რიცხვითი უტოლობების თვისებების გამოყენება. წრფივი განტოლებები და უტოლობა ი

უტოლობების შესახებ სკოლაში ვისწავლეთ, სადაც ციფრულ უტოლობებს ვიყენებთ. ამ სტატიაში განვიხილავთ რიცხვითი უტოლობების თვისებებს, საიდანაც აგებულია მათთან მუშაობის პრინციპები.

უტოლობების თვისებები მსგავსია რიცხვითი უტოლობების თვისებების. განხილული იქნება თვისებები, მისი დასაბუთება და მოყვანილი იქნება მაგალითები.

Yandex.RTB R-A-339285-1

რიცხვითი უტოლობები: განმარტება, მაგალითები

უტოლობების ცნების დანერგვისას გვაქვს, რომ მათი განმარტება ხდება ჩანაწერის ტიპის მიხედვით. ხელმისაწვდომია ალგებრული გამონათქვამები, რომლებსაც აქვთ ნიშნები ≠,< , >, ≤ , ≥ . მოდით მივცეთ განმარტება.

განმარტება 1

რიცხვითი უტოლობაეწოდება უტოლობა, რომელშიც ორივე მხარეს აქვს რიცხვები და რიცხვითი გამოსახულებები.

ჩვენ განვიხილავთ რიცხობრივ უტოლობას სკოლაში სწავლის შემდეგ ნატურალური რიცხვები. ასეთი შედარების ოპერაციები შესწავლილია ეტაპობრივად. საწყისიები 1-ს ჰგავს< 5 , 5 + 7 >3. რის შემდეგაც წესები ემატება და უტოლობა რთულდება, შემდეგ ვიღებთ 5 2 3 > 5, 1 (2), ln 0 ფორმის უტოლობებს. 73 - 17 2< 0 .

რიცხვითი უტოლობების თვისებები

უტოლობებთან სწორად მუშაობისთვის, თქვენ უნდა გამოიყენოთ რიცხვითი უტოლობების თვისებები. ისინი მომდინარეობენ უთანასწორობის კონცეფციიდან. ეს კონცეფცია განისაზღვრება განცხადების გამოყენებით, რომელიც მითითებულია როგორც "მეტი" ან "ნაკლები".

განმარტება 2

• რიცხვი a მეტია b-ზე, როდესაც სხვაობა a - b დადებითი რიცხვია;
• რიცხვი a ნაკლებია b-ზე, როდესაც სხვაობა a - b – უარყოფითი რიცხვი;
• რიცხვი a უდრის b-ს, როცა სხვაობა a - b არის ნული.

განმარტება გამოიყენება უტოლობების ამოხსნისას მიმართებებით „მცირე ან ტოლი“, „მეტი ან ტოლი“. ჩვენ ამას მივიღებთ

განმარტება 3

• a მეტი ან ტოლია b-ის, როცა a - b არაუარყოფითი რიცხვია;
• a არის b-ზე ნაკლები ან ტოლი, როდესაც a - b არ არის დადებითი რიცხვი.

განმარტებები გამოყენებული იქნება რიცხვითი უტოლობების თვისებების დასამტკიცებლად.

ძირითადი თვისებები

მოდით შევხედოთ 3 მთავარ უტოლობას. ნიშნების გამოყენება< и >დამახასიათებელია შემდეგი თვისებები:

განმარტება 4

• ანტირეფლექსურობა, რომელიც ამბობს, რომ ნებისმიერი რიცხვი a უტოლობებიდან a< a и a >a ითვლება არასწორად. ცნობილია, რომ ნებისმიერი a-სთვის მოქმედებს a − a = 0 ტოლობა, აქედან გამომდინარე ვიღებთ, რომ a = a. ასე რომ ა< a и a >a არასწორია. მაგალითად, 3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 არასწორია.
• ასიმეტრია. როდესაც a და b რიცხვები ისეთია, რომ a< b , то b >a და თუ a > b, მაშინ b< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a < b , тогда a − b является отрицательным числом. А b − a = − (a − b) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a − b . Отсюда следует, что b >ა. მისი მეორე ნაწილიც ანალოგიურად არის დადასტურებული.

მაგალითი 1

მაგალითად, მოცემული უტოლობა 5< 11 имеем, что 11 >5 ნიშნავს რიცხვითი უტოლობა− 0, 27 > − 1, 3 გადაიწერება როგორც − 1, 3< − 0 , 27 .

სანამ შემდეგ თვისებაზე გადახვალთ, გაითვალისწინეთ, რომ ასიმეტრიის დახმარებით შეგიძლიათ წაიკითხოთ უტოლობა მარჯვნიდან მარცხნივ და პირიქით. ამ გზით, რიცხვითი უტოლობები შეიძლება შეიცვალოს და შეიცვალოს.

განმარტება 5

• ტრანზიტულობა. როდესაც რიცხვები a, b, c აკმაყოფილებს a პირობას< b и b < c , тогда a < c , и если a >b და b > c , შემდეგ a > c .

მტკიცებულება 1

პირველი განცხადება შეიძლება დადასტურდეს. მდგომარეობა ა< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.

ანალოგიურად დასტურდება მეორე ნაწილი გარდამავალი თვისებით.

მაგალითი 2

ჩვენ განვიხილავთ გაანალიზებულ თვისებას უტოლობების მაგალითის გამოყენებით - 1< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 და 1 8 > 1 32 გამოდის, რომ 1 2 > 1 32.

რიცხვითი უტოლობები, რომლებიც იწერება სუსტი უტოლობის ნიშნებით, აქვთ რეფლექსურობის თვისება, რადგან a ≤ a და a ≥ a შეიძლება ჰქონდეს ტოლობის შემთხვევა a = a. მათ ახასიათებთ ასიმეტრია და ტრანზიტულობა.

განმარტება 6

უტოლობებს, რომლებსაც აქვთ ≤ და ≥ ნიშნები, აქვთ შემდეგი თვისებები:

• რეფლექსურობა a ≥ a და a ≤ a ითვლება ჭეშმარიტ უტოლობად;
• ანტისიმეტრია, როდესაც a ≤ b, მაშინ b ≥ a და თუ a ≥ b, მაშინ b ≤ a.
• გარდამავალობა, როდესაც a ≤ b და b ≤ c, მაშინ a ≤ c, და ასევე, თუ a ≥ b და b ≥ c, მაშინ a ≥ c.

მტკიცებულება ხორციელდება ანალოგიურად.

რიცხვითი უტოლობების სხვა მნიშვნელოვანი თვისებები

უტოლობების ძირითადი თვისებების შესავსებად გამოიყენება შედეგები, რომლებსაც აქვთ პრაქტიკული მნიშვნელობა. მეთოდის პრინციპი გამოიყენება გამონათქვამების მნიშვნელობების შესაფასებლად, რომელზედაც დაფუძნებულია უტოლობების გადაჭრის პრინციპები.

ეს პუნქტი ავლენს უტოლობების თვისებებს მკაცრი უთანასწორობის ერთი ნიშნისთვის. იგივე კეთდება არამკაცრებისთვის. მოდით შევხედოთ მაგალითს, ჩამოვაყალიბოთ უტოლობა, თუ ა< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:

• თუ a > b, მაშინ a + c > b + c;
• თუ a ≤ b, მაშინ a + c ≤ b + c;
• თუ a ≥ b, მაშინ a + c ≥ b + c.

მოსახერხებელი პრეზენტაციისთვის ვაძლევთ შესაბამის განცხადებას, რომელიც იწერება და მოცემულია მტკიცებულებები, ნაჩვენებია გამოყენების მაგალითები.

განმარტება 7

რიცხვის დამატება ან გამოთვლა ორივე მხრიდან. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, როდესაც a და b შეესაბამება a უტოლობას< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .

მტკიცებულება 2

ამის დასამტკიცებლად განტოლება უნდა აკმაყოფილებდეს a პირობას< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с.

მაგალითი 3

მაგალითად, თუ 7 > 3 უტოლობის ორივე მხარეს გავზრდით 15-ით, მაშინ მივიღებთ 7 + 15 > 3 + 15-ს. ეს უდრის 22 > 18-ს.

განმარტება 8

როდესაც უტოლობის ორივე მხარე გამრავლებულია ან იყოფა იმავე რიცხვზე c, მივიღებთ ნამდვილ უტოლობას. თუ უარყოფით რიცხვს იღებთ, ნიშანი საპირისპიროდ შეიცვლება. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ასე გამოიყურება: a-სთვის და b-სთვის უტოლობა მოქმედებს, როდესაც a< b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c >ძვ.წ.

მტკიცებულება 3

როდესაც არის შემთხვევა c > 0, აუცილებელია განსხვავება მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებიუთანასწორობები. მაშინ მივიღებთ, რომ a · c − b · c = (a − b) · c . მდგომარეობიდან ა< b , то a − b < 0 , а c >0, მაშინ ნამრავლი (a − b) · c იქნება უარყოფითი. აქედან გამომდინარეობს, რომ a · c − b · c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.

დამტკიცებისას, გაყოფა მთელ რიცხვზე შეიძლება შეიცვალოს გამრავლებით მოცემულის შებრუნებით, ანუ 1 ც. მოდით შევხედოთ საკუთრების მაგალითს გარკვეულ რიცხვებზე.

მაგალითი 4

4 უტოლობის ორივე მხარე დაშვებულია< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .

ახლა ჩამოვაყალიბოთ შემდეგი ორი შედეგი, რომლებიც გამოიყენება უტოლობების გადასაჭრელად:

• დასკვნა 1. რიცხვითი უტოლობის ნაწილების ნიშნების შეცვლისას, თავად უტოლობის ნიშანი იცვლება საპირისპიროდ, როგორც< b , как − a >− ბ . ეს მიჰყვება ორივე მხარის - 1-ზე გამრავლების წესს. იგი გამოიყენება გადასვლისთვის. მაგალითად, - 6< − 2 , то 6 > 2 .
• დასკვნა 2. ჩანაცვლებისას საპასუხო ნომრებირიცხვითი უტოლობის ნაწილები საპირისპიროდ, მისი ნიშანიც იცვლება და უტოლობა რჩება ჭეშმარიტი. აქედან გამომდინარე გვაქვს, რომ a და b დადებითი რიცხვებია, a< b , 1 a >1 ბ .

უტოლობის ორივე მხარის გაყოფისას ა< b разрешается на число a · b . ეს ქონებაგამოიყენება, როდესაც უტოლობა 5 > 3 2 არის ჭეშმარიტი, გვაქვს 1 5< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a >1 b შეიძლება იყოს არასწორი.

მაგალითი 5

მაგალითად, - 2< 3 , однако, - 1 2 >1 3 არასწორი განტოლებაა.

ყველა წერტილი გაერთიანებულია იმით, რომ მოქმედებები უტოლობის ნაწილებზე იძლევა სწორ უტოლობას გამოსავალზე. განვიხილოთ ისეთი თვისებები, სადაც თავდაპირველად რამდენიმე რიცხვითი უტოლობაა და მისი შედეგი მიიღება მისი ნაწილების მიმატებით ან გამრავლებით.

განმარტება 9

როდესაც რიცხვები a, b, c, d მოქმედებს a უტოლობაზე< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.

მტკიცებულება 4

დავამტკიცოთ, რომ (a + c) − (b + d) არის უარყოფითი რიცხვი, მაშინ მივიღებთ, რომ a + c< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям იგივე ნომერი. შემდეგ გავზრდით უტოლობას a< b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

თვისება გამოიყენება სამი, ოთხი ან მეტი რიცხვითი უტოლობების ტერმინების მიხედვით შესაკრებად. რიცხვები a 1 , a 2 , ... , a n და b 1 , b 2 , ... , b n აკმაყოფილებენ a 1 უტოლობას< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .

მაგალითი 6

მაგალითად, მოცემულია ერთი და იგივე ნიშნის სამი რიცხვითი უტოლობა - 5< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.

განმარტება 10

ორივე მხარის ტერმინალურად გამრავლება იწვევს დადებით რიცხვს. როცა ა< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.

მტკიცებულება 5

ამის დასამტკიცებლად ჩვენ გვჭირდება უტოლობის ორივე მხარე a< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .

ეს თვისება ითვლება ძალაში იმ რიცხვების რაოდენობისთვის, რომლებზეც უნდა გამრავლდეს უტოლობის ორივე მხარე. მერე a 1 , a 2 , ... , a nდა b 1, b 2, …, b nდადებითი რიცხვებია, სადაც 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 · a 2 · … · a n< b 1 · b 2 · … · b n .

გაითვალისწინეთ, რომ უტოლობების წერისას არის არაპოზიტიური რიცხვები, მაშინ მათი გამრავლება ტერმინებით იწვევს არასწორ უტოლობებს.

მაგალითი 7

მაგალითად, უტოლობა 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.

შედეგი: უტოლობების გამრავლება ა< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .

რიცხვითი უტოლობების თვისებები

განვიხილოთ რიცხვითი უტოლობების შემდეგი თვისებები.

1. ა< a , a >ა - არასწორი უტოლობები,
   a ≤ a, a ≥ a არის ჭეშმარიტი უტოლობა.
2. თუ ა< b , то b >ა - ანტისიმეტრია.
3. თუ ა< b и b < c то a < c - транзитивность.
4. თუ ა< b и c - любоое число, то a + b < b + c .
5. თუ ა< b и c - положительное число, то a · c < b · c ,
   თუ ა< b и c - отрицательное число, то a · c >ძვ.წ.

დასკვნა 1: თუ ა< b , то - a >-ბ.

დასკვნა 2: თუ a და b დადებითი რიცხვებია და a< b , то 1 a >1 ბ .

1. თუ 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
2. თუ 1, 2,. . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b n არის დადებითი რიცხვები და a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .

დასკვნა 1: თუ ა< b , a და ბ არის დადებითი რიცხვები, შემდეგ a n< b n .

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ნამდვილ რიცხვთა ველს აქვს მიმდევრობის თვისება (ნაწილი 6, გვ. 35): ნებისმიერი რიცხვისთვის a, b, ერთი და სამი მიმართულებიდან მხოლოდ ერთი მოქმედებს: ან . ამ შემთხვევაში ჩანაწერი a > b ნიშნავს, რომ განსხვავება დადებითია, ხოლო შესვლის სხვაობა უარყოფითია. რეალური რიცხვების ველისგან განსხვავებით, ველი რთული რიცხვებიარ არის დალაგებული: რთული რიცხვებისთვის ცნებები "მეტი" და "ნაკლები" არ არის განსაზღვრული; ამიტომ, ეს თავი მხოლოდ მოიცავს რეალური რიცხვები.

მიმართებებს ვუწოდებთ უტოლობას, რიცხვებს a და b არის უტოლობის ტერმინები (ან ნაწილები), ნიშნები > (უმეტესზე) და უტოლობა a > b და c > d ეწოდება ერთისა (ან ერთი და იგივეს) უტოლობას. მნიშვნელობა; უტოლობები a > b და c უტოლობის განმარტებიდან დაუყოვნებლივ გამომდინარეობს, რომ

1) ნებისმიერი დადებითი რიცხვი, რომელიც აღემატება ნულს;

2) ნებისმიერი უარყოფითი რიცხვი არის ნულზე ნაკლები;

3) ნებისმიერი დადებითი რიცხვი მეტია ნებისმიერ უარყოფით რიცხვზე;

4) ორი უარყოფითი რიცხვიდან, რომლის აბსოლუტური მნიშვნელობა უფრო მცირეა, უფრო დიდია.

ყველა ეს განცხადება აღიარებს მარტივ გეომეტრიულ ინტერპრეტაციას. რიცხვთა ღერძის დადებითი მიმართულება წავიდეს საწყისი წერტილიდან მარჯვნივ; მაშინ, როგორიც არ უნდა იყოს რიცხვების ნიშნები, უფრო დიდი მათგანი წარმოდგენილია წერტილით, რომელიც მდებარეობს წერტილის მარჯვნივ, რომელიც წარმოადგენს პატარა რიცხვს.

უტოლობას აქვს შემდეგი ძირითადი თვისებები.

1. ასიმეტრია (შეუქცევადობა): თუ , მაშინ და პირიქით.

მართლაც, თუ განსხვავება დადებითია, მაშინ განსხვავება უარყოფითია. ისინი ამბობენ, რომ უთანასწორობის ტერმინების გადაწყობისას, უტოლობის მნიშვნელობა საპირისპიროდ უნდა შეიცვალოს.

2. ტრანზიტულობა: თუ , მაშინ . მართლაც, განსხვავებების პოზიტივიდან გამომდინარეობს, რომ

უთანასწორობის ნიშნების გარდა, უთანასწორობის ნიშნები და ასევე გამოიყენება შემდეგნაირად: ჩანაწერი ნიშნავს, რომ ან ან ამიტომ, მაგალითად, შეგიძლიათ დაწეროთ და ასევე. როგორც წესი, ნიშნებით დაწერილ უტოლობას უწოდებენ მკაცრ უტოლობას, ხოლო ნიშნის გამოყენებით დაწერილს - არამკაცრ უტოლობას. შესაბამისად, თავად ნიშნებს მკაცრი ან არამკაცრი უთანასწორობის ნიშნებს უწოდებენ. ზემოთ განხილული თვისებები 1 და 2 ასევე მართალია არამკაცრ უტოლობაზე.

ახლა განვიხილოთ მოქმედებები, რომლებიც შეიძლება განხორციელდეს ერთ ან მეტ უტოლობაზე.

3. უტოლობის ტერმინებში ერთი და იგივე რიცხვის დამატება არ ცვლის უტოლობის მნიშვნელობას.

მტკიცებულება. მიეცით უტოლობა და თვითნებური რიცხვი. განმარტებით, განსხვავება დადებითია. ამ რიცხვს დავუმატოთ ორი საპირისპირო რიცხვი, რომელიც მას არ შეცვლის, ე.ი.

ეს თანასწორობა შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

აქედან გამომდინარეობს, რომ განსხვავება დადებითია, ე.ი

და ეს იყო ის, რაც დასამტკიცებელი იყო.

ეს არის უთანასწორობის ნებისმიერი წევრის საპირისპირო ნიშნით ერთი ნაწილიდან მეორეზე გადახრის შესაძლებლობა. მაგალითად, უთანასწორობიდან

ამას მოჰყვება

4. უტოლობის წევრთა ერთსა და იმავე დადებით რიცხვზე გამრავლებისას უტოლობის მნიშვნელობა არ იცვლება; როდესაც უტოლობის ტერმინები მრავლდება იმავე უარყოფით რიცხვზე, უტოლობის მნიშვნელობა იცვლება საპირისპიროდ.

მტკიცებულება. მოდით, თუ მაშინ, ვინაიდან დადებითი რიცხვების ნამრავლი დადებითია. ბოლო უტოლობის მარცხენა მხარეს ფრჩხილების გახსნით ვიღებთ , ე.ი. საქმეც ანალოგიურად განიხილება.

ზუსტად იგივე დასკვნა შეიძლება გამოვიტანოთ უტოლობის ნაწილების გაყოფასთან დაკავშირებით ნებისმიერი სხვა რიცხვით ნულის გარდა, რადგან რიცხვზე გაყოფა რიცხვზე გამრავლების ტოლფასია და რიცხვებს აქვთ იგივე ნიშნები.

5. უტოლობის პირობები დადებითი იყოს. მაშინ, როდესაც მისი ტერმინები იმავე პოზიტიურ ძალამდე ამაღლდება, უთანასწორობის მნიშვნელობა არ იცვლება.

მტკიცებულება. მოდით ამ შემთხვევაში, გარდამავალი თვისებით და. შემდეგ მოქმედებს მონოტონური ზრდა დენის ფუნქციაამისთვის და დადებითი გვექნება

კერძოდ, თუ სად არის ნატურალური რიცხვი, მაშინ მივიღებთ

ანუ დადებითი ტერმინებით უტოლობის ორივე მხრიდან ფესვის ამოღებისას უტოლობის მნიშვნელობა არ იცვლება.

დაე, უტოლობის პირობები იყოს უარყოფითი. მაშინ ძნელი არ არის იმის დამტკიცება, რომ როცა მისი ტერმინები კენტამდეა აყვანილი ბუნებრივი ხარისხიუთანასწორობის მნიშვნელობა არ შეიცვლება, მაგრამ როდესაც თანაბარ ბუნებრივ ძალამდე ამაღლდება, ის პირიქით შეიცვლება. უარყოფითი ტერმინების მქონე უტოლობებიდან ასევე შეიძლება ამოიღოთ კენტი ხარისხის ფესვი.

მოდით, შემდგომში ჰქონდეს უტოლობის ტერმინები სხვადასხვა ნიშნები. შემდეგ, მისი დადგმისას უცნაური ხარისხიუთანასწორობის მნიშვნელობა არ იცვლება და თანაბარ ხარისხზე აყვანის შემთხვევაში, ზოგად შემთხვევაში, ვერაფერს ვიტყვით კონკრეტულად მიღებული უთანასწორობის მნიშვნელობაზე. ფაქტობრივად, როდესაც რიცხვი კენტ ხარისხზე მაღლდება, რიცხვის ნიშანი შენარჩუნებულია და შესაბამისად, უტოლობის მნიშვნელობა არ იცვლება. უთანასწორობის თანაბარ ხარისხზე აყვანისას ყალიბდება უთანასწორობა დადებითი ტერმინებით და მისი მნიშვნელობა დამოკიდებული იქნება აბსოლუტური ღირებულებებისაწყისი უტოლობის თვალსაზრისით, შედეგი შეიძლება იყოს იგივე მნიშვნელობის უტოლობა, როგორც ორიგინალი, საპირისპირო მნიშვნელობის უტოლობა და თანასწორობაც კი!

სასარგებლოა ყველაფრის შემოწმება, რაც ითქვა ძალაუფლებამდე უთანასწორობის ამაღლების შესახებ შემდეგი მაგალითის გამოყენებით.

მაგალითი 1. აწიეთ შემდეგი უტოლობა მითითებულ ხარისხზე, აუცილებლობის შემთხვევაში შეცვალეთ უტოლობის ნიშანი საპირისპირო ან ტოლობის ნიშნით.

ა) 3 > 2 4-ის ხარისხზე; ბ) მე-3 ხარისხამდე;

გ) მე-3 ხარისხამდე; დ) მე-2 ხარისხამდე;

ე) 5-ის ხარისხზე; ე) მე-4 ხარისხამდე;

ზ) 2 > -3 2-ის ხარისხზე; თ) 2-ის ხარისხზე,

6. უტოლობიდან შეგვიძლია გადავიდეთ უტოლობაზე, თუ უტოლობის ტერმინები ორივე დადებითია ან ორივე უარყოფითი, მაშინ მათ ორმხრივებს შორის არის საპირისპირო მნიშვნელობის უტოლობა:

მტკიცებულება. თუ a და b ერთნაირი ნიშნისაა, მაშინ მათი პროდუქტი დადებითია. გაყოფა უტოლობით

ანუ ის, რისი მიღებაც საჭირო იყო.

თუ უტოლობის პირობებს აქვს საპირისპირო ნიშნები, მაშინ მათ ორმხრივ უთანასწორობას ერთი და იგივე მნიშვნელობა აქვს, ვინაიდან საპასუხო ნიშნები იგივეა, რაც თავად სიდიდეების ნიშნები.

მაგალითი 2. შეამოწმეთ ბოლო თვისება 6 შემდეგი უტოლობების გამოყენებით:

7. უტოლობათა ლოგარითმი შეიძლება გაკეთდეს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როდესაც უტოლობების ტერმინები დადებითია (უარყოფითი რიცხვები და ნულოვანი ლოგარითმები არ აქვთ).

დაე . მერე იქნება

და როდის იქნება

ამ განცხადებების სისწორე ემყარება ერთფეროვნებას ლოგარითმული ფუნქცია, რომელიც იზრდება თუ ბაზა და მცირდება

ასე რომ, დადებითი წევრებისგან შემდგარი უტოლობის ლოგარითმის ერთზე დიდ ფუძეზე გადაყვანისას წარმოიქმნება იგივე მნიშვნელობის უტოლობა, როგორც მოცემული, ხოლო ლოგარითმის ერთზე ნაკლებ დადებით ფუძეზე გადაყვანისას - უტოლობა. საპირისპირო მნიშვნელობა ყალიბდება.

8. თუ, მაშინ თუ, მაგრამ, მაშინ.

ეს დაუყოვნებლივ გამომდინარეობს ერთფეროვნების თვისებებიდან ექსპონენციალური ფუნქცია(გვ. 42), რომელიც იზრდება შემთხვევაში და მცირდება თუ

ერთი და იგივე მნიშვნელობის ტერმინული უტოლობების დამატებისას წარმოიქმნება მონაცემთა იგივე მნიშვნელობის უტოლობა.

მტკიცებულება. მოდით დავამტკიცოთ ეს დებულება ორი უტოლობისთვის, თუმცა ეს მართალია ნებისმიერი რაოდენობის დამატებული უტოლობასთვის. მიეცით უტოლობები

განსაზღვრებით, რიცხვები დადებითი იქნება; მაშინ მათი ჯამიც დადებითი გამოდის, ე.ი.

ტერმინების განსხვავებულად დაჯგუფება, ჩვენ ვიღებთ

და ამიტომ

და ეს იყო ის, რაც დასამტკიცებელი იყო.

ორი ან მეტი უტოლობის მიმატებით მიღებული უტოლობის მნიშვნელობის შესახებ ზოგად შემთხვევაში რაიმეს თქმა შეუძლებელია. სხვადასხვა მნიშვნელობა.

10. თუ ერთ უტოლობას ტერმინით ტერმინით გამოვაკლებთ საპირისპირო მნიშვნელობის სხვა უტოლობას, მაშინ წარმოიქმნება პირველის იგივე მნიშვნელობის უტოლობა.

მტკიცებულება. მიეცით ორი განსხვავებული მნიშვნელობის მქონე უტოლობა. მეორე მათგანი, შეუქცევადობის თვისების მიხედვით, შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად: d > c. ახლა დავამატოთ ერთი და იგივე მნიშვნელობის ორი უტოლობა და მივიღოთ უტოლობა

იგივე მნიშვნელობა. ამ უკანასკნელიდან ვხვდებით

და ეს იყო ის, რაც დასამტკიცებელი იყო.

შეუძლებელია ზოგად შემთხვევაში რაიმეს თქმა ცალსახად უტოლობის მნიშვნელობის შესახებ, რომელიც მიიღება ერთი და იგივე მნიშვნელობის სხვა უტოლობის გამოკლებით.

უტოლობები მათემატიკაში მნიშვნელოვან როლს თამაშობს. სკოლაში ძირითადად საქმე გვაქვს რიცხვითი უტოლობები, რომლის განმარტებით დავიწყებთ ამ სტატიას. შემდეგ კი ჩამოვთვლით და გავამართლებთ რიცხვითი უტოლობების თვისებები, რომელზედაც დაფუძნებულია უთანასწორობასთან მუშაობის ყველა პრინციპი.

დაუყოვნებლივ აღვნიშნოთ, რომ რიცხვითი უტოლობების მრავალი თვისება მსგავსია. ამიტომ მასალას წარმოვადგენთ იმავე სქემის მიხედვით: ვაყალიბებთ თვისებას, ვაძლევთ მის დასაბუთებას და მაგალითებს, რის შემდეგაც გადავდივართ შემდეგ თვისებაზე.

გვერდის ნავიგაცია.

რიცხვითი უტოლობები: განმარტება, მაგალითები

როდესაც ჩვენ შემოვიღეთ უთანასწორობის ცნება, შევამჩნიეთ, რომ უტოლობები ხშირად მათი დაწერის წესით განისაზღვრება. ასე რომ, ჩვენ უტოლობას ვუწოდებთ მნიშვნელოვან ალგებრულ გამონათქვამებს, რომლებიც შეიცავს ნიშნებს, რომლებიც არ უდრის ≠-ს, ნაკლები<, больше >, ≤-ზე ნაკლები ან ტოლი ან მეტი ან ≥-ის ტოლი. ზემოაღნიშნული განმარტებიდან გამომდინარე, მოსახერხებელია რიცხვითი უტოლობის განმარტების მიცემა:

რიცხვითი უტოლობების შეხვედრა პირველ კლასში მათემატიკის გაკვეთილებზე ხდება პირველი ნატურალური რიცხვების 1-დან 9-მდე გაცნობის და შედარების ოპერაციის გაცნობისთანავე. მართალია, იქ მათ უბრალოდ უტოლობას უწოდებენ, რაც გამოტოვებს "რიცხვის" განმარტებას. სიცხადისთვის, ცუდი არ იქნება მათი კვლევის ამ ეტაპის უმარტივესი რიცხვითი უტოლობების რამდენიმე მაგალითის მოყვანა: 1<2 , 5+2>3 .

და ნატურალური რიცხვებიდან გარდა, ცოდნა ვრცელდება სხვა ტიპის რიცხვებზე (მთლიანი, რაციონალური, რეალური რიცხვები), შესწავლილია მათი შედარების წესები და ეს მნიშვნელოვნად აფართოებს. სახეობების მრავალფეროვნებარიცხვითი უტოლობები: −5>−72, 3>−0,275·(7−5,6) , .

რიცხვითი უტოლობების თვისებები

პრაქტიკაში, უთანასწორობებთან მუშაობა იძლევა რიგს რიცხვითი უტოლობების თვისებები. ისინი გამომდინარეობს ჩვენ მიერ შემოტანილი უთანასწორობის კონცეფციიდან. რიცხვებთან მიმართებაში, ეს კონცეფცია მოცემულია შემდეგი დებულებით, რომელიც შეიძლება ჩაითვალოს რიცხვების ერთობლიობის "ნაკლები" და "მეტი" მიმართებების განმარტებად (მას ხშირად უწოდებენ უტოლობის განსხვავების განმარტებას):

განმარტება.

• ნომერი ა მეტი ნომერი b თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ განსხვავება a−b დადებითი რიცხვია;
• ნომერი ა ნაკლები რაოდენობა b თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ განსხვავება a−b არის უარყოფითი რიცხვი;
• რიცხვი a უდრის b რიცხვს, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ განსხვავება a−b არის ნული.

ეს განმარტება შეიძლება გადამუშავდეს ურთიერთობების „ნაკლები ან ტოლი“ და „უფრო მეტი ან ტოლი“ დეფინიციაში. აი მისი ფორმულირება:

განმარტება.

• ნომერი a არის b-ზე დიდი ან ტოლი, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ a−b არის არაუარყოფითი რიცხვი;
• a არის b-ზე ნაკლები ან ტოლი, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ a−b არადადებითი რიცხვია.

ჩვენ გამოვიყენებთ ამ განმარტებებს რიცხვითი უტოლობების თვისებების დასამტკიცებლად, რომელთა განხილვასაც ვაგრძელებთ.

ძირითადი თვისებები

ჩვენ ვიწყებთ მიმოხილვას უტოლობების სამი ძირითადი თვისებით. რატომ არიან ისინი ძირითადი? იმიტომ, რომ ისინი ასახავს უტოლობების თვისებებს ყველაზე ზოგადი გაგებით და არა მხოლოდ რიცხვითი უტოლობების მიმართ.

ნიშნების გამოყენებით დაწერილი რიცხვითი უტოლობები< и >მახასიათებელი:

რაც შეეხება ≤ და ≥ სუსტი უტოლობის ნიშნებით დაწერილ რიცხვობრივ უტოლობას, მათ აქვთ რეფლექსურობის (და არა ანტირეფლექსურობის) თვისება, ვინაიდან a≤a და a≥a უტოლობები მოიცავს a=a ტოლობის შემთხვევას. მათ ასევე ახასიათებთ ანტისიმეტრია და ტრანზიტულობა.

ამრიგად, ≤ და ≥ ნიშნების გამოყენებით დაწერილი რიცხვითი უტოლობები აქვს შემდეგი თვისებები:

• რეფლექსურობა a≥a და a≤a არის ჭეშმარიტი უტოლობა;
• ანტისიმეტრია, თუ a≤b, მაშინ b≥a და თუ a≥b, მაშინ b≤a.
• გარდამავალობა, თუ a≤b და b≤c, მაშინ a≤c და ასევე, თუ a≥b და b≥c, მაშინ a≥c.

მათი მტკიცებულება ძალიან ჰგავს უკვე მოცემულს, ამიტომ ჩვენ არ შევჩერდებით მათზე, მაგრამ გადავალთ რიცხვითი უტოლობების სხვა მნიშვნელოვან თვისებებზე.

რიცხვითი უტოლობების სხვა მნიშვნელოვანი თვისებები

მოდით შევავსოთ რიცხვითი უტოლობების ძირითადი თვისებები შედეგების სერიით, რომლებსაც დიდი პრაქტიკული მნიშვნელობა აქვთ. მათზეა დაფუძნებული გამონათქვამების მნიშვნელობების შეფასების მეთოდები; უთანასწორობის გადაწყვეტილებებიდა ა.შ. ამიტომ მიზანშეწონილია მათი კარგად გაგება.

ამ განყოფილებაში ჩვენ ჩამოვაყალიბებთ უტოლობების თვისებებს მხოლოდ მკაცრი უტოლობის ერთი ნიშნისთვის, მაგრამ გასათვალისწინებელია, რომ მსგავსი თვისებები მოქმედი იქნება საპირისპირო ნიშნისთვის, ასევე არამკაცრი უტოლობის ნიშნებისთვის. ავხსნათ ეს მაგალითით. ქვემოთ ჩამოვაყალიბებთ და ვამტკიცებთ უტოლობათა თვისებას: თუ ა

• თუ a>b მაშინ a+c>b+c;
• თუ a≤b, მაშინ a+c≤b+c;
• თუ a≥b, მაშინ a+c≥b+c.

მოხერხებულობისთვის წარმოგიდგენთ რიცხვითი უტოლობების თვისებებს სიის სახით, ხოლო მივცემთ შესაბამის დებულებას, ფორმალურად დავწერთ ასოების გამოყენებით, ვამტკიცებთ და შემდეგ ვაჩვენებთ გამოყენების მაგალითებს. და სტატიის ბოლოს ჩვენ შევაჯამებთ რიცხვითი უტოლობების ყველა თვისებას ცხრილში. მოდით წავიდეთ!