როგორია კვადრატული განტოლების ფორმა? კვადრატული განტოლებები

ვიდეო გაკვეთილი 2: კვადრატული განტოლებების ამოხსნა

ლექცია: კვადრატული განტოლებები

განტოლება- ეს არის ერთგვარი თანასწორობა, რომლის გამონათქვამებში არის ცვლადი.

ამოხსენით განტოლება- ნიშნავს რიცხვის პოვნას ცვლადის ნაცვლად, რომელიც მიიყვანს მას სწორ ტოლობაში.

განტოლებას შეიძლება ჰქონდეს ერთი ამონახსნი, რამდენიმე ან საერთოდ არც ერთი.

ნებისმიერი განტოლების ამოსახსნელად, ის მაქსიმალურად უნდა გამარტივდეს ფორმაზე:

ხაზოვანი: a*x = b;

მოედანი: a*x 2 + b*x + c = 0.

ანუ ნებისმიერი განტოლება ამოხსნამდე უნდა გადაკეთდეს სტანდარტულ ფორმაში.

ნებისმიერი განტოლება შეიძლება ამოხსნას ორი გზით: ანალიტიკური და გრაფიკული.

გრაფიკზე განტოლების ამონახსნი ითვლება წერტილებად, რომლებშიც გრაფიკი კვეთს OX ღერძს.

კვადრატული განტოლებები

a*x 2 + b*x + c = 0.

სადაც ა, ბ, გარის განტოლების კოეფიციენტები, რომლებიც განსხვავდება ნულიდან. ა "X"- განტოლების ფესვი. ითვლება, რომ კვადრატულ განტოლებას აქვს ორი ფესვი ან შეიძლება საერთოდ არ ჰქონდეს ამოხსნა. შედეგად მიღებული ფესვები შეიძლება იყოს იგივე.

"A"- კოეფიციენტი, რომელიც დგას კვადრატული ფესვის წინ.

"ბ"- პირველ ხარისხში უცნობის წინაშე დგას.

"თან"არის განტოლების თავისუფალი წევრი.

თუ, მაგალითად, გვაქვს ფორმის განტოლება:

2x 2 -5x+3=0

მასში "2" არის განტოლების წამყვანი წევრის კოეფიციენტი, "-5" არის მეორე კოეფიციენტი და "3" არის თავისუფალი წევრი.

კვადრატული განტოლების ამოხსნა

კვადრატული განტოლების ამოხსნის უამრავი გზა არსებობს. თუმცა სასკოლო მათემატიკის კურსში ამონახსნის შესწავლა ხდება ვიეტას თეორემის გამოყენებით, ასევე დისკრიმინანტის გამოყენებით.

დისკრიმინაციული გამოსავალი:

ამ მეთოდის გამოყენებით ამოხსნისას აუცილებელია დისკრიმინანტის გამოთვლა ფორმულის გამოყენებით:

თუ გამოთვლების დროს აღმოაჩენთ, რომ დისკრიმინანტი ნულზე ნაკლებია, ეს ნიშნავს, რომ ამ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები.

თუ დისკრიმინანტი ნულია, მაშინ განტოლებას აქვს ორი იდენტური ამონახსნები. ამ შემთხვევაში, პოლინომი შეიძლება დაიშალოს გამრავლების შემოკლებული ფორმულის გამოყენებით ჯამის ან სხვაობის კვადრატში. შემდეგ ამოიღეთ იგი წრფივი განტოლების სახით. ან გამოიყენეთ ფორმულა:

თუ დისკრიმინანტი ნულზე მეტია, მაშინ უნდა გამოიყენოთ შემდეგი მეთოდი:

ვიეტას თეორემა

თუ განტოლება მოცემულია, ანუ წამყვანი წევრის კოეფიციენტი უდრის ერთს, მაშინ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ვიეტას თეორემა.

ასე რომ, დავუშვათ, განტოლება არის:

განტოლების ფესვები გვხვდება შემდეგნაირად:

არასრული კვადრატული განტოლება

არასრული კვადრატული განტოლების მიღების რამდენიმე ვარიანტი არსებობს, რომლის ფორმა დამოკიდებულია კოეფიციენტების არსებობაზე.

1. თუ მეორე და მესამე კოეფიციენტები ნულის ტოლია (b = 0, c = 0), მაშინ კვადრატული განტოლება ასე გამოიყურება:

ამ განტოლებას ექნება უნიკალური ამონახსნი. ტოლობა იქნება ჭეშმარიტი მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ განტოლების ამონახსნი არის ნული.

ჩვენ ვაგრძელებთ თემის შესწავლას" განტოლებების ამოხსნა" ჩვენ უკვე გავეცანით წრფივ განტოლებებს და გადავდივართ გაცნობაზე კვადრატული განტოლებები.

პირველ რიგში, ჩვენ გადავხედავთ რა არის კვადრატული განტოლება, როგორ იწერება იგი ზოგადი ფორმით და მივცემთ შესაბამის განმარტებებს. ამის შემდეგ, ჩვენ გამოვიყენებთ მაგალითებს, რათა დეტალურად გამოვიკვლიოთ, თუ როგორ ამოიხსნება არასრული კვადრატული განტოლებები. შემდეგ გადავალთ სრული განტოლებების ამოხსნაზე, მივიღებთ ფესვის ფორმულას, გავეცნობით კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტს და განვიხილავთ ტიპიური მაგალითების ამონახსნებს. და ბოლოს, მოდით მივყვეთ კავშირებს ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის.

გვერდის ნავიგაცია.

რა არის კვადრატული განტოლება? მათი ტიპები

ჯერ ნათლად უნდა გესმოდეთ რა არის კვადრატული განტოლება. მაშასადამე, ლოგიკურია კვადრატული განტოლებების შესახებ საუბრის დაწყება კვადრატული განტოლების განმარტებით, ასევე მასთან დაკავშირებული განმარტებებით. ამის შემდეგ შეგიძლიათ განიხილოთ კვადრატული განტოლებების ძირითადი ტიპები: შემცირებული და შეუმცირებელი, ასევე სრული და არასრული განტოლებები.

კვადრატული განტოლებების განმარტება და მაგალითები

განმარტება.

Კვადრატული განტოლებაარის ფორმის განტოლება a x 2 +b x+c=0, სადაც x არის ცვლადი, a, b და c არის რამდენიმე რიცხვი, ხოლო a არის არა ნულოვანი.

დაუყოვნებლივ ვთქვათ, რომ კვადრატულ განტოლებებს ხშირად მეორე ხარისხის განტოლებებს უწოდებენ. ეს იმის გამო ხდება, რომ კვადრატული განტოლება არის ალგებრული განტოლებამეორე ხარისხი.

აღნიშნული განმარტება საშუალებას გვაძლევს მოვიყვანოთ კვადრატული განტოლებების მაგალითები. ანუ 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0 და ა.შ. ეს არის კვადრატული განტოლებები.

განმარტება.

ნომრები a, b და c ეწოდება კვადრატული განტოლების კოეფიციენტები a·x 2 +b·x+c=0 და a კოეფიციენტს ეწოდება პირველი, ან უმაღლესი, ან x 2-ის კოეფიციენტი, b არის მეორე კოეფიციენტი, ან x-ის კოეფიციენტი და c არის თავისუფალი წევრი. .

მაგალითად, ავიღოთ 5 x 2 −2 x −3=0 ფორმის კვადრატული განტოლება, აქ წამყვანი კოეფიციენტია 5, მეორე კოეფიციენტი −2, ხოლო თავისუფალი წევრი −3. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ როდესაც b და/ან c კოეფიციენტები უარყოფითია, როგორც ახლახან მოცემულ მაგალითში, კვადრატული განტოლების მოკლე ფორმაა 5 x 2 −2 x−3=0, ვიდრე 5 x 2 +(−2 ) ·x+(−3)=0 .

აღსანიშნავია, რომ როდესაც a და/ან b კოეფიციენტები უდრის 1-ს ან −1-ს, მაშინ ისინი, როგორც წესი, აშკარად არ გვხვდება კვადრატულ განტოლებაში, რაც განპირობებულია ასეთის ჩაწერის თავისებურებებით. მაგალითად, კვადრატულ განტოლებაში y 2 −y+3=0 წამყვანი კოეფიციენტია ერთი, ხოლო y-ის კოეფიციენტი ტოლია −1-ის.

შემცირებული და შეუმცირებელი კვადრატული განტოლებები

წამყვანი კოეფიციენტის მნიშვნელობიდან გამომდინარე, განასხვავებენ შემცირებულ და შეუმცირებელ კვადრატულ განტოლებებს. მოდით მივცეთ შესაბამისი განმარტებები.

განმარტება.

კვადრატული განტოლება, რომელშიც წამყვანი კოეფიციენტი არის 1, ეწოდება მოცემული კვადრატული განტოლება. წინააღმდეგ შემთხვევაში, კვადრატული განტოლება არის ხელუხლებელი.

ამ განსაზღვრების მიხედვით, კვადრატული განტოლებები x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 და ა.შ. – მოცემული, თითოეულ მათგანში პირველი კოეფიციენტი უდრის ერთს. A 5 x 2 −x−1=0 და ა.შ. - შეუმცირებელი კვადრატული განტოლებები, მათი წამყვანი კოეფიციენტები განსხვავდება 1-ისგან.

ნებისმიერი შეუმცირებელი კვადრატული განტოლებიდან, ორივე მხარის წამყვან კოეფიციენტზე გაყოფით, შეგიძლიათ გადახვიდეთ შემცირებულზე. ეს მოქმედება არის ეკვივალენტური ტრანსფორმაცია, ანუ ამ გზით მიღებულ შემცირებულ კვადრატულ განტოლებას აქვს იგივე ფესვები, რაც თავდაპირველ შეუმცირებელ კვადრატულ განტოლებას, ან, როგორც მას, არ აქვს ფესვები.

მოდით შევხედოთ მაგალითს, თუ როგორ ხდება გადასვლა შეუმცირებელი კვადრატული განტოლებიდან შემცირებულზე.

მაგალითი.

3 x 2 +12 x−7=0 განტოლებიდან გადადით შესაბამის შემცირებულ კვადრატულ განტოლებაზე.

გამოსავალი.

ჩვენ უბრალოდ უნდა გავყოთ საწყისი განტოლების ორივე მხარე წამყვან კოეფიციენტზე 3, ის არ არის ნულოვანი, ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია შევასრულოთ ეს მოქმედება. გვაქვს (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, რაც იგივეა, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 და შემდეგ (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, საიდანაც . ასე მივიღეთ შემცირებული კვადრატული განტოლება, რომელიც ორიგინალის ტოლფასია.

პასუხი:

სრული და არასრული კვადრატული განტოლებები

კვადრატული განტოლების განმარტება შეიცავს a≠0 პირობას. ეს პირობა აუცილებელია იმისათვის, რომ განტოლება a x 2 + b x + c = 0 იყოს კვადრატული, რადგან როდესაც a = 0 ის რეალურად ხდება b x + c = 0 ფორმის წრფივი განტოლება.

რაც შეეხება b და c კოეფიციენტებს, ისინი შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, როგორც ცალკე, ისე ერთად. ამ შემთხვევებში კვადრატულ განტოლებას არასრული ეწოდება.

განმარტება.

კვადრატული განტოლება a x 2 +b x+c=0 ეწოდება არასრული, თუ b, c კოეფიციენტებიდან ერთი მაინც ნულის ტოლია.

თავის მხრივ

განმარტება.

სრული კვადრატული განტოლებაარის განტოლება, რომელშიც ყველა კოეფიციენტი განსხვავდება ნულიდან.

ასეთი სახელები შემთხვევით არ დასახელებულა. ეს ცხადი გახდება შემდეგი დისკუსიებიდან.

თუ b კოეფიციენტი არის ნული, მაშინ კვადრატული განტოლება იღებს ფორმას a·x 2 +0·x+c=0 და ის ტოლია a·x 2 +c=0 განტოლების. თუ c=0, ანუ კვადრატულ განტოლებას აქვს ფორმა a·x 2 +b·x+0=0, მაშინ ის შეიძლება გადაიწეროს როგორც a·x 2 +b·x=0. ხოლო b=0 და c=0-ით ვიღებთ კვადრატულ განტოლებას a·x 2 =0. შედეგად მიღებული განტოლებები განსხვავდება სრული კვადრატული განტოლებისგან იმით, რომ მათი მარცხენა მხარე არ შეიცავს არც ტერმინს x ცვლადით, არც თავისუფალ წევრს ან ორივეს. აქედან მოდის მათი სახელწოდება - არასრული კვადრატული განტოლებები.

ასე რომ, განტოლებები x 2 +x+1=0 და −2 x 2 −5 x+0.2=0 არის სრული კვადრატული განტოლებების მაგალითები და x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 არასრული კვადრატული განტოლებებია.

არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა

წინა აბზაცში მოცემული ინფორმაციადან გამომდინარეობს, რომ არსებობს სამი სახის არასრული კვადრატული განტოლება:

• a·x 2 =0, მას შეესაბამება b=0 და c=0 კოეფიციენტები;
• a x 2 +c=0 როდესაც b=0 ;
• და a·x 2 +b·x=0 როცა c=0.

მოდით განვიხილოთ თანმიმდევრობით, თუ როგორ არის ამოხსნილი თითოეული ამ ტიპის არასრული კვადრატული განტოლებები.

a x 2 =0

დავიწყოთ არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნით, რომლებშიც b და c კოეფიციენტები ნულის ტოლია, ანუ a x 2 =0 ფორმის განტოლებებით. განტოლება a·x 2 =0 უდრის განტოლებას x 2 =0, რომელიც მიიღება ორიგინალიდან ორივე ნაწილის გაყოფით არანულოვანი რიცხვით a. ცხადია, x 2 =0 განტოლების ფესვი არის ნული, ვინაიდან 0 2 =0. ამ განტოლებას სხვა ფესვები არ აქვს, რაც აიხსნება იმით, რომ ნებისმიერი არანულოვანი რიცხვისთვის p მოქმედებს უტოლობა p 2 >0, რაც ნიშნავს, რომ p≠0 ტოლობის p 2 =0 არასოდეს მიიღწევა.

ასე რომ, არასრულ კვადრატულ განტოლებას a·x 2 =0 აქვს ერთი ფესვი x=0.

მაგალითად, ჩვენ ვაძლევთ ამოხსნას არასრული კვადრატული განტოლების −4 x 2 =0. იგი უდრის განტოლებას x 2 =0, მისი ერთადერთი ფესვი არის x=0, შესაბამისად, თავდაპირველ განტოლებას აქვს ერთი ძირი ნული.

მოკლე გამოსავალი ამ შემთხვევაში შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:
−4 x 2 =0,
x 2 =0,
x=0.

a x 2 +c=0

ახლა ვნახოთ, როგორ იხსნება არასრული კვადრატული განტოლებები, რომლებშიც b კოეფიციენტი არის ნული და c≠0, ანუ a x 2 +c=0 ფორმის განტოლებები. ჩვენ ვიცით, რომ ტერმინის გადატანა განტოლების ერთი მხრიდან მეორეზე საპირისპირო ნიშნით, ისევე როგორც განტოლების ორივე მხარის გაყოფა არანულოვანი რიცხვით, იძლევა ეკვივალენტურ განტოლებას. ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია განვახორციელოთ არასრული კვადრატული განტოლების შემდეგი ეკვივალენტური გარდაქმნები a x 2 +c=0:

• გადაიტანეთ c მარჯვენა მხარეს, რაც იძლევა განტოლებას a x 2 =−c,
• და გავყოთ ორივე მხარე a-ზე, მივიღებთ .

მიღებული განტოლება საშუალებას გვაძლევს გამოვიტანოთ დასკვნები მისი ფესვების შესახებ. a და c მნიშვნელობებიდან გამომდინარე, გამოხატვის მნიშვნელობა შეიძლება იყოს უარყოფითი (მაგალითად, თუ a=1 და c=2, მაშინ ) ან დადებითი (მაგალითად, თუ a=−2 და c=6, მაშინ ), ის არ არის ნული, რადგან პირობით c≠0. ცალკე გავაანალიზებთ შემთხვევებს და.

თუ , მაშინ განტოლებას არ აქვს ფესვები. ეს განცხადება გამომდინარეობს იქიდან, რომ ნებისმიერი რიცხვის კვადრატი არის არაუარყოფითი რიცხვი. აქედან გამომდინარეობს, რომ როდესაც , მაშინ ნებისმიერი p რიცხვისთვის ტოლობა არ შეიძლება იყოს ჭეშმარიტი.

თუ , მაშინ განტოლების ფესვებთან სიტუაცია განსხვავებულია. ამ შემთხვევაში, თუ გვახსოვს , მაშინ განტოლების ძირი მაშინვე ცხადი ხდება ეს რიცხვი, ვინაიდან . ადვილი მისახვედრია, რომ რიცხვი ასევე არის განტოლების ფესვი, მართლაც, . ამ განტოლებას არ აქვს სხვა ფესვები, რაც შეიძლება ნაჩვენები იყოს, მაგალითად, წინააღმდეგობით. Მოდი გავაკეთოთ ეს.

მოდით აღვნიშნოთ x 1 და −x 1-ად გამოცხადებული განტოლების ფესვები. დავუშვათ, რომ განტოლებას აქვს კიდევ ერთი ფესვი x 2, რომელიც განსხვავდება მითითებული ფესვებისგან x 1 და −x 1. ცნობილია, რომ მისი ფესვების განტოლებით ჩანაცვლება x-ის ნაცვლად განტოლებას აქცევს სწორ რიცხვობრივ ტოლობაში. x 1-სთვის და −x 1-ისთვის გვაქვს , ხოლო x 2-ისთვის გვაქვს . რიცხვითი ტოლობების თვისებები საშუალებას გვაძლევს შევასრულოთ სწორი რიცხვითი ტოლობების გამოკლება ტერმინებით, ამიტომ ტოლობების შესაბამისი ნაწილების გამოკლება იძლევა x 1 2 −x 2 2 =0. რიცხვებთან მოქმედებების თვისებები საშუალებას გვაძლევს გადავწეროთ მიღებული ტოლობა როგორც (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. ჩვენ ვიცით, რომ ორი რიცხვის ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ერთი მათგანი მაინც ნულის ტოლია. მაშასადამე, მიღებული ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ x 1 −x 2 =0 და/ან x 1 +x 2 =0, რაც იგივეა, x 2 =x 1 და/ან x 2 =−x 1. ასე მივედით წინააღმდეგობამდე, რადგან დასაწყისში ვთქვით, რომ x 2 განტოლების ფესვი განსხვავდება x 1 და −x 1-ისგან. ეს ადასტურებს, რომ განტოლებას არ აქვს ფესვები გარდა და.

მოდით შევაჯამოთ ინფორმაცია ამ პუნქტში. არასრული კვადრატული განტოლება a x 2 +c=0 უდრის იმ განტოლებას, რომელიც

• ფესვები არ აქვს, თუ
• აქვს ორი ფესვი და თუ .

განვიხილოთ a·x 2 +c=0 ფორმის არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მაგალითები.

დავიწყოთ კვადრატული განტოლებით 9 x 2 +7=0. თავისუფალი წევრის განტოლების მარჯვენა მხარეს გადატანის შემდეგ ის მიიღებს 9 x 2 =−7 ფორმას. მიღებული განტოლების ორივე მხარეს 9-ზე გავყოფთ, მივიღებთ. ვინაიდან მარჯვენა მხარეს აქვს უარყოფითი რიცხვი, ამ განტოლებას არ აქვს ფესვები, შესაბამისად, თავდაპირველ არასრულ კვადრატულ განტოლებას 9 x 2 +7 = 0 ფესვები არ აქვს.

ამოხსნათ კიდევ ერთი არასრული კვადრატული განტოლება −x 2 +9=0. ცხრას გადავიტანთ მარჯვენა მხარეს: −x 2 =−9. ახლა ორივე მხარეს ვყოფთ −1-ზე, მივიღებთ x 2 =9. მარჯვენა მხარეს არის დადებითი რიცხვი, საიდანაც ვასკვნით, რომ ან . შემდეგ ვწერთ საბოლოო პასუხს: არასრულ კვადრატულ განტოლებას −x 2 +9=0 აქვს ორი ფესვი x=3 ან x=−3.

a x 2 +b x=0

რჩება საქმე ბოლო ტიპის არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნასთან c=0-ისთვის. a x 2 + b x = 0 ფორმის არასრული კვადრატული განტოლებები საშუალებას გაძლევთ ამოხსნათ ფაქტორიზაციის მეთოდი. ცხადია, შეგვიძლია განტოლების მარცხენა მხარეს განლაგებული, რისთვისაც საკმარისია ფრჩხილებიდან ავიღოთ საერთო x ფაქტორი. ეს საშუალებას გვაძლევს გადავიდეთ ორიგინალური არასრული კვადრატული განტოლებიდან x·(a·x+b)=0 ფორმის ეკვივალენტურ განტოლებაზე. და ეს განტოლება უდრის ორი განტოლების სიმრავლეს x=0 და a·x+b=0, რომელთაგან ეს უკანასკნელი წრფივია და აქვს ფესვი x=−b/a.

ასე რომ, არასრულ კვადრატულ განტოლებას a·x 2 +b·x=0 აქვს ორი ფესვი x=0 და x=−b/a.

მასალის კონსოლიდაციის მიზნით, ჩვენ გავაანალიზებთ კონკრეტული მაგალითის გადაწყვეტას.

მაგალითი.

ამოხსენით განტოლება.

გამოსავალი.

x-ის ამოღება ფრჩხილებიდან იძლევა განტოლებას. იგი უდრის ორ განტოლებას x=0 და . ვხსნით მიღებულ წრფივ განტოლებას: და შერეული რიცხვის ჩვეულებრივ წილადზე გაყოფით ვპოულობთ . მაშასადამე, საწყისი განტოლების ფესვებია x=0 და .

საჭირო პრაქტიკის მოპოვების შემდეგ, ასეთი განტოლებების ამონახსნები შეიძლება მოკლედ დაიწეროს:

პასუხი:

x=0, .

დისკრიმინანტი, კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულა

კვადრატული განტოლებების ამოსახსნელად, არსებობს ფესვის ფორმულა. მოდი ჩავწეროთ კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულა: , სად D=b 2 −4 a c- ე. წ კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი. ჩანაწერი არსებითად ნიშნავს იმას.

სასარგებლოა იმის ცოდნა, თუ როგორ იქნა მიღებული ფესვის ფორმულა და როგორ გამოიყენება იგი კვადრატული განტოლებების ფესვების მოსაძებნად. მოდით გავარკვიოთ ეს.

კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის გამოყვანა

დაგვჭირდება ამოხსნათ კვადრატული განტოლება a·x 2 +b·x+c=0. მოდით შევასრულოთ რამდენიმე ეკვივალენტური ტრანსფორმაცია:

• ჩვენ შეგვიძლია ამ განტოლების ორივე მხარე გავყოთ არანულოვანი რიცხვით a, რის შედეგადაც მივიღებთ შემდეგ კვადრატულ განტოლებას.
• ახლა აირჩიეთ სრული კვადრატიმის მარცხენა მხარეს: . ამის შემდეგ, განტოლება მიიღებს ფორმას.
• ამ ეტაპზე შესაძლებელია ბოლო ორი ტერმინის მარჯვენა მხარეს გადატანა საპირისპირო ნიშნით, გვაქვს .
• და მოდი ასევე გადავცვალოთ გამოთქმა მარჯვენა მხარეს: .

შედეგად მივდივართ განტოლებამდე, რომელიც ექვივალენტურია თავდაპირველი კვადრატული განტოლებისა a·x 2 +b·x+c=0.

წინა აბზაცებში, როდესაც განვიხილეთ, მსგავსი განტოლებები უკვე გადავჭრით. ეს საშუალებას გვაძლევს გამოვიტანოთ შემდეგი დასკვნები განტოლების ფესვებთან დაკავშირებით:

• თუ , მაშინ განტოლებას არ აქვს რეალური ამონახსნები;
• თუ , მაშინ განტოლებას აქვს ფორმა, მაშასადამე, , საიდანაც ჩანს მისი ერთადერთი ფესვი;
• თუ , მაშინ ან , რომელიც იგივეა, რაც ან , ანუ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.

ამრიგად, განტოლების ფესვების არსებობა ან არარსებობა და, შესაბამისად, ორიგინალური კვადრატული განტოლება დამოკიდებულია გამოხატვის ნიშანზე მარჯვენა მხარეს. თავის მხრივ, ამ გამოხატვის ნიშანი განისაზღვრება მრიცხველის ნიშნით, ვინაიდან მნიშვნელი 4·a 2 ყოველთვის დადებითია, ანუ b 2 −4·a·c გამოხატვის ნიშნით. ეს გამოთქმა b 2 −4 a c ეწოდა კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტიდა დანიშნულია წერილით დ. აქედან ირკვევა დისკრიმინანტის არსი - მისი მნიშვნელობიდან და ნიშნიდან გამომდინარე ასკვნიან, აქვს თუ არა კვადრატულ განტოლებას რეალური ფესვები და თუ ასეა, რა არის მათი რიცხვი - ერთი ან ორი.

დავუბრუნდეთ განტოლებას და გადავიწეროთ დისკრიმინაციული აღნიშვნის გამოყენებით: . და ჩვენ ვაკეთებთ დასკვნებს:

• თუ დ<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• თუ D=0, მაშინ ამ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი;
• დაბოლოს, თუ D>0, მაშინ განტოლებას აქვს ორი ფესვი ან, რომელიც შეიძლება გადაიწეროს ან სახით და წილადების გაფართოებისა და საერთო მნიშვნელამდე მიყვანის შემდეგ მივიღებთ.

ასე რომ, ჩვენ გამოვიყვანეთ კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულები, ისინი ჰგავს , სადაც დისკრიმინანტი D გამოითვლება ფორმულით D=b 2 −4·a·c.

მათი დახმარებით, დადებითი დისკრიმინანტით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ კვადრატული განტოლების ორივე რეალური ფესვი. როდესაც დისკრიმინანტი ნულის ტოლია, ორივე ფორმულა იძლევა ფესვის ერთსა და იმავე მნიშვნელობას, რაც შეესაბამება კვადრატული განტოლების უნიკალურ ამონახსნებს. ხოლო უარყოფითი დისკრიმინანტით, როდესაც ვცდილობთ გამოვიყენოთ ფორმულა კვადრატული განტოლების ფესვებისთვის, ვხვდებით უარყოფითი რიცხვის კვადრატული ფესვის ამოღებას, რაც სასკოლო სასწავლო გეგმის ფარგლებს სცილდება. უარყოფითი დისკრიმინანტით, კვადრატულ განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები, მაგრამ აქვს წყვილი რთული კონიუგატიფესვები, რომელთა ნახვა შესაძლებელია ჩვენ მიერ მიღებული იგივე ფესვის ფორმულების გამოყენებით.

კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი ფესვის ფორმულების გამოყენებით

პრაქტიკაში, კვადრატული განტოლებების ამოხსნისას, შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გამოიყენოთ ფესვის ფორმულა მათი მნიშვნელობების გამოსათვლელად. მაგრამ ეს უფრო რთული ფესვების პოვნას უკავშირდება.

თუმცა, სასკოლო ალგებრის კურსში ჩვეულებრივ ვსაუბრობთ არა კომპლექსურ, არამედ კვადრატული განტოლების რეალურ ფესვებზე. ამ შემთხვევაში, მიზანშეწონილია, სანამ კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულებს გამოიყენებთ, ჯერ იპოვნეთ დისკრიმინანტი, დარწმუნდით, რომ ის არაუარყოფითია (წინააღმდეგ შემთხვევაში, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები). და მხოლოდ ამის შემდეგ გამოთვალეთ ფესვების მნიშვნელობები.

ზემოთ მოყვანილი მსჯელობა საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ კვადრატული განტოლების ამოხსნის ალგორითმი. a x 2 +b x+c=0 კვადრატული განტოლების ამოსახსნელად საჭიროა:

• დისკრიმინაციული ფორმულის გამოყენებით D=b 2 −4·a·c გამოთვალეთ მისი მნიშვნელობა;
• დავასკვნათ, რომ კვადრატულ განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები, თუ დისკრიმინანტი უარყოფითია;
• გამოთვალეთ განტოლების ერთადერთი ფესვი ფორმულის გამოყენებით, თუ D=0;
• იპოვეთ კვადრატული განტოლების ორი რეალური ფესვი ფესვის ფორმულის გამოყენებით, თუ დისკრიმინანტი დადებითია.

აქ უბრალოდ აღვნიშნავთ, რომ თუ დისკრიმინანტი ნულის ტოლია, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა, რომელიც იგივე მნიშვნელობას მისცემს.

შეგიძლიათ გადახვიდეთ კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ალგორითმის გამოყენების მაგალითებზე.

კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მაგალითები

განვიხილოთ სამი კვადრატული განტოლების ამონახსნები დადებითი, უარყოფითი და ნულოვანი დისკრიმინანტით. მათი ამოხსნის შემდეგ, ანალოგიით შესაძლებელი იქნება ნებისმიერი სხვა კვადრატული განტოლების ამოხსნა. Მოდით დავიწყოთ.

მაგალითი.

იპოვეთ x 2 +2·x−6=0 განტოლების ფესვები.

გამოსავალი.

ამ შემთხვევაში გვაქვს კვადრატული განტოლების შემდეგი კოეფიციენტები: a=1, b=2 და c=−6. ალგორითმის მიხედვით, ამისათვის ჯერ უნდა გამოთვალოთ დისკრიმინანტი, ჩვენ ვცვლით მითითებულ a, b და c დისკრიმინაციულ ფორმულას D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. ვინაიდან 28>0, ანუ დისკრიმინანტი მეტია ნულზე, კვადრატულ განტოლებას ორი რეალური ფესვი აქვს. მოდი ვიპოვოთ ისინი root ფორმულის გამოყენებით, მივიღებთ , აქ შეგიძლიათ გაამარტივოთ მიღებული გამონათქვამები ამით მულტიპლიკატორის გადატანა ძირეული ნიშნის მიღმარასაც მოჰყვება წილადის შემცირება:

პასუხი:

მოდით გადავიდეთ შემდეგ ტიპურ მაგალითზე.

მაგალითი.

ამოხსენით კვადრატული განტოლება −4 x 2 +28 x−49=0 .

გამოსავალი.

ჩვენ ვიწყებთ დისკრიმინანტის პოვნას: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. ამრიგად, ამ კვადრატულ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი, რომელსაც ვპოულობთ, როგორც, ანუ,

პასუხი:

x=3.5.

რჩება განიხილოს კვადრატული განტოლებების ამოხსნა უარყოფითი დისკრიმინანტით.

მაგალითი.

ამოხსენით განტოლება 5·y 2 +6·y+2=0.

გამოსავალი.

აქ მოცემულია კვადრატული განტოლების კოეფიციენტები: a=5, b=6 და c=2. ჩვენ ვცვლით ამ მნიშვნელობებს დისკრიმინაციულ ფორმულაში, გვაქვს D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. დისკრიმინანტი უარყოფითია, შესაბამისად, ამ კვადრატულ განტოლებას რეალური ფესვები არ აქვს.

თუ რთული ფესვების მითითება გჭირდებათ, მაშინ ჩვენ ვიყენებთ ცნობილ ფორმულას კვადრატული განტოლების ფესვებისთვის და ვასრულებთ ოპერაციები რთული რიცხვებით:

პასუხი:

არ არსებობს ნამდვილი ფესვები, რთული ფესვებია: .

კიდევ ერთხელ აღვნიშნოთ, რომ თუ კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი უარყოფითია, მაშინ სკოლაში ისინი ჩვეულებრივ დაუყოვნებლივ წერენ პასუხს, რომელშიც მიუთითებენ, რომ არ არსებობს რეალური ფესვები და რთული ფესვები არ არის ნაპოვნი.

ძირეული ფორმულა თუნდაც მეორე კოეფიციენტებისთვის

კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულა, სადაც D=b 2 −4·a·c საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ უფრო კომპაქტური ფორმის ფორმულა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ ამოხსნათ კვადრატული განტოლებები ლუწი კოეფიციენტით x-ზე (ან უბრალოდ კოეფიციენტი, რომელსაც აქვს ფორმა 2·n, მაგალითად, ან 14· ln5=2·7·ln5). მოდით გამოვიყვანოთ იგი.

ვთქვათ, უნდა ამოხსნათ a x 2 +2 n x+c=0 ფორმის კვადრატული განტოლება. მოდი ვიპოვოთ მისი ფესვები ჩვენთვის ცნობილი ფორმულის გამოყენებით. ამისათვის ჩვენ ვიანგარიშებთ დისკრიმინანტს D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c)და შემდეგ ვიყენებთ root ფორმულას:

გამოთქმა n 2 −a c ავღნიშნოთ როგორც D 1 (ზოგჯერ აღინიშნება D "). შემდეგ განხილული კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულა მეორე კოეფიციენტით 2 n მიიღებს ფორმას. , სადაც D 1 =n 2 −a·c.

ადვილი დასანახია, რომ D=4·D 1, ან D 1 =D/4. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, D 1 არის დისკრიმინანტის მეოთხე ნაწილი. ნათელია, რომ D 1-ის ნიშანი იგივეა, რაც D-ის ნიშანი. ანუ ნიშანი D 1 ასევე არის კვადრატული განტოლების ფესვების არსებობის ან არარსებობის მაჩვენებელი.

ასე რომ, კვადრატული განტოლების ამოსახსნელად მეორე კოეფიციენტით 2·n გჭირდებათ

• გამოთვალეთ D 1 =n 2 −a·c ;
• თუ D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• თუ D 1 =0, მაშინ გამოთვალეთ განტოლების ერთადერთი ფესვი ფორმულის გამოყენებით;
• თუ D 1 >0, მაშინ იპოვეთ ორი ნამდვილი ფესვი ფორმულის გამოყენებით.

განვიხილოთ მაგალითის ამოხსნა ამ აბზაცში მიღებული ძირეული ფორმულის გამოყენებით.

მაგალითი.

ამოხსენით კვადრატული განტოლება 5 x 2 −6 x −32=0 .

გამოსავალი.

ამ განტოლების მეორე კოეფიციენტი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც 2·(−3) . ანუ, შეგიძლიათ გადაწეროთ ორიგინალური კვადრატული განტოლება სახით 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, აქ a=5, n=−3 და c=−32 და გამოთვალოთ მეოთხე ნაწილი. დისკრიმინანტი: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. ვინაიდან მისი მნიშვნელობა დადებითია, განტოლებას ორი რეალური ფესვი აქვს. მოდი ვიპოვოთ ისინი შესაბამისი root ფორმულის გამოყენებით:

გაითვალისწინეთ, რომ შესაძლებელი იყო ჩვეულებრივი ფორმულის გამოყენება კვადრატული განტოლების ფესვებისთვის, მაგრამ ამ შემთხვევაში მეტი გამოთვლითი სამუშაო უნდა შესრულდეს.

პასუხი:

კვადრატული განტოლებების ფორმის გამარტივება

ზოგჯერ, სანამ ფორმულების გამოყენებით კვადრატული განტოლების ფესვების გამოთვლას დავიწყებთ, არ არის ცუდი დავსვათ კითხვა: "შესაძლებელია თუ არა ამ განტოლების ფორმის გამარტივება?" დამეთანხმებით, რომ გამოთვლებით უფრო ადვილი იქნება 11 x 2 −4 x−6=0 კვადრატული განტოლების ამოხსნა, ვიდრე 1100 x 2 −400 x−600=0.

როგორც წესი, კვადრატული განტოლების ფორმის გამარტივება მიიღწევა ორივე მხარის გარკვეულ რიცხვზე გამრავლებით ან გაყოფით. მაგალითად, წინა აბზაცში შესაძლებელი იყო 1100 x 2 −400 x −600=0 განტოლების გამარტივება ორივე მხარის 100-ზე გაყოფით.

მსგავსი ტრანსფორმაცია ხორციელდება კვადრატული განტოლებით, რომელთა კოეფიციენტები არ არის. ამ შემთხვევაში, განტოლების ორივე მხარე ჩვეულებრივ იყოფა მისი კოეფიციენტების აბსოლუტური მნიშვნელობებით. მაგალითად, ავიღოთ კვადრატული განტოლება 12 x 2 −42 x+48=0. მისი კოეფიციენტების აბსოლუტური მნიშვნელობები: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. თავდაპირველი კვადრატული განტოლების ორივე მხარეს გავყოფთ 6-ზე, მივიღებთ ეკვივალენტურ კვადრატულ განტოლებას 2 x 2 −7 x+8=0.

და კვადრატული განტოლების ორივე მხარის გამრავლება ჩვეულებრივ ხდება წილადის კოეფიციენტების მოსაშორებლად. ამ შემთხვევაში გამრავლება ხორციელდება მისი კოეფიციენტების მნიშვნელებით. მაგალითად, თუ კვადრატული განტოლების ორივე მხარე გამრავლებულია LCM(6, 3, 1)=6-ზე, მაშინ ის უფრო მარტივ ფორმას მიიღებს x 2 +4·x−18=0.

ამ პუნქტის დასასრულს აღვნიშნავთ, რომ ისინი თითქმის ყოველთვის ათავისუფლებენ მინუსს კვადრატული განტოლების უმაღლეს კოეფიციენტზე, ყველა წევრის ნიშნების შეცვლით, რაც შეესაბამება ორივე მხარის −1-ზე გამრავლებას (ან გაყოფას). მაგალითად, ჩვეულებრივ, ადამიანი გადადის კვადრატული განტოლებიდან −2 x 2 −3 x+7=0 ამონახსნისკენ 2 x 2 +3 x−7=0 .

კვადრატული განტოლების ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის კავშირი

კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულა გამოხატავს განტოლების ფესვებს მისი კოეფიციენტების საშუალებით. ფესვების ფორმულის საფუძველზე, შეგიძლიათ მიიღოთ სხვა ურთიერთობები ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის.

ვიეტას თეორემიდან ყველაზე ცნობილი და გამოსაყენებელი ფორმულებია ფორმის და. კერძოდ, მოცემული კვადრატული განტოლებისთვის ფესვების ჯამი უდრის მეორე კოეფიციენტს საპირისპირო ნიშნით, ხოლო ფესვების ნამრავლი უდრის თავისუფალ წევრს. მაგალითად, 3 x 2 −7 x + 22 = 0 კვადრატული განტოლების ფორმის დათვალიერებით, მაშინვე შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მისი ფესვების ჯამი უდრის 7/3-ს, ხოლო ფესვების ნამრავლი ტოლია 22-ის. /3.

უკვე დაწერილი ფორმულების გამოყენებით, შეგიძლიათ მიიღოთ მრავალი სხვა კავშირი კვადრატული განტოლების ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის. მაგალითად, შეგიძლიათ გამოვხატოთ კვადრატული განტოლების ფესვების კვადრატების ჯამი მისი კოეფიციენტების მეშვეობით: .

ბიბლიოგრაფია.

• Ალგებრა:სახელმძღვანელო მე-8 კლასისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედაქტორი S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ.: განათლება, 2008. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• მორდკოვიჩი ა.გ.Ალგებრა. მე-8 კლასი. 2 საათში ნაწილი 1. სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის / A.G. Mordkovich. - მე-11 გამოცემა, წაშლილია. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215გვ.: ილ. ISBN 978-5-346-01155-2.

კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულები. განიხილება რეალური, მრავალჯერადი და რთული ფესვების შემთხვევები. კვადრატული ტრინომის ფაქტორირება. გეომეტრიული ინტერპრეტაცია. ფესვების განსაზღვრისა და ფაქტორინგის მაგალითები.

Იხილეთ ასევე: კვადრატული განტოლებების ამოხსნა ონლაინ

ძირითადი ფორმულები

განვიხილოთ კვადრატული განტოლება:
(1) .
კვადრატული განტოლების ფესვები(1) განისაზღვრება ფორმულებით:
; .
ეს ფორმულები შეიძლება გაერთიანდეს შემდეგნაირად:
.
როდესაც ცნობილია კვადრატული განტოლების ფესვები, მაშინ მეორე ხარისხის პოლინომი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ფაქტორების პროდუქტი (ფაქტორირებული):
.

შემდეგ ვივარაუდოთ, რომ ეს არის რეალური რიცხვები.
განვიხილოთ კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი:
.
თუ დისკრიმინანტი დადებითია, მაშინ კვადრატულ განტოლებას (1) აქვს ორი განსხვავებული რეალური ფესვი:
; .
მაშინ კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაციას აქვს ფორმა:
.
თუ დისკრიმინანტი ნულის ტოლია, მაშინ კვადრატულ განტოლებას (1) აქვს ორი მრავალჯერადი (ტოლი) რეალური ფესვი:
.
ფაქტორიზაცია:
.
თუ დისკრიმინანტი უარყოფითია, მაშინ კვადრატულ განტოლებას (1) აქვს ორი რთული კონიუგატური ფესვი:
;
.
აქ არის წარმოსახვითი ერთეული, ;
და არის ფესვების რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები:
; .
მერე

.

გრაფიკული ინტერპრეტაცია

თუ დახაზავთ ფუნქციას
,
რომელიც არის პარაბოლა, მაშინ გრაფიკის ღერძთან გადაკვეთის წერტილები იქნება განტოლების ფესვები
.
როდესაც , გრაფიკი კვეთს x ღერძს (ღერძს) ორ წერტილზე ().
როდესაც , გრაფიკი ეხება x ღერძს ერთ წერტილში ().
როდესაც , გრაფიკი არ კვეთს x ღერძს ().

კვადრატულ განტოლებასთან დაკავშირებული სასარგებლო ფორმულები

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის გამოყვანა

ჩვენ ვახორციელებთ გარდაქმნებს და ვიყენებთ ფორმულებს (f.1) და (f.3):




,
სად
; .

ასე რომ, მივიღეთ მეორე ხარისხის მრავალწევრის ფორმულა სახით:
.
ეს აჩვენებს, რომ განტოლება

შესრულდა
და .
ეს არის და არის კვადრატული განტოლების ფესვები
.

კვადრატული განტოლების ფესვების განსაზღვრის მაგალითები

მაგალითი 1

(1.1) .

.
ჩვენს განტოლებასთან (1.1) შედარებით, ჩვენ ვპოულობთ კოეფიციენტების მნიშვნელობებს:
.
ჩვენ ვპოულობთ დისკრიმინანტს:
.
ვინაიდან დისკრიმინანტი დადებითია, განტოლებას ორი რეალური ფესვი აქვს:
;
;
.

აქედან ვიღებთ კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაციას:

.

y = ფუნქციის გრაფიკი 2 x 2 + 7 x + 3კვეთს x-ღერძს ორ წერტილში.

მოდით დავხატოთ ფუნქცია
.
ამ ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა. ის კვეთს აბსცისის ღერძს (ღერძს) ორ წერტილში:
და .
ეს წერტილები არის საწყისი განტოლების ფესვები (1.1).

;
;
.

მაგალითი 2

იპოვეთ კვადრატული განტოლების ფესვები:
(2.1) .

დავწეროთ კვადრატული განტოლება ზოგადი ფორმით:
.
თავდაპირველ განტოლებასთან (2.1) შედარებით, ჩვენ ვპოულობთ კოეფიციენტების მნიშვნელობებს:
.
ჩვენ ვპოულობთ დისკრიმინანტს:
.
ვინაიდან დისკრიმინანტი არის ნული, განტოლებას აქვს ორი მრავალჯერადი (ტოლი) ფესვი:
;
.

მაშინ ტრინომის ფაქტორიზაციას აქვს ფორმა:
.

y = x ფუნქციის გრაფიკი 2 - 4 x + 4ეხება x ღერძს ერთ წერტილში.

მოდით დავხატოთ ფუნქცია
.
ამ ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა. ის ეხება x-ღერძს (ღერძს) ერთ წერტილში:
.
ეს წერტილი არის საწყისი განტოლების ფესვი (2.1). იმის გამო, რომ ეს ფესვი ფაქტორირებულია ორჯერ:
,
მაშინ ასეთ ფესვს ჩვეულებრივ მრავალჯერადს უწოდებენ. ანუ, მათ მიაჩნიათ, რომ არსებობს ორი თანაბარი ფესვი:
.

;
.

მაგალითი 3

იპოვეთ კვადრატული განტოლების ფესვები:
(3.1) .

დავწეროთ კვადრატული განტოლება ზოგადი ფორმით:
(1) .
მოდით გადავიწეროთ თავდაპირველი განტოლება (3.1):
.
(1-თან შედარებით), ჩვენ ვპოულობთ კოეფიციენტების მნიშვნელობებს:
.
ჩვენ ვპოულობთ დისკრიმინანტს:
.
დისკრიმინანტი უარყოფითია, . ამიტომ არ არსებობს რეალური ფესვები.

თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ რთული ფესვები:
;
;
.

მერე


.

ფუნქციის გრაფიკი არ კვეთს x ღერძს. ნამდვილი ფესვები არ არსებობს.

მოდით დავხატოთ ფუნქცია
.
ამ ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა. ის არ კვეთს x ღერძს (ღერძს). ამიტომ არ არსებობს რეალური ფესვები.

ნამდვილი ფესვები არ არსებობს. რთული ფესვები:
;
;
.

კოპიევსკაიას სოფლის საშუალო სკოლა

კვადრატული განტოლებების ამოხსნის 10 გზა

ხელმძღვანელი: პატრიკეევა გალინა ანატოლიევნა,

მათემატიკის მასწავლებელი

სოფელი კოპევო, 2007 წ

1. კვადრატული განტოლებების განვითარების ისტორია

1.1 კვადრატული განტოლებები ძველ ბაბილონში

1.2 როგორ შეადგინა და ამოხსნა დიოფანტე კვადრატული განტოლებები

1.3 კვადრატული განტოლებები ინდოეთში

1.4 კვადრატული განტოლებები ალ-ხორეზმის მიერ

1.5 კვადრატული განტოლებები ევროპაში XIII - XVII სს

1.6 ვიეტას თეორემის შესახებ

2. კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები

დასკვნა

ლიტერატურა

1. კვადრატული განტოლებების განვითარების ისტორია

1.1 კვადრატული განტოლებები ძველ ბაბილონში

არა მხოლოდ პირველი, არამედ მეორე ხარისხის განტოლებების ამოხსნის აუცილებლობა ჯერ კიდევ ძველ დროში გამოწვეული იყო მიწის ნაკვეთების ტერიტორიების მოძიებასთან და სამხედრო ხასიათის გათხრებთან დაკავშირებული პრობლემების გადაჭრის აუცილებლობით. როგორც თავად ასტრონომიისა და მათემატიკის განვითარებასთან ერთად. კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელი იყო ჩვენს წელთაღრიცხვამდე 2000 წელს. ე. ბაბილონელები.

თანამედროვე ალგებრული აღნიშვნის გამოყენებით, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მათ ლურსმული ტექსტებში, არასრული ტექსტების გარდა, არის ასეთი, მაგალითად, სრული კვადრატული განტოლებები:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

ამ განტოლებების ამოხსნის წესი, რომელიც მოცემულია ბაბილონურ ტექსტებში, არსებითად ემთხვევა თანამედროვეს, მაგრამ უცნობია, როგორ მივიდნენ ბაბილონელები ამ წესამდე. აქამდე ნაპოვნი თითქმის ყველა ლურსმული ტექსტი იძლევა მხოლოდ რეცეპტების სახით ასახულ გადაწყვეტილებებს და არ მიუთითებს იმაზე, თუ როგორ იქნა ისინი ნაპოვნი.

ბაბილონში ალგებრის განვითარების მაღალი დონის მიუხედავად, ლურსმული ტექსტები მოკლებულია უარყოფითი რიცხვის კონცეფციას და კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ზოგად მეთოდებს.

1.2 როგორ შეადგინა და ამოხსნა დიოფანტე კვადრატული განტოლებები.

დიოფანტეს არითმეტიკა არ შეიცავს ალგებრის სისტემატურ პრეზენტაციას, მაგრამ შეიცავს პრობლემების სისტემატიურ სერიას, რომელსაც ახლავს განმარტებები და ამოხსნილია სხვადასხვა ხარისხის განტოლებების აგებით.

განტოლებების შედგენისას დიოფანტი ოსტატურად არჩევს უცნობებს ამოხსნის გასამარტივებლად.

აი, მაგალითად, მისი ერთ-ერთი ამოცანა.

პრობლემა 11.იპოვნეთ ორი რიცხვი, იცოდეთ, რომ მათი ჯამი არის 20, ნამრავლი კი 96.

დიოფანტე ასე მსჯელობს: ამოცანის პირობებიდან გამომდინარეობს, რომ საჭირო რიცხვები არ არის ტოლი, რადგან ტოლი რომ იყოს, მაშინ მათი ნამრავლი იქნება არა 96-ის, არამედ 100-ის ტოლი. ამრიგად, ერთ-ერთი მათგანი იქნება მეტი. მათი ჯამის ნახევარი, ე.ი. 10 + x, მეორე ნაკლებია, ე.ი. 10-იანები. განსხვავება მათ შორის 2x.

აქედან გამომდინარეობს განტოლება:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

აქედან x = 2. ერთ-ერთი საჭირო რიცხვი უდრის 12 , სხვა 8 . გამოსავალი x = -2რადგან დიოფანტე არ არსებობს, რადგან ბერძნულმა მათემატიკამ მხოლოდ დადებითი რიცხვები იცოდა.

თუ ამ პრობლემას მოვაგვარებთ ერთ-ერთი საჭირო რიცხვის არჩევით, როგორც უცნობი, მაშინ მივალთ განტოლების ამოხსნამდე.

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

ცხადია, რომ საჭირო რიცხვების ნახევრად განსხვავების ამორჩევით უცნობად დიოფანტი ამარტივებს ამოხსნას; ის ახერხებს ამოცანის შემცირებას არასრული კვადრატული განტოლების ამოხსნამდე (1).

1.3 კვადრატული განტოლებები ინდოეთში

კვადრატულ განტოლებათა პრობლემები უკვე გვხვდება ასტრონომიულ ტრაქტატში "არიაბჰატიამი", რომელიც შედგენილია 499 წელს ინდოელი მათემატიკოსისა და ასტრონომის არიაბჰატას მიერ. კიდევ ერთმა ინდოელმა მეცნიერმა, ბრაჰმაგუპტამ (VII საუკუნე), გამოაქვეყნა ზოგადი წესი კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ერთი კანონიკური ფორმით:

აჰ 2 +ბx = c, a > 0. (1)

განტოლებაში (1) კოეფიციენტები, გარდა ა, ასევე შეიძლება იყოს უარყოფითი. ბრაჰმაგუპტას წესი არსებითად იგივეა, რაც ჩვენი.

ძველ ინდოეთში გავრცელებული იყო საჯარო კონკურსები რთული პრობლემების გადაჭრაში. ერთ-ერთ ძველ ინდურ წიგნში ასეთი შეჯიბრებების შესახებ ნათქვამია: „როგორც მზე აჭარბებს ვარსკვლავებს თავისი ბრწყინვალებით, ისე სწავლული ადამიანი გადააჭარბებს სხვის დიდებას საზოგადოებრივ შეკრებებზე, ალგებრული ამოცანების შეთავაზებითა და გადაწყვეტით“. პრობლემები ხშირად პოეტური ფორმით იყო წარმოდგენილი.

ეს არის მე-12 საუკუნის ცნობილი ინდოელი მათემატიკოსის ერთ-ერთი პრობლემა. ბჰასკარები.

პრობლემა 13.

"ცხელი მაიმუნების ფარა და თორმეტი ვაზის გასწვრივ...

ხელისუფლებამ, ჭამის შემდეგ, გართობა. დაიწყეს ხტუნვა, ჩამოკიდება...

ესენი არიან მოედანზე, ნაწილი მერვე რამდენი მაიმუნი იყო?

გაწმენდაში ვხალისობდი. მითხარი, ამ პაკეტში?

ბჰასკარას ამონახსნი მიუთითებს, რომ მან იცოდა, რომ კვადრატული განტოლებების ფესვები ორმნიშვნელოვანია (ნახ. 3).

მე-13 ამოცანის შესაბამისი განტოლება არის:

(x/8) 2 + 12 = x

ბჰასკარა ნიღბის ქვეშ წერს:

x 2 - 64x = -768

და ამ განტოლების მარცხენა მხარის დასასრულებლად კვადრატში, ემატება ორივე მხარეს 32 2 , შემდეგ მიიღეთ:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 კვადრატული განტოლებები ალ-ხორეზმში

ალ-ხორეზმის ალგებრულ ტრაქტატში მოცემულია წრფივი და კვადრატული განტოლებების კლასიფიკაცია. ავტორი ითვლის 6 ტიპის განტოლებებს და გამოთქვამს შემდეგნაირად:

1) „კვადრატები ფესვების ტოლია“, ე.ი. ცული 2 + c =ბX.

2) „კვადრატები რიცხვების ტოლია“, ე.ი. ცული 2 = გ.

3) „ფესვები რიცხვის ტოლია“, ე.ი. აჰ = ს.

4) „კვადრატები და რიცხვები ფესვების ტოლია“, ე.ი. ცული 2 + c =ბX.

5) „კვადრატები და ფესვები რიცხვების ტოლია“, ე.ი. აჰ 2 +bx= ს.

6) „ფესვები და რიცხვები უდრის კვადრატებს“, ე.ი.bx+ c = ცული 2 .

ალ-ხორეზმისთვის, რომელიც თავს არიდებდა უარყოფითი რიცხვების გამოყენებას, თითოეული ამ განტოლების ტერმინები არის დამატებები და არა გამოკლებადი. ამ შემთხვევაში, განტოლებები, რომლებსაც არ აქვთ დადებითი ამონახსნები, აშკარად არ არის გათვალისწინებული. ავტორი ადგენს ამ განტოლებების ამოხსნის მეთოდებს ალ-ჯაბრისა და ალ-მუქაბალას ტექნიკის გამოყენებით. მისი გადაწყვეტილებები, რა თქმა უნდა, სრულიად არ ემთხვევა ჩვენსას. რომ აღარაფერი ვთქვათ, რომ ის წმინდა რიტორიკულია, უნდა აღინიშნოს, რომ მაგალითად, პირველი ტიპის არასრული კვადრატული განტოლების ამოხსნისას

ალ-ხორეზმი, ისევე როგორც ყველა მათემატიკოსი მე-17 საუკუნემდე, არ ითვალისწინებს ნულოვან ამონახსნებს, ალბათ იმიტომ, რომ კონკრეტულ პრაქტიკულ ამოცანებში ამას მნიშვნელობა არ აქვს. სრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნისას ალ-ხორეზმი ადგენს მათი ამოხსნის წესებს კონკრეტული რიცხვითი მაგალითების, შემდეგ კი გეომეტრიული მტკიცებულებების გამოყენებით.

პრობლემა 14.„კვადრატი და რიცხვი 21 უდრის 10 ფესვს. იპოვე ფესვი" (იგულისხმება x 2 + 21 = 10x განტოლების ფესვი).

ავტორის ამონახსნი დაახლოებით ასე გამოიყურება: ფესვების რაოდენობა გაყავით შუაზე, მიიღებთ 5-ს, გაამრავლეთ 5 თავისთავად, გამოაკელით 21 ნამრავლს, რაც რჩება არის 4. აიღეთ ფესვი 4-დან, მიიღებთ 2-ს. გამოაკლებთ 2-ს 5-ს. , მიიღებთ 3, ეს იქნება სასურველი ფესვი. ან დაამატეთ 2 5-ს, რაც იძლევა 7-ს, ესეც ფესვია.

ალ-ხორეზმის ტრაქტატი ჩვენამდე მოღწეული პირველი წიგნია, რომელიც სისტემატურად აყალიბებს კვადრატულ განტოლებათა კლასიფიკაციას და იძლევა მათი ამოხსნის ფორმულებს.

1.5 კვადრატული განტოლებები ევროპაშიXIII - XVIIბბ

ევროპაში ალ-ხორეზმის ხაზების გასწვრივ კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ფორმულები პირველად ჩამოყალიბდა აბაკუსის წიგნში, რომელიც დაიწერა 1202 წელს იტალიელმა მათემატიკოსმა ლეონარდო ფიბონაჩის მიერ. ეს მოცულობითი ნაშრომი, რომელიც ასახავს მათემატიკის გავლენას, როგორც ისლამის ქვეყნებიდან, ისე ძველი საბერძნეთიდან, გამოირჩევა სისრულითა და წარმოდგენის სიცხადით. ავტორმა დამოუკიდებლად შეიმუშავა ამოცანების ამოხსნის რამდენიმე ახალი ალგებრული მაგალითი და პირველი იყო ევროპაში, ვინც მიუახლოვდა უარყოფითი რიცხვების შემოღებას. მისმა წიგნმა ხელი შეუწყო ალგებრული ცოდნის გავრცელებას არა მხოლოდ იტალიაში, არამედ გერმანიაში, საფრანგეთსა და ევროპის სხვა ქვეყნებში. აბაკუსის წიგნიდან მრავალი პრობლემა გამოიყენებოდა XVI-XVII საუკუნეების თითქმის ყველა ევროპულ სახელმძღვანელოში. და ნაწილობრივ XVIII.

კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ზოგადი წესი დაყვანილი ერთი კანონიკური ფორმით:

x 2 +bx= გ,

კოეფიციენტის ნიშნების ყველა შესაძლო კომბინაციისთვის ბ, თანჩამოყალიბდა ევროპაში მხოლოდ 1544 წელს მ.შტიფელის მიერ.

კვადრატული განტოლების ზოგადი ფორმით ამოხსნის ფორმულის წარმოშობა ხელმისაწვდომია Viète-დან, მაგრამ ვიეტმა აღიარა მხოლოდ დადებითი ფესვები. მე-16 საუკუნეში პირველთა შორის იყვნენ იტალიელი მათემატიკოსები ტარტალია, კარდანო, ბომბელი. გარდა დადებითისა, მხედველობაში მიიღება უარყოფითი ფესვებიც. მხოლოდ მე-17 საუკუნეში. ჟირარის, დეკარტის, ნიუტონის და სხვა მეცნიერების ნაშრომების წყალობით, კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მეთოდი თანამედროვე სახეს იღებს.

1.6 ვიეტას თეორემის შესახებ

ვიეტას სახელობის კვადრატული განტოლების კოეფიციენტებსა და მის ფესვებს შორის დამოკიდებულების გამომხატველი თეორემა მას პირველად ჩამოაყალიბა 1591 წელს შემდეგნაირად: „თუ ბ + დ, გამრავლებული ა - ა 2 , უდრის BD, ეს აუდრის INდა თანაბარი დ».

ვიეტას გასაგებად, ეს უნდა გვახსოვდეს ა, ისევე როგორც ნებისმიერი ხმოვანი ასო, ნიშნავდა უცნობს (ჩვენს X), ხმოვნები IN,დ- კოეფიციენტები უცნობისთვის. თანამედროვე ალგებრის ენაზე ზემოთ მოყვანილი Vieta ფორმულირება ნიშნავს: თუ არსებობს

(ა +ბ)x - x 2 =აბ,

x 2 - (a +ბ)x + აბ = 0,

x 1 = a, x 2 =ბ.

სიმბოლოების გამოყენებით დაწერილი ზოგადი ფორმულებით განტოლებების ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის კავშირის გამოხატვით, ვიეტმა დაადგინა ერთგვაროვნება განტოლებების ამოხსნის მეთოდებში. თუმცა, ვიეტის სიმბოლიზმი ჯერ კიდევ შორს არის მისი თანამედროვე ფორმისგან. ის არ ცნობდა უარყოფით რიცხვებს და ამიტომ, განტოლებების ამოხსნისას განიხილავდა მხოლოდ შემთხვევებს, როდესაც ყველა ფესვი დადებითი იყო.

2. კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები

კვადრატული განტოლებები არის საფუძველი, რომელზედაც ეყრდნობა ალგებრის დიდებული ნაგებობა. კვადრატული განტოლებები ფართოდ გამოიყენება ტრიგონომეტრიული, ექსპონენციალური, ლოგარითმული, ირაციონალური და ტრანსცენდენტული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას. ჩვენ ყველამ ვიცით როგორ ამოხსნათ კვადრატული განტოლებები სკოლიდან (მე-8 კლასი) დამთავრებამდე.