როგორ მოვძებნოთ ფუნქციის სრული დიფერენციალი. სრული დიფერენციალი

მოდით განისაზღვროს Z= f(x;y) M(x;y) წერტილის რომელიმე სამეზობლოში და ჯამური ნამატი ∆Z=f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y). Z= f(x;y) ეწოდება დიფერენცირებადს M(x;y)-ში, თუ მისი მთლიანი ზრდა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც: ∆Z=A∆x+B∆u+α∆x+β∆ου, სადაც α= α. (∆х,∆у)→0 და β= β(∆х,∆у)→0 ∆х→0-ისთვის, ∆у→0. პირველი ორი წევრის ჯამი წარმოადგენს ფუნქციის ზრდის ძირითად ნაწილს. ფუნქციის გაზრდის ძირითადი ნაწილი, წრფივი ∆x და ∆y მიმართ, ეწოდება ფუნქციის ჯამური დიფერენციალი და აღინიშნება სიმბოლოთი dZ=A∆x+B∆y. გამოთქმებს A∆x და B∆y ეწოდება ნაწილობრივი დიფერენციალური. დამოუკიდებელი ცვლადებისთვის x და y, დავუშვათ ∆x=dx, ∆y=dy. ამიტომ dZ=Adx+Bdy.

თეორემა 1.(ფუნქციის დიფერენციაციის აუცილებელი პირობა). თუ Z= f(x;y) დიფერენცირებადია M(x;y) წერტილში, მაშინ ის უწყვეტია ამ წერტილში და მასში აქვს ნაწილობრივი წარმოებულები. , და =A; =ბ.

ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ dZ= dx+ dyor dZ=d x Z+ d y Z.

თეორემა 2.თუ Z= f(x; y) აქვს უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები Z′ x და Z′ y M წერტილში (x; y), მაშინ ის ამ წერტილში დიფერენცირებადია და მისი სრული დიფერენციალი გამოიხატება დაწერილი ფორმულით. უფრო მაღალი.

იმისათვის, რომ ფუნქცია Z= f(x; y) იყოს დიფერენცირებადი წერტილში, აუცილებელია, რომ მას ჰქონდეს ნაწილობრივი წარმოებულები და საკმარისია მას ჰქონდეს უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები წერტილში.

ერთი ცვლადის ფუნქციის დიფერენციალურობის გამოთვლის წესის არითმეტიკული თვისებები ასევე შენარჩუნებულია ორი ან მეტი ცვლადის ფუნქციის დიფერენციალურობის შემთხვევაში.

1. უმაღლესი რიგის დიფერენციაციები

მთლიან დიფერენციალს პირველი რიგის დიფერენციალი ეწოდება. ვთქვათ Z= f(x;y) აქვს მეორე რიგის უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები. მეორე რიგის დიფერენციალი ამ შემთხვევაში განისაზღვრება ფორმულით
. dx+ ვიპოვოთ d 2 Z= d( dx+ dy)=( dx+ dy) x 'dx+( dy) у ′ dу=( dx+ dx+ dy)dx+( dy)dу, შესაბამისად d 2 Z= dx 2 +2 dxdy+
dy2. სიმბოლურად, ეს შეიძლება დაიწეროს ასე: d 2 Z=(

) 2 Z. ანალოგიურად, ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ ფორმულა
d 3 Z= d (d 2 Z)==(
) 3 Z და d-სთვის n Z=(

1. ) n Z. ყველა ეს მიმართება მოქმედებს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ Z = f(x;y) ფუნქციის x და y ცვლადები დამოუკიდებელია.

ვთქვათ Z= f(x;y) ორი x და y ცვლადის ფუნქციაა, რომელთაგან თითოეული არის t x=x(t),y=y(t) დამოუკიდებელი ცვლადის ფუნქცია. ამ შემთხვევაში Z= f(x(t);y(t)) არის t ერთი დამოუკიდებელი ცვლადის რთული ფუნქცია, ხოლო x და y ცვლადები შუალედური ცვლადებია.

თეორემა. თუ Z= f(x;y) დიფერენცირებადია M(x,y) წერტილში და x=x(t),y=y(t) არის t დამოუკიდებელი ცვლადის დიფერენცირებადი ფუნქციები, მაშინ რთული ფუნქციის წარმოებული. Z(t)= f( x(t);y(t)) გამოითვლება ფორმულით
.

მტკიცებულება.დამოუკიდებელ t-ს მივცეთ ნამატი ∆t. შემდეგ x=x(t) და y=y(t) მიიღებენ ნამატებს ∆x და ∆y, შესაბამისად. ისინი, თავის მხრივ, გამოიწვევენ ∆ZfunctionZ-ის ზრდას. ვინაიდან Z= f(x;y) დიფერენცირებადია M(x,y) პირობით, მისი ჯამური ზრდა უდრის ∆Z=.
, სადაც α→0 β →0 ∆х→0-ზე და ∆у→0. გავყოთ ∆Z ∆t-ზე და გადავიდეთ ზღვრამდე ∆t→0, შემდეგ ∆х→0 და ∆у→0 x=x(t) ფუნქციების უწყვეტობის გამო; y=y(t) ვიღებთ:, ე.ი. ჩ.ტ.დ.

8. ტოტალური დიფერენციალური ფორმის უცვლელობა

რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესების გამოყენებით შეიძლება აჩვენოს, რომ მთლიან დიფერენციალს აქვს ინვარიანტობის თვისება, ე.ი. იგივე რჩება იმისდა მიუხედავად, არგუმენტები დამოუკიდებელი ცვლადებია თუ დამოუკიდებელი ცვლადების ფუნქციები.

ვთქვათ Z= f(x;y), სადაც x,y დამოუკიდებელი ცვლადებია, მაშინ ჯამურ დიფერენციალს (1 რიგი) აქვს dZ=

განვიხილოთ რთული ფუნქცია Z= f(x; y), სადაც x=x(u, ),y=y(u, ), ე.ი. ფუნქცია

განვიხილოთ ორი ცვლადის ფუნქცია z=f(x, y)და მისი მთლიანი ზრდა წერტილში M 0 (x 0 , y 0)

Δ z = f(x 0 +Δ x, y 0 +Δ y) - f(x 0 , y 0).

განმარტება. თუ ნომრები არსებობს პდა ქისეთი, რომ მთლიანი ნამატი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი როგორც

Δ z = PΔ x + QΔ y + ε Δρ,

სად და ε→ 0 ზე Δρ→ 0 , შემდეგ გამოხატვა PΔ x + QΔ yეწოდება ფუნქციის მთლიანი დიფერენციალი z=f(x,y)წერტილში M 0 (x 0 ,y 0).

ამ შემთხვევაში, ფუნქციის სრული ზრდა შედგება ორი ნაწილისგან: პირველი ნაწილისგან PΔ x + QΔ yხაზოვანია მიმართებით Δ xდა Δy, მეორე არის უსასრულოდ მცირე უმაღლესი რიგის შედარებით.

სრული დიფერენციალური ფუნქცია z=f(x,y)აღინიშნება ძ, ანუ

dz = PΔ x+QΔ y.

ფუნქცია, რომელსაც აქვს მთლიანი დიფერენციალი მოცემულ წერტილში, ამბობენ, რომ დიფერენცირებადია ამ წერტილში.

თეორემა. თუ u=f(M)დიფერენცირებადი წერტილში M0, მაშინ მასში უწყვეტია.

კომენტარი. ორი ცვლადის ფუნქციის უწყვეტობა არ ნიშნავს მის დიფერენცირებას.

მაგალითი. უწყვეტი შიგნით (0,0) , მაგრამ არ აქვს ნაწილობრივი წარმოებული - არ არსებობს. ანალოგიურად, არ არსებობს ნაწილობრივი წარმოებული წ. ამიტომ ფუნქცია არ არის დიფერენცირებადი.

თეორემა [დიფერენცირებადობის აუცილებელი პირობა]. თუ z=f(x,y)დიფერენცირებადი წერტილში M0, მაშინ ამ ეტაპზე მას აქვს ნაწილობრივი წარმოებულები მიმართებაში xდა წ, და

f′ x (x 0 ,y 0) = P, f′ y (x 0 , y 0) = Q.

კომენტარი. განსხვავებულობა არ გამომდინარეობს ნაწილობრივი წარმოებულების არსებობიდან. მაგალითი:

გვაქვს , მაგრამ ფუნქცია არ არის უწყვეტი, ამიტომ არ არის დიფერენცირებადი.

თეორემა [დიფერენცირებადობის საკმარისი პირობა]. თუ ფუნქციის პირველი ნაწილობრივი წარმოებულები z=f(x,y)განსაზღვრულია წერტილის რომელიმე მიმდებარე ტერიტორიაზე M 0 (x 0 ,y 0)და უწყვეტი არიან თავად წერტილში M0, მაშინ ამ ფუნქციას აქვს სრული დიფერენციალი ამ ეტაპზე.

კომენტარი. გვაქვს

Δ z = f′ x (x 0 , y 0)Δ x + f′ y (x 0 , y 0)Δ y + ε Δρ,

სად ε→ 0 ზე Δρ→ 0 . აქედან გამომდინარე,

f(x 0 +Δ x,y 0 +Δ y) - f(x 0 ,y 0) ≈ f′ x (x 0 ,y 0)Δ x + f′ y (x 0 ,y 0)Δ y

f(x 0 +Δ x, y 0 +Δ y) ≈ f(x 0 ,y 0) + f′ x (x 0 , y 0)Δ x + f′ y (x 0 , y 0)Δ y.

ეს ფორმულა გამოიყენება სავარაუდო გამოთვლებში.

დაფიქსირდა Δ xდა Δyმთლიანი დიფერენციალი არის ცვლადების ფუნქცია xდა წ:

დავაყენოთ dx=Δx, dy=Δyდა ამ სიდიდეებს დავარქვათ დამოუკიდებელი ცვლადების დიფერენციალი.

შემდეგ მივიღებთ ფორმულას

ანუ ფუნქციის ჯამური დიფერენციალი უდრის პირველი ნაწილობრივი წარმოებულების ნამრავლებისა და არგუმენტების შესაბამისი დიფერენციალების ჯამს.

სამი ცვლადის ფუნქციის ჯამური დიფერენციალი განისაზღვრება და გამოხატულია ანალოგიურად. თუ u=f(x, y, z)და არის ნომრები პ, ქ, რისეთი რომ

Δ u = PΔ x+QΔ y+RΔ z+εΔρ, ε→ 0ზე δρ→ 0 ,

მაშინ მთლიანი დიფერენციალი არის გამოხატულება

du = PΔ x+QΔ y+RΔ z.

თუ ამ ფუნქციის პირველი ნაწილობრივი წარმოებულები უწყვეტია, მაშინ

სად dx=Δx, dz=Δ z, dz=Δ z.

განმარტება. ფუნქციის მეორე რიგის ჯამური დიფერენციალი არის მისი სრული დიფერენციალური დიფერენციალი.

თუ z=f(x,y), dz=z′ x dx+z′ y dy, ეს

ტანგენტის სიბრტყე და ზედაპირი ნორმალურია

განიხილეთ ზედაპირი ს, მოცემული განტოლებით

z=f(x, y).

დაე f(x, y)აქვს ნაწილობრივი წარმოებულები ზოგიერთ რეგიონში. განვიხილოთ M 0 (x 0 , y 0).

- წერტილში ტანგენსის კუთხური კოეფიციენტი M0ზედაპირის მონაკვეთზე თვითმფრინავით y=y 0, ანუ ხაზამდე z=f(x,y 0). ამ წრფის ტანგენტს აქვს ფორმა:

z-z 0 =f′ x (x 0, y 0)(x-x 0), y=y 0.

ანალოგიურად, თვითმფრინავის განყოფილება x=x 0იძლევა განტოლებას

z-z 0 =f′ y (x 0, y 0)(y-y 0), x=x 0.

სიბრტყეს, რომელიც შეიცავს ორივე ხაზს, აქვს განტოლება

z-z 0 =f′ x (x 0, y 0)(x-x 0)+f′ y (x 0, y 0)(y-y 0)

და ეწოდება ზედაპირის ტანგენსი სწერტილში P 0 (x 0 , y 0 , z 0).

გაითვალისწინეთ, რომ ტანგენტის სიბრტყის განტოლება შეიძლება გადაიწეროს როგორც

z-z 0 =df.

ამრიგად, მთლიანი დიფერენციალის გეომეტრიული მნიშვნელობა არის: დიფერენციალური წერტილი M0გაზრდისთვის (x-x 0, y-y 0)არის ზედაპირის ტანგენტის სიბრტყის აპლიკაციური წერტილის ზრდა z=f(x,y)წერტილში (x 0 , y 0)იგივე ნამატებისთვის.

ტანგენტის სიბრტყეს აქვს ნორმალური ვექტორი წერტილში (x 0 , y 0 , z 0) - \vec(n)=(f′ x (x 0 , y 0), f′ y (x 0 , y 0), -1). ხაზი, რომელიც გადის წერტილს P0და აქვს მიმართულების ვექტორი \vec(n)ზედაპირს ნორმალურად უწოდებენ z=f(x,y)ამ ეტაპზე. მისი განტოლებებია:

რთული ფუნქციების დიფერენცირება

მიეცეს დიფერენცირებადი ფუნქცია z=F(v, w), რომლის არგუმენტები არის ცვლადების დიფერენცირებადი ფუნქციები xდა წ:

v=v(x, y), w=w(x, y).

თუ ფუნქცია

z=F(v(x, y), w(x, y))=\Phi(x, y)

აზრი აქვს, მაშინ მას უწოდებენ კომპლექსურ ფუნქციას xდა წ.

თეორემა. ნაწილობრივი წარმოებულები z′ x, z′ yრთული ფუნქციები არსებობს და გამოიხატება ფორმულებით

თუ ვდა ვ- ერთი ცვლადის დიფერენცირებადი ფუნქციები ტ, ანუ

v=v(t), w=w(t),

და ფუნქციას აქვს აზრი

z=F(v(t), w(t))=f(t),

მაშინ მისი წარმოებული გამოიხატება ფორმულით

ამ წარმოებულს ეწოდება მთლიანი წარმოებული.

თუ დიფერენცირებადი ფუნქციაა მოცემული

u=F(ξ, η, ζ),

რომლის არგუმენტები ξ=ξ(t), η=η(t), ζ=ζ(t)- ცვლადის დიფერენცირებადი ფუნქციები ტდა ფუნქცია

u=F(ξ(t), η(t), ζ(t))

IV. ორი ცვლადის ფუნქციები

§ 10. ორი ცვლადის ფუნქციის დიფერენცირების საფუძვლები

ნაწილობრივი წარმოებულიფუნქციიდან ცვლადის მიხედვით x- ეს არის ზღვარი

.

ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებული
ცვლადის მიხედვით წ- ეს არის ზღვარი

.

შესაბამისი სიმბოლოები: და , ან და .

წარმოებული არის ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე ცვლადის მცირე ცვლილებით x, როდესაც ცვლადი წარის მუდმივი. ცხადია, - ახალი ფუნქცია.

ძიებისას ჩვენ გვჯერა ამის წარის ასო (პარამეტრი) გამოხატული რიცხვი. შემდეგ ვიღებთ ერთი ცვლადის ფუნქციას
, და მის წარმოებულს ვპოულობთ ერთი ცვლადის ფუნქციის დიფერენცირების წესების გამოყენებით.

ასევე არის ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე მცირე ცვლილებისთვის წდა მუდმივი xდა ძიებისას ფუნქციის შედგენა
და განასხვავებენ მას ერთი ცვლადის ფუნქციის სახით.

მაგალითი 1.ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები:

მაგალითი 2.ვიპოვოთ ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები
:

პირველ შემთხვევაში ამოიღეს მუდმივი მულტიპლიკატორი
, დამოუკიდებელი x, ხოლო მე-2 შემთხვევაში – მულტიპლიკატორი , დამოუკიდებელი წ.

მაგალითი 3.ფუნქციისთვის ჩვენ ვპოულობთ

სრული დიფერენციალი
აჩვენებს როგორ დაახლოებითფუნქცია შეიცვლება თუ გაზრდით xთანხით
და ამავე დროს წ- ოდენობით
(თუ
ან
, მაშინ ჩვენ ვსაუბრობთ შემცირებაზე xან წ).

მაგალითი 4.მოდი ვიპოვოთ ფუნქციის სრული დიფერენციალი
ზოგადად და არსებითად
:

ა)
- ზე
მიღებულია სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებული;

ბ)
- ზე
მიიღება ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული.

ამრიგად, ზოგადი ფორმით, ან, თუ საერთო ფაქტორს ამოვიღებთ.

იპოვონ მთლიანი დიფერენციალი წერტილში მისი კოორდინატების შეცვლით
და
, მაშინ.

შედეგის მნიშვნელობა. დავუშვათ, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ, მაგალითად, ფუნქციის მნიშვნელობა
წერტილში
, ან, რაც იგივეა, იპოვეთ რაოდენობა
.

თუ აზრს ავიღებთ
, ეს. წერტილში გადასვლისას ნარგუმენტების ცვლილებამ შეადგინა და (სხვაობა ძველ და ახალ კოორდინატებს შორის).

სრული დიფერენციალი წერტილში მ (არა შიგნით ნ! )

წერტილიდან გადაადგილებისას ფუნქციის ნამატის ტოლია
ვ
.

ამიტომაც . უფრო ზუსტად,
.

მაგალითი 5.მოდით ვიპოვოთ სრული დიფერენციალი რამდენიმე ფუნქციისთვის ზოგადი ფორმით და კონკრეტულ წერტილში მ:

ა)ნება
;
, მაშინ

დიფერენციალური ზოგადი ფორმით

წერტილში მნება

ბ)მიეცეს მათ
და
; მაშინ

დიფერენციალი ზოგადი ფორმით:

V)თუ მოცემულია
და
, ეს

მოდით გავამარტივოთ მრიცხველები:

;
.

სრულ დიფერენციალში ჩვენ ვიღებთ საერთო ფაქტორს:

შევცვალოთ წერტილის კოორდინატები:

ან
.

ასე რომ იპოვონ
, ჩვენ გვჯერა
, შემდეგ, რის შემდეგაც

და შესაბამისად.

მაგალითი 6.ჯამური დიფერენციალის გამოყენებით ვპოულობთ ფუნქციის მნიშვნელობას
ზე
(კუთხე გამოხატულია რადიანებში).

მოდით ავირჩიოთ წერტილი რაც შეიძლება ახლოს
, რათა მასში ღირებულება ადვილად გამოითვალოს
. ეს არის წერტილი
:
.

ნაწილობრივი წარმოებულები ზოგადი ფორმით:

,,

და წერტილში
იქნება და
.

ასე რომ, წერტილის სიახლოვეს
ფუნქცია იცვლება ისევე, როგორც იცვლება ცვლადი x. ჩვენს შემთხვევაში.

ახალი ფუნქციის მნიშვნელობა.

უფრო ზუსტი მნიშვნელობა თითქმის ემთხვევა სავარაუდოს. განსხვავება განპირობებულია იმით, რომ
, არა 1;

პასუხი: .

მაგალითი 7.მთლიანი დიფერენციალის გამოყენებით ჩვენ ვიპოვით
.

წარმოვიდგინოთ ეს რიცხვი, როგორც ფუნქციის მნიშვნელობა
წერტილში
. ამავე დროს
და
და ასეთი არგუმენტებისთვის ფუნქცია
მარტივი გამოთვლა:
.

ასე რომ,
,
,
,
.

მაშინ
პრიი.

ამისთვის
ნაწილობრივი წარმოებულები

;
.

წერტილში მ
და
, მაშინ

(ფუნქცია იზრდება 2-ჯერ უფრო სწრაფად, ვიდრე მე-2 არგუმენტი).

პასუხი:(უფრო ზუსტი მნიშვნელობა არის
).

გადაუდებელი შემთხვევა 1.იპოვნეთ ფუნქციების ნაწილობრივი წარმოებულები

3) ა) ; ბ)
;

V)
; გ)
;

გადაუდებელი შემთხვევა 2.იპოვეთ ფუნქციების სრული დიფერენციალი მითითებულ წერტილში:

2) ა)
; ბ)
;

V)
; გ)
;

გადაუდებელი შემთხვევა 3.იპოვნეთ სავარაუდო მნიშვნელობები მთლიანი დიფერენციალის გამოყენებით

1) ა)
; ბ)
; V)
; გ)
;

2) ა)
; ბ)
; V)
; გ)
;

3) ა)
; ბ)
; V)
; გ)
;

4) ა) ; ბ) ; V) ; გ) .

ორი ცვლადის ფუნქციის ექსტრემუმი

წერტილი მეწოდება ფუნქციის მინიმალური წერტილი
, თუ შეგიძლიათ მიუთითოთ ღია ტერიტორია დ(თვითმფრინავის ნაწილი xOy), რომელშიც მნიშვნელობა
- ყველაზე ნაკლებად. უფრო მკაცრად მ- მინიმალური ქულა, თუ არსებობს დ, რა

ა)
(პუნქტი შედის ამ ტერიტორიაზე და არ ეკუთვნის მის საზღვარს);

ბ) (იგივე ფართობის ნებისმიერ სხვა წერტილში ფუნქციის მნიშვნელობა ნაკლებია, ვიდრე ჩვენთვის საინტერესო წერტილში).

პირობით ჩანაცვლებისას
ჩვენ ვიღებთ მაქსიმალური ქულის განმარტებას.

მაგალითად,
არის ფუნქციის მინიმალური წერტილი, რადგან მასში და ნებისმიერ სხვა წერტილში
.

ფუნქციისთვის ექსტრემალური წერტილების ძებნის სქემა

1) ვიპოვოთ და , შემდეგ – ქულები
, სადაც ორივე წარმოებული 0-ის ტოლია;

2) იპოვნეთ მე-2 წარმოებულები
, ე.ი. შესაბამისად
;

3) წერტილის კოორდინატები
ჩავანაცვლოთ მე-2 წარმოებულებში. მოდით მივიღოთ ნომრები

4) თუ
, წერტილში
არ არის უკიდურესი. თუ
, მერე ვნახოთ რა ნიშანია ა:

თუ
, ეს
- მინიმალური ქულა,

თუ
, ეს
- მაქსიმალური ქულა;

5) თუ შიგნით
აღმოჩნდა რომ
, საჭიროა გადაწყვეტის სხვა მეთოდები, რომლებიც სცილდება სახელმძღვანელოს ფარგლებს (ტეილორის სერიის გაფართოება);

6) ანალოგიურად ვასრულებთ მე-3, მე-4 და მე-5 ნაბიჯებს დარჩენილი ქულებისთვის.

მაგალითი 8.მოდი ვიპოვოთ ფუნქციის უკიდურესი.

1)

სისტემის გადაჭრა

(განტოლებები წყდება დამოუკიდებლად და კოორდინატების ყველა კომბინაცია შესაფერისია);

2) იპოვეთ მე-2 წარმოებულები

;

;

წერტილის შემოწმება
, ჩანაცვლება
და
:

3) ;
;
;

4), ექსტრემალური ინ
არა.

წერტილის შემოწმება
, ჩანაცვლება
და
:

3) ;
;
;

4) , ექსტრემალური ინ
არსებობს.

მას შემდეგ, რაც
, მაშინ ეს ექსტრემუმი არის მინიმუმი. თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ მისი მნიშვნელობა.

პასუხი:მინიმუმზე
და
, უდრის –50.

მაგალითი 9.მოდით შევამოწმოთ ფუნქცია ექსტრემისთვის.

1) იპოვნეთ

სისტემის გადაჭრა

მე-2 განტოლებას აქვს 3 ფესვი: –1, 0 და 1, მაგრამ კოორდინატები დამოკიდებულია:

თუ
, ეს
,

თუ
, ეს
,

თუ
, ეს
.

ვიღებთ 3 ქულას: ;

2) აიღეთ მე-2 წარმოებულები

;
;
;

შეამოწმეთ წერტილი
:

3)
;
;
;

4) ში
არის ექსტრემუმი და მას შემდეგ
, მაშინ ეს ექსტრემუმი არის მინიმუმი. მისი მნიშვნელობა;

შეამოწმეთ წერტილი
:

3)
;
;
;

4), ექსტრემალური ინ
არა.

ამის დანახვა ერთი წერტილისთვის ადვილია
შედეგები იგივეა რაც ამისთვის
.

პასუხი:მინიმალური -2-ის ტოლი, თან
და
და ასევე როდის
და
.

შენიშვნა 1.თუ შეცვლით ყველა ნიშანს ფუნქციის აღნიშვნაში, მინიმალური ქულები გახდება მაქსიმალური ქულები და პირიქით. ამ შემთხვევაში, წერტილების კოორდინატები არ შეიცვლება. ამრიგად, მე-9 მაგალითიდან გამომდინარეობს, რომ ჩვენ ვიღებთ მაქსიმუმს 2-ის ტოლი, თან
და
და ასევე როდის
და
.

თუ ფუნქციას დაუმატებთ (ან გამოაკლებთ) რომელიმე რიცხვს, შეიცვლება მხოლოდ ექსტრემის მნიშვნელობა, მაგრამ არა მისი ტიპი. ამრიგად, ფუნქციას ექნება მაქსიმალური at
და
და ასევე როდის
და
, უდრის 2+50=52.

გადაუდებელი 4.ა, ბ. იპოვეთ ფუნქციის მნიშვნელობა ამ ეტაპზე და განსაზღვრეთ ექსტრემის ტიპი:

ა) ა = 2; ბ= 3; ბ) ა = 3; ბ= 2; V) ა = 2; ბ= 5; გ) ა = 5; ბ = 4;

დ) ა = 6; ბ= 1; ე) ა = 1; ბ= 2; და) ა = 0; ბ= 4; თ) ა = 3; ბ = 0.

სასწრაფო 5.იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესი წერტილი მითითებული პარამეტრებით ა, ბ. იპოვნეთ ფუნქციის მნიშვნელობა, განსაზღვრეთ ექსტრემის ტიპი:

ა) ა = 2; ბ= 3; ბ) ა = 3; ბ= 2; V) ა = 2; ბ= 5; გ) ა = 5; ბ = 4;

დ) ა = 6; ბ= 1; ე) ა = 1; ბ= 2; და) ა = 0; ბ= 4; თ) ა = 3; ბ = 0.

შენიშვნა 2.ორი ცვლადის ფუნქციები უფრო რთულად იქცევა, ვიდრე ერთი ცვლადის ფუნქციები. ასე რომ, ექსტრემალური პრობლემების გადაჭრისას:

ა) უწყვეტ ფუნქციებსაც კი შეიძლება ჰქონდეს რამდენიმე მაქსიმალური ქულა და არა მინიმალური ქულა (ან პირიქით);

ბ) ყველა სტაციონარული წერტილი შეიძლება იყოს უნაგირის წერტილები, საიდანაც ფუნქცია იზრდება შეცვლისას xდა მცირდება ცვლილებასთან ერთად წ(ან პირიქით). ამრიგად, ფუნქციას არ ექნება არც მაქსიმუმი და არც მინიმალური.

შენიშვნა 3.ექსტრემის შესწავლის მოცემული სქემა ვარაუდობს, რომ ფუნქცია დიფერენცირებადია ექსტრემის წერტილებში. თუმცა, ეს არ არის აუცილებელი. დიახ, ფუნქცია
წერტილში
აქვს მაქსიმუმი, მაგრამ მისი წარმოებულები მოცემულ წერტილში მიდის უსასრულობამდე. ასეთი შემთხვევები სცილდება სახელმძღვანელოს ფარგლებს.

გადაუდებელი შემთხვევა 6.გამოიკვლიეთ ფუნქციები ექსტრემისთვის და მიუთითეთ ექსტრემის მნიშვნელობა.

არაფორმალური აღწერა

განმარტებები

ფუნქციებისთვის

გლუვი რეალური ღირებულების ფუნქციის დიფერენციალი ვგანსაზღვრულია მ (მ- დომენი ან გლუვი მრავალფეროვნება) არის 1-ფორმა და ჩვეულებრივ აღინიშნება დვდა განისაზღვრება მიმართებით

სადაც აღნიშნავს წარმოებულს ვვექტორის მიმართულებით Xტანგენტის შეკვრაში მ .

ჩვენებისთვის

გლუვი რუკის დიფერენციალი გლუვი მრავალფეროვნებიდან მრავალფეროვნებამდე არის რუკა მათ ტანგენტურ შეკვრას შორის, ისეთი, რომ ნებისმიერი გლუვი ფუნქციისთვის გვაქვს

სად Xვწარმოებულს აღნიშნავს ვმიმართულებით X. (ტოლობის მარცხენა მხარეს ვიღებთ წარმოებულს ნფუნქციები გმიერ დფ(X) მარჯვნივ - ში მფუნქციონირებს მიერ X ).

ეს კონცეფცია ბუნებრივად აზოგადებს ფუნქციის დიფერენციალს.

დაკავშირებული განმარტებები

თვისებები

მაგალითები

ამბავი

ვადა დიფერენციალური(ლათ. დიფერენცია- განსხვავება, განსხვავება) შემოიღო ლაიბნიცმა. თავდაპირველად, დxგამოიყენება "უსასრულოდ მცირე"-ს აღსანიშნავად - სიდიდე, რომელიც ნაკლებია ნებისმიერ სასრულ სიდიდეზე და ჯერ არ არის ნულის ტოლი. ეს შეხედულება მოუხერხებელი აღმოჩნდა მათემატიკის უმეტეს სფეროებში (არასტანდარტული ანალიზის გარდა).

აგრეთვე იხილეთ

ფონდი ვიკიმედია.

• 2010 წელი.
• სრული პე (სტუდია)

სრული დუპლექსი

ნახეთ, რა არის „სრული დიფერენციალი“ სხვა ლექსიკონებში:სრული დიფერენციალი - - [ლ.გ.სუმენკო. ინგლისურ-რუსული ლექსიკონი საინფორმაციო ტექნოლოგიების შესახებ. M.: State Enterprise TsNIIS, 2003.] თემები საინფორმაციო ტექნოლოგიები ზოგადად EN ჩვეულებრივი დიფერენციალური სულ დიფერენციალური ...

ტექნიკური მთარგმნელის სახელმძღვანელოსრული დიფერენციალი - n ცვლადის ფუნქცია წერტილში იგივეა, რაც ფუნქციის დიფერენციალი ამ წერტილში. ტერმინი ნაწილობრივი დიფერენციალი გამოიყენება ტერმინის ნაწილობრივი დიფერენციალური კონტრასტის მიზნით. n ცვლადის ფუნქციის კონცეფცია განზოგადებულია ღია რუკის შემთხვევაში...

მათემატიკური ენციკლოპედიასრული დიფერენციალი - რამდენიმე დამოუკიდებელი ცვლადის გამოხატვის f (x, y, z,...) ფუნქციები იმ შემთხვევაში, როდესაც ის განსხვავდება სრული ნამატისგან (იხ. სრული ნამატი) Δf = f (x + Δx, y + Δy, z + Δz, ... ) f (x, y, z, ...) on……

დიდი საბჭოთა ენციკლოპედიადიფერენციალური - (ლათინური, დან differ to განასხვავებენ). უსასრულოდ მცირე სხვაობის ზღვარი ცვლადის ფუნქციას, რომელმაც მიიღო უსასრულოდ მცირე ნამატი და იგივე ცვლადის თავდაპირველ ფუნქციას (მატ. ტერმინი). უცხო სიტყვების ლექსიკონი რუსულში... ...

რუსული ენის უცხო სიტყვების ლექსიკონიდიფერენციალური (მექანიკური)

- ამ ტერმინს სხვა მნიშვნელობები აქვს, იხილეთ დიფერენციალური (მნიშვნელობები). დიფერენციალური მოწყობილობა (ცენტრალური ნაწილი) დიფერენციალური არის მექანიკური მოწყობილობა, რომელიც ... ვიკიპედიადიფერენციალი (მანქანა)

- დიფერენციალური მოწყობილობა (ცენტრალური ნაწილი) დიფერენციალური არის მექანიკური მოწყობილობა, რომელიც გადასცემს ბრუნვას ერთი წყაროდან ორ დამოუკიდებელ მომხმარებელზე ისე, რომ წყაროს ბრუნვის კუთხური სიჩქარეები და ორივე მომხმარებელს შეუძლია ... ... ვიკიპედია- ამ ტერმინს სხვა მნიშვნელობები აქვს, იხილეთ ყველა წამყვანი (მნიშვნელობები). ყველაზე გავრცელებული (მაგრამ არა ერთადერთი) გადაცემის სქემა ყველა წამყვანი მანქანისთვის. ყველა წამყვანი (4x4, 4WD ... ვიკიპედია

დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია- ფუნქციის ზრდის ძირითადი წრფივი ნაწილი. 1) უძრავი ცვლადის რეალური ფუნქცია y = f(x) ეწოდება. დიფერენცირებადი x წერტილში, თუ იგი განისაზღვრება ამ წერტილის გარკვეულ მიმდებარედ და თუ არის რიცხვი A ისეთი, რომ ნამატი (... ... - n ცვლადის ფუნქცია წერტილში იგივეა, რაც ფუნქციის დიფერენციალი ამ წერტილში. ტერმინი ნაწილობრივი დიფერენციალი გამოიყენება ტერმინის ნაწილობრივი დიფერენციალური კონტრასტის მიზნით. n ცვლადის ფუნქციის კონცეფცია განზოგადებულია ღია რუკის შემთხვევაში...

მუდმივი ყველა წამყვანი- ყველაზე გავრცელებული (მაგრამ არა ერთადერთი) გადაცემის სქემა სრულამძრავიანი მანქანისთვის. ყველა წამყვანი (4x4, 4WD, AWD) არის ავტომობილის გადაცემის დიზაინი, სადაც ძრავის მიერ წარმოქმნილი ბრუნი გადადის ყველა ბორბალზე. მანამდე... ... ვიკიპედია

სითბო- 1) თ ვასახელებთ მიზეზს, რომელიც იწვევს ჩვენში სპეციფიკურ, ცნობილ თერმულ შეგრძნებებს. ამ შეგრძნებების წყარო ყოველთვის არის გარეგანი სამყაროს რომელიმე სხეული და, ჩვენი შთაბეჭდილებების ობიექტივიფიცირებით, ამ სხეულებს მივაწერთ ზოგიერთის შინაარსს... ენციკლოპედიური ლექსიკონი F.A. ბროკჰაუსი და ი.ა. ეფრონი