როგორ მოვძებნოთ ყველაზე ნაკლებად გავრცელებული მრავალჯერადი ალგორითმი. უმცირესი საერთო მრავლობითის პოვნის მეთოდები, nok - ეს და ყველა ახსნა

ზოგადსაგანმანათლებლო სკოლის მე-5 კლასში ისწავლება თემა „მრავალრიცხოვანი“. მისი მიზანია წერილობითი და ზეპირი მათემატიკური გამოთვლის უნარების გაუმჯობესება. ამ გაკვეთილზე დანერგილია ახალი ცნებები - "მრავალრიცხოვანი რიცხვები" და "გამყოფები", პრაქტიკულია გამყოფებისა და ნატურალური რიცხვის ჯერადების პოვნის ტექნიკა და LCM სხვადასხვა გზით პოვნის უნარი.

ეს თემა ძალიან მნიშვნელოვანია. მისი ცოდნა შეიძლება გამოყენებულ იქნას წილადებით მაგალითების ამოხსნისას. ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთ საერთო მნიშვნელი უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) გამოთვლით.

A-ს ჯერადი არის მთელი რიცხვი, რომელიც იყოფა A-ზე ნაშთის გარეშე.

ყველა ნატურალურ რიცხვს აქვს მისი მამრავლების უსასრულო რაოდენობა. ის თავისთავად ყველაზე პატარად ითვლება. მრავლობითი არ შეიძლება იყოს თავად რიცხვზე ნაკლები.

თქვენ უნდა დაამტკიცოთ, რომ რიცხვი 125 არის 5-ის ჯერადი. ამისათვის თქვენ უნდა გაყოთ პირველი რიცხვი მეორეზე. თუ 125 იყოფა ხუთზე ნაშთის გარეშე, მაშინ პასუხი არის დიახ.

ეს მეთოდი გამოიყენება მცირე რაოდენობით.

LOC-ის გამოთვლისას განსაკუთრებული შემთხვევებია.

1. თუ თქვენ გჭირდებათ 2 რიცხვის საერთო ჯერადის პოვნა (მაგალითად, 80 და 20), სადაც ერთი მათგანი (80) იყოფა მეორეზე (20), მაშინ ეს რიცხვი (80) არის ამ რიცხვების უმცირესი ჯერადი. ორი ნომერი.

LCM(80, 20) = 80.

2. თუ ორს არ აქვს საერთო გამყოფი, მაშინ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მათი LCM არის ამ ორი რიცხვის ნამრავლი.

LCM(6, 7) = 42.

მოდით შევხედოთ ბოლო მაგალითს. 6 და 7 42-ის მიმართ არის გამყოფები. ისინი ყოფენ რიცხვის ნამრავლს ნაშთის გარეშე.

ამ მაგალითში 6 და 7 არის დაწყვილებული ფაქტორები. მათი ნამრავლი უდრის ყველაზე მრავალჯერადი რიცხვს (42).

რიცხვს უბრალო ეწოდება, თუ ის იყოფა მხოლოდ თავისზე ან 1-ზე (3:1=3; 3:3=1). დანარჩენს კომპოზიტს უწოდებენ.

კიდევ ერთი მაგალითი მოიცავს იმის დადგენას, არის თუ არა 9 42-ის გამყოფი.

42:9=4 (დარჩენილი 6)

პასუხი: 9 არ არის 42-ის გამყოფი, რადგან პასუხს აქვს ნაშთი.

გამყოფი იმით განსხვავდება მრავალჯერადისაგან, რომ გამყოფი არის რიცხვი, რომლითაც იყოფა ნატურალური რიცხვები და თავად მრავლობითი იყოფა ამ რიცხვზე.

რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი ადა ბ, გამრავლებული მათ უმცირეს ჯერადზე, მისცემს თავად რიცხვების ნამრავლს ადა ბ.

კერძოდ: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.

საერთო ჯერადები უფრო რთული რიცხვებისთვის გვხვდება შემდეგი გზით.

მაგალითად, იპოვეთ LCM 168, 180, 3024.

ჩვენ ვანაწილებთ ამ რიცხვებს მარტივ ფაქტორებად და ვწერთ მათ, როგორც ძლიერების ნამრავლს:

168=2³x3¹x7¹

24х3³х5¹х7¹=15120

LCM(168, 180, 3024) = 15120.

ორი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი პირდაპირ კავშირშია ამ რიცხვების უდიდეს საერთო გამყოფთან. ეს კავშირი GCD-სა და NOC-ს შორისგანისაზღვრება შემდეგი თეორემით.

თეორემა.

ორი დადებითი მთელი რიცხვის a და b-ის უმცირესი საერთო ჯერადი ტოლია a და b-ის ნამრავლის გაყოფილი a და b-ის უდიდეს საერთო გამყოფზე, ანუ: LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).

მტკიცებულება.

დაე M არის a და b რიცხვების რამდენიმე ჯერადი. ანუ M იყოფა a-ზე და გაყოფის განმარტებით არის გარკვეული მთელი რიცხვი k ისეთი, რომ ტოლობა M=a·k მართალია. მაგრამ M ასევე იყოფა b-ზე, შემდეგ a·k იყოფა b-ზე.

gcd(a, b) ავღნიშნოთ როგორც d. მაშინ შეგვიძლია დავწეროთ ტოლობები a=a 1 ·d და b=b 1 ·d, და a 1 =a:d და b 1 =b:d იქნება შედარებით მარტივი რიცხვები. შესაბამისად, წინა აბზაცში მიღებული პირობა, რომ a · k იყოფა b-ზე, შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად: a 1 · d · k იყოფა b 1 · d-ზე და ეს, გაყოფის თვისებების გამო, უდრის პირობას. რომ a 1 · k იყოფა b 1-ზე.

თქვენ ასევე უნდა ჩამოწეროთ ორი მნიშვნელოვანი დასკვნა განხილული თეორემიდან.

ორი რიცხვის საერთო ჯერადები იგივეა, რაც მათი უმცირესი საერთო ჯერადი.

ეს მართლაც ასეა, რადგან a და b რიცხვების M-ის ნებისმიერი საერთო ჯერადი განისაზღვრება M=LMK(a, b)·t ტოლობით ზოგიერთი მთელი რიცხვისთვის t.

a და b დადებითი რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი მათი ნამრავლის ტოლია.

ამ ფაქტის დასაბუთება საკმაოდ აშკარაა. ვინაიდან a და b შედარებით მარტივია, მაშინ gcd(a, b)=1, შესაბამისად, GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

სამი ან მეტი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი

სამი ან მეტი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა შეიძლება შემცირდეს ორი რიცხვის LCM-ის თანმიმდევრულ პოვნამდე. როგორ კეთდება ეს, მითითებულია შემდეგ თეორემაში a 1, a 2, ..., a k ემთხვევა m k-1 რიცხვების საერთო ჯერადებს, შესაბამისად, ემთხვევა m k რიცხვის საერთო ჯერადებს. და რადგან m k რიცხვის უმცირესი დადებითი ჯერადი არის თავად m k რიცხვი, მაშინ a 1, a 2, ..., a k რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი არის m k.

ბიბლიოგრაფია.

• ვილენკინი ნ.ია. და სხვა მათემატიკა. მე-6 კლასი: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებებისათვის.
• ვინოგრადოვი ი.მ. რიცხვების თეორიის საფუძვლები.
• მიხელოვიჩ შ.ჰ. რიცხვების თეორია.
• კულიკოვი ლ.ია. და სხვა ამოცანების კრებული ალგებრაში და რიცხვთა თეორიაში: სახელმძღვანელო ფიზიკა-მათემატიკის სტუდენტებისთვის. პედაგოგიური ინსტიტუტების სპეციალობები.

უდიდესი საერთო გამყოფი

განმარტება 2

თუ ნატურალური რიცხვი a იყოფა ნატურალურ რიცხვზე $b$, მაშინ $b$-ს ეწოდება $a$-ის გამყოფი, ხოლო $a$-ს ეწოდება $b$-ის ჯერადი.

დაე, $a$ და $b$ იყოს ნატურალური რიცხვები. რიცხვს $c$ ეწოდება $a$ და $b$-ის საერთო გამყოფი.

$a$ და $b$ რიცხვების საერთო გამყოფთა სიმრავლე სასრულია, რადგან არცერთი ეს გამყოფი არ შეიძლება იყოს $a$-ზე მეტი. ეს ნიშნავს, რომ ამ გამყოფებს შორის არის ყველაზე დიდი, რომელსაც ეწოდება $a$ და $b$ რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი და აღინიშნება შემდეგი აღნიშვნით:

$GCD \(a;b)\ ან \D\(a;b)$

ორი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფის საპოვნელად დაგჭირდებათ:

1. იპოვეთ მე-2 ნაბიჯში ნაპოვნი რიცხვების ნამრავლი. შედეგად მიღებული რიცხვი იქნება სასურველი უდიდესი საერთო გამყოფი.

მაგალითი 1

იპოვეთ რიცხვების gcd $121$ და $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

აირჩიეთ რიცხვები, რომლებიც შედის ამ რიცხვების გაფართოებაში

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

იპოვეთ მე-2 ნაბიჯში ნაპოვნი რიცხვების ნამრავლი. შედეგად მიღებული რიცხვი იქნება სასურველი უდიდესი საერთო გამყოფი.

$GCD=2\cdot 11=22$

მაგალითი 2

იპოვეთ მონომილების gcd $63$ და $81$.

ჩვენ ვიპოვით წარმოდგენილი ალგორითმის მიხედვით. Ამისთვის:

მოდით გავამრავლოთ რიცხვები მარტივ ფაქტორებად

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

ჩვენ ვირჩევთ ნომრებს, რომლებიც შედის ამ რიცხვების გაფართოებაში

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

ვიპოვოთ მე-2 ნაბიჯში ნაპოვნი რიცხვების ნამრავლი. მიღებული რიცხვი იქნება სასურველი უდიდესი საერთო გამყოფი.

$GCD=3\cdot 3=9$

თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ორი რიცხვის gcd სხვა გზით, რიცხვების გამყოფების სიმრავლის გამოყენებით.

მაგალითი 3

იპოვეთ რიცხვების gcd $48$ და $60$.

გამოსავალი:

ვიპოვოთ $48$ რიცხვის გამყოფთა სიმრავლე: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

ახლა ვიპოვოთ რიცხვის გამყოფების სიმრავლე $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $

ვიპოვოთ ამ სიმრავლეთა კვეთა: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - ეს ნაკრები განსაზღვრავს $48$ და $60 რიცხვების საერთო გამყოფთა სიმრავლეს. $. ამ ნაკრების ყველაზე დიდი ელემენტი იქნება რიცხვი $12$. ეს ნიშნავს, რომ $48$ და $60$ რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი არის $12$.

NPL-ის განმარტება

განმარტება 3

ნატურალური რიცხვების საერთო ჯერადი$a$ და $b$ არის ნატურალური რიცხვი, რომელიც არის $a$ და $b$-ის ჯერადი.

რიცხვების საერთო ჯერადები არის რიცხვები, რომლებიც იყოფა თავდაპირველ რიცხვებზე ნაშთის გარეშე, მაგალითად, 25$ და 50$$ რიცხვებისთვის, საერთო ჯერადები იქნება ნომრები $50,100,150,200$ და ა.შ.

უმცირეს საერთო ჯერადს დაერქმევა უმცირესი საერთო ჯერადი და აღინიშნა LCM$(a;b)$ ან K$(a;b).$

ორი რიცხვის LCM-ის საპოვნელად საჭიროა:

1. ფაქტორების რიცხვი მარტივ ფაქტორებად
2. ჩამოწერეთ პირველი რიცხვის შემადგენელი ფაქტორები და დაუმატეთ მათ ფაქტორები, რომლებიც მეორეს ნაწილია და არ არის პირველის ნაწილი.

მაგალითი 4

იპოვეთ რიცხვების LCM $99$ და $77$.

ჩვენ ვიპოვით წარმოდგენილი ალგორითმის მიხედვით. Ამისთვის

ფაქტორების რიცხვი მარტივ ფაქტორებად

$99=3\cdot 3\cdot 11$

დაწერეთ პირველში შემავალი ფაქტორები

დაამატეთ მათ მამრავლები, რომლებიც მეორეს ნაწილია და არა პირველის ნაწილი

იპოვეთ მე-2 ნაბიჯში ნაპოვნი რიცხვების ნამრავლი. შედეგად მიღებული რიცხვი იქნება სასურველი უმცირესი საერთო ჯერადი

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

რიცხვების გამყოფთა სიების შედგენა ხშირად ძალიან შრომატევადი ამოცანაა. არსებობს გზა, რომ იპოვოთ GCD, რომელსაც ეწოდება ევკლიდური ალგორითმი.

განცხადებები, რომლებზეც დაფუძნებულია ევკლიდური ალგორითმი:

თუ $a$ და $b$ ნატურალური რიცხვებია და $a\vdots b$, მაშინ $D(a;b)=b$

თუ $a$ და $b$ ისეთი ნატურალური რიცხვებია, რომ $b

$D(a;b)= D(a-b;b)$-ის გამოყენებით, ჩვენ შეგვიძლია თანმიმდევრულად შევამციროთ განსახილველი რიცხვები, სანამ არ მივაღწევთ რიცხვების წყვილს ისე, რომ ერთი მათგანი იყოფა მეორეზე. მაშინ ამ რიცხვებიდან უფრო მცირე იქნება სასურველი უდიდესი საერთო გამყოფი $a$ და $b$ რიცხვებისთვის.

GCD-ისა და LCM-ის თვისებები

1. $a$-ისა და $b$-ის ნებისმიერი საერთო ჯერადი იყოფა K$(a;b)$-ზე
2. თუ $a\vdots b$, მაშინ К$(a;b)=a$

თუ K$(a;b)=k$ და $m$ ნატურალური რიცხვია, მაშინ K$(am;bm)=km$

თუ $d$ არის $a$-ისა და $b$-ის საერთო გამყოფი, მაშინ K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

თუ $a\vdots c$ და $b\vdots c$, მაშინ $\frac(ab)(c)$ არის $a$ და $b$-ის საერთო ჯერადი.

ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის $a$ და $b$ ტოლობა მოქმედებს

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

$a$ და $b$ რიცხვების ნებისმიერი საერთო გამყოფი არის $D(a;b)$ რიცხვის გამყოფი.

იმის გასაგებად, თუ როგორ გამოვთვალოთ LCM, ჯერ უნდა დაადგინოთ ტერმინი "მრავალჯერადი".

A-ს ჯერადი არის ნატურალური რიცხვი, რომელიც იყოფა A-ზე ნაშთების გარეშე. ამრიგად, რიცხვები, რომლებიც 5-ის ჯერადია, შეიძლება ჩაითვალოს 15, 20, 25 და ა.შ.

შეიძლება იყოს გარკვეული რაოდენობის გამყოფების შეზღუდული რაოდენობა, მაგრამ არის უსასრულო რაოდენობის ჯერადი.

ნატურალური რიცხვების საერთო ჯერადი არის რიცხვი, რომელიც იყოფა მათზე ნაშთის დატოვების გარეშე.

როგორ მოვძებნოთ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი

რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) (ორი, სამი ან მეტი) არის უმცირესი ნატურალური რიცხვი, რომელიც იყოფა ყველა ამ რიცხვზე.

LOC-ის მოსაძებნად შეგიძლიათ გამოიყენოთ რამდენიმე მეთოდი.

მცირე რიცხვებისთვის მოსახერხებელია ამ რიცხვების ყველა ჯერადი ჩაწერა სტრიქონზე, სანამ მათ შორის რაიმე საერთოს არ იპოვით. მრავლობითები აღინიშნება დიდი ასო K-ით.

მაგალითად, 4-ის ჯერადი შეიძლება ჩაიწეროს ასე:

K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

ამრიგად, ხედავთ, რომ 4 და 6 რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი არის რიცხვი 24. ეს აღნიშვნა კეთდება შემდეგნაირად:

LCM(4, 6) = 24

თუ რიცხვები დიდია, იპოვეთ სამი ან მეტი რიცხვის საერთო ჯერადი, მაშინ უმჯობესია გამოიყენოთ LCM-ის გამოთვლის სხვა მეთოდი.

დავალების შესასრულებლად, მოცემული რიცხვები უნდა გადაანაწილოთ მარტივ ფაქტორებად.

ჯერ უნდა ჩაწეროთ ყველაზე დიდი რიცხვის დაშლა ხაზზე, მის ქვემოთ კი - დანარჩენი.

თითოეული რიცხვის დაშლა შეიძლება შეიცავდეს ფაქტორების განსხვავებულ რაოდენობას.

მაგალითად, 50 და 20 რიცხვები გავამრავლოთ მარტივ ფაქტორებად.

უფრო მცირე რიცხვის გაფართოებისას უნდა მონიშნოთ ის ფაქტორები, რომლებიც აკლია პირველი უდიდესი რიცხვის გაფართოებას და შემდეგ დაამატეთ ისინი. წარმოდგენილ მაგალითში ორი აკლია.

ახლა თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ 20-ისა და 50-ის უმცირესი საერთო ჯერადი.

LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

ამრიგად, დიდი რიცხვის უბრალო ფაქტორების ნამრავლი და მეორე რიცხვის ფაქტორების ნამრავლი, რომლებიც არ შედიოდნენ დიდი რიცხვის გაფართოებაში, იქნება უმცირესი საერთო ჯერადი.

სამი ან მეტი რიცხვის LCM-ის საპოვნელად, თქვენ უნდა დაასახელოთ ისინი ყველა მარტივ ფაქტორებად, როგორც წინა შემთხვევაში.

მაგალითად, შეგიძლიათ იპოვოთ 16, 24, 36 რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

ამრიგად, თექვსმეტის გაფართოებიდან მხოლოდ ორი ორი არ იყო ჩართული უფრო დიდი რიცხვის ფაქტორიზაციაში (ერთი არის ოცდაოთხი-ის გაფართოებაში).

ამრიგად, ისინი უნდა დაემატოს უფრო დიდი რიცხვის გაფართოებას.

LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

არის უმცირესი საერთო ჯერადის განსაზღვრის განსაკუთრებული შემთხვევები. ასე რომ, თუ რომელიმე რიცხვი ნაშთის გარეშე შეიძლება გაიყოს მეორეზე, მაშინ ამ რიცხვებიდან უფრო დიდი იქნება უმცირესი საერთო ჯერადი.

მაგალითად, თორმეტისა და ოცდაოთხის LCM არის ოცდაოთხი.

თუ საჭიროა ვიპოვოთ თანაპირდაპირი რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი, რომლებსაც არ აქვთ იდენტური გამყოფები, მაშინ მათი LCM ტოლი იქნება მათი ნამრავლის.

მაგალითად, LCM (10, 11) = 110.

უდიდეს ნატურალურ რიცხვს, რომელზეც a და b რიცხვები იყოფა ნაშთების გარეშე, ეწოდება ყველაზე დიდი საერთო გამყოფიეს ნომრები. აღნიშნეთ GCD(a, b).

მოდით განვიხილოთ GCD-ის პოვნა ორი ნატურალური რიცხვის 18 და 60 მაგალითის გამოყენებით:

324 , 111 და 432

მოდით გავამრავლოთ რიცხვები მარტივ ფაქტორებად:

324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3

111 = 3×37

432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

პირველი რიცხვიდან გადაკვეთით, რომლის ფაქტორები არ არის მეორე და მესამე რიცხვებში, მივიღებთ:

2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3

შედეგად, GCD ( 324 , 111 , 432 )=3

GCD-ის პოვნა ევკლიდეს ალგორითმის გამოყენებით

ყველაზე დიდი საერთო გამყოფის პოვნის მეორე გზა არის გამოყენება ევკლიდეს ალგორითმი. ევკლიდეს ალგორითმი არის ყველაზე ეფექტური გზა GCD, მისი გამოყენებით თქვენ მუდმივად უნდა იპოვოთ რიცხვების გამყოფი დარჩენილი ნაწილი და გამოიყენოთ განმეორების ფორმულა.

განმეორების ფორმულა GCD-სთვის, GCD(a, b)=GCD(b, a mod b), სადაც mod b არის a-ს ნარჩენი გაყოფილი b-ზე.

ევკლიდეს ალგორითმი

მაგალითი იპოვეთ რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი 7920 და 594

მოდი ვიპოვოთ GCD( 7920 , 594 ) ევკლიდეს ალგორითმის გამოყენებით, ჩვენ გამოვთვლით გაყოფის ნარჩენს კალკულატორის გამოყენებით.

• 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
• 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0

შედეგად, ჩვენ ვიღებთ GCD( 7920 , 594 ) = 198

უმცირესი საერთო ჯერადი

იმისათვის, რომ იპოვოთ საერთო მნიშვნელი სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრებისა და გამოკლებისას, თქვენ უნდა იცოდეთ და შეძლოთ გამოთვლა უმცირესი საერთო ჯერადი(NOK).

რიცხვის „ა“ ნამრავლი არის რიცხვი, რომელიც თავისთავად იყოფა რიცხვზე „ა“ ნაშთის გარეშე.

რიცხვები, რომლებიც 8-ის ჯერადი არიან (ანუ ეს რიცხვები იყოფა 8-ზე ნაშთების გარეშე): ეს არის რიცხვები 16, 24, 32...

9-ის ნამრავლები: 18, 27, 36, 45…

მოცემული a რიცხვის უსასრულოდ ბევრი ჯერადი არსებობს, ერთი და იგივე რიცხვის გამყოფებისგან განსხვავებით. არსებობს გამყოფების სასრული რაოდენობა.

ორი ნატურალური რიცხვის საერთო ჯერადი არის რიცხვი, რომელიც იყოფა ორივე ამ რიცხვზე..

უმცირესი საერთო ჯერადიორი ან მეტი ნატურალური რიცხვის (LCM) არის უმცირესი ნატურალური რიცხვი, რომელიც თავისთავად იყოფა თითოეულ ამ რიცხვზე.

როგორ მოვძებნოთ NOC

LCM შეიძლება მოიძებნოს და დაიწეროს ორი გზით.

LOC-ის პოვნის პირველი გზა

ეს მეთოდი ჩვეულებრივ გამოიყენება მცირე რაოდენობით.

1. ჩვენ ვწერთ ჯერადებს თითოეული რიცხვისთვის სტრიქონზე, სანამ არ ვიპოვით ჯერადს, რომელიც ერთნაირია ორივე რიცხვისთვის.
2. რიცხვის „ა“ ნამრავლი აღინიშნება დიდი ასო „K“-ით.

მაგალითი. იპოვეთ LCM 6 და 8.

LOC-ის პოვნის მეორე გზა

ეს მეთოდი მოსახერხებელია სამი ან მეტი ნომრისთვის LCM-ის მოსაძებნად.

რიცხვების დაშლისას იდენტური ფაქტორების რაოდენობა შეიძლება განსხვავებული იყოს.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) მოძიება შემდეგნაირად. მოდი ვიპოვოთ LOC (12, 16, 24).

24 = 2 2 2 3

როგორც რიცხვების დაშლიდან ვხედავთ, 12-ის ყველა ფაქტორი შედის 24-ის დაშლაში (რიცხვებიდან ყველაზე დიდი), ამიტომ LCM-ს 16 რიცხვის დაშლიდან მხოლოდ ერთ 2-ს ვუმატებთ.

LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

პასუხი: LCM (12, 16, 24) = 48

NOC-ის პოვნის განსაკუთრებული შემთხვევები

მაგალითად, LCM (60, 15) = 60
ვინაიდან თანაპირველ რიცხვებს არ აქვთ საერთო მარტივი ფაქტორები, მათი უმცირესი საერთო ჯერადი უდრის ამ რიცხვების ნამრავლს.

ჩვენს ვებსაიტზე ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ სპეციალური კალკულატორი, რომ იპოვოთ ყველაზე ნაკლებად გავრცელებული მრავლობითი ონლაინ თქვენი გამოთვლების შესამოწმებლად.

თუ ნატურალური რიცხვი იყოფა მხოლოდ 1-ზე და საკუთარ თავზე, მაშინ მას ეწოდება მარტივი.

ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი ყოველთვის იყოფა 1-ზე და საკუთარ თავზე.

რიცხვი 2 არის ყველაზე პატარა მარტივი რიცხვი. ეს არის ერთადერთი ლუწი მარტივი რიცხვი, დანარჩენი მარტივი რიცხვები კენტია.

უამრავი მარტივი რიცხვია და მათ შორის პირველია რიცხვი 2. თუმცა, ბოლო მარტივი რიცხვი არ არსებობს. განყოფილებაში „სწავლისთვის“ შეგიძლიათ ჩამოტვირთოთ მარტივი რიცხვების ცხრილი 997-მდე.

მაგრამ ბევრი ნატურალური რიცხვი ასევე იყოფა სხვა ნატურალურ რიცხვებზე.

• რიცხვი 12 იყოფა 1-ზე, 2-ზე, 3-ზე, 4-ზე, 6-ზე, 12-ზე;
• რიცხვი 36 იყოფა 1-ზე, 2-ზე, 3-ზე, 4-ზე, 6-ზე, 12-ზე, 18-ზე, 36-ზე.

რიცხვებს, რომლებითაც რიცხვი იყოფა მთელზე (12-ისთვის ეს არის 1, 2, 3, 4, 6 და 12) რიცხვის გამყოფები ეწოდება.

a ნატურალური რიცხვის გამყოფი არის ნატურალური რიცხვი, რომელიც ყოფს მოცემულ რიცხვს „a“ ნაშთების გარეშე.

ნატურალურ რიცხვს, რომელსაც აქვს ორზე მეტი გამყოფი, ეწოდება კომპოზიტური.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ 12 და 36 რიცხვებს აქვთ საერთო ფაქტორები. ეს რიცხვებია: 1, 2, 3, 4, 6, 12. ამ რიცხვების უდიდესი გამყოფი არის 12.

ორი მოცემული რიცხვის "a" და "b" საერთო გამყოფი არის რიცხვი, რომლითაც ორივე მოცემული რიცხვი "a" და "b" იყოფა ნაშთების გარეშე.

უდიდესი საერთო გამყოფი(GCD) ორი მოცემული რიცხვიდან "a" და "b" არის უდიდესი რიცხვი, რომლითაც ორივე რიცხვი "a" და "b" იყოფა ნაშთების გარეშე.

მოკლედ, "a" და "b" რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი იწერება შემდეგნაირად::

მაგალითი: gcd (12; 36) = 12.

ამოხსნის ჩანაწერში რიცხვების გამყოფები აღინიშნება დიდი ასოთი "D".

7 და 9 რიცხვებს აქვთ მხოლოდ ერთი საერთო გამყოფი - რიცხვი 1. ასეთ ნომრებს ეძახიან თანაპრიმა რიცხვები.

კოპრიმი რიცხვები- ეს არის ნატურალური რიცხვები, რომლებსაც აქვთ მხოლოდ ერთი საერთო გამყოფი - რიცხვი 1. მათი gcd არის 1.

როგორ მოვძებნოთ ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი

ორი ან მეტი ნატურალური რიცხვის gcd-ის საპოვნელად გჭირდებათ:

• რიცხვთა გამყოფების დაშლა მარტივ ფაქტორებად;

მოსახერხებელია გამოთვლების დაწერა ვერტიკალური ზოლის გამოყენებით. ხაზის მარცხნივ ჯერ ვწერთ დივიდენდს, მარჯვნივ - გამყოფს. შემდეგი, მარცხენა სვეტში ჩვენ ვწერთ კოეფიციენტების მნიშვნელობებს.

მოდი მაშინვე ავხსნათ მაგალითით. 28 და 64 რიცხვები გავამრავლოთ მარტივ ფაქტორებად.

ჩვენ ხაზს ვუსვამთ ერთსა და იმავე პირველ ფაქტორებს ორივე რიცხვში.
28 = 2 2 7

64 = 2 2 2 2 2 2
იპოვეთ იდენტური მარტივი ფაქტორების ნამრავლი და ჩაწერეთ პასუხი;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4

პასუხი: GCD (28; 64) = 4

თქვენ შეგიძლიათ GCD-ის ადგილმდებარეობის ფორმალიზება ორი გზით: სვეტში (როგორც ზემოთ კეთდება) ან „ზედიზედ“.

gcd დაწერის პირველი გზა

იპოვეთ gcd 48 და 36.

GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12

gcd დაწერის მეორე გზა

ახლა მოდით ჩამოვწეროთ GCD ძიების გამოსავალი ხაზში. იპოვეთ gcd 10 და 15.

ჩვენს საინფორმაციო საიტზე ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ Greatest Common Divisor ონლაინ დამხმარე თქვენი გამოთვლების შესამოწმებლად.

უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა, მეთოდები, LCM-ის პოვნის მაგალითები.

ქვემოთ წარმოდგენილი მასალა არის თეორიის ლოგიკური გაგრძელება სტატიიდან სათაურით LCM - ყველაზე ნაკლებად საერთო ჯერადი, განმარტება, მაგალითები, კავშირი LCM-სა და GCD-ს შორის. აქ ჩვენ ვისაუბრებთ უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა (LCM), და ჩვენ განსაკუთრებულ ყურადღებას მივაქცევთ მაგალითების ამოხსნას. პირველი, ჩვენ ვაჩვენებთ, თუ როგორ გამოითვლება ორი რიცხვის LCM ამ რიცხვების GCD-ის გამოყენებით. შემდეგი, ჩვენ შევხედავთ უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნას რიცხვების მარტივ ფაქტორებად გამრავლებით. ამის შემდეგ, ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ სამი ან მეტი რიცხვის LCM-ის პოვნაზე და ასევე ყურადღებას გავამახვილებთ უარყოფითი რიცხვების LCM-ის გამოთვლაზე.

გვერდის ნავიგაცია.

უმცირესი საერთო მრავალჯერადი (LCM) გამოთვლა GCD-ის საშუალებით

უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნის ერთ-ერთი გზა ემყარება LCM-სა და GCD-ს შორის ურთიერთობას. LCM-სა და GCD-ს შორის არსებული კავშირი საშუალებას გვაძლევს გამოვთვალოთ ორი დადებითი მთელი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი ცნობილი უდიდესი საერთო გამყოფის მეშვეობით. შესაბამისი ფორმულა არის LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). მოდით შევხედოთ LCM-ის პოვნის მაგალითებს მოცემული ფორმულის გამოყენებით.

იპოვეთ ორი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი 126 და 70.

ამ მაგალითში a=126, b=70. გამოვიყენოთ კავშირი LCM-სა და GCD-ს შორის, რომელიც გამოიხატება ფორმულით LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . ანუ ჯერ უნდა ვიპოვოთ 70 და 126 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი, რის შემდეგაც შეგვიძლია გამოვთვალოთ ამ რიცხვების LCM წერილობითი ფორმულით.

ვიპოვოთ GCD(126, 70) ევკლიდეს ალგორითმის გამოყენებით: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, შესაბამისად, GCD(126, 70)=14.

ახლა ჩვენ ვიპოვით საჭირო უმცირეს საერთო ჯერადს: LCM(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

რის ტოლია LCM(68, 34)?

ვინაიდან 68 იყოფა 34-ზე, მაშინ GCD(68, 34)=34. ახლა ჩვენ ვიანგარიშებთ უმცირეს საერთო ჯერადს: LCM(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

გაითვალისწინეთ, რომ წინა მაგალითი შეესაბამება შემდეგ წესს LCM-ის პოვნისთვის დადებითი მთელი რიცხვებისთვის a და b: თუ a იყოფა b-ზე, მაშინ ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი არის a.

LCM-ის პოვნა რიცხვების მარტივ ფაქტორებად გამრავლებით

უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნის კიდევ ერთი გზა ეფუძნება რიცხვების მარტივ ფაქტორებად გადაქცევას. თუ შეადგენთ ნამრავლს მოცემული რიცხვების ყველა მარტივი ფაქტორებიდან და შემდეგ ამ ნამრავლიდან გამორიცხავთ ყველა საერთო მარტივ ფაქტორს, რომელიც არსებობს მოცემული რიცხვების დაშლაში, მაშინ მიღებული ნამრავლი ტოლი იქნება მოცემული რიცხვების უმცირეს საერთო ჯერადს. .

LCM-ის პოვნის დადგენილი წესი გამომდინარეობს ტოლობიდან LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . მართლაც, a და b რიცხვების ნამრავლი ტოლია a და b რიცხვების გაფართოებაში მონაწილე ყველა ფაქტორის ნამრავლის. თავის მხრივ, GCD(a, b) უდრის ყველა მარტივი ფაქტორების ნამრავლს, რომლებიც ერთდროულად გვხვდება a და b რიცხვების გაფართოებებში (როგორც აღწერილია GCD-ის პოვნაში რიცხვების მარტივ ფაქტორებად გაფართოების გამოყენებით).

მოვიყვანოთ მაგალითი. გავიგოთ, რომ 75=3·5·5 და 210=2·3·5·7. შევადგინოთ ნამრავლი ამ გაფართოების ყველა ფაქტორიდან: 2·3·3·5·5·5·7 . ახლა ამ პროდუქტიდან ჩვენ გამოვრიცხავთ ყველა იმ ფაქტორს, რომელიც არსებობს როგორც 75-ის, ასევე 210-ის გაფართოებაში (ეს ფაქტორები არის 3 და 5), შემდეგ პროდუქტი მიიღებს 2·3·5·5·7 ფორმას. . ამ ნამრავლის მნიშვნელობა უდრის 75 და 210 რიცხვების უმცირეს საერთო ჯერადს, ანუ LCM(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.

441 და 700 რიცხვები გადაიტანეთ მარტივ ფაქტორებად და იპოვეთ ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი.

მოდით გავამრავლოთ რიცხვები 441 და 700 მარტივ ფაქტორებად:

ვიღებთ 441=3·3·7·7 და 700=2·2·5·5·7.

ახლა შევქმნათ პროდუქტი ამ რიცხვების გაფართოებაში მონაწილე ყველა ფაქტორიდან: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. მოდით ამ პროდუქტიდან გამოვრიცხოთ ყველა ფაქტორი, რომელიც ერთდროულად არის ორივე გაფართოებაში (არსებობს მხოლოდ ერთი ასეთი ფაქტორი - ეს არის რიცხვი 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. ამრიგად, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .

NOC(441, 700)= 44 100 .

LCM-ის პოვნის წესი რიცხვების მარტივ ფაქტორებად ფაქტორიზაციის გამოყენებით შეიძლება ჩამოყალიბდეს ოდნავ განსხვავებულად. თუ b რიცხვის გაფართოებიდან გამოტოვებულ ფაქტორებს დაემატება a რიცხვის გაფართოების ფაქტორები, მაშინ მიღებული ნამრავლის მნიშვნელობა ტოლი იქნება a და b რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადისა.

მაგალითად, ავიღოთ იგივე რიცხვები 75 და 210, მათი დაშლა მარტივ ფაქტორებად ასეთია: 75=3·5·5 და 210=2·3·5·7. 3, 5 და 5 ფაქტორებს 75 რიცხვის გაფართოებიდან ვუმატებთ გამოტოვებულ 2 და 7 ფაქტორებს 210 რიცხვის გაფართოებიდან, ვიღებთ ნამრავლს 2·3·5·5·7, რომლის მნიშვნელობა არის ტოლია LCM(75, 210).

იპოვეთ 84-ისა და 648-ის უმცირესი საერთო ჯერადი.

ჩვენ ჯერ ვიღებთ 84 და 648 რიცხვების დაშლას მარტივ ფაქტორებად. ისინი ჰგავს 84=2·2·3·7 და 648=2·2·2·3·3·3·3. 2, 2, 3 და 7 ფაქტორებს 84 რიცხვის გაფართოებიდან ვუმატებთ გამოტოვებულ ფაქტორებს 2, 3, 3 და 3 648 რიცხვის გაფართოებიდან, ვიღებთ ნამრავლს 2 2 2 3 3 3 3 7, რომელიც უდრის 4 536-ს. ამრიგად, 84-ისა და 648-ის სასურველი უმცირესი საერთო ჯერადი არის 4536.

სამი ან მეტი რიცხვის LCM-ის პოვნა

სამი ან მეტი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი შეიძლება მოიძებნოს ორი რიცხვის LCM-ის თანმიმდევრული ძიებით. გავიხსენოთ შესაბამისი თეორემა, რომელიც საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ სამი ან მეტი რიცხვის LCM.

დაე, დადებითი მთელი რიცხვები a 1 , a 2 , …, a k იყოს მოცემული, ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი m k გვხვდება m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2, a) თანმიმდევრული გამოთვლით. 3) , … , m k = LCM(m k−1, a k) .

განვიხილოთ ამ თეორემის გამოყენება ოთხი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნის მაგალითის გამოყენებით.

იპოვეთ ოთხი რიცხვის LCM 140, 9, 54 და 250.

ჯერ ვპოულობთ m 2 = LCM(a 1 , a 2) = LCM(140, 9) . ამისათვის ევკლიდეს ალგორითმის გამოყენებით განვსაზღვრავთ GCD(140, 9), გვაქვს 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, შესაბამისად, GCD(140, 9)=1, საიდანაც LCM(140, 9)=140·9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1260. ანუ m 2 =1 260.

ახლა ჩვენ ვპოულობთ m 3 = LCM(m 2, a 3) = LCM(1 260, 54). გამოვთვალოთ ის GCD(1 260, 54) მეშვეობით, რომელსაც ასევე განვსაზღვრავთ ევკლიდეს ალგორითმის გამოყენებით: 1 260=54·23+18, 54=18·3. შემდეგ gcd(1,260, 54)=18, საიდანაც gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. ანუ m 3 =3 780.

რჩება m 4 = LCM(m 3, a 4) = LCM(3 780, 250). ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ GCD(3,780, 250) ევკლიდეს ალგორითმის გამოყენებით: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. მაშასადამე, GCD(3,780, 250)=10, საიდანაც GCD(3,780, 250)= 3,780·250:GCD(3,780, 250)= 3,780·250:10=94,500. ანუ მ 4 =94500.

ასე რომ, თავდაპირველი ოთხი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი არის 94500.

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

ხშირ შემთხვევაში მოსახერხებელია სამი ან მეტი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა მოცემული რიცხვების მარტივი ფაქტორიზაციების გამოყენებით. ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა დაიცვან შემდეგი წესი. რამდენიმე რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი ტოლია ნამრავლის, რომელიც შედგება შემდეგნაირად: მეორე რიცხვის გაფართოებიდან გამოტოვებული ფაქტორები ემატება პირველი რიცხვის გაფართოების ყველა ფაქტორს, გამოტოვებული ფაქტორები გაფართოებიდან. მესამე რიცხვს ემატება მიღებული ფაქტორები და ა.შ.

მოდით შევხედოთ უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნის მაგალითს მარტივი ფაქტორიზაციის გამოყენებით.

იპოვეთ ხუთი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი 84, 6, 48, 7, 143.

ჯერ ვიღებთ ამ რიცხვების დაშლას მარტივ ფაქტორებად: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 მარტივი რიცხვია, ემთხვევა. თავის პირველ ფაქტორებად დაშლით) და 143=11·13.

ამ რიცხვების LCM-ის მოსაძებნად, პირველი ნომრის 84-ის ფაქტორებს (ისინი არის 2, 2, 3 და 7), თქვენ უნდა დაამატოთ დაკარგული ფაქტორები მეორე რიცხვ 6-ის გაფართოებიდან. რიცხვი 6-ის დაშლა არ შეიცავს გამოტოვებულ ფაქტორებს, რადგან 2 და 3 უკვე წარმოდგენილია პირველი რიცხვის 84-ის დაშლაში. შემდეგი, 2, 2, 3 და 7 ფაქტორებს ვამატებთ გამოტოვებულ ფაქტორებს 2 და 2 მესამე რიცხვის 48 გაფართოებიდან, ვიღებთ 2, 2, 2, 2, 3 და 7 ფაქტორების ერთობლიობას. შემდეგ ეტაპზე ამ კომპლექტში მულტიპლიკატორების დამატება არ იქნება საჭირო, რადგან მასში უკვე არის 7. და ბოლოს, 2, 2, 2, 2, 3 და 7 ფაქტორებს ვუმატებთ გამოტოვებულ ფაქტორებს 11 და 13 143 რიცხვის გაფართოებიდან. ვიღებთ ნამრავლს 2·2·2·2·3·7·11·13, რომელიც უდრის 48048-ს.

მაშასადამე, LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048.

LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048.

უარყოფითი რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა

ზოგჯერ არის ამოცანები, რომლებშიც თქვენ უნდა იპოვოთ რიცხვების ყველაზე ნაკლებად საერთო ჯერადი, რომელთა შორის ერთი, რამდენიმე ან ყველა რიცხვი უარყოფითია. ამ შემთხვევაში, ყველა უარყოფითი რიცხვი უნდა შეიცვალოს მათი საპირისპირო რიცხვებით და შემდეგ უნდა მოიძებნოს დადებითი რიცხვების LCM. ეს არის გზა, რომ იპოვოთ უარყოფითი რიცხვების LCM. მაგალითად, LCM(54, −34) = LCM(54, 34) და LCM(−622, −46, −54, −888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

ჩვენ შეგვიძლია ამის გაკეთება, რადგან a-ს ჯერადთა სიმრავლე იგივეა, რაც −a-ს ჯერადთა სიმრავლე (a და −a საპირისპირო რიცხვებია). მართლაც, დავუშვათ, რომ b იყოს a-ს რამდენიმე ჯერადი, მაშინ b იყოფა a-ზე და გაყოფის ცნება ამტკიცებს მთელი q რიცხვის არსებობას, რომ b=a·q. მაგრამ მართალი იქნება b=(−a)·(−q) ტოლობაც, რაც გაყოფის იგივე ცნების გამო ნიშნავს, რომ b იყოფა −a-ზე, ანუ b არის −a-ს ნამრავლი. პირიქითაც მართალია: თუ b არის −a-ს რამდენიმე ჯერადი, მაშინ b ასევე არის a-ის ჯერადი.

იპოვეთ უარყოფითი რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი −145 და −45.

შევცვალოთ უარყოფითი რიცხვები −145 და −45 მათი საპირისპირო რიცხვებით 145 და 45. გვაქვს LCM(−145, −45) = LCM(145, 45) . GCD(145, 45)=5 (მაგალითად, ევკლიდური ალგორითმის გამოყენებით) განვსაზღვრავთ, გამოვთვლით GCM(145, 45)=145·45:GCD(145, 45)= 145·45:5=1 305 . ამრიგად, უარყოფითი მთელი რიცხვების −145 და −45 უმცირესი საერთო ჯერადი არის 1305.

www.cleverstudents.ru

ჩვენ ვაგრძელებთ განყოფილების შესწავლას. ამ გაკვეთილზე განვიხილავთ ცნებებს, როგორიცაა GCDდა NOC.

GCDარის ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი.

NOCარის უმცირესი საერთო ჯერადი.

თემა საკმაოდ მოსაწყენია, მაგრამ თქვენ აუცილებლად უნდა გაიგოთ. ამ თემის გააზრების გარეშე თქვენ ვერ შეძლებთ ეფექტურად იმუშაოთ წილადებთან, რომლებიც რეალურ დაბრკოლებას წარმოადგენენ მათემატიკაში.

უდიდესი საერთო გამყოფი

განმარტება. რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი ადა ბ ადა ბგაყოფილი ნარჩენების გარეშე.

ამ განმარტების კარგად გასაგებად, მოდით ჩავანაცვლოთ ცვლადები ადა ბნებისმიერი ორი რიცხვი, მაგალითად, ცვლადის ნაცვლად აჩავანაცვლოთ რიცხვი 12 და ცვლადის ნაცვლად ბნომერი 9. ახლა ვცადოთ წავიკითხოთ ეს განმარტება:

რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი 12 და 9 უდიდეს რიცხვს უწოდებენ, რომლითაც 12 და 9 გაყოფილი ნარჩენების გარეშე.

განმარტებიდან ირკვევა, რომ საუბარია 12 და 9 რიცხვების საერთო გამყოფზე და ეს გამყოფი ყველაზე დიდია ყველა არსებულ გამყოფთა შორის. ეს უდიდესი საერთო გამყოფი (GCD) უნდა მოიძებნოს.

ორი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფის საპოვნელად გამოიყენება სამი მეთოდი. პირველი მეთოდი საკმაოდ შრომატევადია, მაგრამ საშუალებას გაძლევთ ნათლად გაიგოთ თემის არსი და იგრძნოთ მისი სრული მნიშვნელობა.

მეორე და მესამე მეთოდები საკმაოდ მარტივია და შესაძლებელს ხდის სწრაფად იპოვოთ GCD. ჩვენ განვიხილავთ სამივე მეთოდს. და რომელი გამოიყენო პრაქტიკაში, შენი არჩევანია.

პირველი მეთოდი არის ორი რიცხვის ყველა შესაძლო გამყოფის პოვნა და ყველაზე დიდის არჩევა. მოდით შევხედოთ ამ მეთოდს შემდეგი მაგალითის გამოყენებით: იპოვეთ 12 და 9 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი.

პირველ რიგში, ჩვენ ვიპოვით რიცხვის 12-ის ყველა შესაძლო გამყოფს. ამისათვის ჩვენ გავყოფთ 12-ს ყველა გამყოფზე 1-დან 12-მდე დიაპაზონში. თუ გამყოფი საშუალებას გვაძლევს გავყოთ 12 ნაშთის გარეშე, მაშინ გამოვყოფთ მას ლურჯი და გააკეთეთ შესაბამისი ახსნა ფრჩხილებში.

12: 1 = 12
(12 იყოფა 1-ზე ნაშთის გარეშე, რაც ნიშნავს რომ 1 არის 12 რიცხვის გამყოფი)

12: 2 = 6
(12 იყოფა 2-ზე ნაშთის გარეშე, რაც ნიშნავს, რომ 2 არის 12 რიცხვის გამყოფი)

12: 3 = 4
(12 იყოფა სამზე ნაშთის გარეშე, რაც ნიშნავს, რომ 3 არის 12 რიცხვის გამყოფი)

12: 4 = 3
(12 იყოფა 4-ზე ნაშთის გარეშე, რაც ნიშნავს, რომ 4 არის 12 რიცხვის გამყოფი)

12: 5 = 2 (დარჩენილია 2)
(12 არ იყოფა 5-ზე ნაშთის გარეშე, რაც ნიშნავს, რომ 5 არ არის 12 რიცხვის გამყოფი)

12: 6 = 2
(12 იყოფა 6-ზე ნაშთის გარეშე, რაც ნიშნავს, რომ 6 არის 12 რიცხვის გამყოფი)

12: 7 = 1 (5 დარჩენილი)
(12 არ იყოფა 7-ზე ნაშთის გარეშე, რაც ნიშნავს, რომ 7 არ არის 12 რიცხვის გამყოფი)

12: 8 = 1 (4 დარჩენილი)
(12 არ იყოფა 8-ზე ნაშთის გარეშე, რაც ნიშნავს, რომ 8 არ არის 12-ის გამყოფი)

12: 9 = 1 (3 დარჩენილი)
(12 არ იყოფა 9-ზე ნაშთის გარეშე, რაც ნიშნავს, რომ 9 არ არის 12 რიცხვის გამყოფი)

12: 10 = 1 (2 დარჩენილი)
(12 არ იყოფა 10-ზე ნაშთის გარეშე, რაც ნიშნავს, რომ 10 არ არის 12 რიცხვის გამყოფი)

12: 11 = 1 (1 დარჩენილი)
(12 არ იყოფა 11-ზე ნაშთის გარეშე, რაც ნიშნავს, რომ 11 არ არის 12-ის გამყოფი)

12: 12 = 1
(12 იყოფა 12-ზე ნაშთის გარეშე, რაც ნიშნავს, რომ 12 არის 12 რიცხვის გამყოფი)

ახლა ვიპოვოთ რიცხვი 9-ის გამყოფები. ამისათვის შეამოწმეთ ყველა გამყოფი 1-დან 9-მდე.

9: 1 = 9
(9 იყოფა 1-ზე ნაშთის გარეშე, რაც ნიშნავს, რომ 1 არის 9 რიცხვის გამყოფი)

9: 2 = 4 (1 დარჩენილი)
(9 ნაშთის გარეშე არ იყოფა 2-ზე, რაც ნიშნავს, რომ 2 არ არის 9 რიცხვის გამყოფი)

9: 3 = 3
(9 ნაშთის გარეშე იყოფა 3-ზე, რაც ნიშნავს, რომ 3 არის 9 რიცხვის გამყოფი)

9: 4 = 2 (1 დარჩენილი)
(9 არ იყოფა 4-ზე ნაშთის გარეშე, რაც ნიშნავს, რომ 4 არ არის 9 რიცხვის გამყოფი)

9: 5 = 1 (4 დარჩენილი)
(9 არ იყოფა 5-ზე ნაშთის გარეშე, რაც ნიშნავს, რომ 5 არ არის 9 რიცხვის გამყოფი)

9: 6 = 1 (3 დარჩენილი)
(9 ნაშთის გარეშე არ იყოფა 6-ზე, რაც ნიშნავს, რომ 6 არ არის 9 რიცხვის გამყოფი)

9: 7 = 1 (2 დარჩენილი)
(9 ნაშთის გარეშე არ იყოფა 7-ზე, რაც ნიშნავს, რომ 7 არ არის 9 რიცხვის გამყოფი)

9: 8 = 1 (1 დარჩენილი)
(9 ნაშთის გარეშე არ იყოფა 8-ზე, რაც ნიშნავს, რომ 8 არ არის 9 რიცხვის გამყოფი)

9: 9 = 1
(9 ნაშთის გარეშე იყოფა 9-ზე, რაც ნიშნავს, რომ 9 არის 9 რიცხვის გამყოფი)

ახლა ჩამოვწეროთ ორივე რიცხვის გამყოფები. ლურჯად მონიშნული რიცხვები არის გამყოფები. მოდით ჩამოვწეროთ ისინი:

გამყოფების ამოწერის შემდეგ, შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ განსაზღვროთ რომელია ყველაზე დიდი და ყველაზე გავრცელებული.

განმარტებით, 12 და 9 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი არის რიცხვი, რომელიც ყოფს 12-ს და 9-ს ნაშთის გარეშე. 12 და 9 რიცხვების უდიდესი და საერთო გამყოფი არის რიცხვი 3

რიცხვი 12 და 9 იყოფა 3-ზე ნაშთის გარეშე:

ასე რომ, gcd (12 და 9) = 3

GCD-ის პოვნის მეორე გზა

ახლა ვნახოთ უდიდესი საერთო გამყოფის პოვნის მეორე მეთოდი. ამ მეთოდის არსი არის ორივე რიცხვის დაშლა მარტივ ფაქტორებად და გამრავლება საერთო.

მაგალითი 1. იპოვეთ 24 და 18 რიცხვების gcd

პირველ რიგში, მოდით გავამრავლოთ ორივე რიცხვი მარტივ ფაქტორებად:

ახლა გავამრავლოთ მათი საერთო ფაქტორები. დაბნეულობის თავიდან ასაცილებლად, შეიძლება აღინიშნოს საერთო ფაქტორები.

ჩვენ ვუყურებთ რიცხვის 24-ის გაფართოებას. მისი პირველი ფაქტორი არის 2. ჩვენ ვეძებთ იმავე ფაქტორს 18 რიცხვის გაფართოებაში და ვხედავთ, რომ ის ასევე არსებობს. ჩვენ ხაზს ვუსვამთ ორივე ორს:

ჩვენ კვლავ ვუყურებთ რიცხვის 24-ის გაფართოებას. მისი მეორე ფაქტორი ასევე არის 2. ჩვენ ვეძებთ იმავე ფაქტორს 18 რიცხვის გაფართოებაში და ვხედავთ, რომ მეორედ ის აღარ არის. მაშინ ჩვენ არაფერს ვუსვამთ ხაზს.

შემდეგი ორი 24 რიცხვის გაფართოებაში ასევე არ არის 18 რიცხვის გაფართოებაში.

მოდით გადავიდეთ რიცხვის 24-ის გაფართოების ბოლო ფაქტორზე. ეს არის ფაქტორი 3. ჩვენ ვეძებთ იგივე ფაქტორს 18 რიცხვის გაფართოებაში და ვხედავთ, რომ ის ასევე არსებობს. ჩვენ ხაზს ვუსვამთ ორივე სამს:

ასე რომ, 24 და 18 რიცხვების საერთო ფაქტორები არის 2 და 3 ფაქტორები. GCD-ის მისაღებად, ეს ფაქტორები უნდა გავამრავლოთ:

ასე რომ, gcd (24 და 18) = 6

მესამე გზა GCD-ის მოსაძებნად

ახლა მოდით შევხედოთ მესამე გზას, რათა ვიპოვოთ უდიდესი საერთო გამყოფი. ამ მეთოდის არსი მდგომარეობს იმაში, რომ რიცხვები, რომლებიც უნდა მოიძებნოს ყველაზე დიდი საერთო გამყოფისთვის, დაიშალა პირველ ფაქტორებად. შემდეგ, პირველი რიცხვის გაფართოებიდან გადაიკვეთება ფაქტორები, რომლებიც არ შედის მეორე რიცხვის გაფართოებაში. პირველ გაფართოებაში დარჩენილი რიცხვები მრავლდება და მიიღება GCD.

მაგალითად, ვიპოვოთ GCD 28 და 16 ნომრებისთვის ამ მეთოდის გამოყენებით. უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ ვანაწილებთ ამ რიცხვებს მარტივ ფაქტორებად:

მივიღეთ ორი გაფართოება: და

ახლა პირველი რიცხვის დაშლიდან წავშლით იმ ფაქტორებს, რომლებიც არ შედის მეორე რიცხვის დაშლაში. მეორე რიცხვის გაფართოება არ მოიცავს შვიდს. მოდით გადავკვეთოთ იგი პირველი გაფართოებიდან:

ახლა ვამრავლებთ დარჩენილ ფაქტორებს და ვიღებთ GCD:

რიცხვი 4 არის 28 და 16 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი. ორივე ეს რიცხვი იყოფა 4-ზე ნაშთის გარეშე:

მაგალითი 2.იპოვეთ 100 და 40 რიცხვების gcd

100 რიცხვის ფაქტორინგი

40 რიცხვის ფაქტორინგი

ჩვენ მივიღეთ ორი გაფართოება:

ახლა პირველი რიცხვის დაშლიდან წავშლით იმ ფაქტორებს, რომლებიც არ შედის მეორე რიცხვის დაშლაში. მეორე რიცხვის გაფართოება არ მოიცავს ერთ ხუთს (არსებობს მხოლოდ ერთი ხუთი). მოდით გადავკვეთოთ ის პირველი გაფართოებიდან

გავამრავლოთ დარჩენილი რიცხვები:

მივიღეთ პასუხი 20. ეს ნიშნავს, რომ რიცხვი 20 არის 100 და 40 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი. ეს ორი რიცხვი იყოფა 20-ზე ნაშთის გარეშე:

GCD (100 და 40) = 20.

მაგალითი 3.იპოვეთ 72 და 128 რიცხვების gcd

72 რიცხვის ფაქტორინგი

128 რიცხვის ფაქტორინგი

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

ახლა პირველი რიცხვის დაშლიდან წავშლით იმ ფაქტორებს, რომლებიც არ შედის მეორე რიცხვის დაშლაში. მეორე რიცხვის გაფართოება არ მოიცავს ორ სამეულს (ისინი საერთოდ არ არიან). მოდით გადავკვეთოთ ისინი პირველი გაფართოებიდან:

მივიღეთ პასუხი 8. ეს ნიშნავს, რომ რიცხვი 8 არის 72 და 128 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი. ეს ორი რიცხვი იყოფა 8-ზე ნაშთის გარეშე:

GCD (72 და 128) = 8

რამდენიმე რიცხვისთვის GCD-ის პოვნა

ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი შეიძლება მოიძებნოს რამდენიმე რიცხვისთვის და არა მხოლოდ ორისთვის. ამისათვის, ყველაზე დიდი საერთო გამყოფისთვის მოსაძებნი რიცხვები იშლება მარტივ ფაქტორებად, შემდეგ იპოვება ამ რიცხვების საერთო მარტივი ფაქტორების ნამრავლი.

მაგალითად, ვიპოვოთ GCD 18, 24 და 36 ნომრებისთვის

18 რიცხვი გავამრავლოთ

24 რიცხვი გავამრავლოთ

36 რიცხვი გავამრავლოთ

ჩვენ მივიღეთ სამი გაფართოება:

ახლა გამოვყოთ და ხაზი გავუსვათ ამ რიცხვებში არსებულ საერთო ფაქტორებს. საერთო ფაქტორები უნდა გამოჩნდეს სამივე რიცხვში:

ჩვენ ვხედავთ, რომ საერთო ფაქტორები 18, 24 და 36 რიცხვებისთვის არის 2 და 3 ფაქტორები. ამ ფაქტორების გამრავლებით მივიღებთ gcd-ს, რომელსაც ვეძებთ:

მივიღეთ პასუხი 6. ეს ნიშნავს, რომ რიცხვი 6 არის 18, 24 და 36 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი. ეს სამი რიცხვი იყოფა 6-ზე ნაშთის გარეშე:

GCD (18, 24 და 36) = 6

მაგალითი 2.იპოვეთ GCD 12, 24, 36 და 42 ნომრებისთვის

მოდით, თითოეული რიცხვი გავამრავლოთ მარტივ ფაქტორებად. შემდეგ ვიპოვით ამ რიცხვების საერთო ფაქტორების ნამრავლს.

აკრიფეთ ნომერი 12

42 რიცხვი გავამრავლოთ

ჩვენ მივიღეთ ოთხი გაფართოება:

ახლა გამოვყოთ და ხაზი გავუსვათ ამ რიცხვებში არსებულ საერთო ფაქტორებს. საერთო ფაქტორები უნდა გამოჩნდეს ოთხივე რიცხვში:

ჩვენ ვხედავთ, რომ საერთო ფაქტორები 12, 24, 36 და 42 რიცხვებისთვის არის 2 და 3-ის ფაქტორები. ამ ფაქტორების ერთად გამრავლებით მივიღებთ gcd-ს, რომელსაც ვეძებთ:

მივიღეთ პასუხი 6. ეს ნიშნავს, რომ რიცხვი 6 არის 12, 24, 36 და 42 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი. ეს რიცხვები ნაშთების გარეშე იყოფა 6-ზე:

GCD (12, 24, 36 და 42) = 6

წინა გაკვეთილიდან ვიცით, რომ თუ რიცხვი იყოფა მეორეზე ნაშთის გარეშე, მას ამ რიცხვის ჯერადი ეწოდება.

გამოდის, რომ რამდენიმე რიცხვს შეიძლება ჰქონდეს საერთო ჯერადი. ახლა კი ჩვენ დავინტერესდებით ორი რიცხვის ნამრავლით და ის რაც შეიძლება პატარა უნდა იყოს.

განმარტება. რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM). ადა ბ- ადა ბ ადა ნომერი ბ.

განმარტება შეიცავს ორ ცვლადს ადა ბ. ამ ცვლადის ნაცვლად ჩავანაცვლოთ ნებისმიერი ორი რიცხვი. მაგალითად, ცვლადის ნაცვლად აჩავანაცვლოთ რიცხვი 9 და ცვლადის ნაცვლად ბშევცვალოთ რიცხვი 12. ახლა ვცადოთ განმარტების წაკითხვა:

რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM). 9 და 12 - არის უმცირესი რიცხვი, რომელიც არის ნამრავლი 9 და 12 . სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის ისეთი მცირე რიცხვი, რომელიც ნაშთის გარეშე იყოფა რიცხვზე 9 და ნომრით 12 .

განმარტებიდან ირკვევა, რომ LCM არის ყველაზე პატარა რიცხვი, რომელიც იყოფა 9-ზე და 12-ზე ნაშთის გარეშე.

უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) მოსაძებნად შეგიძლიათ გამოიყენოთ ორი მეთოდი. პირველი გზა არის ის, რომ თქვენ შეგიძლიათ ჩაწეროთ ორი რიცხვის პირველი ჯერადი და შემდეგ აირჩიოთ რიცხვი, რომელიც იქნება ორივე რიცხვისთვის საერთო და მცირე. გამოვიყენოთ ეს მეთოდი.

უპირველეს ყოვლისა, ვიპოვოთ რიცხვი 9-ის პირველი ჯერადები. 9-ის ჯერადების საპოვნელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ეს ცხრა სათითაოდ 1-დან 9-მდე რიცხვებზე. შედეგად მიღებული პასუხები იქნება 9-ის ჯერადი. მოდით დავიწყოთ. ჩვენ წითლად გამოვყოფთ მრავლობითს:

ახლა ვპოულობთ 12 რიცხვის ჯერადებს. ამისათვის ვამრავლებთ 12-ს სათითაოდ ყველა რიცხვზე 1-დან 12-მდე.