როგორ ვიპოვოთ განტოლებებით მოცემული წრფეების გადაკვეთის წერტილი. ორი ხაზის გადაკვეთა

გაკვეთილი სერიიდან "გეომეტრიული ალგორითმები"

გამარჯობა ძვირფასო მკითხველო!

გავაგრძელოთ გაცნობა გეომეტრიული ალგორითმები. ბოლო გაკვეთილზე ვიპოვეთ სწორი ხაზის განტოლება ორი წერტილის კოორდინატების გამოყენებით. მივიღეთ ფორმის განტოლება:

დღეს ჩვენ დავწერთ ფუნქციას, რომელიც ორი სწორი წრფის განტოლების გამოყენებით იპოვის მათი გადაკვეთის წერტილის კოორდინატებს (თუ არის ერთი). რეალური რიცხვების ტოლობის შესამოწმებლად გამოვიყენებთ სპეციალურ ფუნქციას RealEq().

სიბრტყეზე წერტილები აღწერილია რეალური რიცხვების წყვილით. რეალური ტიპის გამოყენებისას უმჯობესია შედარების ოპერაციების განხორციელება სპეციალური ფუნქციების გამოყენებით.

მიზეზი ცნობილია: პასკალის პროგრამირების სისტემაში Real ტიპზე არ არის წესრიგის კავშირი, ამიტომ უმჯობესია არ გამოვიყენოთ a = b ფორმის ჩანაწერები, სადაც a და b რეალური რიცხვებია.
დღეს ჩვენ გავაცნობთ RealEq() ფუნქციას "=" (მკაცრად თანაბარი) ოპერაციის განსახორციელებლად:

ფუნქცია RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (მკაცრად თანაბარი) იწყება RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

დავალება. მოცემულია ორი სწორი წრფის განტოლებები: და . იპოვეთ მათი გადაკვეთის წერტილი.

გამოსავალი. აშკარა გამოსავალი არის წრფივი განტოლებების სისტემის ამოხსნა: მოდით გადავიწეროთ ეს სისტემა ცოტა სხვანაირად:
(1)

მოდით შემოგთავაზოთ შემდეგი აღნიშვნა: , . აქ D არის სისტემის განმსაზღვრელი და არის განმსაზღვრელი, რომელიც წარმოიქმნება კოეფიციენტების სვეტის შესაბამისი უცნობისთვის თავისუფალი ტერმინების სვეტით ჩანაცვლების შედეგად. თუ , მაშინ სისტემა (1) განსაზღვრულია, ანუ აქვს უნიკალური გადაწყვეტა. ეს გამოსავალი შეიძლება მოიძებნოს შემდეგი ფორმულების გამოყენებით: , რომლებიც ე.წ კრამერის ფორმულები. შეგახსენებთ, როგორ გამოითვლება მეორე რიგის განმსაზღვრელი. განმსაზღვრელი განასხვავებს ორ დიაგონალს: მთავარს და მეორადს. მთავარი დიაგონალი შედგება ელემენტებისაგან, რომლებიც აღებულია განმსაზღვრელი ზედა მარცხენა კუთხიდან ქვედა მარჯვენა კუთხემდე. გვერდითი დიაგონალი - ზემოდან მარჯვნიდან ქვედა მარცხნივ. მეორე რიგის განმსაზღვრელი უდრის მთავარი დიაგონალის ელემენტების ნამრავლს გამოკლებული მეორადი დიაგონალის ელემენტების ნამრავლს.

კოდი იყენებს RealEq() ფუნქციას თანასწორობის შესამოწმებლად. ნამდვილ რიცხვებზე გამოთვლები ხორციელდება _Eps=1e-7 სიზუსტით.

პროგრამა geom2; Const _Eps: Real=1e-7;(გამოთვლის სიზუსტე) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Real; ფუნქცია RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (მკაცრად თანაბარი) იწყება RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

ჩვენ შევადგინეთ პროგრამა, რომლითაც შეგიძლიათ, წრფეების განტოლებების ცოდნით, იპოვოთ მათი გადაკვეთის წერტილების კოორდინატები.

თუ სწორი

დაწექი იმავე თვითმფრინავში, მაშინ

ან ვექტორული სახით

პირიქით, თუ პირობა (3) დაკმაყოფილებულია, მაშინ ხაზები დევს იმავე სიბრტყეში.

ახსნა. თუ სწორი ხაზები (1) და (2) დევს იმავე სიბრტყეში, მაშინ სწორი ხაზი დევს ამ უკანასკნელში (სურ. 177), ანუ ვექტორები თანაპლენარულია (და პირიქით). ეს არის ის, რასაც განტოლება (3) გამოხატავს (იხ. § 120).

კომენტარი. თუ (ამ შემთხვევაში (3) აუცილებლად დაკმაყოფილებულია), მაშინ ხაზები პარალელურია. წინააღმდეგ შემთხვევაში, (3) პირობის დამაკმაყოფილებელი ხაზები იკვეთება.

მაგალითი. განსაზღვრეთ ხაზები იკვეთება თუ არა

და თუ ასეა, რა მომენტში.

გამოსავალი. ხაზები (1) და (2) დევს ერთ სიბრტყეში, რადგან განმსაზღვრელი (3), ტოლი, ქრება. ეს ხაზები არ არის პარალელური (მიმართულების კოეფიციენტები არ არის პროპორციული). გადაკვეთის წერტილის მოსაძებნად, თქვენ უნდა ამოხსნათ ოთხი განტოლების სისტემა (1), (2) სამი უცნობით. როგორც წესი, ასეთ სისტემას არ აქვს გამოსავალი, მაგრამ ამ შემთხვევაში (პირობის (3) შესრულების გამო) არის გამოსავალი. ნებისმიერი სამი განტოლების სისტემის ამოხსნის შემდეგ ვიღებთ მეოთხე განტოლებას დაკმაყოფილებულია. გადაკვეთის წერტილი (1; 2; 3).

ორგანზომილებიან სივრცეში ორი წრფე იკვეთება მხოლოდ ერთ წერტილში, რომელიც განისაზღვრება კოორდინატებით (x,y). ვინაიდან ორივე წრფე გადის მათი გადაკვეთის წერტილში, კოორდინატები (x,y) უნდა აკმაყოფილებდეს ორივე განტოლებას, რომელიც აღწერს ამ წრფეებს. დამატებითი უნარებით შეგიძლიათ იპოვოთ პარაბოლების და სხვა კვადრატული მოსახვევების გადაკვეთის წერტილები.

ნაბიჯები

ორი ხაზის გადაკვეთის წერტილი

დაწერეთ განტოლება თითოეული სტრიქონისთვის, განტოლების მარცხენა მხარეს ცვლადის „y“ იზოლირებით.განტოლების სხვა ტერმინები უნდა განთავსდეს განტოლების მარჯვენა მხარეს. შესაძლოა, თქვენთვის მოცემული განტოლება შეიცავდეს ცვლადს f(x) ან g(x)-ს ნაცვლად “y”-ისა; ამ შემთხვევაში, გამოყავით ასეთი ცვლადი. ცვლადის იზოლირებისთვის შეასრულეთ შესაბამისი მათემატიკა განტოლების ორივე მხარეს.

• თუ სტრიქონების განტოლებები არ მოგცემთ, თქვენთვის ცნობილი ინფორმაციის საფუძველზე.
• მაგალითი. მოცემულია განტოლებებით აღწერილი სწორი ხაზები და y − 12 = − 2 x (\displaystyle y-12=-2x). მეორე განტოლებაში „y“-ის იზოლირებისთვის, დაამატეთ რიცხვი 12 განტოლების ორივე მხარეს:

1. თქვენ ეძებთ ორივე წრფის გადაკვეთის წერტილს, ანუ წერტილს, რომლის კოორდინატები (x, y) აკმაყოფილებს ორივე განტოლებას. ვინაიდან ცვლადი "y" არის თითოეული განტოლების მარცხენა მხარეს, თითოეული განტოლების მარჯვენა მხარეს მდებარე გამონათქვამები შეიძლება გაიგივდეს. დაწერეთ ახალი განტოლება.

   • მაგალითი. იმიტომ რომ y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)და y = 12 − 2 x (\displaystyle y=12-2x), მაშინ შეგვიძლია დავწეროთ შემდეგი ტოლობა: .

2. იპოვეთ ცვლადის "x" მნიშვნელობა.ახალი განტოლება შეიცავს მხოლოდ ერთ ცვლადს, "x". "x"-ის საპოვნელად, გამოაცალეთ ეს ცვლადი განტოლების მარცხენა მხარეს შესაბამისი მათემატიკის შესრულებით განტოლების ორივე მხარეს. თქვენ უნდა მიიღოთ x = __ ფორმის განტოლება (თუ არ შეგიძლიათ ამის გაკეთება, იხილეთ ეს განყოფილება).

   • მაგალითი. x + 3 = 12 − 2 x (\displaystyle x+3=12-2x)
   • დამატება 2 x (\displaystyle 2x)განტოლების თითოეულ მხარეს:
   • 3 x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3=12)
   • გამოვაკლოთ 3 განტოლების თითოეულ მხარეს:
   • 3 x = 9 (\displaystyle 3x=9)
   • გაყავით განტოლების თითოეული მხარე 3-ზე:
   • x = 3 (\displaystyle x=3).

3. გამოიყენეთ ცვლადის "x" ნაპოვნი მნიშვნელობა ცვლადის "y" მნიშვნელობის გამოსათვლელად.ამისათვის შეცვალეთ "x"-ის ნაპოვნი მნიშვნელობა სწორი ხაზის განტოლებაში (ნებისმიერი).

   • მაგალითი. x = 3 (\displaystyle x=3)და y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
   • y = 3 + 3 (\displaystyle y=3+3)
   • y = 6 (\displaystyle y=6)

4. შეამოწმეთ პასუხი.ამისათვის ჩაანაცვლეთ „x“-ის მნიშვნელობა წრფის სხვა განტოლებაში და იპოვეთ „y“-ის მნიშვნელობა. თუ თქვენ მიიღებთ სხვადასხვა y მნიშვნელობებს, შეამოწმეთ, რომ თქვენი გამოთვლები სწორია.

   • მაგალითი: x = 3 (\displaystyle x=3)და y = 12 − 2 x (\displaystyle y=12-2x)
   • y = 12 − 2 (3) (\displaystyle y=12-2(3))
   • y = 12 − 6 (\displaystyle y=12-6)
   • y = 6 (\displaystyle y=6)
   • თქვენ მიიღეთ იგივე მნიშვნელობა y-სთვის, ასე რომ თქვენს გამოთვლებში შეცდომები არ არის.

5. ჩაწერეთ კოორდინატები (x,y)."x" და "y" მნიშვნელობების გამოთვლის შემდეგ, თქვენ იპოვნეთ ორი ხაზის გადაკვეთის წერტილის კოორდინატები. ჩაწერეთ გადაკვეთის წერტილის კოორდინატები (x,y) ფორმით.

   • მაგალითი. x = 3 (\displaystyle x=3)და y = 6 (\displaystyle y=6)
   • ამრიგად, ორი სწორი ხაზი იკვეთება კოორდინატებთან (3,6) წერტილში.

6. გამოთვლები განსაკუთრებულ შემთხვევებში.ზოგიერთ შემთხვევაში, "x" ცვლადის მნიშვნელობა ვერ მოიძებნება. მაგრამ ეს არ ნიშნავს რომ შეცდომა დაუშვით. განსაკუთრებული შემთხვევა ხდება, როდესაც ერთ-ერთი შემდეგი პირობა დაკმაყოფილებულია:

   • თუ ორი წრფე პარალელურია, ისინი არ იკვეთება. ამ შემთხვევაში, ცვლადი "x" უბრალოდ შემცირდება და თქვენი განტოლება გადაიქცევა უაზრო ტოლობაში (მაგალითად, 0 = 1 (\displaystyle 0=1)). ამ შემთხვევაში, ჩაწერეთ თქვენს პასუხში, რომ ხაზები არ იკვეთება ან გამოსავალი არ არის.
   • თუ ორივე განტოლება აღწერს ერთ სწორ ხაზს, მაშინ იქნება უსასრულო რაოდენობის გადაკვეთის წერტილები. ამ შემთხვევაში, ცვლადი "x" უბრალოდ გაუქმდება და თქვენი განტოლება გადაიქცევა მკაცრ თანასწორობაში (მაგალითად, 3 = 3 (\displaystyle 3=3)). ამ შემთხვევაში, ჩაწერეთ თქვენს პასუხში, რომ ორი ხაზი ემთხვევა.

   პრობლემები კვადრატულ ფუნქციებთან

   1. კვადრატული ფუნქციის განმარტება.კვადრატულ ფუნქციაში, ერთ ან მეტ ცვლადს აქვს მეორე ხარისხი (მაგრამ არა უფრო მაღალი), მაგალითად, x 2 (\displaystyle x^(2))ან y 2 (\displaystyle y^(2)). კვადრატული ფუნქციების გრაფიკები არის მრუდები, რომლებიც შეიძლება არ იკვეთებოდეს ან შეიძლება იკვეთებოდეს ერთ ან ორ წერტილში. ამ განყოფილებაში ჩვენ გეტყვით, თუ როგორ უნდა იპოვოთ კვადრატული მოსახვევების გადაკვეთის წერტილი ან წერტილები.

   2. გადაწერეთ თითოეული განტოლება განტოლების მარცხენა მხარეს ცვლადის „y“ იზოლირებით.განტოლების სხვა ტერმინები უნდა განთავსდეს განტოლების მარჯვენა მხარეს.

      • მაგალითი. იპოვეთ გრაფიკების გადაკვეთის წერტილ(ებ)ი x 2 + 2 x − y = − 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1)და
      • გამოყავით ცვლადი "y" განტოლების მარცხენა მხარეს:
      • და y = x + 7 (\displaystyle y=x+7) .
      • ამ მაგალითში თქვენ გეძლევათ ერთი კვადრატული ფუნქცია და ერთი წრფივი ფუნქცია. გახსოვდეთ, რომ თუ თქვენ მოგეცემათ ორი კვადრატული ფუნქცია, გამოთვლები მსგავსია ქვემოთ მოყვანილი ნაბიჯების.

   3. გააიგივეთ გამონათქვამები თითოეული განტოლების მარჯვენა მხარეს.ვინაიდან ცვლადი "y" არის თითოეული განტოლების მარცხენა მხარეს, თითოეული განტოლების მარჯვენა მხარეს მდებარე გამონათქვამები შეიძლება გაიგივდეს.

      • მაგალითი. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1)და y = x + 7 (\displaystyle y=x+7)

   4. მიღებული განტოლების ყველა წევრი გადაიტანეთ მის მარცხენა მხარეს და ჩაწერეთ 0 მარჯვენა მხარეს.ამისათვის გააკეთეთ რამდენიმე ძირითადი მათემატიკა. ეს საშუალებას მოგცემთ ამოხსნათ მიღებული განტოლება.

      • მაგალითი. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
      • გამოვაკლოთ "x" განტოლების ორივე მხარეს:
      • x 2 + x + 1 = 7 (\displaystyle x^(2)+x+1=7)
      • გამოვაკლოთ 7 განტოლების ორივე მხარეს:

   5. ამოხსენით კვადრატული განტოლება.განტოლების ყველა წევრის მარცხენა მხარეს გადაადგილებით, თქვენ მიიღებთ კვადრატულ განტოლებას. მისი გადაჭრა შესაძლებელია სამი გზით: სპეციალური ფორმულის გამოყენებით და.

      • მაგალითი. x 2 + x − 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
      • განტოლების ფაქტორზე გაანგარიშებისას მიიღებთ ორ ბინომალს, რომელიც გამრავლებისას მოგცემთ თავდაპირველ განტოლებას. ჩვენს მაგალითში, პირველი ტერმინი x 2 (\displaystyle x^(2))შეიძლება დაიშალოს x * x-მდე. ჩაწერეთ ეს: (x)(x) = 0
      • ჩვენს მაგალითში, უფასო ტერმინი -6 შეიძლება გამრავლდეს შემდეგ ფაქტორებად: − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displaystyle -2*3), − 1 ∗ 6 (\displaystyle -1*6).
      • ჩვენს მაგალითში მეორე წევრია x (ან 1x). დაამატეთ მატყუარა წევრის ფაქტორების თითოეული წყვილი (ჩვენს მაგალითში -6), სანამ არ მიიღებთ 1-ს. − 2 ∗ 3 = − 6 (\displaystyle -2*3=-6)), რადგან − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
      • შეავსეთ ცარიელი ადგილები ნაპოვნი რიცხვების წყვილით: .

   6. არ დაივიწყოთ ორი გრაფიკის გადაკვეთის მეორე წერტილი.თუ პრობლემას სწრაფად და არც ისე ფრთხილად მოაგვარებთ, შეიძლება დაივიწყოთ მეორე გადაკვეთის წერტილი. აი, როგორ მოვძებნოთ ორი გადაკვეთის წერტილის x კოორდინატები:

      • მაგალითი (ფაქტორიზაცია). თუ განტოლებაში. (x − 2) (x + 3) = 0 (\ჩვენების სტილი (x-2)(x+3)=0)ფრჩხილებში ერთ-ერთი გამონათქვამი იქნება 0-ის ტოლი, შემდეგ მთელი განტოლება იქნება 0-ის. ამიტომ შეგვიძლია დავწეროთ ასე: x − 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\displaystyle x=2) და x + 3 = 0 (\displaystyle x+3=0) → x = − 3 (\displaystyle x=-3) (ანუ თქვენ იპოვეთ განტოლების ორი ფესვი).
      • მაგალითი (ფორმულის გამოყენებით ან სრულყოფილი კვადრატის შევსება). ერთ-ერთი ამ მეთოდის გამოყენებისას ამოხსნის პროცესში გამოჩნდება კვადრატული ფესვი. მაგალითად, ჩვენი მაგალითიდან მიღებული განტოლება მიიღებს ფორმას x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2). გახსოვდეთ, რომ კვადრატული ფესვის აღებისას მიიღებთ ორ ხსნარს. ჩვენს შემთხვევაში: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt (25))=5*5), და 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25))=(-5)*(-5)). ასე რომ, ჩაწერეთ ორი განტოლება და იპოვეთ x-ის ორი მნიშვნელობა.

   7. გრაფიკები იკვეთება ერთ წერტილში ან საერთოდ არ იკვეთება.ასეთი სიტუაციები წარმოიქმნება შემდეგი პირობების დაკმაყოფილების შემთხვევაში:

      • თუ გრაფიკები იკვეთება ერთ წერტილში, მაშინ კვადრატული განტოლება იშლება იდენტურ ფაქტორებად, მაგალითად, (x-1) (x-1) = 0 და კვადრატული ფესვი 0 გამოჩნდება ფორმულაში ( 0 (\displaystyle (\sqrt (0)))). ამ შემთხვევაში განტოლებას მხოლოდ ერთი ამონახსნი აქვს.
      • თუ გრაფიკები საერთოდ არ იკვეთება, მაშინ განტოლება არ არის ფაქტორიზირებული და უარყოფითი რიცხვის კვადრატული ფესვი გამოჩნდება ფორმულაში (მაგალითად, − 2 (\displaystyle (\sqrt (-2)))). ამ შემთხვევაში დაწერეთ თქვენს პასუხში, რომ გამოსავალი არ არის.

თემა 3. თეორია

ანალიტიკური გეომეტრია სივრცეში.

სიბრტყისა და სწორი ხაზის განტოლებები.

 ზოგადი განტოლება თვითმფრინავი არის პირველი რიგის ალგებრული განტოლება კოორდინატებთან მიმართებაში (x; წ; ზ)

- ნორმალური , სიბრტყის პერპენდიკულარული ვექტორი.

სიბრტყეების პარალელურობისა და პერპენდიკულარობის პირობები განისაზღვრება ნორმათა კოლინარობისა და პერპენდიკულარულობის პირობებით.

სიბრტყის განტოლებების ზოგიერთი სტანდარტული ტიპი:

სიბრტყის ფაქტობრივი განტოლებები მიიღება თუ გავაფართოვებთ პირველ სტრიქონში შესაბამის განმსაზღვრელს.

 გამოთვლის ფორმულა დისტანციებზესაწყისი მოცემული წერტილი მ 1 (x 1 , წ 1 , ზ 1 ) ადრე თვითმფრინავი, მოცემული განტოლებით აჰ+მიერ+ Cz+ დ=0 :

.

ცხადია, თუ დ=0 , შემდეგ მიუთითეთ მ 1 თვითმფრინავს ეკუთვნის.

 Სწორი ხაზი სივრცეში განისაზღვრება, როგორც ორი არაპარალელური სიბრტყის გადაკვეთის ხაზი (სწორი ხაზის გავლის ნებისმიერი სიბრტყე).

სივრცეში სწორი ხაზის განტოლებების სახეები:

სივრცეში წრფეების პარალელურობისა და პერპენდიკულარობის პირობები განისაზღვრება, როგორც მათი მიმართულების ვექტორების კოლინარობის და პერპენდიკულარულობის პირობები, შესაბამისად. მაშინ სწორი ხაზები (1) და (2) მოცემულია კანონიკური ან პარამეტრული ფორმით

.

 სივრცეში ორი ხაზის გადაკვეთის მდგომარეობა - ეს არის სამი ვექტორის კომპლონურობის პირობა:

 Გარდამავალი ზოგადი სწორი ხაზიდან განტოლებამდე კანონიკური ან პარამეტრული ფორმით განტოლებამდე ხორციელდება შემდეგნაირად (შესაძლებელია საპირისპირო გადასვლაც).

სწორი ხაზის განტოლებები მოცემულია ზოგადი ფორმით:
.

ვიპოვოთ მიმართულების ვექტორის კოორდინატები:
როგორც წრფის განმსაზღვრელი სიბრტყეების ნორმალების ვექტორული ნამრავლი.

ჩვენ ვიპოვით ნებისმიერიწერტილი, რომელიც ეკუთვნის ხაზს. ის ასევე მიეკუთვნება წრფის განმსაზღვრელ ორივე სიბრტყეს, ამიტომ მისი კოორდინატები (x 0, y 0, z 0) შეგიძლიათ იხილოთ განტოლებათა სისტემიდან:

,

რომელშიც ერთ-ერთი კოორდინატი თვითნებურად უნდა იყოს მითითებული (რადგან ვპოულობთ ნებისმიერიწერტილი), მაგრამ ისე, რომ სისტემას ჰქონდეს უნიკალური გადაწყვეტა. ვექტორული კოორდინატები და ნაპოვნი წერტილი ჩანაცვლებულია კანონიკურ ან პარამეტრულ განტოლებებში.

სწორი წრფისა და სიბრტყის პარალელურობისა და პერპენდიკულარობის პირობები ჩამოყალიბებულია როგორც ნორმალური და მიმართულების ვექტორის პერპენდიკულარობისა და პარალელურობის პირობები.