როგორ მოვძებნოთ დახრილი პრიზმის ფორმულის მტკიცებულების მოცულობა. თუ პრიზმის გვერდითი კიდეები ფუძეების პერპენდიკულარულია, მაშინ პრიზმას უწოდებენ სწორს, წინააღმდეგ შემთხვევაში მას დახრილი ეწოდება.

პრიზმის განმარტება:

• А1А2…АnВ1В2Вn– პრიზმა

• პოლიგონები A1A2…An და B1B2…Bn – პრიზმის ბაზა

• პარალელოგრამები А1А2В2В1, А1А2В2В1,… АnА1В1Вn – გვერდითი სახეები

• სექციები A1B1, A2B2…АnBn – პრიზმის გვერდითი ნეკნები

პრიზმების სახეები

• ექვსკუთხა სამკუთხა ოთხკუთხა პრიზმა პრიზმა

ირიბი და სწორი პრიზმა

• თუ პრიზმის გვერდითი კიდეები ფუძეების პერპენდიკულარულია, მაშინ პრიზმა ეწოდება სწორი , წინააღმდეგ შემთხვევაში - მიდრეკილი .

სწორი პრიზმა

• პრიზმა ე.წ სწორი , თუ ის სწორია და მისი ფუძეები რეგულარული მრავალკუთხედებია.

პრიზმის მთლიანი ზედაპირის ფართობი

პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი

• თეორემა

• სწორი პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის ფუძის პერიმეტრისა და პრიზმის სიმაღლის ნამრავლის ნახევარს.

დახრილი პრიზმის მოცულობა

• თეორემა

• დახრილი პრიზმის მოცულობა უდრის ფუძისა და სიმაღლის ფართობის ნამრავლს.

მტკიცებულება

• მტკიცებულება

• ჯერ დავამტკიცოთ თეორემა სამკუთხა პრიზმისთვის, შემდეგ კი თვითნებური პრიზმისთვის.

1. განვიხილოთ სამკუთხა პრიზმა V მოცულობით, ფუძის ფართობი S და სიმაღლე h. პრიზმის ერთ-ერთ ფუძეზე მოვნიშნოთ წერტილი O და მივმართოთ Ox ღერძი ფუძეების პერპენდიკულარულად. განვიხილოთ პრიზმის განივი მონაკვეთი Ox-ის ღერძზე პერპენდიკულარული სიბრტყით და, შესაბამისად, ფუძის სიბრტყის პარალელურად. x ასოთი ავღნიშნოთ ამ სიბრტყის გადაკვეთის წერტილის აბსციზა Ox ღერძთან და S (x) შედეგად მიღებული მონაკვეთის ფართობი.

დავამტკიცოთ, რომ S (x) ფართობი ტოლია პრიზმის ფუძის S ფართობის. ამისათვის გაითვალისწინეთ, რომ სამკუთხედები ABC (პრიზმის ფუძე) და A1B1C1 (პრიზმის განივი კვეთა განხილული სიბრტყით) ტოლია. სინამდვილეში, ოთხკუთხედი AA1BB1 არის პარალელოგრამი (სეგმენტები AA1 და BB1 ტოლია და პარალელურია), შესაბამისად A1B1 = AB. ანალოგიურად, დადასტურებულია, რომ B1C1 = BC და A1C1 = AC. ასე რომ, სამკუთხედები A1B1C1 და ABC ტოლია სამ მხარეს. ამიტომ, S(x)=S. ახლა სხეულების მოცულობის გამოსათვლელად ძირითადი ფორმულის გამოყენებით a=0 და b=h, მივიღებთ

2. თ თ სთ, ს S*h.თეორემა დადასტურდა.

2. ახლა დავამტკიცოთ თეორემა სიმაღლის თვითნებური პრიზმისთვის თდა ფუძის ფართობი S. ასეთი პრიზმა შეიძლება დაიყოს სამკუთხა პრიზმებად საერთო სიმაღლით თ. მოდით გამოვხატოთ თითოეული სამკუთხა პრიზმის მოცულობა ჩვენ მიერ დადასტურებული ფორმულის გამოყენებით და დავამატოთ ეს ტომები. საერთო ფაქტორის ამოღება ფრჩხილებიდან სთ,ფრჩხილებში ვიღებთ სამკუთხა პრიზმების ფუძეების ფართობების ჯამს, ანუ ფართობს სორიგინალური პრიზმის საფუძვლები. ამრიგად, თავდაპირველი პრიზმის მოცულობა უდრის S*h.თეორემა დადასტურდა.

გაკვეთილის ტექსტის ტრანსკრიპტი:

დღეს ჩვენ გამოვიყვანთ მოცულობის ფორმულას დახრილი პრიზმაინტეგრალის გამოყენებით.

გავიხსენოთ რა არის პრიზმა და რომელ პრიზმას ჰქვია ირიბი?

პრიზმა - მრავალწახნაგოვანი, რომლის ორი სახე (ფუძე) არის თანაბარი მრავალკუთხედები, რომლებიც მდებარეობს პარალელური სიბრტყეები, ხოლო დანარჩენი სახეები (გვერდითი) პარალელოგრამებია.

თუ პრიზმის გვერდითი კიდეები ფუძის სიბრტყის პერპენდიკულარულია, მაშინ პრიზმა სწორია, წინააღმდეგ შემთხვევაშიპრიზმას ირიბი პრიზმა ეწოდება.

დახრილი პრიზმის მოცულობა პროდუქტის ტოლიბაზის ფართობი სიმაღლეზე.

1) განვიხილოთ სამკუთხა დახრილი პრიზმა VSEV2S2E2. ამ პრიზმის მოცულობა არის V, ფუძის ფართობი არის S და სიმაღლე h.

გამოვიყენოთ ფორმულა: მოცულობა ინტეგრალის ტოლი 0-დან h-მდე S x-დან x-მდე.

V=, სადაც არის მონაკვეთის ფართობი Ox ღერძის პერპენდიკულარული. ავირჩიოთ Ox ღერძი და წერტილი O არის კოორდინატების საწყისი და დევს ALL სიბრტყეში (დახრილი პრიზმის ქვედა ფუძე). Ox-ის ღერძის მიმართულება ALL სიბრტყის პერპენდიკულარულია. შემდეგ Ox ღერძი გადაკვეთს სიბრტყეს h წერტილში და ჩვენ დავხატავთ სიბრტყეს E1 ბაზების პარალელურადდახრილი პრიზმა და Ox ღერძის პერპენდიკულარული. ვინაიდან სიბრტყეები პარალელურია და გვერდითი სახეებიარის პარალელოგრამები, შემდეგ BE = , CE = C1E1 = C2E2; ВС=В1С1=В2С2

აქედან გამომდინარეობს, რომ სამკუთხედები ALL = E2 ტოლია სამ მხარეს. თუ სამკუთხედები თანმიმდევრულია, მაშინ მათი ფართობი ტოლია. თვითნებური მონაკვეთის ფართობი S(x) უდრის ფუძის Sbas ფართობს.

ამ შემთხვევაში, ბაზის ფართობი მუდმივია. ავიღოთ 0 და h, როგორც ინტეგრაციის ლიმიტები. ვიღებთ ფორმულას: მოცულობა ტოლია ინტეგრალი 0-დან h S-მდე x de x-დან ან ინტეგრალი 0-დან სთ-მდე ფუძის ფართობის x de x-დან, ფუძის ფართობი არის მუდმივი ( მუდმივი), შეგვიძლია ამოვიღოთ ინტეგრალური ნიშნიდან და გამოდის, რომ ინტეგრალი 0-დან h de x-მდე უდრის ცულს მინუს 0:

გამოდის, რომ დახრილი პრიზმის მოცულობა უდრის ფუძისა და სიმაღლის ფართობის ნამრავლს.

2) მოდით დავამტკიცოთ ეს ფორმულა თვითნებური n-გონალური დახრილი პრიზმისთვის. ამის დასამტკიცებლად ავიღოთ ხუთკუთხა დახრილი პრიზმა. დახრილი პრიზმა დავყოთ რამდენიმე სამკუთხა პრიზმად, ამ შემთხვევაში სამად (იგივე, როგორც სწორი პრიზმის მოცულობის შესახებ თეორემის დამტკიცებისას). დახრილი პრიზმის მოცულობა აღვნიშნოთ როგორც V. მაშინ დახრილი პრიზმის მოცულობა შედგება სამი სამკუთხა პრიზმის მოცულობების ჯამისაგან (მოცულობების თვისების მიხედვით).

V=V1+V2+V3 და მოცულობა სამკუთხა პრიზმაჩვენ ვეძებთ ფორმულას: დახრილი პრიზმის მოცულობა უდრის ფუძის ფართობისა და სიმაღლის ნამრავლს.

ეს ნიშნავს, რომ დახრილი პრიზმის მოცულობა არის ჯამის ტოლიფუძისა და სიმაღლის ფართობების პროდუქტებს ფრჩხილებიდან ვიღებთ h სიმაღლეს (რადგან იგივეა სამი პრიზმისთვის) და ვიღებთ:

თეორემა დადასტურდა.

დახრილი პრიზმის გვერდითი კიდე 4 სმ-ია და ძირის სიბრტყეს ქმნის 30°-იან კუთხეს .

მოცემულია: - დახრილი პრიზმა,

AB = 12 სმ, BC = 12 სმ, AC = 14 სმ, B = 4 სმ, BK = 30°.

იპოვე: V - ?

დამატებითი კონსტრუქცია: დავხატოთ H სიმაღლე დახრილ პრიზმაში.

ჩვენ ვიცით, რომ დახრილი პრიზმის მოცულობა უდრის ფუძის ფართობისა და სიმაღლის ნამრავლს.

დახრილი პრიზმის ძირში დევს თვითნებური სამკუთხედი, რომლისთვისაც ცნობილია ყველა გვერდი, მაშინ ვიყენებთ ჰერონის ფორმულას: სამკუთხედის ფართობი უდრის კვადრატული ფესვი PE-ს ნამრავლიდან PE-სა და a-ს სხვაობით, PE-სა და BE-ს სხვაობით, PE-სა და CE-ს სხვაობით, სადაც PE არის სამკუთხედის ნახევარპერიმეტრი, რომელსაც ვეძებთ ფორმულის გამოყენებით: ნახევარი ყველა მხარის ჯამი a, b და c:

ჩვენ ვიანგარიშებთ ნახევრად პერიმეტრს:

მოდით შევცვალოთ ნახევარპერიმეტრის მნიშვნელობა საბაზისო ფართობის ფორმულაში, გავამარტივოთ და მივიღოთ პასუხი: 95-ის შვიდი ფესვი.

განვიხილოთ ΔB H. ის მართკუთხაა, ვინაიდან H არის დახრილი პრიზმის სიმაღლე. სინუსის განმარტებიდან ფეხი უდრის ჰიპოტენუზის ნამრავლს და საპირისპირო კუთხის სინუსს.

30°-ის სინუს მნიშვნელობა უდრის ნახევარს, რაც ნიშნავს

ჩვენ ეს ვისწავლეთ

ხოლო სიმაღლე H - დახრილი პრიზმის სიმაღლე - უდრის 2-ს.

ამიტომ მოცულობა თანაბარია

მოცულობა არის ნებისმიერი ფიგურის მახასიათებელი, რომელსაც აქვს არანულოვანი ზომები სივრცის სამივე განზომილებაში. ამ სტატიაში, სტერეომეტრიის თვალსაზრისით (გეომეტრია სივრცითი ფიგურები) ჩვენ შევხედავთ პრიზმას და ვაჩვენებთ, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ სხვადასხვა ტიპის პრიზმების მოცულობა.

სტერეომეტრიას აქვს ზუსტი პასუხი ამ კითხვაზე. მასში პრიზმა გაგებულია, როგორც ფიგურა, რომელიც წარმოიქმნება ორი მრავალკუთხა იდენტური სახეებით და რამდენიმე პარალელოგრამით. ქვემოთ მოცემულ სურათზე ნაჩვენებია ოთხი განსხვავებული პრიზმა.

თითოეული მათგანის მიღება შესაძლებელია შემდეგნაირად: თქვენ უნდა აიღოთ მრავალკუთხედი (სამკუთხედი, ოთხკუთხედი და ა.შ.) და სეგმენტი. გარკვეული სიგრძე. შემდეგ მრავალკუთხედის თითოეული წვერო უნდა გადაიტანოს გამოყენებით პარალელური სეგმენტებისხვა თვითმფრინავში. IN ახალი თვითმფრინავი, რომელიც იქნება ორიგინალის პარალელურად, მიიღება ახალი მრავალკუთხედი, თავდაპირველად შერჩეულის მსგავსი.

პრიზები შეიძლება იყოს სხვადასხვა ტიპის. ასე რომ, ისინი შეიძლება იყოს სწორი, დახრილი და რეგულარული. თუ პრიზმის გვერდითი კიდე (ფუძეების წვეროების დამაკავშირებელი სეგმენტი) ფიგურის ფუძეების პერპენდიკულარულია, მაშინ ეს უკანასკნელი სწორია. შესაბამისად, თუ ეს პირობა არ დაკმაყოფილდა, მაშინ ჩვენ ვსაუბრობთდახრილი პრიზმის შესახებ. რეგულარული ფიგურა არის სწორი პრიზმა ტოლკუთხა და ტოლგვერდა ფუძით.

რეგულარული პრიზმების მოცულობა

დავიწყოთ თავიდანვე მარტივი შემთხვევა. მოდით მივცეთ ფორმულა n-გონალური ფუძის მქონე რეგულარული პრიზმის მოცულობისთვის. მოცულობის ფორმულა V განხილული კლასის ნებისმიერი ფიგურისთვის აქვს შემდეგი ფორმა:

ანუ, მოცულობის დასადგენად, საკმარისია გამოვთვალოთ ერთ-ერთი ფუძის ფართობი S o და გავამრავლოთ იგი ფიგურის h სიმაღლეზე.

Როდესაც სწორი პრიზმამისი ფუძის გვერდის სიგრძე აღვნიშნოთ a ასოთი, ხოლო სიმაღლე, რომელიც ტოლია გვერდითი კიდის სიგრძისა, ასო h-ით. თუ ბაზა არის რეგულარული n-გონი, მაშინ მისი ფართობის გამოსათვლელად ყველაზე ადვილია შემდეგი უნივერსალური ფორმულის გამოყენება:

S n = n/4*a2*ctg(pi/n).

განტოლებაში n გვერდის რაოდენობის და ერთი მხარის სიგრძის ჩანაცვლებით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ n-გონალური ფუძის ფართობი. გაითვალისწინეთ, რომ კოტანგენტის ფუნქცია აქ გამოითვლება pi/n კუთხისთვის, რომელიც გამოიხატება რადიანებში.

S n-სთვის დაწერილი ტოლობის გათვალისწინებით, ვიღებთ საბოლოო ფორმულას რეგულარული პრიზმის მოცულობისთვის:

V n = n/4*a2*h*ctg(pi/n).

თითოეული კონკრეტული შემთხვევისთვის შეგიძლიათ დაწეროთ V-ის შესაბამისი ფორმულები, მაგრამ ისინი ყველა ცალსახად გამომდინარეობს წერილობითი ზოგადი გამონათქვამიდან. მაგალითად, რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმისთვის, რომელიც ზოგად შემთხვევაში არის მართკუთხა პარალელეპიპედი, ვიღებთ:

V 4 = 4/4*a2*h*ctg(pi/4) = a2*h.

თუ ამ გამოსახულებაში ავიღებთ h=a, მაშინ მივიღებთ კუბის მოცულობის ფორმულას.

სწორი პრიზმების მოცულობა

დაუყოვნებლივ აღვნიშნოთ, რომ სწორი ფიგურებისთვის არ არსებობს მოცულობის გამოთვლის ზოგადი ფორმულა, რომელიც ზემოთ იყო მოცემული რეგულარული პრიზმებისთვის. განსახილველი მნიშვნელობის პოვნისას უნდა იქნას გამოყენებული ორიგინალური გამოხატულება:

აქ h არის გვერდითი კიდის სიგრძე, როგორც წინა შემთხვევაში. რაც შეეხება საბაზისო ფართობს S o, მას შეუძლია მიიღოს ყველაზე მეტი სხვადასხვა მნიშვნელობა. სწორი პრიზმის მოცულობის გამოთვლის პრობლემა მოდის მისი ფუძის ფართობის პოვნამდე.

S o-ს მნიშვნელობის გაანგარიშება უნდა განხორციელდეს თავად ბაზის მახასიათებლებზე დაყრდნობით. მაგალითად, თუ ეს არის სამკუთხედი, მაშინ ფართობი შეიძლება გამოითვალოს ასე:

აქ h a არის სამკუთხედის აპოთემა, ანუ მისი სიმაღლე ჩამოყვანილია a ფუძემდე.

თუ ფუძე ოთხკუთხედია, მაშინ ეს შეიძლება იყოს ტრაპეცია, პარალელოგრამი, მართკუთხედი ან სრულიად თვითნებური ტიპის. ყველა ამ შემთხვევისთვის უნდა გამოიყენოთ შესაბამისი პლანიმეტრიის ფორმულა ფართობის დასადგენად. მაგალითად, ტრაპეციისთვის ეს ფორმულა ასე გამოიყურება:

S o4 = 1/2*(a 1 + a 2)*h a .

სადაც h a არის ტრაპეციის სიმაღლე, a 1 და a 2 არის მისი პარალელური გვერდების სიგრძე.

მეტი მრავალკუთხედის ფართობის დასადგენად მაღალი შეკვეთა, ისინი უნდა დაიყოს მარტივი ფიგურები(სამკუთხედები, ოთხკუთხედები) და გამოთვალეთ ამ უკანასკნელის ფართობების ჯამი.

დახრილი პრიზმების მოცულობა

ეს არის ყველაზე რთული შემთხვევაპრიზმის მოცულობის გამოთვლა. ზოგადი ფორმულაასეთი ფიგურებისთვის ასევე გამოიყენება:

თუმცა, ნებისმიერი ტიპის მრავალკუთხედის წარმომადგენლის ფუძის ფართობის პოვნის სირთულეს ემატება ფიგურის სიმაღლის განსაზღვრის პრობლემა. ის ყოველთვის დახრილ პრიზმაშია ნაკლები სიგრძეგვერდითი ნეკნი.

ამ სიმაღლის პოვნა უმარტივესი გზაა, თუ ცნობილია ფიგურის რომელიმე კუთხე (ბრტყელი ან ორთავიანი). თუ ასეთი კუთხე მოცემულია, მაშინ ის უნდა გამოიყენოთ პრიზმის შიგნით ასაგებად მართკუთხა სამკუთხედი, რომელიც შეიცავდა h სიმაღლეს, როგორც ერთ-ერთ მხარეს და გამოყენებით ტრიგონომეტრიული ფუნქციებიდა პითაგორას თეორემა იპოვეთ h-ის მნიშვნელობა.

გეომეტრიული ამოცანა მოცულობის დასადგენად

მოცემულია სწორი პრიზმა სამკუთხა ბაზა, რომლის სიმაღლეა 14 სმ და გვერდის სიგრძე 5 სმ რა არის სამკუთხა პრიზმის მოცულობა?

ვინაიდან ჩვენ ვსაუბრობთ სწორი ფიგურა, მაშინ ჩვენ გვაქვს გამოყენების უფლება ცნობილი ფორმულა. Ჩვენ გვაქვს:

V 3 = 3/4*a2*h*ctg(pi/3) = 3/4*52*14*1/√3 = √3/4*25*14 = 151,55 სმ3.

სამკუთხა პრიზმა საკმაოდ სიმეტრიული ფიგურაა, რომლის ფორმაც განსხვავებულია არქიტექტურული ნაგებობები. ეს მინის პრიზმა გამოიყენება ოპტიკაში.

პრიზმის კონცეფცია. სხვადასხვა ტიპის პრიზმების მოცულობის ფორმულები: რეგულარული, სწორი და ირიბი. პრობლემის გადაჭრა - ყველაფერი საიტზე მოგზაურობის შესახებ

რომლის ორი სახეა თანაბარი მრავალკუთხედები, დევს პარალელურ სიბრტყეში, ხოლო დარჩენილი სახეები პარალელოგრამებია საერთო ასპექტებიამ მრავალკუთხედებით. ამ პარალელოგრამებს პრიზმის გვერდითი სახეები ეწოდება, ხოლო დარჩენილ ორ მრავალკუთხედს - ფუძეები.

პრიზმა ცილინდრის განსაკუთრებული შემთხვევაა. პარალელეპიპედი არის პრიზმის განსაკუთრებული შემთხვევა.

პრიზმას აქვს შემდეგი თვისებები:

პრიზმის ნებისმიერი მონაკვეთი სიბრტყით მისი ფუძის პარალელურად ყოფს ამ პრიზმად ორ პრიზმად ისე, რომ გვერდითი ზედაპირების თანაფარდობა და ამ პრიზმების მოცულობების თანაფარდობა უდრის მათი გვერდითი კიდეების სიგრძის თანაფარდობას. პრიზმის ნებისმიერი მონაკვეთი სიბრტყით მისი გვერდითი კიდეების პარალელურად ყოფს ამ პრიზმას ორ პრიზმად ისე, რომ ამ პრიზმების მოცულობების თანაფარდობა მათი გვერდითი კიდეების სიგრძის თანაფარდობის ტოლია. პრიზმის ნებისმიერი მონაკვეთი სიბრტყით მისი გვერდითი კიდის პარალელურად ყოფს ამ პრიზმას ორ პრიზმად ისე, რომ ამ პრიზმების მოცულობების თანაფარდობა უდრის მათი ფუძის ფართობების თანაფარდობას.

პრიზმების სახეები

სწორი პრიზმა.სწორი პრიზმის გვერდითი კიდეები პერპენდიკულარულია ფუძის სიბრტყის მიმართ.

ირიბი პრიზმა.დახრილი პრიზმის გვერდითი კიდეები განლაგებულია ფუძის სიბრტყესთან შედარებით $90^\circ$-ისგან განსხვავებული კუთხით.

სწორი პრიზმა.მართი პრიზმის ფუძე არის რეგულარული მრავალკუთხედი. მისი გვერდითი სახეები თანაბარი ოთხკუთხედია.

ნახევრადრეგულარული პოლიედონი არის რეგულარული პრიზმა, რომლის გვერდითი სახეები კვადრატებია.

სწორი პრიზმის მოცულობა

რეგულარული პრიზმის მოცულობის გამოსათვლელად ფორმულის გამოსათვლელად, ავიღოთ პრიზმა მის ფუძეზე სამკუთხედით. ჩვენ ავაშენებთ მას მართკუთხა პარალელეპიპედი(სურათი 1).

სურათი 1. ტეტრაედონი გაშლილი პარალელეპიპედამდე

დან წინა თავიჩვენ ვიცით, რომ მართკუთხა პარალელეპიპედის მოცულობა არის:

იმიტომ რომ მიღებული პარალელეპიპედი შედგება თავდაპირველი პრიზმისგან და მოცულობით ტოლი პრიზმისგან, მაშინ თავდაპირველი პრიზმის მოცულობა ტოლი იქნება

სადაც $a$, $b$, $c$ არის $AB$, $BC$, $AC$ გვერდების სიგრძეები, შესაბამისად, და მათი ნამრავლი უდრის ორიგინალური პრიზმის ფუძის ფართობს, შემდეგ ჩვენ ვწერთ ზოგადი ხედისწორი პრიზმის მოცულობის პოვნის ფორმულა:

სადაც $S_(მთავარი)$ არის პრიზმის ფუძის ფართობი, $H$ არის პრიზმის ფუძესთან დახატული სიმაღლე.

ეს ფორმულა მართალია სწორი პრიზმისთვის, რომელსაც აქვს ნებისმიერი მრავალკუთხედი მის ბაზაზე.

დახრილი პრიზმის მოცულობა

დახრილი პრიზმის მოცულობის საპოვნელად ფორმულის გამოსატანად განვიხილოთ სამკუთხა დახრილი პრიზმა $ABCDFE$. მოდით დავხატოთ $\alpha $ სიბრტყე $DC$ კიდეზე, თავდაპირველი პრიზმის $ABCD$ ფუძის პერპენდიკულარულად და ავაშენოთ სამკუთხა შეკვეცილი პრიზმა (სურათი 2).

სურათი 2. დახრილი პრიზმა, $\alpha $ სიბრტყე

ახლა $AB$ კიდის გავლით ვხატავთ $\beta $ სიბრტყეს $\alpha $ სიბრტყის პარალელურად (სურათი 3).

სურათი 3. დახრილი პრიზმა, $\alpha $ და $\beta $ თვითმფრინავები

თუ ამ ტრანსფორმაციას კვლავ მივმართავთ დახრილ სახეებს, მივიღებთ პრიზმას, რომელშიც ყველა გვერდითი სახე ფუძის პერპენდიკულარულია. კიდევ ერთხელ შედეგი არის სწორი პრიზმა.

თუ იგი ექვემდებარება მსგავს ტრანსფორმაციას (ჯერ დაემატება პირველი შეკვეცილი პრიზმა, შემდეგ ამოიჭრება მეორე შეკვეცილი პრიზმა), მაშინ დასრულებული და ამოჭრილი პრიზები გაერთიანებულია $AB$ სეგმენტში პარალელური გადაცემით. აქედან გამომდინარეობს, რომ ფიგურებს აქვთ იგივე მოცულობა.

შესაბამისად, აგებული სწორი პრიზმის მოცულობა უდრის თავდაპირველი დახრილის მოცულობას.

დახრილი პრიზმის მოცულობა უდრის ფუძის ფართობისა და სიმაღლის ნამრავლს:

დასკვნა

ნებისმიერი პრიზმის მოცულობა (ირიბი და სწორი) გვხვდება ფორმულით:

სადაც $a\cdot b$ არის ფუძის ფართობი, $c$ არის პრიზმის სიმაღლე.

სივრცითი ფიგურების მოცულობის განსაზღვრის უნარი მნიშვნელოვანია გეომეტრიული და პრაქტიკული პრობლემები. ერთ-ერთი ასეთი ფიგურა არის პრიზმა. ამ სტატიაში ჩვენ გადავხედავთ რა არის ეს და ვაჩვენებთ როგორ გამოვთვალოთ დახრილი პრიზმის მოცულობა.

რა იგულისხმება პრიზმაში გეომეტრიაში?

საუბარია რეგულარულ პოლიედრონზე (პოლიედრონზე), რომელიც წარმოიქმნება ორისაგან იმავე საფუძვლით, რომელიც მდებარეობს პარალელურ სიბრტყეებში და რამდენიმე პარალელოგრამი, რომელიც აკავშირებს მონიშნულ ფუძებს.

პრიზმის საფუძვლები შეიძლება იყოს თვითნებური მრავალკუთხედები, მაგალითად, სამკუთხედი, ოთხკუთხედი, შვიდკუთხედი და ა.შ. უფრო მეტიც, მრავალკუთხედის კუთხეების (გვერდების) რაოდენობა განსაზღვრავს ფიგურის სახელს.

ნებისმიერი პრიზმა, რომელსაც აქვს n-გონი მის ფუძესთან (n არის გვერდების რაოდენობა), შედგება n+2 სახე, 2 × n წვერო და 3 × n კიდეები. მოცემული რიცხვებიდან ირკვევა, რომ პრიზმის ელემენტების რაოდენობა შეესაბამება ეილერის თეორემას:

3 × n = 2 × n + n + 2 - 2

ქვემოთ მოყვანილი სურათი გვიჩვენებს რა სამკუთხა და ოთხკუთხა პრიზმებიმინისგან დამზადებული.

ფიგურების ტიპები. ირიბი პრიზმა

ზემოთ უკვე ითქვა, რომ პრიზმის სახელწოდება განისაზღვრება ფუძეზე მდებარე მრავალკუთხედის გვერდების რაოდენობით. ამასთან, მის სტრუქტურაში არის სხვა მახასიათებლები, რომლებიც განსაზღვრავს ფიგურის თვისებებს. ასე რომ, თუ ყველა პარალელოგრამი ფორმირდება გვერდითი ზედაპირიპრიზები წარმოდგენილია მართკუთხედებით ან კვადრატებით, მაშინ ასეთ ფიგურას სწორი ხაზი ეწოდება. ძირებს შორის მანძილი უდრის ნებისმიერი მართკუთხედის გვერდითი კიდის სიგრძეს.

თუ ზოგიერთი ან ყველა მხარეებიარის პარალელოგრამები, მაშინ საუბარია დახრილ პრიზმაზე. მისი სიმაღლე უკვე გვერდითი ნეკნის სიგრძეზე ნაკლები იქნება.

კიდევ ერთი კრიტერიუმი, რომლითაც განსახილველი ფიგურები კლასიფიცირდება, არის მრავალკუთხედის გვერდებისა და კუთხეების სიგრძე ფუძეზე. თუ ისინი ერთმანეთის ტოლია, მაშინ მრავალკუთხედი იქნება რეგულარული. სწორ ფიგურას, რომელსაც ფუძეზე რეგულარული მრავალკუთხედი აქვს, რეგულარული ეწოდება. მოსახერხებელია მუშაობა ზედაპირის ფართობისა და მოცულობის განსაზღვრისას. დახრილი პრიზმა ამ მხრივ გარკვეულ სირთულეებს წარმოშობს.

ქვემოთ მოყვანილი სურათი გვიჩვენებს ორ პრიზმას ოთხკუთხა ფუძე. 90° კუთხე გვიჩვენებს ფუნდამენტურ განსხვავებას სწორ და დახრილ პრიზმას შორის.

ფიგურის მოცულობის განსაზღვრის ფორმულა

სივრცის ნაწილს, რომელიც შემოიფარგლება პრიზმის სახეებით, ეწოდება მის მოცულობას. ნებისმიერი ტიპის ფიგურებისთვის, ეს მნიშვნელობა შეიძლება განისაზღვროს შემდეგი ფორმულის გამოყენებით:

აქ სიმბოლო h აღნიშნავს პრიზმის სიმაღლეს, რომელიც არის საზომი მანძილის ორ ფუძეს შორის. სიმბოლო S o - ერთი ფუძის ფართობი.

ბაზის ფართობის პოვნა ადვილია. იმის გათვალისწინებით, არის თუ არა მრავალკუთხედი რეგულარული, ასევე მისი გვერდების რაოდენობის ცოდნის გათვალისწინებით, უნდა გამოვიყენოთ შესაბამისი ფორმულა და მივიღოთ S o. მაგალითად, ამისთვის რეგულარული n-gonგვერდის სიგრძით a ფართობი იქნება ტოლი:

S n = n / 4 × a 2 × ctg (pi / n)

ახლა გადავიდეთ h სიმაღლეზე. სწორი პრიზმისთვის სიმაღლის დადგენა არანაირ სირთულეს არ წარმოადგენს, მაგრამ დახრილი პრიზმისთვის ეს არ არის ადვილი ამოცანა. მისი გადაჭრა შესაძლებელია სხვადასხვა გეომეტრიული მეთოდების გამოყენებით, დაწყებული კონკრეტულიდან საწყისი პირობები. მიუხედავად ამისა, არსებობს უნივერსალური მეთოდიფიგურის სიმაღლის განსაზღვრა. მოკლედ აღვწეროთ.

იდეა არის ვიპოვოთ მანძილი სივრცეში წერტილიდან სიბრტყემდე. დავუშვათ, რომ თვითმფრინავი მოცემულია განტოლებით:

A × x+ B × y + C × z + D = 0

მაშინ თვითმფრინავი განთავსდება წერტილიდან დაშორებით კოორდინატებით (x 1 ; y 1 ; z 1):

h = |A × x 1 + B × y 1 + C × z 1 + D| / √ (A 2 + B 2 + C 2)

თუ კოორდინატთა ღერძებიგანლაგებულია ისე, რომ წერტილი (0; 0; 0) იყოს პრიზმის ქვედა ფუძის სიბრტყეში, მაშინ საბაზისო სიბრტყის განტოლება შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად:

ეს ნიშნავს, რომ სიმაღლის ფორმულა ასე დაიწერება:

ფიგურის სიმაღლის დასადგენად საკმარისია ზედა ფუძის რომელიმე წერტილის z კოორდინატის პოვნა.

პრობლემის გადაჭრის მაგალითი

ქვემოთ მოყვანილ სურათზე დახრილი პრიზმის საფუძველი არის კვადრატი, რომლის გვერდია 10 სმ, აუცილებელია მისი მოცულობის გამოთვლა, თუ ცნობილია, რომ გვერდითი კიდის სიგრძეა 15 სმ და მკვეთრი კუთხეშუბლის პარალელოგრამი არის 70°.

ვინაიდან ფიგურის სიმაღლე h არის პარალელოგრამის სიმაღლეც, h-ს საპოვნელად ვიყენებთ ფორმულებს მისი ფართობის დასადგენად. ავღნიშნოთ პარალელოგრამის გვერდები შემდეგნაირად:

შემდეგ შეგიძლიათ დაწეროთ მისთვის შემდეგი ფორმულები S p ფართობის დასადგენად:

S p = a × b × sin (α);

საიდან მივიღოთ:

აქ α არის პარალელოგრამის მახვილი კუთხე. ვინაიდან საფუძველი არის კვადრატი, დახრილი პრიზმის მოცულობის ფორმულა მიიღებს ფორმას:

V = a 2 × b × sin (α)

პირობის მონაცემებს ვცვლით ფორმულაში და ვიღებთ პასუხს: V ≈ 1410 სმ 3.