როგორ გავამრავლოთ 2x2 მატრიცები. მათემატიკა დუიმებისთვის

1 კურსი უმაღლესი მათემატიკა სწავლა მატრიცებიდა ძირითადი მოქმედებები მათზე. აქ ჩვენ ვაწყობთ ძირითად ოპერაციებს, რომლებიც შეიძლება შესრულდეს მატრიცებით. სად დავიწყოთ მატრიცების გაცნობა? რა თქმა უნდა, უმარტივესი საგნებიდან - განმარტებები, ძირითადი ცნებები და მარტივი ოპერაციები. გარწმუნებთ, რომ მატრიცები ყველასთვის გასაგები იქნება, ვინც მათ ცოტა დროს მაინც უთმობს!

მატრიცის განმარტება

მატრიცაარის ელემენტების მართკუთხა ცხრილი. ისე, მარტივი სიტყვებით - რიცხვების ცხრილი.

როგორც წესი, მატრიცები აღინიშნება დიდი ლათინური ასოებით. მაგალითად, მატრიცა ა , მატრიცა ბ და ასე შემდეგ. მატრიცები შეიძლება იყოს სხვადასხვა ზომის: მართკუთხა, კვადრატული და ასევე არის მწკრივისა და სვეტის მატრიცები, რომლებსაც ვექტორები ეწოდება. მატრიცის ზომა განისაზღვრება სტრიქონებისა და სვეტების რაოდენობით. მაგალითად, დავწეროთ ზომის მართკუთხა მატრიცა მ on ნ , სად მ - ხაზების რაოდენობა და ნ - სვეტების რაოდენობა.

ნივთები, რისთვისაც i=j (a11, a22, .. ) ქმნიან მატრიცის მთავარ დიაგონალს და უწოდებენ დიაგონალს.

რა შეგიძლიათ გააკეთოთ მატრიცებით? დამატება/გამოკლება, რიცხვზე გამრავლება, გამრავლდნენ ერთმანეთში, გადატანა. ახლა მატრიცებზე ყველა ამ ძირითადი ოპერაციის შესახებ თანმიმდევრობით.

მატრიცის შეკრება და გამოკლების ოპერაციები

დაუყოვნებლივ გაფრთხილებთ, რომ შეგიძლიათ დაამატოთ მხოლოდ იმავე ზომის მატრიცები. შედეგი იქნება იგივე ზომის მატრიცა. მატრიცების დამატება (ან გამოკლება) მარტივია - თქვენ უბრალოდ უნდა დაამატოთ მათი შესაბამისი ელემენტები . მოვიყვანოთ მაგალითი. შევასრულოთ ორი A და B ზომის ორი მატრიცის შეკრება.

გამოკლება ხდება ანალოგიით, მხოლოდ საპირისპირო ნიშნით.

ნებისმიერი მატრიცა შეიძლება გამრავლდეს თვითნებურ რიცხვზე. ამის გაკეთება თქვენ უნდა გაამრავლოთ მისი თითოეული ელემენტი ამ რიცხვზე. მაგალითად, მოდით გავამრავლოთ მატრიცა A პირველი მაგალითიდან 5 რიცხვზე:

მატრიცის გამრავლების ოპერაცია

ყველა მატრიცა არ შეიძლება გამრავლდეს ერთად. მაგალითად, გვაქვს ორი მატრიცა - A და B. მათი გამრავლება შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ A მატრიცის სვეტების რაოდენობა უდრის B მატრიცის რიგების რაოდენობას. ამ შემთხვევაში შედეგად მიღებული მატრიცის თითოეული ელემენტი, რომელიც მდებარეობს i-ე მწკრივში და j-ე სვეტში, ტოლი იქნება შესაბამისი ელემენტების ნამრავლების ჯამს პირველი ფაქტორის i-ე მწკრივში და j-ე სვეტში. მეორე. ამ ალგორითმის გასაგებად, მოდით დავწეროთ როგორ მრავლდება ორი კვადრატული მატრიცა:

და მაგალითი რეალური რიცხვებით. გავამრავლოთ მატრიცები:

მატრიცის ტრანსპოზის ოპერაცია

მატრიცის ტრანსპოზიცია არის ოპერაცია, სადაც ხდება შესაბამისი სტრიქონების და სვეტების გაცვლა. მაგალითად, გადავიტანოთ მატრიცა A პირველი მაგალითიდან:

მატრიცის განმსაზღვრელი

დეტერმინანტი, ანუ განმსაზღვრელი, წრფივი ალგებრის ერთ-ერთი ძირითადი ცნებაა. ოდესღაც ხალხს წრფივი განტოლებები მოჰყვა და მათ შემდეგ უნდა მოეფიქრებინათ განმსაზღვრელი. საბოლოო ჯამში, ამ ყველაფერთან გამკლავება თქვენზეა დამოკიდებული, ასე რომ, ბოლო ბიძგი!

განმსაზღვრელი არის კვადრატული მატრიცის რიცხვითი მახასიათებელი, რომელიც საჭიროა მრავალი პრობლემის გადასაჭრელად.
უმარტივესი კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გამოთვალოთ განსხვავება ძირითადი და მეორადი დიაგონალების ელემენტების პროდუქტებს შორის.

პირველი რიგის მატრიცის განმსაზღვრელი, ანუ ერთი ელემენტისგან შემდგარი, ამ ელემენტის ტოლია.

რა მოხდება, თუ მატრიცა არის სამი სამზე? ეს უფრო რთულია, მაგრამ თქვენ შეგიძლიათ გაუმკლავდეთ.

ასეთი მატრიცისთვის, განმსაზღვრელი მნიშვნელობა უდრის მთავარი დიაგონალის ელემენტების ნამრავლების ჯამს და ძირითადი დიაგონალის პარალელურ პირის მქონე სამკუთხედებზე მდებარე ელემენტების ნამრავლების ჯამს, საიდანაც არის ნამრავლი გამოკლებულია მეორადი დიაგონალის ელემენტები და პარალელური მეორადი დიაგონალის პირის მქონე სამკუთხედებზე დაყრილი ელემენტების ნამრავლი.

საბედნიეროდ, პრაქტიკაში იშვიათად არის საჭირო დიდი ზომის მატრიცების დეტერმინანტების გამოთვლა.

აქ ჩვენ შევხედეთ ძირითად ოპერაციებს მატრიცებზე. რა თქმა უნდა, რეალურ ცხოვრებაში შეიძლება არასოდეს შეგხვდეთ განტოლებათა მატრიცული სისტემის მინიშნებაც კი, ან, პირიქით, შეგხვდეთ ბევრად უფრო რთულ შემთხვევებს, როდესაც ნამდვილად მოგიწევთ ჭკუის დალაგება. სწორედ ასეთი შემთხვევებისთვის არსებობს პროფესიონალი სტუდენტური სერვისები. ითხოვეთ დახმარება, მიიღეთ მაღალი ხარისხის და დეტალური გადაწყვეტა, ისიამოვნეთ აკადემიური წარმატებებით და თავისუფალი დროით.

ეს არის ერთ-ერთი ყველაზე გავრცელებული მატრიცული ოპერაცია. მატრიცას, რომელიც მიიღება გამრავლების შემდეგ, ეწოდება მატრიცების ნამრავლი.

მატრიცული პროდუქტი Am × ნმატრიცამდე ბნ × კიქნება მატრიცა სმ × კისეთი, რომ მატრიცის ელემენტი C, მდებარეობს ქ მე-მე ხაზი და ჯ-ე სვეტი, ანუ ელემენტი გ ijელემენტების ნამრავლების ჯამის ტოლია მემატრიცის მე-6 მწკრივი აშესაბამის ელემენტებზე ჯმატრიცის მერვე სვეტი ბ.

პროცესი მატრიცის გამრავლებაშესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ პირველი მატრიცის სვეტების რაოდენობა უდრის მეორე მატრიცის რიგების რაოდენობას.

მაგალითი:
შესაძლებელია თუ არა მატრიცის მატრიცზე გამრავლება?

მ =ნ, რაც ნიშნავს, რომ შესაძლებელია მატრიცის მონაცემების გამრავლება.

თუ მატრიცები შეიცვლება, მაშინ ასეთი მატრიცებით გამრავლება შეუძლებელი იქნება.

მ≠ ნამდენად, გამრავლება შეუძლებელია:

ხშირად შეგიძლიათ იპოვოთ ამოცანები ხრიკით, როდესაც სტუდენტს ეკითხებიან მატრიცების გამრავლება, რომლის გამრავლება ცხადია შეუძლებელია.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ზოგჯერ შეგიძლიათ მატრიცების გამრავლება ორივე გზით. მაგალითად, მატრიცებისთვის და შესაძლოა გამრავლების სახით MNდა გამრავლება ნ.მ.

ეს არ არის ძალიან რთული მოქმედება. მატრიცული გამრავლება უკეთ გასაგებია კონკრეტული მაგალითების გამოყენებით, რადგან მხოლოდ განმარტება შეიძლება იყოს ძალიან დამაბნეველი.

დავიწყოთ უმარტივესი მაგალითით:

უნდა გამრავლდეს. უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ ვაძლევთ ფორმულას ამ შემთხვევისთვის:

- აქ არის ნათელი ნიმუში.

გავამრავლოთ .

ამ შემთხვევის ფორმულა არის: .

მატრიცის გამრავლება და შედეგი:

შედეგად, ე.წ ნულოვანი მატრიცა.

ძალიან მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს, რომ "ტერმინების ადგილების გადაკეთების წესი" აქ არ მუშაობს, რადგან თითქმის ყოველთვის MN≠ ნ.მ.. ამიტომ, წარმოება მატრიცის გამრავლების ოპერაციაარავითარ შემთხვევაში არ უნდა შეიცვალოს ისინი.

ახლა მოდით შევხედოთ მესამე რიგის მატრიცების გამრავლების მაგალითებს:

გაამრავლე ზე .

ფორმულა ძალიან ჰგავს წინა ფორმულებს:

მატრიცის ამოხსნა: .

ეს არის იგივე მატრიცის გამრავლება, მეორე მატრიცის ნაცვლად მხოლოდ მარტივი რიცხვია აღებული. როგორც თქვენ მიხვდით, ასეთი გამრავლება ბევრად უფრო ადვილია.

მატრიცის რიცხვზე გამრავლების მაგალითი:

აქ ყველაფერი ნათელია - იმისათვის გავამრავლოთ მატრიცა რიცხვზემატრიცის თითოეული ელემენტი თანმიმდევრულად უნდა გამრავლდეს მითითებულ რიცხვზე. ამ შემთხვევაში - 3-ით.

კიდევ ერთი სასარგებლო მაგალითი:

- მატრიცის გამრავლება წილად რიცხვზე.

პირველ რიგში, ჩვენ გაჩვენებთ რა არ უნდა გააკეთოთ:

მატრიცის წილადზე გამრავლებისას არ არის საჭირო წილადის მატრიცაში შეყვანა, რადგან ეს, პირველ რიგში, მხოლოდ ართულებს მატრიცის შემდგომ მოქმედებებს და მეორეც, მასწავლებელს ართულებს ამოხსნის შემოწმებას.

და, უფრო მეტიც, არ არის საჭირო მატრიცის თითოეული ელემენტის გაყოფა -7-ზე:

.

რა უნდა გაკეთდეს ამ შემთხვევაში არის მატრიცას მინუსის დამატება:

.

თუ გქონდათ მაგალითი, სადაც მატრიცის ყველა ელემენტი იყოფა 7-ზე ნაშთის გარეშე, მაშინ შეგეძლოთ (და უნდა!) გაყოთ.

ამ მაგალითში შესაძლებელია და აუცილებელია მატრიცის ყველა ელემენტის ½-ზე გამრავლება, რადგან მატრიცის თითოეული ელემენტი ნაშთის გარეშე იყოფა 2-ზე.

შენიშვნა: უმაღლესი სკოლის მათემატიკის თეორიაში არ არსებობს ცნება "გაყოფა". იმის ნაცვლად, რომ თქვათ "ეს გაყოფილი მასზე", ყოველთვის შეგიძლიათ თქვათ "ეს გამრავლებული წილადზე". ანუ გაყოფა გამრავლების განსაკუთრებული შემთხვევაა.

ასე რომ, წინა გაკვეთილზე გადავხედეთ მატრიცების შეკრებისა და გამოკლების წესებს. ეს ისეთი მარტივი ოპერაციებია, რომ სტუდენტების უმრავლესობას ესმის ისინი სიტყვასიტყვით მაშინვე.

თუმცა, ადრე გიხარია. უფასო თამაში დასრულდა - გადავიდეთ გამრავლებაზე. მაშინვე გაფრთხილებთ: ორი მატრიცის გამრავლება სულაც არ არის იგივე კოორდინატების მქონე უჯრედებში მდებარე რიცხვების გამრავლება, როგორც თქვენ ფიქრობთ. აქ ყველაფერი ბევრად უფრო სახალისოა. და ჩვენ უნდა დავიწყოთ წინასწარი განმარტებებით.

შესატყვისი მატრიცები

მატრიცის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი მახასიათებელი მისი ზომაა. ჩვენ უკვე ასჯერ ვისაუბრეთ ამაზე: აღნიშვნა $A=\left[m\times n \right]$ ნიშნავს, რომ მატრიცას აქვს ზუსტად $m$ რიგები და $n$ სვეტები. ჩვენ უკვე განვიხილეთ, თუ როგორ არ ავურიოთ რიგები სვეტებთან. ახლა სხვა რამეა მნიშვნელოვანი.

განმარტება. $A=\left[ m\ჯერ n \right]$ და $B=\left[n\ჯერ k \right]$ ფორმის მატრიცები, რომლებშიც პირველ მატრიცაში სვეტების რაოდენობა ემთხვევა რიგების რაოდენობას. მეორეში, ეწოდება თანმიმდევრული.

კიდევ ერთხელ: პირველ მატრიცაში სვეტების რაოდენობა უდრის მეორეში მწკრივების რაოდენობას! აქედან ჩვენ ვიღებთ ორ დასკვნას ერთდროულად:

1. ჩვენთვის მნიშვნელოვანია მატრიცების თანმიმდევრობა. მაგალითად, მატრიცები $A=\left[ 3\ჯერ 2 \მარჯვნივ]$ და $B=\left[ 2\ჯერ 5 \მარჯვნივ]$ თანმიმდევრულია (2 სვეტი პირველ მატრიცაში და 2 სტრიქონი მეორეში) , მაგრამ პირიქით — მატრიცები $B=\left[ 2\ჯერ 5 \მარჯვნივ]$ და $A=\left[ 3\ჯერ 2 \მარჯვნივ]$ აღარ არის თანმიმდევრული (პირველ მატრიცაში 5 სვეტი არ არის 3 მწკრივი მეორეში).
2. თანმიმდევრულობა მარტივად შეიძლება შემოწმდეს ყველა განზომილების ერთმანეთის მიყოლებით ჩაწერით. წინა აბზაცის მაგალითის გამოყენებით: „3 2 2 5“ - შუა რიცხვები იგივეა, ამიტომ მატრიცები თანმიმდევრულია. მაგრამ "2 5 3 2" არ არის თანმიმდევრული, რადგან შუაში სხვადასხვა რიცხვია.

გარდა ამისა, კაპიტანი Obviousness, როგორც ჩანს, მიანიშნებს, რომ $\left[n\ჯერ n \right]$ იგივე ზომის კვადრატული მატრიცები ყოველთვის თანმიმდევრულია.

მათემატიკაში, როდესაც ობიექტების ჩამოთვლის თანმიმდევრობა მნიშვნელოვანია (მაგალითად, ზემოთ განხილულ განმარტებაში მნიშვნელოვანია მატრიცების რიგი), ხშირად ვსაუბრობთ დალაგებულ წყვილებზე. ჩვენ მათ სკოლაში შევხვდით: ვფიქრობ, უაზროა, რომ $\left(1;0 \right)$ და $\left(0;1 \right)$ კოორდინატები სიბრტყის სხვადასხვა წერტილებს განსაზღვრავენ.

ასე რომ: კოორდინატები ასევე დალაგებულია წყვილები, რომლებიც შედგება რიცხვებისგან. მაგრამ არაფერი გიშლის ხელს მატრიცებისგან ასეთი წყვილის გაკეთებაში. შემდეგ შეგვიძლია ვთქვათ: ”მატრიცების მოწესრიგებული წყვილი $\left(A;B \right)$ თანმიმდევრულია, თუ სვეტების რაოდენობა პირველ მატრიცაში იგივეა, რაც მეორეში მწკრივების რაოდენობა.”

მერე რა?

გამრავლების განმარტება

განვიხილოთ ორი თანმიმდევრული მატრიცა: $A=\left[m\ჯერ n \right]$ და $B=\left[n\ჯერ k \მარჯვნივ]$. და ჩვენ განვსაზღვრავთ გამრავლების ოპერაციას მათთვის.

განმარტება. ორი შესატყვისი მატრიცის ნამრავლი $A=\left[m\ჯერ n \right]$ და $B=\left[n\ჯერ k \მარჯვნივ]$ არის ახალი მატრიცა $C=\left[m\ჯერ k \ right] $, რომლის ელემენტები გამოითვლება ფორმულის გამოყენებით:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((გ)_(i;j))=(a)_(i;1))\cdot ((ბ)_(1;j))+((a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\ldots +((a)_(i;n))\cdot ((ბ)_(n;j))= \\ & =\sum\limits_(t=1)^(n)(((a)_(i;t))\cdot ((ბ)_(t;j))) \ბოლო(გასწორება)\]

ასეთი პროდუქტი აღინიშნება სტანდარტული გზით: $C=A\cdot B$.

მათ, ვინც პირველად ხედავს ამ განმარტებას, მაშინვე უჩნდებათ ორი შეკითხვა:

1. რა სასტიკი თამაშია ეს?
2. რატომ არის ასე რთული?

კარგად, პირველ რიგში. დავიწყოთ პირველი კითხვით. რას ნიშნავს ყველა ეს მაჩვენებელი? და როგორ არ დაუშვათ შეცდომები რეალურ მატრიცებთან მუშაობისას?

უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ გრძელი ხაზი $((c)_(i;j))$-ის გამოსათვლელად (ინდექსებს შორის სპეციალურად დავაყენე მძიმით, რომ არ დაბნეულიყო, მაგრამ არ არის საჭირო მათი დაყენება. ყველაფერი - მე თვითონ დავიღალე განმარტებაში ფორმულის აკრეფით) სინამდვილეში მარტივი წესით მოდის:

1. აიღეთ $i$th მწკრივი პირველ მატრიცაში;
2. აიღეთ $j$th სვეტი მეორე მატრიცაში;
3. ვიღებთ რიცხვების ორ თანმიმდევრობას. ჩვენ ვამრავლებთ ამ მიმდევრობის ელემენტებს იმავე რიცხვებით და შემდეგ ვამატებთ მიღებულ პროდუქტებს.

ეს პროცესი ადვილად გასაგებია სურათიდან:

კიდევ ერთხელ: პირველ მატრიცაში ვაფიქსირებთ $i$ მწკრივს, მეორე მატრიცაში $j$ სვეტს, ვამრავლებთ ელემენტებს იმავე რიცხვებით და შემდეგ ვამატებთ მიღებულ პროდუქტებს - მივიღებთ $((c)_(ij))$ . და ასე შემდეგ ყველა $1\le i\le m$ და $1\le j\le k$. იმათ. ასეთი "გარყვნილების" $m\ჯერ k$ იქნება მთლიანობაში.

ფაქტობრივად, ჩვენ უკვე შეგვხვდა მატრიცული გამრავლება სასკოლო სასწავლო გეგმაში, მხოლოდ ძალიან შემცირებული ფორმით. მიეცით ვექტორები:

\[\begin(align) & \vec(a)=\left(((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \მარჯვნივ); \\ & \overrightarrow(b)=\left(((x)_(b));((y)_(b));((z)_(b)) \მარჯვნივ). \\ \ბოლო (გასწორება)\]

მაშინ მათი სკალარული ნამრავლი იქნება ზუსტად წყვილი პროდუქტების ჯამი:

\[\overrightarrow(a)\ჯერ \overrightarrow(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y) )_(ბ))+((ზ)_(ა))\cdot ((ზ)_(ბ))\]

ძირითადად, როცა ხეები უფრო მწვანე იყო და ცა უფრო ნათელი, ჩვენ უბრალოდ ვამრავლებდით მწკრივის ვექტორს $\overrightarrow(a)$ სვეტის ვექტორზე $\overrightarrow(b)$.

დღეს არაფერი შეცვლილა. უბრალოდ, ახლა უფრო მეტია ამ მწკრივის და სვეტის ვექტორები.

მაგრამ საკმარისი თეორია! მოდით შევხედოთ რეალურ მაგალითებს. და დავიწყოთ უმარტივესი შემთხვევით - კვადრატული მატრიცებით.

კვადრატული მატრიცის გამრავლება

დავალება 1. გააკეთეთ გამრავლება:

\[\ მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(რ)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\ბოლო (მასივი) \მარჯვნივ]\]

გამოსავალი. ასე რომ, ჩვენ გვაქვს ორი მატრიცა: $A=\მარცხნივ[2\ჯერ 2 \მარჯვნივ]$ და $B=\მარცხნივ[2\ჯერ 2 \მარჯვნივ]$. ნათელია, რომ ისინი თანმიმდევრულია (იგივე ზომის კვადრატული მატრიცები ყოველთვის თანმიმდევრულია). ამიტომ ვასრულებთ გამრავლებას:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & \მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \ დასაწყისი(მასივი)(*(35)(რ)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]=\მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) 1\cdot \left(-2 \right)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \left(-2 \მარჯვნივ)+4\cdot 3 & -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]= \\ & =\მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ დასასრული(მასივი)\მარჯვნივ]. \ბოლო(გასწორება)\]

ესე იგი!

პასუხი: $\მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]$.

დავალება 2. გააკეთეთ გამრავლება:

\[\ მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]\cdot \left[ \დაწყება(მატრიცა)(*(35)(r))9 & 6 \\ -3 & -2 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]\]

გამოსავალი. ისევ თანმიმდევრული მატრიცები, ამიტომ ჩვენ ვასრულებთ შემდეგ მოქმედებებს:\[\]

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & \მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა)(*(35)( ) რ)) 9 & 6 \\ -3 & -2 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]=\მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(რ)) 1\cdot 9+3\cdot \ მარცხენა(-3 \მარჯვნივ) & 1\cdot 6+3\cdot \left(-2 \right) \\ 2\cdot 9+6\cdot \left(-3 \მარჯვნივ) & 2\cdot 6+6 \ cdot \left(-2 \მარჯვნივ) \\\ბოლო(მატრიცა) \right]= \\ & =\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ ] . \ბოლო(გასწორება)\]

როგორც ხედავთ, შედეგი არის ნულებით სავსე მატრიცა

პასუხი: $\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]$.

ზემოთ მოყვანილი მაგალითებიდან აშკარაა, რომ მატრიცული გამრავლება არც ისე რთული ოპერაციაა. მინიმუმ 2-ზე 2 კვადრატული მატრიცებისთვის.

გამოთვლების პროცესში ჩვენ შევადგინეთ შუალედური მატრიცა, სადაც პირდაპირ აღვწერეთ რომელი რიცხვები შედის კონკრეტულ უჯრედში. ეს არის ზუსტად ის, რაც უნდა გააკეთოთ რეალური პრობლემების გადაჭრისას.

მატრიცული პროდუქტის ძირითადი თვისებები

მოკლედ. მატრიცის გამრავლება:

1. არაკომუტაციური: $A\cdot B\ne B\cdot A$ ზოგად შემთხვევაში. რა თქმა უნდა, არის სპეციალური მატრიცები, რომლებისთვისაც ტოლია $A\cdot B=B\cdot A$ (მაგალითად, თუ $B=E$ არის პირადობის მატრიცა), მაგრამ უმეტეს შემთხვევაში ეს არ მუშაობს. ;
2. ასოციაციურად: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$. აქ არ არის ვარიანტები: მიმდებარე მატრიცები შეიძლება გამრავლდეს ისე, რომ არ იფიქროთ იმაზე, თუ რა არის ამ ორი მატრიცის მარცხნივ და მარჯვნივ.
3. დისტრიბუციულად: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$ და $\left(A+B \მარჯვნივ)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C $ (პროდუქტის არაკომუტატიურობის გამო, აუცილებელია ცალ-ცალკე მიუთითოთ მარჯვენა და მარცხენა განაწილება.

ახლა კი - ყველაფერი იგივეა, მაგრამ უფრო დეტალურად.

მატრიცული გამრავლება მრავალი თვალსაზრისით ჰგავს კლასიკურ რიცხვთა გამრავლებას. მაგრამ არის განსხვავებები, რომელთაგან ყველაზე მნიშვნელოვანია ის მატრიცული გამრავლება, ზოგადად, არაკომუტაციურია.

მოდით კიდევ ერთხელ გადავხედოთ მატრიცებს ამოცანის 1-დან. ჩვენ უკვე ვიცით მათი პირდაპირი პროდუქტი:

\[\ მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(რ)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\ბოლო (მასივი) \მარჯვნივ]=\ მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]\]

მაგრამ თუ მატრიცებს გავცვლით, სრულიად განსხვავებულ შედეგს მივიღებთ:

\[\ მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(რ)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(* (35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ=\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) -14 & 4 \\ 0 & 10 \\\ბოლო (მატრიცა )\მარჯვნივ]\]

გამოდის, რომ $A\cdot B\ne B\cdot A$. გარდა ამისა, გამრავლების ოპერაცია განისაზღვრება მხოლოდ თანმიმდევრული მატრიცებისთვის $A=\left[m\ჯერ n \right]$ და $B=\left[n\ჯერ k \right]$, მაგრამ არავის აქვს გარანტია, რომ ისინი დარჩება თანმიმდევრული, თუ ისინი შეიცვლება. მაგალითად, მატრიცები $\left[ 2\ჯერ 3 \მარჯვნივ]$ და $\left[ 3\ჯერ 5 \მარჯვნივ]$ საკმაოდ თანმიმდევრულია მითითებული თანმიმდევრობით, მაგრამ იგივე მატრიცები $\left[ 3\ჯერ 5 \right] $ და $\left[ 2\ჯერ 3 \მარჯვნივ]$ დაწერილი საპირისპირო თანმიმდევრობით აღარ არის თანმიმდევრული. სამწუხაროა. :(

მოცემული ზომის $n$ კვადრატულ მატრიცებს შორის ყოველთვის იქნება ისეთები, რომლებიც ერთსა და იმავე შედეგს იძლევა როგორც პირდაპირი, ისე საპირისპირო თანმიმდევრობით გამრავლებისას. როგორ აღვწეროთ ყველა ასეთი მატრიცა (და რამდენია ზოგადად) ცალკე გაკვეთილის თემაა. ამაზე დღეს არ ვისაუბრებთ :)

თუმცა, მატრიცული გამრავლება ასოციაციურია:

\[\ მარცხენა (A\cdot B \მარჯვნივ)\cdot C=A\cdot \მარცხნივ(B\cdot C \მარჯვნივ)\]

ამიტომ, როცა საჭიროა რამდენიმე მატრიცის ზედიზედ გამრავლება, სულაც არ არის საჭირო ამის გაკეთება დაუყოვნებლივ: სავსებით შესაძლებელია, რომ ზოგიერთმა მიმდებარე მატრიცამ, გამრავლებისას, საინტერესო შედეგი გამოიღოს. მაგალითად, ნულოვანი მატრიცა, როგორც ზემოთ განხილულ პრობლემა 2-ში.

რეალურ პრობლემებში, ყველაზე ხშირად ჩვენ უნდა გავამრავლოთ $\left[n\ჯერ n \მარჯვნივ]$ ზომის კვადრატული მატრიცები. ყველა ასეთი მატრიცების სიმრავლე აღინიშნება $((M)^(n))$-ით (ანუ, ჩანაწერები $A=\left[n\ჯერ n \მარჯვნივ]$ და \ იგივეს ნიშნავს) და ეს იქნება აუცილებლად შეიცავდეს $E$ მატრიცას, რომელსაც იდენტობის მატრიცას უწოდებენ.

განმარტება. $n$ ზომის იდენტურობის მატრიცა არის $E$ მატრიცა ისეთი, რომ ნებისმიერი კვადრატული მატრიცისთვის $A=\left[n\ჯერ n \right]$ თანასწორობა მოქმედებს:

ასეთი მატრიცა ყოველთვის ერთნაირად გამოიყურება: მის მთავარ დიაგონალზე არის ერთეულები და ყველა სხვა უჯრედში ნულები.

\[\begin(align) & A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \მარცხნივ(A+B \მარჯვნივ)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ თქვენ გჭირდებათ ერთი მატრიცის გამრავლება ორი სხვას ჯამზე, შეგიძლიათ გაამრავლოთ ის თითოეულ ამ „სხვა ორზე“ და შემდეგ დაამატოთ შედეგები. პრაქტიკაში, როგორც წესი, გვიწევს საპირისპირო ოპერაციის შესრულება: ჩვენ ვამჩნევთ იგივე მატრიცას, ამოვიღებთ მას ფრჩხილებიდან, ვასრულებთ შეკრებას და ამით ვამარტივებთ ჩვენს ცხოვრებას.

შენიშვნა: განაწილების აღსაწერად ორი ფორმულა უნდა დაგვეწერა: სად არის ჯამი მეორე ფაქტორში და სად არის ჯამი პირველში. ეს ხდება ზუსტად იმიტომ, რომ მატრიცული გამრავლება არაკომუტაციურია (და საერთოდ, არაკომუტაციური ალგებრაში არის ბევრი სახალისო რამ, რაც არც კი მახსენდება ჩვეულებრივ ციფრებთან მუშაობისას). და თუ, მაგალითად, ეს თვისება გამოცდაზე დაგჭირდებათ, მაშინ აუცილებლად დაწერეთ ორივე ფორმულა, წინააღმდეგ შემთხვევაში მასწავლებელი შეიძლება ცოტათი გაბრაზდეს.

კარგი, ეს ყველაფერი იყო ზღაპრები კვადრატულ მატრიცებზე. რაც შეეხება მართკუთხას?

მართკუთხა მატრიცების შემთხვევა

მაგრამ არაფერი - ყველაფერი იგივეა, რაც კვადრატულებთან.

დავალება 3. გააკეთეთ გამრავლება:

\[\ მარცხნივ[ \ დასაწყისი (მატრიცა) \ დასაწყისი (მატრიცა) 5 \\ 2 \\ 3 \\\ ბოლოს (მატრიცა) & \ დასაწყისი (მატრიცა) 4 \\ 5 \\ 1 \\\ დასასრული (მატრიცა) \ \\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]\]

გამოსავალი. გვაქვს ორი მატრიცა: $A=\მარცხნივ[ 3\ჯერ 2 \მარჯვნივ]$ და $B=\მარცხნივ[2\ჯერ 2 \მარჯვნივ]$. მოდით ჩამოვწეროთ რიცხვები, რომლებიც მიუთითებს ზომებზე ზედიზედ:

როგორც ხედავთ, ცენტრალური ორი რიცხვი ერთმანეთს ემთხვევა. ეს ნიშნავს, რომ მატრიცები თანმიმდევრულია და შეიძლება გამრავლდეს. უფრო მეტიც, გამოსავალზე ვიღებთ მატრიცას $C=\left[3\ჯერ 2 \მარჯვნივ]$:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & \მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) \დაწყება(მატრიცა) 5 \\ 2 \\ 3 \\\ბოლო (მატრიცა) & \ დასაწყისი (მატრიცა) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end(მატრიცა) \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\ბოლო (მაივი) \right]=\left[ \begin(მაივი)(*(35)(r)) 5\cdot \left(-2 \მარჯვნივ)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2 \cdot \left(-2 \right)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \მარჯვნივ)+1\cdot 3 & 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\end (მასივი) \მარჯვნივ]= \\ & =\მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]. \ბოლო(გასწორება)\]

ყველაფერი ნათელია: საბოლოო მატრიცას აქვს 3 სტრიქონი და 2 სვეტი. საკმაოდ $=\მარცხნივ[ 3\ჯერ 2 \მარჯვნივ]$.

პასუხი: $\ მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(რ)) \ დასაწყისი(მასივი)(*(35)(რ)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\ბოლო(მასივი) & \ დასაწყისი (მატრიცა) 41 \\ 30 \\ 19 \\\ბოლო (მატრიცა) \\\ ბოლოს (მატრიცა) \მარჯვნივ]$.

ახლა მოდით შევხედოთ ერთ-ერთ საუკეთესო სასწავლო ამოცანას მათთვის, ვინც ახლახან იწყებს მუშაობას მატრიცებთან. მასში საჭიროა არა მხოლოდ ორი ტაბლეტის გამრავლება, არამედ ჯერ განსაზღვრა: დასაშვებია თუ არა ასეთი გამრავლება?

ამოცანა 4. იპოვეთ მატრიცების ყველა შესაძლო წყვილი ნამრავლი:

\\]; $B=\left[ \begin(მატრიცა) \begin(მატრიცა) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\end (მატრიცა) & \begin(მატრიცა) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\ბოლო(მატრიცა) \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]$; $C=\left[ \begin(matrix)0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end (მატრიცა) \მარჯვნივ]$.

გამოსავალი. პირველ რიგში, მოდით დავწეროთ მატრიცების ზომები:

\;\ B=\მარცხნივ[4\ჯერ 2 \მარჯვნივ];\ C=\მარცხნივ[2\ჯერ 2 \მარჯვნივ]\]

ჩვენ აღმოვაჩენთ, რომ $A$ მატრიცა შეიძლება მხოლოდ $B$ მატრიცასთან შეჯერდეს, ვინაიდან $A$-ის სვეტების რაოდენობა არის 4 და მხოლოდ $B$-ს აქვს მწკრივების ეს რაოდენობა. ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ პროდუქტი:

\\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\ბოლო (მასივი) \მარჯვნივ]=\ მარცხენა[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r))-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]\]

მკითხველს ვთავაზობ, შუალედური საფეხურები დამოუკიდებლად დაასრულოს. მე მხოლოდ აღვნიშნავ, რომ უმჯობესია წინასწარ განვსაზღვროთ მიღებული მატრიცის ზომა, თუნდაც რაიმე გამოთვლამდე:

\\cdot \მარცხნივ[4\ჯერ 2 \მარჯვნივ]=\მარცხნივ[2\ჯერ 2 \მარჯვნივ]\]

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ უბრალოდ ვხსნით „ტრანზიტის“ კოეფიციენტებს, რომლებიც უზრუნველყოფდნენ მატრიცების თანმიმდევრულობას.

რა სხვა ვარიანტებია შესაძლებელი? რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ იპოვოთ $B\cdot A$, რადგან $B=\left[4\ჯერ 2 \მარჯვნივ]$, $A=\მარცხნივ[2\ჯერ 4 \მარჯვნივ]$, ასე რომ შეკვეთილი წყვილი $\ მარცხენა(B ;A \right)$ თანმიმდევრულია და პროდუქტის განზომილება იქნება:

\\cdot \მარცხნივ[ 2\ჯერ 4 \მარჯვნივ]=\მარცხნივ[4\ჯერ 4 \მარჯვნივ]\]

მოკლედ, გამომავალი იქნება $\left[ 4\ჯერ 4 \მარჯვნივ]$ მატრიცა, რომლის კოეფიციენტები ადვილად გამოითვლება:

\\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]=\ მარცხენა[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r))1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]\]

ცხადია, ჩვენ ასევე შეგვიძლია შევთანხმდეთ $C\cdot A$ და $B\cdot C$ - და ეს არის ის. ამიტომ, ჩვენ უბრალოდ ვწერთ შედეგად პროდუქტებს:

ადვილი იყო :)

პასუხი: $AB=\left[ \begin(მასივი)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(მაივი) \right]$; $BA=\left[ \begin(მასივი)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]$; $CA=\left[ \begin(მასივი)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end(მაივი) \მარჯვნივ]$; $BC=\left[ \begin(მასივი)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end (მასივი) \მარჯვნივ]$.

ზოგადად, გირჩევთ ამ ამოცანის შესრულებას თავად. და კიდევ ერთი მსგავსი დავალება, რომელიც არის საშინაო დავალება. ეს ერთი შეხედვით მარტივი აზრები დაგეხმარებათ ივარჯიშოთ მატრიცის გამრავლების ყველა საკვანძო საფეხურზე.

მაგრამ ამბავი ამით არ მთავრდება. გადავიდეთ გამრავლების განსაკუთრებულ შემთხვევებზე :)

მწკრივის ვექტორი და სვეტის ვექტორი

ერთ-ერთი ყველაზე გავრცელებული მატრიცული ოპერაცია არის გამრავლება მატრიცით, რომელსაც აქვს ერთი მწკრივი ან ერთი სვეტი.

განმარტება. სვეტის ვექტორი არის $\left[m\ჯერ 1 \მარჯვნივ]$ ზომის მატრიცა, ე.ი. შედგება რამდენიმე მწკრივისაგან და მხოლოდ ერთი სვეტისაგან.

მწკრივის ვექტორი არის $\left[ 1\ჯერ n \right]$ ზომის მატრიცა, ე.ი. შედგება ერთი რიგისა და რამდენიმე სვეტისგან.

სინამდვილეში, ჩვენ უკვე შევხვდით ამ ობიექტებს. მაგალითად, ჩვეულებრივი სამგანზომილებიანი ვექტორი $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$ სტერეომეტრიიდან სხვა არაფერია, თუ არა მწკრივის ვექტორი. თეორიული თვალსაზრისით, სტრიქონებსა და სვეტებს შორის განსხვავება თითქმის არ არის. თქვენ მხოლოდ სიფრთხილე გმართებთ გარემომცველი მულტიპლიკატორის მატრიცებთან კოორდინაციისას.

დავალება 5. გააკეთეთ გამრავლება:

\[\მარცხენა[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ] \cdot \left[ \begin(მასივი)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]\]

გამოსავალი. აქ გვაქვს შესატყვისი მატრიცების ნამრავლი: $\left[3\ჯერ 3 \right]\cdot \left[3\ჯერ 1 \right]=\მარცხნივ[3\ჯერ 1 \მარჯვნივ]$. მოდი ვიპოვოთ ეს ნაჭერი:

\[\ მარცხენა[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\ბოლო (მასივი) \მარჯვნივ] \cdot \left[ \begin(მაივი)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end (მაივი) \right]=\ მარცხენა[ \begin(მაივი)(*(35 )(r)) 2\cdot 1+\left(-1 \მარჯვნივ)\cdot 2+3\cdot \left(-1 \მარჯვნივ) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \ \ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \right) \\\end (მასივი) \right]=\left[ \begin(მასივი)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\ბოლო (მასივი) \მარჯვნივ]\]

პასუხი: $\left[ \begin(მაივი)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\\end(მაივი) \მარჯვნივ]$.

დავალება 6. გააკეთეთ გამრავლება:

\[\ მარცხენა[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35) (რ)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\ბოლო (მასივი) \მარჯვნივ]\]

გამოსავალი. ისევ ყველაფერი შეთანხმებულია: $\მარცხნივ[ 1\ჯერ 3 \მარჯვნივ]\cdot \left[ 3\ჯერ 3 \მარჯვნივ]=\მარცხნივ[ 1\ჯერ 3 \მარჯვნივ]$. ჩვენ ვითვლით პროდუქტს:

\[\ მარცხენა[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35) (რ)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]=\მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)( ) რ))5 & -19 & 5 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]\]

პასუხი: $\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 5 & -19 & 5 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]$.

როგორც ხედავთ, როდესაც ჩვენ ვამრავლებთ მწკრივის ვექტორს და სვეტის ვექტორს კვადრატულ მატრიცზე, გამომავალი ყოველთვის იძლევა იმავე ზომის მწკრივს ან სვეტს. ამ ფაქტს მრავალი გამოყენება აქვს - წრფივი განტოლებების ამოხსნიდან ყველა სახის კოორდინატთა გარდაქმნამდე (რომელიც საბოლოოდ ასევე მოდის განტოლებათა სისტემებამდე, მაგრამ მოდი სამწუხარო რამეებზე არ ვისაუბროთ).

მგონი აქ ყველაფერი აშკარა იყო. გადავიდეთ დღევანდელი გაკვეთილის ბოლო ნაწილზე.

მატრიცის ექსპონენტაცია

ყველა გამრავლების ოპერაციებს შორის განსაკუთრებული ყურადღება იმსახურებს გაძლიერებას - ეს არის მაშინ, როდესაც ჩვენ ვამრავლებთ ერთსა და იმავე ობიექტს თავისთავად რამდენჯერმე. მატრიცები არ არის გამონაკლისი;

ასეთი სამუშაოები ყოველთვის შეთანხმებულია:

\\cdot \left[n\ჯერ n \მარჯვნივ]=\მარცხნივ[n\ჯერ n \მარჯვნივ]\]

და ისინი მითითებულია ზუსტად ისე, როგორც ჩვეულებრივი ხარისხები:

\[\begin(align) & A\cdot A=((A)^(2)); \\ & A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ & \underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n)). \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ერთი შეხედვით ყველაფერი მარტივია. ვნახოთ, როგორ გამოიყურება ეს პრაქტიკაში:

დავალება 7. აწიეთ მატრიცა მითითებულ სიმძლავრემდე:

$((\ მარცხენა[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ])^(3))$

გამოსავალი. კარგი, ავაშენოთ. ჯერ გავასწოროთ კვადრატში:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ])^(2))=\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა ) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ]= \\ & =\მარცხენა[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]= \\ & =\მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ] \ბოლო(გასწორება)\]

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & ((\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ])^(3))=((\მარცხნივ[ \დაწყება (მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ])^(3))\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო( მატრიცა) \მარჯვნივ]= \\ & =\მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(რ)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\ბოლო (მასივი) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]= \\ & =\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა)(*(35)(რ)) 1 & 3 \\ 0 და 1 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ] \ბოლო(გასწორება)\]

სულ ესაა :)

პასუხი: $\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]$.

ამოცანა 8. აწიეთ მატრიცა მითითებულ სიმძლავრემდე:

\[((\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ])^(10))\]

გამოსავალი. უბრალოდ არ იტირო იმაზე, რომ "დიპლომი ძალიან დიდია", "სამყარო არ არის სამართლიანი" და "მასწავლებლებმა მთლიანად დაკარგეს ნაპირები". სინამდვილეში ადვილია:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & ((\ მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ])^(10))=((\მარცხნივ[ \დაწყება (მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ])^(3))\cdot ((\ მარცხნივ[ \ დასაწყისი (მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ დასასრული(მატრიცა) \მარჯვნივ])^(3))\cdot ((\მარცხნივ[\დაწყება(მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ])^(3))\ cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ]= \\ & =\მარცხნივ(\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ)\cdot \მარცხნივ(\მარცხნივ[ \ დასაწყისი (მატრიცა) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \ დასაწყისი (მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ ] \მარჯვნივ)= \\ & =\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 და 6 \\ 0 & 1 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 4 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]= \\ & =\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ] \ბოლო (გასწორება)\ ]

გაითვალისწინეთ, რომ მეორე სტრიქონში გამოვიყენეთ გამრავლების ასოციაციურობა. სინამდვილეში, ჩვენ ვიყენებდით მას წინა ამოცანაში, მაგრამ ეს იყო ნაგულისხმევი.

პასუხი: $\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]$.

როგორც ხედავთ, არაფერია რთული მატრიცის სიმძლავრემდე აყვანაში. ბოლო მაგალითი შეიძლება შეჯამდეს:

\[((\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ])^(n))=\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა)(*(35) (r)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\ ბოლოს (მასივი) \მარჯვნივ]\]

ეს ფაქტი ადვილი დასამტკიცებელია მათემატიკური ინდუქციის ან პირდაპირი გამრავლების გზით. თუმცა, ყოველთვის არ არის შესაძლებელი ასეთი ნიმუშების დაჭერა ძალაზე ამაღლებისას. ამიტომ, ფრთხილად იყავით: ხშირად რამდენიმე მატრიცის "შემთხვევით" გამრავლება უფრო ადვილი და სწრაფია, ვიდრე რაიმე სახის შაბლონების ძებნა.

ზოგადად, ნუ ეძებთ უფრო მაღალ მნიშვნელობას, სადაც არ არის. დასასრულს, განვიხილოთ უფრო დიდი მატრიცის სიძლიერე - $\მარცხნივ[3\ჯერ 3 \მარჯვნივ]$.

ამოცანა 9. აწიეთ მატრიცა მითითებულ სიმძლავრემდე:

\[((\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ])^(3))\]

გამოსავალი. მოდი ნუ ვეძებთ შაბლონებს. ჩვენ ვმუშაობთ წინ:

\[((\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ])^(3))=(( \left[ \begin(მატრიცა) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(მატრიცა) \მარჯვნივ])^(2))\cdot \ მარცხნივ[ \დაწყება (მატრიცა)0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ ბოლოს (მატრიცა) \\ მარჯვენა]\]

პირველ რიგში, მოდით გავამრავლოთ ეს მატრიცა:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & ((\ მარცხნივ[ \ დასაწყისი (მატრიცა) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ])^( 2))=\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა ) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]= \\ & =\მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r )) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\ ბოლოს (მასივი) \მარჯვნივ] \ბოლო (გასწორება)\]

ახლა მოდით კუბური გავხადოთ:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & ((\ მარცხნივ[ \ დასაწყისი (მატრიცა) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ])^( 3))=\მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\ბოლო (მასივი) \მარჯვნივ] \cdot \left[ \დაწყება(მატრიცა) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ]= \\ & =\ მარცხნივ[ \დაწყება( მასივი)(*(35)(r)) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\ ბოლოს (მასივი) \მარჯვნივ] \ბოლო (გასწორება)\]

ესე იგი. პრობლემა მოგვარებულია.

პასუხი: $\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ]$.

როგორც ხედავთ, გამოთვლების მოცულობა უფრო დიდი გახდა, მაგრამ მნიშვნელობა საერთოდ არ შეცვლილა.

ამით მთავრდება გაკვეთილი. შემდეგ ჯერზე განვიხილავთ საპირისპირო ოპერაციას: არსებული პროდუქტის გამოყენებით ვეძებთ ორიგინალურ ფაქტორებს.

როგორც უკვე მიხვდით, ჩვენ ვისაუბრებთ შებრუნებულ მატრიცაზე და მის პოვნის მეთოდებზე.