39-ის ფესვი. რეალური რიცხვები ii

რეალური ნომრები II

§ 39 ექსტრაქცია კვადრატული ფესვებისაწყისი რაციონალური რიცხვი

როგორც ვიცით, რაციონალური რიცხვების სიმრავლეში გამრავლება ყოველთვის შესაძლებელია. კერძოდ, პროდუქტი განისაზღვრება მ / ნ მ / ნ . ამ პროდუქტს, როგორც მოგეხსენებათ, რიცხვის კვადრატი ეწოდება მ / ნ და აღინიშნება ( მ / ნ ) 2:

( მ / ნ ) 2 = მ / ნ მ / ნ

ამრიგად, თუ გარკვეული რიცხვი რაციონალურია, მაშინ მისი კვადრატიც რაციონალური რიცხვია. ეს რიცხვი აშკარად დადებითია. ახლა დავაყენოთ შებრუნებული პრობლემა: არის თუ არა ყველა დადებითი რაციონალური რიცხვი რომელიმე რაციონალური რიცხვის კვადრატი? ენაზე ალგებრული განტოლებებიეს პრობლემა შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად. განტოლების გათვალისწინებით

X 2 = ა ,

სად ა არის რაღაც დადებითი რაციონალური რიცხვი და X - უცნობი რაოდენობა. საკითხავია: აქვს თუ არა ამ განტოლებას ყოველთვის რაციონალური ფესვები? ამ კითხვაზე პასუხი უარყოფითი გამოდის. Რაციონალური რიცხვი ა შეიძლება შეირჩეს ისე, რომ განტოლება X 2 = ა არ ექნება არცერთი რაციონალური ფესვი. კერძოდ, შემდეგი თეორემა გვარწმუნებს ამაში.

თეორემა.არ არსებობს რაციონალური რიცხვი, რომლის კვადრატი არის 2.

ჩვენ განვახორციელებთ მტკიცებულებას წინააღმდეგობით. დავუშვათ, არის რაციონალური რიცხვი მ / ნ , რომლის კვადრატი არის 2: ( მ / ნ ) 2 = 2.

თუ მთელი რიცხვები თ და პ აქვთ იგივე ფაქტორები, შემდეგ წილადი მ / ნ შეიძლება შემცირდეს. მაშასადამე, თავიდანვე გვაქვს უფლება ვივარაუდოთ, რომ წილადი მ / ნ შეუმცირებელი.

მდგომარეობიდან ( მ / ნ ) 2 = 2 გამოდის, რომ

თ 2 = 2პ 2 . .

რადგან რიცხვი არის 2 პ 2 არის ლუწი, შემდეგ რიცხვი თ 2 უნდა იყოს თანაბარი. მაგრამ მაშინ რიცხვიც ლუწი იქნება თ . (დაამტკიცე!) ასე რომ თ = 2კ , სად კ - რაღაც მთელი რიცხვი. ამ გამოთქმის ჩანაცვლება თ ფორმულაში თ 2 = 2პ 2 მივიღებთ: 4 კ 2 = 2პ 2, საიდანაც

პ 2 =2კ 2 .

ამ შემთხვევაში, ნომერი პ 2 იქნება ლუწი; მაგრამ მაშინ რიცხვი უნდა იყოს ლუწი პ . თურმე ნომრები თ და პ თუნდაც და ეს ეწინააღმდეგება იმ ფაქტს, რომ წილადი მ / ნ შეუმცირებელი. მაშასადამე, ჩვენი საწყისი ვარაუდი წილადის არსებობის შესახებ მ / ნ პირობების დაკმაყოფილება ( მ / ნ ) 2 = 2., არასწორია. რჩება იმის აღიარება, რომ ყველა რაციონალურ რიცხვს შორის არ არის ისეთი, ვისი კვადრატი იქნება 2-ის ტოლი. აქედან გამომდინარე, განტოლება

X 2 = 2

უხვად რაციონალურირიცხვები გადაუწყვეტელია. მსგავსი დასკვნის გაკეთება შეიძლება ფორმის ბევრ სხვა განტოლებაზეც

X 2 = ა ,

სად ა არის დადებითი მთელი რიცხვი. თუმცა, in VIII კლასიჩვენ არაერთხელ გვისაუბრია ასეთი განტოლებების ფესვებზე. ა დადებითი ფესვიგანტოლებები X 2 = ა ჩვენ კი დავარქვით სპეციალური სახელწოდება „რიცხვის კვადრატული ფესვი ა და შემოიღო სპეციალური აღნიშვნა: √ ა .

ასე რომ, √2 არ მიეკუთვნება რაციონალურ რიცხვებს. მაშ, როგორ შეიძლება დავახასიათოთ √2? ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად, გაიხსენეთ კვადრატული ფესვების ამოღების წესი. მე-2 ნომერზე გამოყენებული ეს წესი იძლევა:

ფესვის ამოღების პროცესი ამ შემთხვევაში ვერც ერთ საფეხურზე ვერ დასრულდება. IN წინააღმდეგ შემთხვევაში√2 ტოლი იქნება სასრული ათობითი წილადისა და შესაბამისად იქნება რაციონალური რიცხვი. და ეს ეწინააღმდეგება ზემოთ დადასტურებულ თეორემას. ამრიგად, 2-ის კვადრატული ფესვის აღებისას, შედეგი არის უსასრულო ათობითი წილადი. ეს წილადი არ შეიძლება იყოს პერიოდული, წინააღმდეგ შემთხვევაში ის, ისევე როგორც ნებისმიერი სხვა უსასრულო პერიოდული ფრაქცია, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ორი მთელი რიცხვის თანაფარდობით. და ეს ასევე ეწინააღმდეგება ზემოთ დადასტურებულ თეორემას. ამრიგად, √2 შეიძლება ჩაითვალოს უსასრულო არაპერიოდიულად ათობითი.

ასე რომ, ის, რაც მიგვიყვანს უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადებამდე, არის, მაგალითად, მთელი რიცხვებიდან ფესვების აღების მოქმედება.

შემდეგ აბზაცებში განვიხილავთ კიდევ ერთ პრობლემას, რომელიც, ზოგადად რომ ვთქვათ, არაფერ შუაშია ფესვების ამოღებასთან, მაგრამ ასევე მიგვიყვანს უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადებისკენ.

Სავარჯიშოები

305. ჩამოთვალეთ რამდენიმე ნატურალური რიცხვი, რომელთა კვადრატული ფესვები რაციონალური რიცხვები იქნება.

306. დაამტკიცეთ, რომ თუ ნატურალური რიცხვის კვადრატული ფესვი რაციონალური რიცხვია, მაშინ ეს რაციონალური რიცხვი აუცილებლად მთელი რიცხვია.

307. დაამტკიცეთ, რომ განტოლება X 3 = 5-ს არ აქვს ფესვები რაციონალური რიცხვების სიმრავლეში.

დროა დაალაგოთ ფესვის მოპოვების მეთოდები. ისინი დაფუძნებულია ფესვების თვისებებზე, კერძოდ, თანასწორობაზე, რაც მართალია ნებისმიერისთვის უარყოფითი რიცხვიბ.

ქვემოთ სათითაოდ განვიხილავთ ფესვების ამოღების ძირითად მეთოდებს.

დავიწყოთ უმარტივესი შემთხვევით - ნატურალური რიცხვებიდან ფესვების ამოღება კვადრატების ცხრილის, კუბების ცხრილის და ა.შ.

თუ კვადრატების, კუბების და ა.შ. თუ ხელთ არ გაქვთ, ლოგიკურია გამოიყენოთ ფესვის ამოღების მეთოდი, რომელიც გულისხმობს რადიკალური რიცხვის მარტივ ფაქტორებად დაშლას.

განსაკუთრებული აღნიშვნის ღირსია, რა არის შესაძლებელი კენტი მაჩვენებლების მქონე ფესვებისთვის.

და ბოლოს, განვიხილოთ მეთოდი, რომელიც საშუალებას გვაძლევს თანმიმდევრულად ვიპოვოთ ძირეული მნიშვნელობის ციფრები.

Დავიწყოთ.

კვადრატების ცხრილის, კუბების ცხრილის და ა.შ.

ყველაზე მეტად მარტივი შემთხვევებიკვადრატების ცხრილები, კუბურები და ა.შ. საშუალებას გაძლევთ ამოიღოთ ფესვები. რა არის ეს მაგიდები?

მთელი რიცხვების კვადრატების ცხრილი 0-დან 99-ის ჩათვლით (ქვემოთ ნაჩვენები) შედგება ორი ზონისგან. ცხრილის პირველი ზონა მდებარეობს ნაცრისფერ ფონზე, კონკრეტული მწკრივისა და კონკრეტული სვეტის არჩევით, ის საშუალებას გაძლევთ შეადგინოთ რიცხვი 0-დან 99-მდე. მაგალითად, ავირჩიოთ 8 ათეულიანი მწკრივი და 3 ერთეული სვეტი, ამით დავაფიქსირეთ რიცხვი 83. მეორე ზონა იკავებს ცხრილის დანარჩენ ნაწილს. თითოეული უჯრედი მდებარეობს გარკვეული მწკრივისა და გარკვეული სვეტის კვეთაზე და შეიცავს შესაბამისი რიცხვის კვადრატს 0-დან 99-მდე. ჩვენი არჩეული 8 ათეულის და სვეტის 3-ის კვეთაზე არის უჯრედი ნომრით 6,889, რომელიც არის 83 რიცხვის კვადრატი.

კუბების ცხრილები, 0-დან 99-მდე რიცხვების მეოთხე ხარისხების ცხრილები და ასე შემდეგ კვადრატების ცხრილის მსგავსია, მხოლოდ ისინი შეიცავს მეორე ზონაში კუბებს, მეოთხე ხარისხებს და ა.შ. შესაბამისი ნომრები.

კვადრატების, კუბების, მეოთხე ხარისხების ცხრილები და ა.შ. საშუალებას გაძლევთ ამოიღოთ კვადრატული ფესვები, კუბის ფესვები, მეოთხე ფესვები და ა.შ. შესაბამისად ამ ცხრილების რიცხვებიდან. ავხსნათ მათი გამოყენების პრინციპი ფესვების მოპოვებისას.

ვთქვათ, უნდა გამოვყოთ a რიცხვის n-ე ფესვი, ხოლო რიცხვი a შეიცავს n-ე ხარისხების ცხრილში. ამ ცხრილის გამოყენებით ვპოულობთ b რიცხვს, რომ a=b n. მაშინ , შესაბამისად, რიცხვი b იქნება n-ე ხარისხის სასურველი ფესვი.

მაგალითად, მოდით ვაჩვენოთ, თუ როგორ გამოვიყენოთ კუბური ცხრილი 19683-ის კუბის ფესვის ამოსაღებად. კუბების ცხრილში ვპოულობთ რიცხვს 19683, მისგან ვხვდებით, რომ ეს რიცხვი არის 27 რიცხვის კუბი, შესაბამისად, .

ნათელია, რომ n-ე ძალების ცხრილები ძალიან მოსახერხებელია ფესვების ამოსაღებად. თუმცა, ისინი ხშირად არ არიან ხელთ და მათი შედგენა გარკვეულ დროს მოითხოვს. უფრო მეტიც, ხშირად საჭიროა ფესვების ამოღება რიცხვებიდან, რომლებიც არ არის მოცემული შესაბამის ცხრილებში. ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა მიმართოთ ფესვების მოპოვების სხვა მეთოდებს.

რადიკალური რიცხვის ფაქტორირება მარტივ ფაქტორებად

Საკმარისი მოსახერხებელი გზით, რაც შესაძლებელს ხდის ნატურალური რიცხვიდან ფესვის ამოღებას (თუ, რა თქმა უნდა, ფესვი ამოღებულია), არის რადიკალური რიცხვის დაშლა მარტივ ფაქტორებად. მისი საქმე ამაშია: ამის შემდეგ საკმაოდ მარტივია მისი წარმოდგენა სიმძლავრის სახით სასურველი მაჩვენებლით, რაც საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ ფესვის მნიშვნელობა. მოდით განვმარტოთ ეს წერტილი.

ავიღოთ a ნატურალური რიცხვის n-ე ფესვი და მისი მნიშვნელობა ტოლი b. ამ შემთხვევაში ტოლობა a=b n მართალია. რიცხვი b, როგორც ნებისმიერი ბუნებრივი რიცხვიშეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც მისი ყველა მარტივი ფაქტორების ნამრავლი p 1 , p 2 , ..., p m სახით p 1 · p 2 · ... · p m , და რადიკალური რიცხვი a ამ შემთხვევაში წარმოდგენილია როგორც (p 1 · p 2 · … · p m) n. ვინაიდან რიცხვის მარტივ ფაქტორებად დაშლა უნიკალურია, a რადიკალური რიცხვის მარტივ ფაქტორებად დაშლას ექნება ფორმა (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, რაც შესაძლებელს ხდის ფესვის მნიშვნელობის გამოთვლას. როგორც.

გაითვალისწინეთ, რომ თუ a რადიკალური რიცხვის მარტივ ფაქტორებად დაშლა შეუძლებელია (p 1 ·p 2 ·…·p m) n სახით, მაშინ ასეთი რიცხვის n-ე ფესვი ბოლომდე არ არის ამოღებული.

მოდით გავარკვიოთ ეს მაგალითების ამოხსნისას.

მაგალითი.

აიღეთ 144-ის კვადრატული ფესვი.

გამოსავალი.

თუ გადავხედავთ წინა აბზაცში მოცემულ კვადრატების ცხრილს, ნათლად ხედავთ, რომ 144 = 12 2, საიდანაც ნათლად ჩანს, რომ 144-ის კვადრატული ფესვი უდრის 12-ს.

მაგრამ ამ წერტილის გათვალისწინებით, ჩვენ გვაინტერესებს, თუ როგორ ხდება ფესვის ამოღება რადიკალური რიცხვის 144-ის პირველ ფაქტორებად დაშლით. მოდით შევხედოთ ამ გამოსავალს.

დავშალოთ 144 მთავარ ფაქტორებამდე:

ანუ 144=2·2·2·2·3·3. შედეგად დაშლის საფუძველზე, შეიძლება განხორციელდეს შემდეგი გარდაქმნები: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. აქედან გამომდინარე, .

ხარისხის თვისებების და ფესვების თვისებების გამოყენებით, გამოსავალი შეიძლება ოდნავ განსხვავებულად ჩამოყალიბდეს: .

პასუხი:

მასალის კონსოლიდაციისთვის, განიხილეთ კიდევ ორი ​​მაგალითის გადაწყვეტილებები.

მაგალითი.

გამოთვალეთ ფესვის მნიშვნელობა.

გამოსავალი.

რადიკალური რიცხვის 243-ის უბრალო ფაქტორიზაციას აქვს ფორმა 243=3 5 . ამრიგად, .

პასუხი:

მაგალითი.

არის თუ არა ძირეული მნიშვნელობა მთელი რიცხვი?

გამოსავალი.

ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად, მოდით, რადიკალური რიცხვი გავამრავლოთ მარტივ ფაქტორებად და ვნახოთ, შეიძლება თუ არა მისი წარმოდგენა მთელი რიცხვის კუბის სახით.

გვაქვს 285 768=2 3 · 3 6 · 7 2. შედეგად მიღებული გაფართოება არ არის წარმოდგენილი, როგორც მთელი რიცხვის კუბი, რადგან ხარისხი მთავარი ფაქტორი 7 არ არის სამის ნამრავლი. მაშასადამე, 285,768-ის კუბური ფესვის სრულად ამოღება შეუძლებელია.

პასუხი:

არა.

ფესვების ამოღება წილადი რიცხვებიდან

დროა გაერკვნენ, თუ როგორ უნდა ამოიღოთ წილადი რიცხვის ფესვი. წილადი რადიკალური რიცხვი დაიწეროს როგორც p/q. კოეფიციენტის ფესვის თვისების მიხედვით ჭეშმარიტია შემდეგი ტოლობა. ამ თანასწორობიდან გამომდინარეობს წილადის ფესვის ამოღების წესი: წილადის ფესვი ტოლია მრიცხველის ფესვის მნიშვნელის ძირზე გაყოფილი მრიცხველის.

მოდით შევხედოთ წილადიდან ფესვის ამოღების მაგალითს.

მაგალითი.

რა არის კვადრატული ფესვი საერთო წილადი 25/169 .

გამოსავალი.

კვადრატების ცხრილის გამოყენებით აღმოვაჩენთ, რომ თავდაპირველი წილადის მრიცხველის კვადრატული ფესვი უდრის 5-ს, ხოლო მნიშვნელის კვადრატული ფესვი უდრის 13-ს. მაშინ . ეს ასრულებს 25/169 საერთო წილადის ფესვის ამოღებას.

პასუხი:

ათობითი წილადის ან შერეული რიცხვის ფესვი ამოღებულია რადიკალური რიცხვების ჩვეულებრივი წილადებით ჩანაცვლების შემდეგ.

მაგალითი.

აიღეთ ათობითი წილადის კუბური ფესვი 474.552.

გამოსავალი.

წარმოვიდგინოთ საწყისი ათობითი წილადი ჩვეულებრივ წილადად: 474.552=474552/1000. მაშინ . რჩება კუბური ფესვების ამოღება, რომლებიც არის მიღებული წილადის მრიცხველში და მნიშვნელში. იმიტომ რომ 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 და 1 000 = 10 3, შემდეგ და . რჩება მხოლოდ გამოთვლების დასრულება .

პასუხი:

.

უარყოფითი რიცხვის ფესვის აღება

ღირს შეჩერება უარყოფითი რიცხვებიდან ფესვების ამოღებაზე. ფესვების შესწავლისას ჩვენ ვთქვით, რომ როდესაც ფესვის მაჩვენებელი კენტი რიცხვია, მაშინ ძირის ნიშნის ქვეშ შეიძლება იყოს უარყოფითი რიცხვი. ჩვენ მივეცით ამ ჩანაწერებს შემდეგი მნიშვნელობა: უარყოფითი რიცხვისთვის -a და ფესვის კენტი მაჩვენებლისთვის 2 n−1, . ეს თანასწორობა იძლევა დაფესვიანების წესი უცნაური ხარისხიუარყოფითი რიცხვებიდან: უარყოფითი რიცხვის ფესვის ამოსაღებად, თქვენ უნდა აიღოთ საპირისპირო დადებითი რიცხვის ფესვი და შედეგის წინ დააყენოთ მინუს ნიშანი.

მოდით შევხედოთ გამოსავლის მაგალითს.

მაგალითი.

იპოვნეთ ფესვის მნიშვნელობა.

გამოსავალი.

მოდით გადავიტანოთ ორიგინალური გამონათქვამი ისე, რომ ის გამოჩნდეს ძირის ნიშნის ქვეშ დადებითი რიცხვი: . ახლა შერეული რიცხვიშეცვალეთ იგი ჩვეულებრივი წილადით: . ჩვენ ვიყენებთ ჩვეულებრივი წილადის ფესვის ამოღების წესს: . რჩება ფესვების გამოთვლა მიღებული წილადის მრიცხველში და მნიშვნელში: .

მივცეთ მოკლე შენიშვნაგადაწყვეტილებები: .

პასუხი:

.

ძირეული მნიშვნელობის ბიტიური განსაზღვრა

ზოგადად, ფესვის ქვეშ არის რიცხვი, რომელიც, ზემოთ განხილული ტექნიკის გამოყენებით, არ შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, როგორც ნებისმიერი რიცხვის n-ე ხარისხი. მაგრამ ამ შემთხვევაში საჭიროა ვიცოდეთ მოცემული ფესვის მნიშვნელობა, ყოველ შემთხვევაში, გარკვეულ ნიშანმდე. ამ შემთხვევაში, ფესვის ამოსაღებად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ალგორითმი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ თანმიმდევრულად მიიღოთ სასურველი რიცხვის ციფრული მნიშვნელობების საკმარისი რაოდენობა.

პირველ საფეხურზე ამ ალგორითმისთქვენ უნდა გაარკვიოთ რა არის root მნიშვნელობის ყველაზე მნიშვნელოვანი ბიტი. ამისათვის რიცხვები 0, 10, 100, ... თანმიმდევრულად ამაღლებულია n ხარისხამდე, სანამ არ მიიღება რიცხვი რადიკალურ რიცხვს გადააჭარბებს. შემდეგ რიცხვი, რომელიც წინა ეტაპზე გავზარდეთ n-მდე, მიუთითებს შესაბამის ყველაზე მნიშვნელოვან ციფრზე.

მაგალითად, განიხილეთ ალგორითმის ეს ნაბიჯი ხუთის კვადრატული ფესვის ამოღებისას. აიღეთ რიცხვები 0, 10, 100, ... და კვადრატში ისინი სანამ არ მივიღებთ 5-ზე მეტ რიცხვს. გვაქვს 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5, რაც ნიშნავს, რომ ყველაზე მნიშვნელოვანი ციფრი იქნება ერთი ციფრი. ამ ბიტის მნიშვნელობა, ისევე როგორც ქვედა, გამოჩნდება ფესვის ამოღების ალგორითმის შემდეგ ნაბიჯებში.

ალგორითმის ყველა შემდგომი ნაბიჯი მიზნად ისახავს ფესვის მნიშვნელობის თანმიმდევრულად გარკვევას, ფესვის სასურველი მნიშვნელობის შემდეგი ბიტების მნიშვნელობების მოძიებით, ყველაზე მაღალიდან დაწყებული და ყველაზე დაბალზე გადასვლის გზით. მაგალითად, ფესვის მნიშვნელობა პირველ საფეხურზე გამოდის 2, მეორეზე – 2.2, მესამეზე – 2.23 და ასე შემდეგ 2.236067977…. მოდით აღვწეროთ, თუ როგორ არის ნაპოვნი ციფრების მნიშვნელობები.

ციფრები იპოვება მათი შესაძლო მნიშვნელობების ძიებით 0, 1, 2, ..., 9. ამ შემთხვევაში, პარალელურად გამოითვლება შესაბამისი რიცხვების n-ე ხარისხები და შედარებულია რადიკალური რიცხვი. თუ გარკვეულ ეტაპზე ხარისხის მნიშვნელობა აჭარბებს რადიკალურ რიცხვს, მაშინ ჩაითვლება ნაპოვნი ციფრის მნიშვნელობა, რომელიც შეესაბამება წინა მნიშვნელობას და ხდება გადასვლა ფესვის ამოღების ალგორითმის შემდეგ ეტაპზე, თუ ეს არ მოხდება; მაშინ ამ ციფრის მნიშვნელობა არის 9.

მოდით ავხსნათ ეს წერტილები ხუთის კვადრატული ფესვის გამოყვანის იგივე მაგალითის გამოყენებით.

ჯერ ვპოულობთ ერთეულების ციფრის მნიშვნელობას. ჩვენ გავივლით მნიშვნელობებს 0, 1, 2, ..., 9, გამოვთვლით 0 2, 1 2, ..., 9 2, შესაბამისად, სანამ არ მივიღებთ რადიკალურ რიცხვზე მეტ მნიშვნელობას. მოსახერხებელია ყველა ამ გამოთვლების წარმოდგენა ცხრილის სახით:

ასე რომ, ერთეულის ციფრის მნიშვნელობა არის 2 (რადგან 2 2<5 , а 2 3 >5). მოდით გადავიდეთ მეათე ადგილის მნიშვნელობის პოვნაზე. ამ შემთხვევაში, ჩვენ კვადრატში გამოვყოფთ რიცხვებს 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, შევადარებთ მიღებულ მნიშვნელობებს რადიკალურ რიცხვთან 5:

2.2 2 წლიდან<5 , а 2,3 2 >5, მაშინ მეათე ადგილის მნიშვნელობა არის 2. შეგიძლიათ გააგრძელოთ მეასედების მნიშვნელობის პოვნა:

ასე იპოვეს ხუთის ფესვის შემდეგი მნიშვნელობა, ის უდრის 2,23-ს. ასე რომ, შეგიძლიათ გააგრძელოთ მნიშვნელობების პოვნა: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

მასალის კონსოლიდაციისთვის, ჩვენ გავაანალიზებთ ფესვის ამოღებას მეასედების სიზუსტით განხილული ალგორითმის გამოყენებით.

პირველ რიგში განვსაზღვრავთ ყველაზე მნიშვნელოვან ციფრს. ამისათვის ჩვენ კუბირებთ რიცხვებს 0, 10, 100 და ა.შ. სანამ არ მივიღებთ 2,151,186-ზე მეტ რიცხვს. გვაქვს 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186, ასე რომ, ყველაზე მნიშვნელოვანი ციფრი არის ათეულის ციფრი.

მოდით განვსაზღვროთ მისი ღირებულება.

103 წლიდან<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, მაშინ ათეულების ადგილის მნიშვნელობა არის 1. მოდით გადავიდეთ ერთეულებზე.

ამრიგად, ერთის ციფრის მნიშვნელობა არის 2. გადავიდეთ მეათედებზე.

ვინაიდან თუნდაც 12,9 3 ნაკლებია რადიკალურ რიცხვზე 2 151,186, მაშინ მეათე ადგილის მნიშვნელობა არის 9. რჩება ალგორითმის ბოლო საფეხურის შესრულება საჭირო სიზუსტით.

ამ ეტაპზე, ფესვის მნიშვნელობა ზუსტია მეასედამდე: .

ამ სტატიის დასასრულს, მინდა ვთქვა, რომ ფესვების ამოღების მრავალი სხვა გზა არსებობს. მაგრამ უმრავლესობისთვის საკმარისია ის, რაც ზემოთ შევისწავლეთ.

ბიბლიოგრაფია.

• მაკარიჩევი იუ.ნ., მინდიუკ ნ.გ., ნეშკოვი კ.ი., სუვოროვა ს.ბ. ალგებრა: სახელმძღვანელო მე-8 კლასისთვის. საგანმანათლებო ინსტიტუტები.
• კოლმოგოროვი A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. და სხვა ალგებრა და ანალიზის საწყისები: ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების მე-10 - მე-11 კლასების სახელმძღვანელო.
• გუსევი V.A., Mordkovich A.G. მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკურ სასწავლებლებში შესვლისთვის).

რა არის კვადრატული ფესვი?

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალაში სპეციალური სექცია 555.
მათთვის, ვინც ძალიან "არ არის ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

ეს კონცეფცია ძალიან მარტივია. ბუნებრივია, მე ვიტყოდი. მათემატიკოსები ცდილობენ იპოვონ რეაქცია ყოველ მოქმედებაზე. არის შეკრება - არის გამოკლებაც. არის გამრავლება - არის გაყოფაც. არის კვადრატი... ასეც არის კვადრატული ფესვის აღება!Სულ ეს არის. ეს ქმედება ( კვადრატული ფესვი) მათემატიკაში მითითებულია ეს ხატი:

თავად ხატს მშვენიერი სიტყვა ჰქვია " რადიკალური".

როგორ ამოიღოთ ფესვი?ჯობია შეხედო მაგალითები.

რა არის 9-ის კვადრატული ფესვი? რა რიცხვი კვადრატში მოგვცემს 9-ს? 3 კვადრატში გვაძლევს 9-ს! ესენი:

მაგრამ რა არის ნულის კვადრატული ფესვი? Არაა პრობლემა! რა რიცხვის კვადრატში გამოდის ნული? დიახ, ის იძლევა ნულს! ნიშნავს:

Გავიგე, რა არის კვადრატული ფესვი?შემდეგ განვიხილავთ მაგალითები:

პასუხები (არეულად): 6; 1; 4; 9; 5.

გადაწყვიტა? მართლა, რამდენად ადვილია ეს?!

მაგრამ... რას აკეთებს ადამიანი, როცა ხედავს რაღაც ამოცანის ფესვებს?

ადამიანი იწყებს სევდას... მას არ სჯერა თავისი ფესვების უბრალოებისა და სიმსუბუქის. მიუხედავად იმისა, რომ მან, როგორც ჩანს, იცის რა არის კვადრატული ფესვი...

ეს იმიტომ ხდება, რომ ადამიანმა ფესვების შესწავლისას უგულებელყო რამდენიმე მნიშვნელოვანი პუნქტი. მერე ეს მოდები სასტიკ შურს იძიებენ ტესტებზე და გამოცდებზე...

წერტილი ერთი. ფესვები ნახვით უნდა ამოიცნო!

რა არის 49-ის კვადრატული ფესვი? შვიდი? უფლება! საიდან იცოდი რომ შვიდი იყო? კვადრატში შვიდი და მიიღეთ 49? უფლება! გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ამოიღეთ ფესვი 49-დან საპირისპირო ოპერაცია უნდა გაგვეკეთებინა - კვადრატი 7! და დარწმუნდით, რომ არ გამოგრჩეთ. ან შეიძლება გამოგრჩეთ...

ეს არის სირთულე ფესვის მოპოვება. მოედანითქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ნებისმიერი ნომერი უპრობლემოდ. გაამრავლეთ რიცხვი თავისთავად სვეტით - ეს ყველაფერია. მაგრამ ამისთვის ფესვის მოპოვებაარ არსებობს ასეთი მარტივი და უშეცდომოდ უსაფრთხო ტექნოლოგია. Ჩვენ უნდა აღებაუპასუხეთ და შეამოწმეთ სწორია თუ არა კვადრატში.

ეს რთული შემოქმედებითი პროცესი - პასუხის არჩევა - მნიშვნელოვნად გამარტივდება, თუ თქვენ გახსოვდესპოპულარული რიცხვების კვადრატები. გამრავლების ცხრილის მსგავსად. თუ, ვთქვათ, 4-ის 6-ზე გამრავლება გჭირდებათ, ოთხს 6-ჯერ არ შეკრებთ, არა? პასუხი 24 მყისიერად ჩნდება, თუმცა ყველა არ იღებს მას, დიახ...

ფესვებთან თავისუფლად და წარმატებით მუშაობისთვის საკმარისია იცოდეთ რიცხვების კვადრატები 1-დან 20-მდე. მეტიც. იქდა უკან.იმათ. თქვენ უნდა შეძლოთ ადვილად წარმოთქვათ ორივე, ვთქვათ, 11 კვადრატი და 121-ის კვადრატული ფესვი. ამ დამახსოვრების მისაღწევად ორი გზა არსებობს. პირველი არის კვადრატების ცხრილის სწავლა. ეს დიდი დახმარება იქნება მაგალითების ამოხსნაში. მეორე არის მეტი მაგალითის ამოხსნა. ეს დიდად დაგეხმარებათ დაიმახსოვროთ კვადრატების ცხრილი.

და არა კალკულატორები! მხოლოდ ტესტირების მიზნით. თორემ გამოცდაზე უმოწყალოდ შეანელებ...

Ისე, რა არის კვადრატული ფესვიᲓა როგორ ფესვების ამოღება- ვფიქრობ, გასაგებია. ახლა მოდით გავარკვიოთ, რისგან შეგვიძლია მათი ამოღება.

წერტილი ორი. ფესვი, არ გიცნობ!

რა რიცხვებიდან შეიძლება კვადრატული ფესვების აღება? დიახ, თითქმის ნებისმიერი მათგანი. უფრო ადვილია იმის გაგება, თუ რისგან არის აკრძალულიაამოიღეთ ისინი.

შევეცადოთ გამოვთვალოთ ეს ფესვი:

ამისათვის უნდა ავირჩიოთ რიცხვი, რომელიც კვადრატში მოგვცემს -4-ს. ჩვენ ვირჩევთ.

რა, არ ჯდება? 2 2 იძლევა +4. (-2) 2 ისევ +4-ს იძლევა! ესე იგი... არ არსებობს რიცხვები, რომლებიც კვადრატში გამოგვიყვანს უარყოფით რიცხვს! მიუხედავად იმისა, რომ მე ვიცი ეს ნომრები. მაგრამ არ გეტყვი). წადი კოლეჯში და შენ თვითონ მიხვდები.

იგივე ამბავი მოხდება ნებისმიერ უარყოფით რიცხვთან. აქედან დასკვნა:

გამონათქვამი, რომელშიც კვადრატული ფესვის ნიშნის ქვეშ არის უარყოფითი რიცხვი - აზრი არ აქვს! ეს აკრძალული ოპერაციაა. ეს ისეთივე აკრძალულია, როგორც ნულზე გაყოფა. მტკიცედ დაიმახსოვრეთ ეს ფაქტი!ან სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ:

თქვენ არ შეგიძლიათ კვადრატული ფესვების ამოღება უარყოფითი რიცხვებიდან!

მაგრამ ყველა დანარჩენიდან, ეს შესაძლებელია. მაგალითად, სავსებით შესაძლებელია გამოთვლა

ერთი შეხედვით, ეს ძალიან რთულია. წილადების შერჩევა და მათი კვადრატი... არ ინერვიულოთ. როდესაც გავიგებთ ფესვების თვისებებს, ასეთი მაგალითები დაიყვანება კვადრატების იმავე ცხრილში. ცხოვრება უფრო ადვილი გახდება!

კარგი, წილადები. მაგრამ მაინც ვხვდებით გამონათქვამებს, როგორიცაა:

Ყველაფერი კარგადაა. Ერთი და იგივე. ორის კვადრატული ფესვი არის ის რიცხვი, რომელიც კვადრატში გვაძლევს ორს. მხოლოდ ეს რიცხვია სრულიად არათანაბარი... აი:

საინტერესო ის არის, რომ ეს წილადი არასოდეს მთავრდება... ასეთ რიცხვებს ირაციონალურს უწოდებენ. კვადრატულ ფესვებში ეს ყველაზე გავრცელებულია. სხვათა შორის, სწორედ ამიტომ ეძახიან გამოთქმებს ფესვებით ირაციონალური. გასაგებია, რომ ასეთი უსასრულო წილადის მუდმივად წერა მოუხერხებელია. ამიტომ, უსასრულო წილადის ნაცვლად, ისინი ასე ტოვებენ:

თუ მაგალითის ამოხსნისას მიიღებთ რაღაცას, რომლის ამოღებაც შეუძლებელია, მაგალითად:

შემდეგ ასე დავტოვებთ. ეს იქნება პასუხი.

თქვენ ნათლად უნდა გესმოდეთ რას ნიშნავს ხატები

რა თქმა უნდა, თუ რიცხვის ფესვი აღებულია გლუვი, თქვენ უნდა გააკეთოთ ეს. დავალების პასუხი ფორმაშია, მაგალითად

საკმაოდ სრული პასუხია.

და, რა თქმა უნდა, თქვენ უნდა იცოდეთ სავარაუდო მნიშვნელობები მეხსიერებიდან:

ეს ცოდნა დიდად ეხმარება სიტუაციის შეფასებას რთულ ამოცანებში.

წერტილი სამი. ყველაზე ცბიერი.

ფესვებთან მუშაობის მთავარი დაბნეულობა სწორედ ამ წერტილით არის გამოწვეული. სწორედ ის ანიჭებს საკუთარ შესაძლებლობებს ნდობას... მოდი სწორად გავუმკლავდეთ ამ საკითხს!

ჯერ ისევ ავიღოთ ოთხი მათგანის კვადრატული ფესვი. ამ ძირით უკვე შეგაწუხე?) არაუშავს, ახლა საინტერესო იქნება!

რა რიცხვია 4 კვადრატში? კარგი, ორი, ორი - მესმის უკმაყოფილო პასუხები...

უფლება. ორი. Მაგრამ ასევე მინუს ორიმისცემს 4-ს კვადრატში... ამასობაში პასუხი

სწორი და პასუხი

უხეში შეცდომა. Ამგვარად.

მერე რა არის საქმე?

მართლაც, (-2) 2 = 4. და ოთხის კვადრატული ფესვის განმარტებით მინუს ორისაკმაოდ შესაფერისი... ესეც ოთხის კვადრატული ფესვი.

მაგრამ! სასკოლო მათემატიკის კურსში ჩვეულებრივია კვადრატული ფესვების გათვალისწინება მხოლოდ არაუარყოფითი რიცხვები!ანუ ნული და ყველა დადებითია. სპეციალური ტერმინიც კი გამოიგონეს: ნომრიდან ა- ეს არაუარყოფითირიცხვი, რომლის კვადრატი არის ა. არითმეტიკული კვადრატული ფესვის ამოღებისას უარყოფითი შედეგები უბრალოდ უგულებელყოფილია. სკოლაში ყველაფერი კვადრატული ფესვია - არითმეტიკა. მიუხედავად იმისა, რომ ეს განსაკუთრებით არ არის ნახსენები.

კარგი, გასაგებია. კიდევ ჯობია არ შეგაწუხოთ უარყოფითი შედეგები... ეს ჯერ არ არის დაბნეულობა.

დაბნეულობა იწყება კვადრატული განტოლებების ამოხსნისას. მაგალითად, თქვენ უნდა ამოხსნათ შემდეგი განტოლება.

განტოლება მარტივია, ჩვენ ვწერთ პასუხს (როგორც გვასწავლის):

ეს პასუხი (სხვათა შორის, აბსოლუტურად სწორია) მხოლოდ შემოკლებული ვერსიაა ორიპასუხობს:

გაჩერდი, გაჩერდი! ზუსტად ზემოთ დავწერე რომ კვადრატული ფესვი რიცხვია ყოველთვისარაუარყოფითი! და აქ არის ერთ-ერთი პასუხი - უარყოფითი! განუკითხაობა. ეს არის პირველი (მაგრამ არა უკანასკნელი) პრობლემა, რომელიც იწვევს ფესვების უნდობლობას... მოდით, ეს პრობლემა მოვაგვაროთ. მოდით ჩავწეროთ პასუხები (მხოლოდ გასაგებად!) ასე:

ფრჩხილები არ ცვლის პასუხის არსს. უბრალოდ ფრჩხილებით გამოვყავი ნიშნებისაწყისი ფესვი. ახლა თქვენ ნათლად ხედავთ, რომ თავად ფესვი (ფრჩხილებში) ჯერ კიდევ არაუარყოფითი რიცხვია! და ნიშნებია განტოლების ამოხსნის შედეგი. ყოველივე ამის შემდეგ, ნებისმიერი განტოლების ამოხსნისას უნდა დავწეროთ ყველა X-ები, რომლებიც საწყის განტოლებაში ჩანაცვლებისას მისცემს სწორ შედეგს. ხუთის ფესვი (დადებითი!) პლუსთან და მინუსთან ერთად ჯდება ჩვენს განტოლებაში.

Ამგვარად. Თუ შენ უბრალოდ აიღეთ კვადრატული ფესვიარაფრისგან, შენ ყოველთვისთქვენ მიიღებთ ერთი არაუარყოფითიშედეგი. Მაგალითად:

Იმიტომ, რომ ეს - არითმეტიკული კვადრატული ფესვი.

მაგრამ თუ თქვენ ხსნით კვადრატულ განტოლებას, მაგალითად:

რომ ყოველთვისთურმე ორიპასუხი (პლუს და მინუსებით):

რადგან ეს არის განტოლების ამოხსნა.

იმედი, რა არის კვადრატული ფესვითქვენ ნათლად გაქვთ თქვენი ქულები. ახლა რჩება იმის გარკვევა, თუ რა შეიძლება გაკეთდეს ფესვებთან, რა არის მათი თვისებები. და რა არის პუნქტები და ხარვეზები... უკაცრავად, ქვები!)

ეს ყველაფერი მოცემულია შემდეგ გაკვეთილებში.

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. ვისწავლოთ - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.