როგორ ამოხსნათ რაციონალური განტოლების მაგალითები. უმარტივესი რაციონალური განტოლებები

მარტივად რომ ვთქვათ, ეს არის განტოლებები, რომლებშიც არის მინიმუმ ერთი ცვლადი მნიშვნელში.

Მაგალითად:

$\frac(9x^2-1)(3x)$ $=0$
$\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)$
$\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)$

მაგალითი არაწილადი რაციონალური განტოლებები:

$\frac(9x^2-1)(3)$ $=0$
$\frac(x)(2)$ $+8x^2=6$

როგორ წყდება წილადი რაციონალური განტოლებები?

მთავარი რაც უნდა გვახსოვდეს წილადი რაციონალური განტოლებების შესახებ არის ის, რომ თქვენ უნდა დაწეროთ მათში. და ფესვების პოვნის შემდეგ, დარწმუნდით, რომ შეამოწმეთ ისინი დასაშვებად. წინააღმდეგ შემთხვევაში, შეიძლება აღმოჩნდეს ზედმეტი ფესვები და მთელი გადაწყვეტილება ჩაითვლება არასწორად.

წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნის ალგორითმი:

ჩაწერეთ და „გადაჭრით“ ODZ.

გაამრავლეთ განტოლების თითოეული წევრი საერთო მნიშვნელზე და გააუქმეთ მიღებული წილადები. მნიშვნელები გაქრება.

დაწერეთ განტოლება ფრჩხილების გახსნის გარეშე.

ამოხსენით მიღებული განტოლება.

შეამოწმეთ ნაპოვნი ფესვები ODZ-ით.

ჩაწერეთ თქვენს პასუხში ფესვები, რომლებმაც გაიარეს ტესტი მე-7 საფეხურზე.

არ დაიმახსოვროთ ალგორითმი, 3-5 ამოხსნილი განტოლება და ის თავისთავად დაიმახსოვრდება.

მაგალითი . წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნა $\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)$

გამოსავალი:

პასუხი: $3$.

მაგალითი . იპოვეთ წილადი რაციონალური განტოლების ფესვები $=0$

გამოსავალი:

$\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)$$=0$ ODZ: $x+2≠0⇔x≠-2$ $x+5≠0 ⇔x≠-5$ $x^2+7x+10≠0$ $D=49-4 \cdot 10=9$ $x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2$ $x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5$		ჩვენ ვწერთ და „ვაგვარებთ“ ODZ-ს. ვაფართოვებთ $x^2+7x+10$-ს ფორმულის მიხედვით: $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$. საბედნიეროდ, ჩვენ უკვე ვიპოვეთ $x_1$ და $x_2$.
$\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))$$=0$		ცხადია, წილადების საერთო მნიშვნელია $(x+2)(x+5)$. ჩვენ მასზე ვამრავლებთ მთელ განტოლებას.
$\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-$ $-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))$$=0$		წილადების შემცირება
$x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0$		ფრჩხილების გახსნა
$x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0$		წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს
$2x^2+9x-5=0$		განტოლების ფესვების პოვნა
$x_1=-5;$ $x_2=\frac(1)(2).$		ერთ-ერთი ფესვი არ ერგება ODZ-ს, ამიტომ პასუხში ვწერთ მხოლოდ მეორე ფესვს.

პასუხი: $\frac(1)(2)$.

თავად წილადებთან განტოლებები არ არის რთული და ძალიან საინტერესოა. მოდით შევხედოთ წილადი განტოლებების ტიპებს და როგორ ამოხსნათ ისინი.

როგორ ამოხსნათ განტოლებები წილადებით - x მრიცხველში

თუ მოცემულია წილადი განტოლება, სადაც უცნობი არის მრიცხველში, ამოხსნა არ საჭიროებს დამატებით პირობებს და იხსნება ზედმეტი პრობლემების გარეშე. ასეთი განტოლების ზოგადი ფორმაა x/a + b = c, სადაც x უცნობია, a, b და c ჩვეულებრივი რიცხვებია.

იპოვეთ x: x/5 + 10 = 70.

განტოლების ამოსახსნელად, თქვენ უნდა მოიცილოთ წილადები. გაამრავლეთ განტოლების თითოეული წევრი 5-ზე: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x და 5 გაუქმებულია, 10 და 70 მრავლდება 5-ზე და მივიღებთ: x + 50 = 350 => x = 350 – 50 = 300.

იპოვეთ x: x/5 + x/10 = 90.

ეს მაგალითი პირველის ოდნავ უფრო რთული ვერსიაა. აქ ორი შესაძლო გამოსავალია.

ვარიანტი 1: ჩვენ ვაშორებთ წილადებს განტოლების ყველა წევრის უფრო დიდ მნიშვნელზე გამრავლებით, ანუ 10-ზე: 10x/5 + 10x/10 = 90×10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 = > x=300.
ვარიანტი 2: დაამატეთ განტოლების მარცხენა მხარე. x/5 + x/10 = 90. საერთო მნიშვნელი არის 10. 10 გავყოთ 5-ზე, გავამრავლოთ x-ზე, მივიღებთ 2x-ს. 10 გავყოთ 10-ზე, გავამრავლოთ x-ზე, მივიღებთ x: 2x+x/10 = 90. აქედან გამომდინარე 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

ხშირად ვხვდებით წილადობრივ განტოლებებს, რომლებშიც x-ები ტოლობის ნიშნის საპირისპირო მხარესაა. ასეთ სიტუაციებში აუცილებელია ყველა წილადის გადატანა X-ებით ერთ მხარეს, ხოლო რიცხვები მეორეზე.

იპოვეთ x: 3x/5 = 130 – 2x/5.
გადაიტანეთ 2x/5 მარჯვნივ საპირისპირო ნიშნით: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
ვამცირებთ 5x/5 და ვიღებთ: x = 130.

როგორ ამოხსნათ განტოლება წილადებით - x მნიშვნელში

ამ ტიპის წილადი განტოლებები მოითხოვს დამატებითი პირობების ჩაწერას. ამ პირობების დაზუსტება სწორი გადაწყვეტილების სავალდებულო და განუყოფელი ნაწილია. მათი დაუმატებით, თქვენ რისკავთ, რადგან პასუხი (თუნდაც სწორი იყოს) შეიძლება უბრალოდ არ ჩაითვალოს.

წილადი განტოლებების ზოგადი ფორმა, სადაც x არის მნიშვნელში, არის: a/x + b = c, სადაც x უცნობია, a, b, c ჩვეულებრივი რიცხვებია. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ x შეიძლება არ იყოს ნებისმიერი რიცხვი. მაგალითად, x არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, რადგან ის არ შეიძლება გაიყოს 0-ზე. ეს არის ზუსტად ის დამატებითი პირობა, რომელიც უნდა დავაკონკრეტოთ. ამას ეწოდება დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი, შემოკლებით VA.

იპოვეთ x: 15/x + 18 = 21.

ჩვენ მაშინვე ვწერთ ODZ-ს x-ზე: x ≠ 0. ახლა, როდესაც მითითებულია ODZ, ვხსნით განტოლებას სტანდარტული სქემის მიხედვით, წილადებისგან თავის დაღწევა. გაამრავლეთ განტოლების ყველა წევრი x-ზე. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

ხშირად არის განტოლებები, სადაც მნიშვნელი შეიცავს არა მხოლოდ x-ს, არამედ მასთან ერთად სხვა ოპერაციას, მაგალითად, შეკრებას ან გამოკლებას.

იპოვეთ x: 15/(x-3) + 18 = 21.

ჩვენ უკვე ვიცით, რომ მნიშვნელი არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, რაც ნიშნავს x-3 ≠ 0. გადავდივართ -3 მარჯვენა მხარეს, ვცვლით „-“ ნიშანს „+“-ზე და მივიღებთ, რომ x ≠ 3. ODZ არის მითითებულია.

ჩვენ ვხსნით განტოლებას, ვამრავლებთ ყველაფერს x-3-ზე: 15 + 18×(x – 3) = 21×(x – 3) => 15 + 18x – 54 = 21x – 63.

გადაიტანეთ X-ები მარჯვნივ, რიცხვები მარცხნივ: 24 = 3x => x = 8.

პრეზენტაცია და გაკვეთილი თემაზე: "რაციონალური განტოლებები. რაციონალური განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი და მაგალითები"

დამატებითი მასალები
ძვირფასო მომხმარებლებო, არ დაგავიწყდეთ დატოვოთ თქვენი კომენტარები, მიმოხილვები, სურვილები! ყველა მასალა შემოწმებულია ანტივირუსული პროგრამით.

საგანმანათლებლო დამხმარე საშუალებები და ტრენაჟორები ინტეგრალის ონლაინ მაღაზიაში მე-8 კლასისთვის
სახელმძღვანელო მაკარიჩევის სახელმძღვანელოსთვის Yu.N. სახელმძღვანელო სახელმძღვანელოსთვის Mordkovich A.G.

ირაციონალური განტოლებების შესავალი

ბიჭებო, ვისწავლეთ კვადრატული განტოლებების ამოხსნა. მაგრამ მათემატიკა მხოლოდ მათით არ შემოიფარგლება. დღეს ჩვენ ვისწავლით თუ როგორ უნდა ამოხსნათ რაციონალური განტოლებები. რაციონალური განტოლებების კონცეფცია მრავალი თვალსაზრისით ჰგავს რაციონალური რიცხვების კონცეფციას. მხოლოდ რიცხვების გარდა, ახლა ჩვენ შემოვიღეთ $x$ ცვლადი. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ გამონათქვამს, რომელშიც არის შეკრების, გამოკლების, გამრავლების, გაყოფის და ამაღლების მოქმედებები მთელ რიცხვამდე.

მოდით იყოს $r(x)$ რაციონალური გამოხატულება. ასეთი გამოხატულება შეიძლება იყოს მარტივი პოლინომი $x$ ცვლადში ან მრავალწევრების თანაფარდობა (დანერგილია გაყოფის ოპერაცია, რაციონალურ რიცხვებთან მიმართებაში).
იწოდება განტოლება $r(x)=0$ რაციონალური განტოლება.
$p(x)=q(x)$ ფორმის ნებისმიერი განტოლება, სადაც $p(x)$ და $q(x)$ რაციონალური გამონათქვამებია, ასევე იქნება რაციონალური განტოლება.

მოდით შევხედოთ რაციონალური განტოლებების ამოხსნის მაგალითებს.

მაგალითი 1.
ამოხსენით განტოლება: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

გამოსავალი.
გადავიტანოთ ყველა გამონათქვამი მარცხენა მხარეს: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
თუ განტოლების მარცხენა მხარე გამოსახული იქნებოდა ჩვეულებრივი რიცხვებით, მაშინ ჩვენ ორ წილადს საერთო მნიშვნელამდე ვამცირებდით.
მოდით გავაკეთოთ ეს: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
მივიღეთ განტოლება: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

წილადი ნულის ტოლია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ წილადის მრიცხველი არის ნული, ხოლო მნიშვნელი არ არის ნული. შემდეგ ცალ-ცალკე ვაიგივებთ მრიცხველს ნულს და ვპოულობთ მრიცხველის ფესვებს.
$3(x^2+2x-3)=0$ ან $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
ახლა შევამოწმოთ წილადის მნიშვნელი: $(x-3)*x≠0$.
ორი რიცხვის ნამრავლი ნულის ტოლია, როცა ამ რიცხვებიდან ერთი მაინც ნულის ტოლია. შემდეგ: $x≠0$ ან $x-3≠0$.
$x≠0$ ან $x≠3$.
მრიცხველში და მნიშვნელში მიღებული ფესვები ერთმანეთს არ ემთხვევა. ასე რომ, ჩვენ ვწერთ მრიცხველის ორივე ფესვს პასუხში.
პასუხი: $x=1$ ან $x=-3$.

თუ მოულოდნელად მრიცხველის ერთ-ერთი ძირი ემთხვევა მნიშვნელის ფესვს, მაშინ ის უნდა გამოირიცხოს. ასეთ ფესვებს ეძახიან ზედმეტი!

რაციონალური განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი:

1. ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს გადაიტანეთ ტოლობის ყველა გამონათქვამი.
2. გადააქციეთ განტოლების ეს ნაწილი ალგებრულ წილადად: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. მიღებული მრიცხველი გავატოლოთ ნულთან, ანუ ამოხსნათ განტოლება $p(x)=0$.
4. გაუტოლეთ მნიშვნელი ნულს და ამოხსენით მიღებული განტოლება. თუ მნიშვნელის ფესვები ემთხვევა მრიცხველის ფესვებს, მაშინ ისინი უნდა გამოირიცხოს პასუხიდან.

მაგალითი 2.
ამოხსენით განტოლება: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

გამოსავალი.
მოვაგვაროთ ალგორითმის წერტილების მიხედვით.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)(x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. მრიცხველი გავაიგივოთ ნულთან: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1) (3); 1$.
4. გაუტოლეთ მნიშვნელს ნულს:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ და $x=-1$.
ერთ-ერთი ფესვი $x=1$ ემთხვევა მრიცხველის ფესვს, მაშინ პასუხში არ ჩავწერთ.
პასუხი: $x=-1$.

მოსახერხებელია რაციონალური განტოლებების ამოხსნა ცვლადების ცვლილების მეთოდით. მოდით ვაჩვენოთ ეს.

მაგალითი 3.
ამოხსენით განტოლება: $x^4+12x^2-64=0$.

გამოსავალი.
წარმოგიდგენთ ჩანაცვლებას: $t=x^2$.
მაშინ ჩვენი განტოლება მიიღებს ფორმას:
$t^2+12t-64=0$ - ჩვეულებრივი კვადრატული განტოლება.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; $4.
შემოვიღოთ საპირისპირო ჩანაცვლება: $x^2=4$ ან $x^2=-16$.
პირველი განტოლების ფესვები არის რიცხვების წყვილი $x=±2$. მეორე ის არის, რომ მას ფესვები არ აქვს.
პასუხი: $x=±2$.

მაგალითი 4.
ამოხსენით განტოლება: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
გამოსავალი.
შემოვიღოთ ახალი ცვლადი: $t=x^2+x+1$.
შემდეგ განტოლება მიიღებს ფორმას: $t=\frac(15)(t+2)$.
შემდეგ ჩვენ გავაგრძელებთ ალგორითმის მიხედვით.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; $3.
4. $t≠-2$ - ფესვები ერთმანეთს არ ემთხვევა.
შემოვიღოთ საპირისპირო ჩანაცვლება.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
ცალ-ცალკე გადავჭრათ თითოეული განტოლება:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - არა ფესვები.
და მეორე განტოლება: $x^2+x-2=0$.
ამ განტოლების ფესვები იქნება რიცხვები $x=-2$ და $x=1$.
პასუხი: $x=-2$ და $x=1$.

მაგალითი 5.
ამოხსენით განტოლება: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

გამოსავალი.
შემოვიღოთ ჩანაცვლება: $t=x+\frac(1)(x)$.
შემდეგ:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ ან $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
მივიღეთ განტოლება: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
ამ განტოლების ფესვები არის წყვილი:
$t=-3$ და $t=2$.
შემოვიღოთ საპირისპირო ჩანაცვლება:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
ჩვენ ცალკე გადავწყვეტთ.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
ამოხსნათ მეორე განტოლება:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
ამ განტოლების ფესვი არის რიცხვი $x=1$.
პასუხი: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

დამოუკიდებლად გადასაჭრელი პრობლემები

განტოლებების ამოხსნა:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

„რაციონალური განტოლებები მრავალწევრებით“ ერთ-ერთი ყველაზე გავრცელებული თემაა მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო საგამოცდო ტესტის ამოცანებში. ამ მიზეზით მათ გამეორებას განსაკუთრებული ყურადღება უნდა მიექცეს. ბევრ მოსწავლეს აწყდება დისკრიმინანტის პოვნის, ინდიკატორების მარჯვენა მხრიდან მარცხნივ გადატანის და განტოლების საერთო მნიშვნელზე მიყვანის პრობლემა, რის გამოც ასეთი ამოცანების შესრულება იწვევს სირთულეებს. ჩვენს ვებ-გვერდზე ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მომზადების რაციონალური განტოლებების ამოხსნა დაგეხმარებათ სწრაფად გაუმკლავდეთ ნებისმიერი სირთულის პრობლემებს და ჩააბაროთ ტესტი მფრინავი ფერებით.

აირჩიეთ შკოლკოვოს საგანმანათლებლო პორტალი, რათა წარმატებით მოემზადოთ მათემატიკის ერთიანი გამოცდისთვის!

იმისათვის, რომ იცოდეთ უცნობების გამოთვლის წესები და მარტივად მიიღოთ სწორი შედეგები, გამოიყენეთ ჩვენი ონლაინ სერვისი. შკოლკოვოს პორტალი არის უნიკალური პლატფორმა, სადაც გროვდება ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მომზადებისთვის საჭირო მასალები. ჩვენმა მასწავლებლებმა სისტემატიზაცია მოახდინეს და გასაგებად წარმოადგინეს ყველა მათემატიკური წესი. გარდა ამისა, ვიწვევთ სკოლის მოსწავლეებს, რომ სცადონ თავიანთი ძალები სტანდარტული რაციონალური განტოლებების ამოხსნაში, რომელთა საფუძველი მუდმივად განახლდება და ფართოვდება.

ტესტირებისთვის უფრო ეფექტური მომზადებისთვის, ჩვენ გირჩევთ მიჰყვეთ ჩვენს სპეციალურ მეთოდს და დაიწყოთ წესების გამეორებით და მარტივი პრობლემების გადაჭრით, თანდათან გადავიდეთ უფრო რთულზე. ამგვარად, კურსდამთავრებული შეძლებს საკუთარი თავისთვის ურთულესი თემების ამოცნობას და მათ შესწავლაზე ფოკუსირებას.

დაიწყეთ მზადება საბოლოო გამოცდისთვის შკოლკოვოსთან ერთად დღესვე და შედეგებს არ დააყოვნებს! აირჩიეთ ყველაზე მარტივი მაგალითი მოცემულებიდან. თუ გამოთქმას სწრაფად დაეუფლებით, გადადით უფრო რთულ საქმეზე. ამ გზით თქვენ შეგიძლიათ გააუმჯობესოთ თქვენი ცოდნა მათემატიკაში USE ამოცანების სპეციალიზებულ დონეზე გადაჭრამდე.

ტრენინგი ხელმისაწვდომია არა მხოლოდ მოსკოვის კურსდამთავრებულებისთვის, არამედ სხვა ქალაქების სკოლის მოსწავლეებისთვისაც. დაუთმეთ დღეში ორიოდე საათი სწავლას, მაგალითად, ჩვენს პორტალზე და ძალიან მალე შეძლებთ გაუმკლავდეთ ნებისმიერი სირთულის განტოლებებს!

წილადი განტოლებები. ოძ.

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალები 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც ძალიან "არ არის ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

ჩვენ ვაგრძელებთ განტოლებების დაუფლებას. ჩვენ უკვე ვიცით როგორ ვიმუშაოთ წრფივ და კვადრატულ განტოლებებთან. ბოლო ხედი დარჩა - წილადი განტოლებები. ან მათ ასევე უწოდებენ ბევრად უფრო პატივსაცემი - წილადი რაციონალური განტოლებები. Ეს იგივეა.

წილადი განტოლებები.

როგორც სახელი გულისხმობს, ეს განტოლებები აუცილებლად შეიცავს წილადებს. მაგრამ არა მხოლოდ წილადები, არამედ წილადები, რომლებსაც აქვთ მნიშვნელში უცნობი. ერთში მაინც. Მაგალითად:

შეგახსენებთ, რომ თუ მნიშვნელები მხოლოდ ნომრები, ეს არის წრფივი განტოლებები.

როგორ გადაწყვიტოს წილადი განტოლებები? უპირველეს ყოვლისა, მოიშორეთ წილადები! ამის შემდეგ, განტოლება ყველაზე ხშირად იქცევა წრფივ ან კვადრატად. შემდეგ კი ჩვენ ვიცით რა უნდა გავაკეთოთ... ზოგიერთ შემთხვევაში ის შეიძლება გადაიქცეს იდენტობად, მაგალითად 5=5 ან არასწორ გამონათქვამად, მაგალითად 7=2. მაგრამ ეს იშვიათად ხდება. ამას ქვემოთ აღვნიშნავ.

მაგრამ როგორ მოვიშოროთ წილადები!? Ძალიან მარტივი. იგივე იდენტური გარდაქმნების გამოყენება.

ჩვენ უნდა გავამრავლოთ მთელი განტოლება იმავე გამოსახულებით. ისე რომ ყველა მნიშვნელი შემცირდეს! ყველაფერი მაშინვე უფრო ადვილი გახდება. ნება მომეცით ავხსნა მაგალითით. მოდით გადავწყვიტოთ განტოლება:

როგორ ასწავლიდნენ დაწყებით სკოლაში? ყველაფერს ერთ მხარეს გადავიტანთ, საერთო მნიშვნელამდე მივყავართ და ა.შ. დაივიწყე ცუდი სიზმარივით! ეს არის ის, რაც უნდა გააკეთოთ წილადების შეკრების ან გამოკლებისას. ან მუშაობთ უთანასწორობებთან. ხოლო განტოლებებში ჩვენ მაშინვე ვამრავლებთ ორივე მხარეს გამოსახულებით, რომელიც მოგვცემს შესაძლებლობას შევამციროთ ყველა მნიშვნელი (ანუ არსებითად საერთო მნიშვნელით). და რა არის ეს გამოთქმა?

მარცხენა მხარეს, მნიშვნელის შემცირება მოითხოვს გამრავლებას x+2. და მარჯვნივ, 2-ზე გამრავლებაა საჭირო, ეს ნიშნავს, რომ განტოლება უნდა გამრავლდეს 2 (x+2). გამრავლება:

ეს არის წილადების ჩვეულებრივი გამრავლება, მაგრამ მე მას დეტალურად აღვწერ:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ჯერ არ ვხსნი ფრჩხილს (x + 2)! ასე რომ, მთლიანობაში ვწერ:

მარცხენა მხარეს ის მთლიანად იკუმშება (x+2), და მარჯვნივ 2. რაც იყო საჭირო! შემცირების შემდეგ ვიღებთ ხაზოვანიგანტოლება:

და ყველას შეუძლია ამ განტოლების ამოხსნა! x = 2.

მოდით მოვაგვაროთ კიდევ ერთი მაგალითი, ცოტა უფრო რთული:

თუ გავიხსენებთ, რომ 3 = 3/1 და 2x = 2x/ 1, შეგვიძლია დავწეროთ:

და ისევ ვაშორებთ იმას, რაც ნამდვილად არ მოგვწონს - წილადებს.

ჩვენ ვხედავთ, რომ X-ით მნიშვნელის შესამცირებლად, წილადი უნდა გავამრავლოთ (x - 2). და რამდენიმე არ არის ჩვენთვის დაბრკოლება. აბა, გავამრავლოთ. ყველამარცხენა მხარეს და ყველამარჯვენა მხარე:

ისევ ფრჩხილები (x - 2)არ ვამხელ. ვმუშაობ ფრჩხილთან მთლიანობაში, თითქოს ეს იყოს ერთი ნომერი! ეს ყოველთვის უნდა გაკეთდეს, წინააღმდეგ შემთხვევაში არაფერი შემცირდება.

ღრმა კმაყოფილების გრძნობით ვამცირებთ (x - 2)და ვიღებთ განტოლებას ყოველგვარი წილადის გარეშე, სახაზავით!

ახლა გავხსნათ ფრჩხილები:

მოვიყვანთ მსგავსებს, გადავიტანთ ყველაფერს მარცხენა მხარეს და ვიღებთ:

მაგრამ მანამდე ჩვენ ვისწავლით სხვა პრობლემების გადაჭრას. ინტერესზე. ეს რაკია, სხვათა შორის!

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. ვისწავლოთ - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		ჩვენ ვწერთ და „ვაგვარებთ“ ODZ-ს. ვაფართოვებთ \(x^2+7x+10\)-ს ფორმულის მიხედვით: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). საბედნიეროდ, ჩვენ უკვე ვიპოვეთ \(x_1\) და \(x_2\).
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		ცხადია, წილადების საერთო მნიშვნელია \((x+2)(x+5)\). ჩვენ მასზე ვამრავლებთ მთელ განტოლებას.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		წილადების შემცირება
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		ფრჩხილების გახსნა
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს
\(2x^2+9x-5=0\)		განტოლების ფესვების პოვნა
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		ერთ-ერთი ფესვი არ ერგება ODZ-ს, ამიტომ პასუხში ვწერთ მხოლოდ მეორე ფესვს.