვადრატული განტოლების ფორმულები.

გამოსავალი

ამ განტოლებას აქვს ფესვები, რომელთა დისკრიმინანტი (D) არის ნულზე მეტი. შესაბამისად ვიეტას თეორემის მიხედვით ამ განტოლების ფესვების ჯამი 4-ის ტოლია, ნამრავლი კი 5-ის. ჯერ განვსაზღვრავთ რიცხვის გამყოფებს, რომელთა ჯამი უდრის 4-ს. ეს არის რიცხვები. 5" და "-1". მათი ნამრავლი უდრის 5-ს და მათი ჯამი არის 4. ეს ნიშნავს, რომ ვიეტას თეორემის შებრუნებული თეორემის მიხედვით ისინი ამ განტოლების ფესვები არიან.

უპასუხე

და მაგალითი 4

ვარჯიში

დაწერეთ განტოლება, სადაც თითოეული ფესვი ორჯერ აღემატება განტოლების შესაბამის ფესვს:

გამოსავალი

ვიეტას თეორემის მიხედვით, ამ განტოლების ფესვების ჯამი უდრის 12-ს, ხოლო ნამრავლი = 7. ეს ნიშნავს, რომ ორი ფესვი დადებითია.

ახალი განტოლების ფესვების ჯამი ტოლი იქნება:

და სამუშაო.

ვიეტას თეორემის შებრუნებული თეორემით, ახალ განტოლებას აქვს ფორმა:

უპასუხე

შედეგი არის განტოლება, რომლის თითოეული ფესვი ორჯერ დიდია:

ასე რომ, ჩვენ გადავხედეთ, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ განტოლება ვიეტას თეორემის გამოყენებით. ძალიან მოსახერხებელია ამ თეორემის გამოყენება, თუ ამოხსნით ამოცანებს, რომლებიც მოიცავს კვადრატული განტოლებების ფესვების ნიშნებს. ანუ, თუ ფორმულაში თავისუფალი წევრი დადებითი რიცხვია და თუ კვადრატულ განტოლებას რეალური ფესვები აქვს, მაშინ ორივე მათგანი შეიძლება იყოს უარყოფითი ან დადებითი.

და თუ თავისუფალი წევრი უარყოფითი რიცხვია და თუ კვადრატულ განტოლებას რეალური ფესვები აქვს, მაშინ ორივე ნიშანი განსხვავებული იქნება. ანუ, თუ ერთი ფესვი დადებითია, მაშინ მეორე ფესვი მხოლოდ უარყოფითი იქნება.

სასარგებლო წყაროები:

დოროფეევი გ.ვ., სუვოროვა ს.ბ., ბუნიმოვიჩ ე.ა. მე-8 კლასი: მოსკოვი „განმანათლებლობა“, 2016 – 318 გვ.
Rubin A.G., Chulkov P.V. - სახელმძღვანელო ალგებრა მე -8 კლასი: მოსკოვი "ბალასი", 2015 - 237 გვ.
ნიკოლსკი S. M., Potopav M. K., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. - ალგებრა მე -8 კლასი: მოსკოვი "განმანათლებლობა", 2014 - 300

ვიეტას თეორემა, შებრუნებული ვიეტას ფორმულა და მაგალითები დუმების ამონახსნებითგანახლებულია: 2019 წლის 22 ნოემბერი: სამეცნიერო სტატიები.Ru

კვადრატული განტოლების ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის, ძირეული ფორმულების გარდა, არის სხვა სასარგებლო მიმართებები, რომლებიც მოცემულია ვიეტას თეორემა. ამ სტატიაში ჩვენ მივცემთ ვიეტას თეორემის ფორმულირებას და მტკიცებულებას კვადრატული განტოლებისთვის. შემდეგ ჩვენ განვიხილავთ თეორემას საპირისპიროდ ვიეტას თეორემაზე. ამის შემდეგ ჩვენ გავაანალიზებთ ყველაზე ტიპური მაგალითების გადაწყვეტილებებს. და ბოლოს, ჩვენ ვწერთ Vieta ფორმულებს, რომლებიც განსაზღვრავენ ურთიერთობას რეალურ ფესვებს შორის ალგებრული განტოლებახარისხი n და მისი კოეფიციენტები.

გვერდის ნავიგაცია.

ვიეტას თეორემა, ფორმულირება, დადასტურება

ფორმის a·x 2 +b·x+c=0 კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულებიდან, სადაც D=b 2 −4·a·c, გამოდის შემდეგი მიმართებები: x 1 +x 2 =−. b/a, x 1 ·x 2 = c/a . ეს შედეგები დადასტურებულია ვიეტას თეორემა:

თეორემა.

თუ x 1 და x 2 არის კვადრატული განტოლების ფესვები a x 2 +b x+c=0, მაშინ ფესვების ჯამი უდრის b და a კოეფიციენტების შეფარდებას, აღებული საპირისპირო ნიშნით და ნამრავლი ფესვები უდრის c და a კოეფიციენტების შეფარდებას, ანუ .

მტკიცებულება.

ვიეტას თეორემის დამტკიცებას განვახორციელებთ შემდეგი სქემის მიხედვით: კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამს და ნამრავლს ვადგენთ ფესვების ცნობილი ფორმულების გამოყენებით, შემდეგ მიღებული გამონათქვამების გარდაქმნას და დარწმუნდებით, რომ ისინი −b/-ის ტოლია. a და c/a, შესაბამისად.

დავიწყოთ ფესვების ჯამით და შევადგინოთ. ახლა ჩვენ მივყავართ წილადებს საერთო მნიშვნელთან, გვაქვს . მიღებული წილადის მრიცხველში, რის შემდეგაც:. საბოლოოდ, 2-ის შემდეგ მივიღებთ. ეს ადასტურებს ვიეტას თეორემის პირველ მიმართებას კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამისთვის. გადავიდეთ მეორეზე.

ვადგენთ კვადრატული განტოლების ფესვების ნამრავლს: . წილადების გამრავლების წესის მიხედვით, ბოლო ნამრავლი შეიძლება დაიწეროს როგორც . ახლა ჩვენ ვამრავლებთ ფრჩხილს ფრჩხილზე მრიცხველში, მაგრამ უფრო სწრაფია ამ პროდუქტის დაშლა კვადრატული სხვაობის ფორმულა, Ისე . შემდეგ, დამახსოვრებისას, ჩვენ ვასრულებთ შემდეგ გადასვლას. და რადგან კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი შეესაბამება D=b 2 −4·a·c ფორმულას, მაშინ ბოლო წილადში D-ის ნაცვლად შეგვიძლია ჩავანაცვლოთ b 2 −4·a·c, მივიღებთ. ფრჩხილების გახსნის და მსგავსი ტერმინების მოყვანის შემდეგ მივდივართ წილადზე და მისი შემცირება 4·a-ით იძლევა . ეს ადასტურებს ვიეტას თეორემის მეორე მიმართებას ფესვების ნამრავლისთვის.

თუ ახსნა-განმარტებებს გამოვტოვებთ, ვიეტას თეორემის დადასტურება ლაკონურ ფორმას მიიღებს:
,
.

რჩება მხოლოდ აღნიშვნა, რომ თუ დისკრიმინანტი ნულის ტოლია, კვადრატულ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი. თუმცა, თუ დავუშვებთ, რომ ამ შემთხვევაში განტოლებას ორი იდენტური ფესვი აქვს, მაშინ ვიეტას თეორემიდან მიღებული ტოლობებიც მოქმედებს. მართლაც, როდესაც D=0 კვადრატული განტოლების ფესვი უდრის , მაშინ და , და რადგან D=0, ანუ b 2 −4·a·c=0, საიდანაც b 2 =4·a·c, მაშინ .

პრაქტიკაში ვიეტას თეორემა ყველაზე ხშირად გამოიყენება x 2 +p·x+q=0 ფორმის შემცირებულ კვადრატულ განტოლებასთან (პირველი კოეფიციენტით 1-ის ტოლი) მიმართ. ზოგჯერ იგი ჩამოყალიბებულია მხოლოდ ამ ტიპის კვადრატული განტოლებისთვის, რაც არ ზღუდავს ზოგადობას, რადგან ნებისმიერი კვადრატული განტოლება შეიძლება შეიცვალოს ეკვივალენტური განტოლებით ორივე მხარის გაყოფით არანულოვანი რიცხვით a. მოდით მივცეთ ვიეტას თეორემის შესაბამისი ფორმულირება:

თეორემა.

შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამი x 2 +p x+q=0 უდრის საპირისპირო ნიშნით აღებულ x-ის კოეფიციენტს, ხოლო ფესვების ნამრავლი უდრის თავისუფალ წევრს, ანუ x 1. +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.

თეორემა ეწინააღმდეგება ვიეტას თეორემას

ვიეტას თეორემის მეორე ფორმულირება, რომელიც მოცემულია წინა აბზაცში, მიუთითებს, რომ თუ x 1 და x 2 არის შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვები x 2 +p x+q=0, მაშინ მიმართებები x 1 +x 2 =−p. , x 1 x 2 =q. მეორე მხრივ, x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q დაწერილი მიმართებებიდან გამომდინარეობს, რომ x 1 და x 2 არის კვადრატული განტოლების ფესვები x 2 +p x+q=0. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ვიეტას თეორემის საპირისპირო ჭეშმარიტებაა. ჩამოვაყალიბოთ თეორემის სახით და დავამტკიცოთ.

თეორემა.

თუ რიცხვები x 1 და x 2 ისეთია, რომ x 1 +x 2 =−p და x 1 · x 2 =q, მაშინ x 1 და x 2 არის შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვები x 2 +p · x+q. =0.

მტკიცებულება.

x 2 +p·x+q=0 განტოლებაში p და q კოეფიციენტების x 1 და x 2-ის მეშვეობით მათი გამოსახულებებით ჩანაცვლების შემდეგ, იგი გარდაიქმნება ეკვივალენტურ განტოლებად.

მოდით ჩავანაცვლოთ რიცხვი x 1 x-ის ნაცვლად მიღებულ განტოლებაში და გვაქვს ტოლობა x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, რომელიც ნებისმიერი x 1 და x 2 წარმოადგენს სწორ რიცხვობრივ ტოლობას 0=0, ვინაიდან x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 -x 1 2 -x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. მაშასადამე, x 1 არის განტოლების ფესვი x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, რაც ნიშნავს x 1 არის ეკვივალენტური განტოლების ფესვი x 2 +p·x+q=0.

თუ განტოლებაში x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0ჩაანაცვლეთ რიცხვი x 2 x-ის ნაცვლად, მივიღებთ ტოლობას x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. ეს არის ნამდვილი თანასწორობა, ვინაიდან x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. მაშასადამე, x 2 ასევე არის განტოლების ფესვი x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, და შესაბამისად განტოლებები x 2 +p·x+q=0.

ეს ავსებს ვიეტას თეორემასთან საპირისპირო თეორემის დადასტურებას.

ვიეტას თეორემის გამოყენების მაგალითები

დროა ვისაუბროთ ვიეტას თეორემისა და მისი საპირისპირო თეორემის პრაქტიკულ გამოყენებაზე. ამ განყოფილებაში ჩვენ გავაანალიზებთ გადაწყვეტილებებს რამდენიმე ყველაზე ტიპიური მაგალითისთვის.

დავიწყოთ ვიეტას თეორემასთან საპირისპირო თეორემის გამოყენებით. მისი გამოყენება მოსახერხებელია იმის შესამოწმებლად, არის თუ არა მოცემული ორი რიცხვი მოცემული კვადრატული განტოლების ფესვები. ამ შემთხვევაში გამოითვლება მათი ჯამი და სხვაობა, რის შემდეგაც მოწმდება ურთიერთობების მართებულობა. თუ ორივე ეს მიმართება დაკმაყოფილებულია, მაშინ ვიეტას თეორემასთან საპირისპირო თეორემის ძალით დასკვნა გამოდის, რომ ეს რიცხვები განტოლების ფესვებია. თუ ერთ-ერთი მიმართება მაინც არ არის დაკმაყოფილებული, მაშინ ეს რიცხვები არ არის კვადრატული განტოლების ფესვები. ეს მიდგომა შეიძლება გამოყენებულ იქნას კვადრატული განტოლებების ამოხსნისას აღმოჩენილი ფესვების შესამოწმებლად.

მაგალითი.

1) x 1 =−5, x 2 =3, ან 2) ან 3) რიცხვებიდან რომელია 4 x 2 −16 x+9=0 კვადრატული განტოლების ფესვების წყვილი?

გამოსავალი.

მოცემული კვადრატული განტოლების 4 x 2 −16 x+9=0 კოეფიციენტებია a=4, b=−16, c=9. ვიეტას თეორემის მიხედვით, კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამი უნდა იყოს −b/a, ანუ 16/4=4, ხოლო ფესვების ნამრავლი უნდა იყოს c/a-ის ტოლი, ანუ 9. /4.

ახლა გამოვთვალოთ რიცხვების ჯამი და ნამრავლი სამი მოცემული წყვილებიდან თითოეულში და შევადაროთ ისინი ახლახან მიღებულ მნიშვნელობებს.

პირველ შემთხვევაში გვაქვს x 1 +x 2 =−5+3=−2. მიღებული მნიშვნელობა განსხვავდება 4-ისგან, ამიტომ შემდგომი შემოწმება არ შეიძლება, მაგრამ ვიეტას თეორემის შებრუნებული თეორემის გამოყენებით, დაუყოვნებლივ შეიძლება დავასკვნათ, რომ რიცხვების პირველი წყვილი არ არის მოცემული კვადრატული განტოლების ფესვების წყვილი.

გადავიდეთ მეორე შემთხვევაზე. აქ, ანუ პირველი პირობა დაკმაყოფილებულია. ჩვენ ვამოწმებთ მეორე პირობას: მიღებული მნიშვნელობა განსხვავდება 9/4-ისგან. შესაბამისად, რიცხვების მეორე წყვილი არ არის კვადრატული განტოლების ფესვების წყვილი.

დარჩა ერთი ბოლო შემთხვევა. აქ და. ორივე პირობა დაკმაყოფილებულია, ამიტომ ეს რიცხვები x 1 და x 2 არის მოცემული კვადრატული განტოლების ფესვები.

პასუხი:

ვიეტას თეორემის საპირისპირო მხარე შეიძლება გამოყენებულ იქნას პრაქტიკაში კვადრატული განტოლების ფესვების მოსაძებნად. ჩვეულებრივ, ირჩევენ მოცემული კვადრატული განტოლებების მთელი რიცხვის ფესვებს მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით, რადგან სხვა შემთხვევებში ამის გაკეთება საკმაოდ რთულია. ამ შემთხვევაში ისინი იყენებენ იმ ფაქტს, რომ თუ ორი რიცხვის ჯამი უდრის კვადრატული განტოლების მეორე კოეფიციენტს, აღებული მინუს ნიშნით და ამ რიცხვების ნამრავლი უდრის თავისუფალ წევრს, მაშინ ეს რიცხვები არის ამ კვადრატული განტოლების ფესვები. მოდით გავიგოთ ეს მაგალითით.

ავიღოთ კვადრატული განტოლება x 2 −5 x+6=0. იმისათვის, რომ რიცხვები x 1 და x 2 იყოს ამ განტოლების ფესვები, უნდა დაკმაყოფილდეს ორი ტოლობა: x 1 + x 2 =5 და x 1 · x 2 =6. რჩება მხოლოდ ასეთი ნომრების შერჩევა. ამ შემთხვევაში ამის გაკეთება საკმაოდ მარტივია: ასეთი რიცხვებია 2 და 3, ვინაიდან 2+3=5 და 2·3=6. ამრიგად, 2 და 3 არის ამ კვადრატული განტოლების ფესვები.

ვიეტას თეორემის შებრუნებული თეორემა განსაკუთრებით მოსახერხებელია მოცემული კვადრატული განტოლების მეორე ფესვის მოსაძებნად, როდესაც ერთ-ერთი ფესვი უკვე ცნობილია ან აშკარაა. ამ შემთხვევაში, მეორე ფესვი შეიძლება მოიძებნოს რომელიმე ურთიერთობიდან.

მაგალითად, ავიღოთ კვადრატული განტოლება 512 x 2 −509 x −3=0. აქ ადვილი მისახვედრია, რომ ერთიანობა არის განტოლების ფესვი, ვინაიდან ამ კვადრატული განტოლების კოეფიციენტების ჯამი ნულის ტოლია. ასე რომ, x 1 = 1. მეორე ფესვი x 2 გვხვდება, მაგალითად, x 1 ·x 2 =c/a მიმართებიდან. გვაქვს 1 x 2 =−3/512, საიდანაც x 2 =−3/512. ასე დავადგინეთ კვადრატული განტოლების ორივე ფესვი: 1 და −3/512.

გასაგებია, რომ ფესვების შერჩევა მიზანშეწონილია მხოლოდ უმარტივეს შემთხვევებში. სხვა შემთხვევებში, ფესვების მოსაძებნად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულები კვადრატული განტოლების ფესვებისთვის დისკრიმინანტის საშუალებით.

ვიეტას თეორემის საპირისპიროს კიდევ ერთი პრაქტიკული გამოყენება არის კვადრატული განტოლებების აგება x 1 და x 2 ფესვების გათვალისწინებით. ამისათვის საკმარისია გამოვთვალოთ ფესვების ჯამი, რომელიც იძლევა x-ის კოეფიციენტს მოცემული კვადრატული განტოლების საპირისპირო ნიშნით და ფესვების ნამრავლს, რომელიც იძლევა თავისუფალ წევრს.

მაგალითი.

დაწერეთ კვადრატული განტოლება, რომლის ფესვებია −11 და 23.

გამოსავალი.

ავღნიშნოთ x 1 =−11 და x 2 =23. ვიანგარიშებთ ამ რიცხვების ჯამს და ნამრავლს: x 1 +x 2 =12 და x 1 ·x 2 =−253. მაშასადამე, მითითებული რიცხვები არის შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვები მეორე კოეფიციენტით −12 და თავისუფალი წევრით −253. ანუ x 2 −12·x−253=0 არის საჭირო განტოლება.

პასუხი:

x 2 −12·x−253=0 .

ვიეტას თეორემა ძალიან ხშირად გამოიყენება კვადრატული განტოლებების ფესვების ნიშნებთან დაკავშირებული ამოცანების ამოხსნისას. როგორ უკავშირდება ვიეტას თეორემა შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვების ნიშნებს x 2 +p·x+q=0? აქ არის ორი შესაბამისი განცხადება:

თუ თავისუფალი წევრი q დადებითი რიცხვია და თუ კვადრატულ განტოლებას რეალური ფესვები აქვს, მაშინ ორივე დადებითია ან ორივე უარყოფითი.
თუ თავისუფალი წევრი q არის უარყოფითი რიცხვი და თუ კვადრატულ განტოლებას რეალური ფესვები აქვს, მაშინ მათი ნიშნები განსხვავებულია, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ერთი ფესვი დადებითია, მეორე კი უარყოფითი.

ეს განცხადებები გამომდინარეობს x 1 · x 2 =q ფორმულიდან, ასევე დადებითი, უარყოფითი რიცხვების და სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების გამრავლების წესებიდან. მოდით შევხედოთ მათი გამოყენების მაგალითებს.

მაგალითი.

R ეს დადებითია. დისკრიმინაციული ფორმულის გამოყენებით ვპოულობთ D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, გამოხატვის მნიშვნელობა r 2 +8. დადებითია ნებისმიერი რეალური r, შესაბამისად D>0 ნებისმიერი რეალური r. შესაბამისად, თავდაპირველ კვადრატულ განტოლებას აქვს ორი ფესვი r პარამეტრის ნებისმიერი რეალური მნიშვნელობისთვის.

ახლა გავარკვიოთ, როდის აქვთ ფესვებს განსხვავებული ნიშნები. თუ ფესვების ნიშნები განსხვავებულია, მაშინ მათი ნამრავლი უარყოფითია, ხოლო ვიეტას თეორემის მიხედვით, შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვების ნამრავლი უდრის თავისუფალ წევრს. ამიტომ, ჩვენ გვაინტერესებს r-ის ის მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც თავისუფალი ვადა r−1 უარყოფითია. ამრიგად, ჩვენთვის დაინტერესებული r-ის მნიშვნელობების პოვნა გვჭირდება წრფივი უტოლობის ამოხსნა r−1<0 , откуда находим r<1 .

პასუხი:

რ<1 .

ვიეტას ფორმულები

ზემოთ ვისაუბრეთ ვიეტას თეორემაზე კვადრატული განტოლებისთვის და გავაანალიზეთ ის მიმართებები, რომლებიც მას ამტკიცებს. მაგრამ არსებობს ფორმულები, რომლებიც აკავშირებს არა მხოლოდ კვადრატული განტოლებების, არამედ კუბური განტოლებების, მეოთხე ხარისხის განტოლებების რეალურ ფესვებს და კოეფიციენტებს და ზოგადად, ალგებრული განტოლებებიხარისხი n. მათ ეძახიან ვიეტას ფორმულები.

მოდით დავწეროთ Vieta-ს ფორმულა n ხარისხის ალგებრული განტოლებისთვის და დავუშვათ, რომ მას აქვს n ნამდვილი ფესვი x 1, x 2, ..., x n (მათ შორის შეიძლება იყოს დამთხვევები):

ვიეტას ფორმულების მიღება შესაძლებელია თეორემა მრავალწევრის წრფივ ფაქტორებად დაშლის შესახებ, ასევე ტოლი მრავალწევრების განსაზღვრა მათი ყველა შესაბამისი კოეფიციენტის ტოლობის მეშვეობით. ასე რომ, მრავალწევრი და მისი გაფართოება ფორმის წრფივ ფაქტორებად ტოლია. ბოლო ნამრავლში ფრჩხილების გახსნით და შესაბამისი კოეფიციენტების გათანაბრებით ვიღებთ ვიეტას ფორმულებს.

კერძოდ, n=2-ისთვის გვაქვს უკვე ნაცნობი Vieta ფორმულები კვადრატული განტოლებისთვის.

კუბური განტოლებისთვის ვიეტას ფორმულებს აქვთ ფორმა

რჩება მხოლოდ აღნიშვნა, რომ ვიეტას ფორმულების მარცხენა მხარეს არის ე.წ. სიმეტრიული მრავალწევრები.

ბიბლიოგრაფია.

Ალგებრა:სახელმძღვანელო მე-8 კლასისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედაქტორი S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ.: განათლება, 2008. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-019243-9.
მორდკოვიჩი ა.გ.Ალგებრა. მე-8 კლასი. 2 საათში ნაწილი 1. სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის / A.G. Mordkovich. - მე-11 გამოცემა, წაშლილია. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215გვ.: ილ. ISBN 978-5-346-01155-2.
Ალგებრადა მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი. მე-10 კლასი: სახელმძღვანელო. ზოგადი განათლებისთვის ინსტიტუტები: ძირითადი და პროფილი. დონეები / [იუ. მ.კოლიაგინი, მ.ვ.ტკაჩევა, ნ.ე.ფედოროვა, მ.ი.შაბუნინი]; რედაქტორი A.B. ჟიჟჩენკო. - მე-3 გამოცემა. - მ.: განათლება, 2010.- 368გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-022771-1.

ვიეტას თეორემის ფორმულირება და დამტკიცება კვადრატული განტოლებისთვის. ვიეტას საპირისპირო თეორემა. ვიეტას თეორემა კუბური განტოლებისთვის და თვითნებური რიგის განტოლებისთვის.

შინაარსი

Იხილეთ ასევე: კვადრატული განტოლების ფესვები

კვადრატული განტოლებები

ვიეტას თეორემა

მოდით და აღვნიშნოთ შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვები
(1) .
მაშინ ფესვების ჯამი საპირისპირო ნიშნით აღებული კოეფიციენტის ტოლია. ფესვების ნამრავლი უდრის თავისუფალ ტერმინს:
;
.

შენიშვნა მრავალი ფესვის შესახებ

თუ (1) განტოლების დისკრიმინანტი არის ნული, მაშინ ამ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი. მაგრამ, რთული ფორმულირებების თავიდან ასაცილებლად, ზოგადად მიღებულია, რომ ამ შემთხვევაში განტოლებას (1) აქვს ორი მრავალჯერადი ან ტოლი ფესვი:
.

მტკიცებულება ერთი

ვიპოვოთ (1) განტოლების ფესვები. ამისათვის გამოიყენეთ კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულა:
;
;
.

იპოვეთ ფესვების ჯამი:
.

პროდუქტის მოსაძებნად გამოიყენეთ ფორმულა:
.
მერე

.

თეორემა დადასტურდა.

მტკიცებულება მეორე

თუ რიცხვები არის კვადრატული განტოლების ფესვები (1), მაშინ
.
ფრჩხილების გახსნა.

.
ამრიგად, განტოლება (1) მიიღებს ფორმას:
.
(1)-თან შედარება ვხვდებით:
;
.

თეორემა დადასტურდა.

ვიეტას საპირისპირო თეორემა

დაე იყოს თვითნებური რიცხვები. მაშინ და არის კვადრატული განტოლების ფესვები
,
სად
(2) ;
(3) .

ვიეტას საპირისპირო თეორემის დადასტურება

განვიხილოთ კვადრატული განტოლება
(1) .
ჩვენ უნდა დავამტკიცოთ, რომ თუ და , მაშინ და არის (1) განტოლების ფესვები.

ჩავანაცვლოთ (2) და (3) (1-ში):
.
ჩვენ ვაჯგუფებთ ტერმინებს განტოლების მარცხენა მხარეს:
;
;
(4) .

ჩავანაცვლოთ (4):
;
.

ჩავანაცვლოთ (4):
;
.
განტოლება მოქმედებს. ანუ რიცხვი არის (1) განტოლების ფესვი.

თეორემა დადასტურდა.

ვიეტას თეორემა სრული კვადრატული განტოლებისთვის

ახლა განიხილეთ სრული კვადრატული განტოლება
(5) ,
სად , და არის რამდენიმე რიცხვი. მეტიც.

მოდით გავყოთ განტოლება (5) შემდეგზე:
.
ანუ მივიღეთ მოცემული განტოლება
,
სად ;

შემდეგ ვიეტას თეორემა სრული კვადრატული განტოლებისთვის აქვს შემდეგი ფორმა.
.
მოდით და აღვნიშნოთ სრული კვადრატული განტოლების ფესვები
;
.

შემდეგ ფესვების ჯამი და პროდუქტი განისაზღვრება ფორმულებით:

ვიეტას თეორემა კუბური განტოლებისთვის
(6) ,
ანალოგიურად, ჩვენ შეგვიძლია დავამყაროთ კავშირი კუბური განტოლების ფესვებს შორის. განვიხილოთ კუბური განტოლება
სადაც , , , არის რამდენიმე რიცხვი. მეტიც.
(7) ,
მოდით გავყოთ ეს განტოლება:
სად , , .

.

მოდით , , იყოს (7) განტოლების (და განტოლების (6)) ფესვები. მერე
;
;
.

(7) განტოლებასთან შედარება ვხვდებით:

ვიეტას თეორემა n-ე ხარისხის განტოლებისთვის
.

ანალოგიურად, თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ კავშირი ფესვებს შორის , , ... , , n-ე ხარისხის განტოლებისთვის
;
;
;

.

ვიეტას თეორემა n-ე ხარისხის განტოლებისთვის აქვს შემდეგი ფორმა:
.
ამ ფორმულების მისაღებად ჩვენ ვწერთ განტოლებას შემდეგნაირად:

შემდეგ ვაიგივებთ კოეფიციენტებს , , , ... სთვის და ვადარებთ თავისუფალ წევრს.
ცნობები:
ი.ნ. ბრონშტეინი, კ.ა. სემენდიაევი, მათემატიკის სახელმძღვანელო ინჟინრებისა და კოლეჯის სტუდენტებისთვის, „ლან“, 2009 წ.

ᲡᲛ. ნიკოლსკი, მ.კ. პოტაპოვი და სხვ., ალგებრა: სახელმძღვანელო მე-8 კლასისთვის ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებებში, მოსკოვი, განათლება, 2006 წ.

Იხილეთ ასევე:

თითქმის ნებისმიერი კვადრატული განტოლება \ შეიძლება გარდაიქმნას ფორმაში \ თუმცა, ეს შესაძლებელია, თუ თავდაპირველად გაყოფთ თითოეულ წევრს კოეფიციენტზე \ მანამდე \ გარდა ამისა, შეგიძლიათ შემოიტანოთ ახალი აღნიშვნა:

\[(\frac (b)(a))= p\] და \[(\frac (c)(a)) = q\]

ამის გამო გვექნება განტოლება \ მათემატიკაში შემცირებული კვადრატული განტოლება. ამ განტოლების ფესვები და კოეფიციენტები ურთიერთდაკავშირებულია, რაც დასტურდება ვიეტას თეორემით.

ვიეტას თეორემა: შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამი უდრის მეორე კოეფიციენტს \ აღებული საპირისპირო ნიშნით, ხოლო ფესვების ნამრავლი არის თავისუფალი წევრი \

სიცხადისთვის, გადავწყვიტოთ შემდეგი განტოლება:

მოდი ამ კვადრატული განტოლება გადავწყვიტოთ დაწერილი წესების გამოყენებით. საწყისი მონაცემების გაანალიზების შემდეგ, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ განტოლებას ორი განსხვავებული ფესვი ექნება, რადგან:

ახლა, 15 რიცხვის ყველა ფაქტორიდან (1 და 15, 3 და 5) ვირჩევთ მათ, ვისი განსხვავებაც 2-ის ტოლია. 3 და 5 რიცხვები ამ პირობით ხვდება მინუს ნიშანს პატარას წინ ნომერი. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ განტოლების ფესვებს \

პასუხი: \[ x_1= -3 და x_2 = 5\]

განტოლების ამოხსნა შეგიძლიათ ჩვენს ვებგვერდზე https://site. უფასო ონლაინ ამომხსნელი საშუალებას მოგცემთ ამოხსნათ ნებისმიერი სირთულის ონლაინ განტოლებები რამდენიმე წამში. ყველაფერი რაც თქვენ გჭირდებათ არის უბრალოდ შეიყვანოთ თქვენი მონაცემები გამხსნელში. თქვენ ასევე შეგიძლიათ ნახოთ ვიდეო ინსტრუქციები და ისწავლოთ განტოლების ამოხსნა ჩვენს ვებგვერდზე. და თუ ჯერ კიდევ გაქვთ შეკითხვები, შეგიძლიათ დაუსვათ ისინი ჩვენს VKontakte ჯგუფში http://vk.com/pocketteacher. შემოუერთდით ჩვენს ჯგუფს, ჩვენ ყოველთვის სიამოვნებით დაგეხმარებით.

კვადრატული განტოლების ამოხსნის ერთ-ერთი მეთოდია გამოყენება VIET ფორმულები, რომელსაც ფრანსუა ვიეტის სახელი ეწოდა.

ის იყო ცნობილი ადვოკატი, რომელიც მსახურობდა საფრანგეთის მეფეს მე-16 საუკუნეში. თავისუფალ დროს სწავლობდა ასტრონომიასა და მათემატიკას. მან დაამყარა კავშირი კვადრატული განტოლების ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის.

ფორმულის უპირატესობები:

1 . ფორმულის გამოყენებით, შეგიძლიათ სწრაფად იპოვოთ გამოსავალი. იმის გამო, რომ არ არის საჭირო მეორე კოეფიციენტის კვადრატში შეყვანა, შემდეგ მას 4ac გამოკლება, დისკრიმინანტის პოვნა და მისი მნიშვნელობის ჩანაცვლება ფორმულაში ფესვების საპოვნელად.

2 . გამოსავლის გარეშე, შეგიძლიათ განსაზღვროთ ფესვების ნიშნები და აირჩიოთ ფესვების მნიშვნელობები.

3 . ორი ჩანაწერის სისტემის ამოხსნის შემდეგ, ძნელი არ არის თავად ფესვების პოვნა. ზემოთ მოყვანილ კვადრატულ განტოლებაში ფესვების ჯამი უდრის მეორე კოეფიციენტის მნიშვნელობას მინუს ნიშნით. ზემოხსენებულ კვადრატულ განტოლებაში ფესვების ნამრავლი უდრის მესამე კოეფიციენტის მნიშვნელობას.

4 . ამ ფესვების გამოყენებით ჩაწერეთ კვადრატული განტოლება, ანუ ამოხსენით შებრუნებული პრობლემა. მაგალითად, ეს მეთოდი გამოიყენება თეორიულ მექანიკაში ამოცანების გადაჭრისას.

5 . მოსახერხებელია ფორმულის გამოყენება, როდესაც წამყვანი კოეფიციენტი ერთის ტოლია.

ხარვეზები:

1 . ფორმულა არ არის უნივერსალური.