უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის ფორმულები - სპეციალური შემთხვევები. ტრიგონომეტრიული განტოლებები

უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებები წყდება, როგორც წესი, ფორმულების გამოყენებით. შეგახსენებთ, რომ უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებებია:

sinx = ა

cosx = ა

tgx = a

ctgx = a

x არის მოსაძებნი კუთხე,
a არის ნებისმიერი რიცხვი.

და აქ არის ფორმულები, რომლითაც შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ ჩაწეროთ ამ უმარტივესი განტოლებების ამონახსნები.

სინუსისთვის:

კოსინუსისთვის:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

ტანგენტისთვის:

x = არქტანი a + π n, n ∈ Z

კოტანგენტებისთვის:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

სინამდვილეში, ეს არის უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის თეორიული ნაწილი. უფრო მეტიც, ყველაფერი!) საერთოდ არაფერი. თუმცა, ამ თემაზე შეცდომების რაოდენობა უბრალოდ არ არის ჩარტებში. მით უმეტეს, თუ მაგალითი ოდნავ გადახრის შაბლონს. რატომ?

დიახ, რადგან ბევრი ადამიანი წერს ამ წერილებს, მათი მნიშვნელობის გააზრების გარეშე!სიფრთხილით წერს, რამე არ მოხდეს...) ეს უნდა დალაგდეს. ტრიგონომეტრია ხალხისთვის, თუ ხალხი ტრიგონომეტრიისთვის!?)

მოდით გავარკვიოთ?

ერთი კუთხე ტოლი იქნება arccos a, მეორე: -არკოს ა.

და ყოველთვის ასე გამოვა.ნებისმიერისთვის ა.

თუ ჩემი არ გჯერათ, გადაიტანეთ მაუსი სურათზე ან შეეხეთ სურათს თქვენს ტაბლეტზე.) ნომერი შევცვალე ა რაღაც უარყოფითზე. ყოველ შემთხვევაში, ერთი კუთხე მივიღეთ arccos a, მეორე: -არკოს ა.

მაშასადამე, პასუხი ყოველთვის შეიძლება დაიწეროს როგორც ფესვების ორი სერია:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

მოდით გავაერთიანოთ ეს ორი სერია ერთში:

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

და სულ ესაა. ჩვენ მივიღეთ უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლების კოსინუსით ამოხსნის ზოგადი ფორმულა.

თუ გესმით, რომ ეს არ არის რაიმე სახის ზემეცნიერული სიბრძნე, მაგრამ მხოლოდ ორი სერიის პასუხის შემოკლებული ვერსია,თქვენ ასევე შეძლებთ გაუმკლავდეთ დავალებებს "C". უტოლობებით, მოცემული ინტერვალიდან ფესვების არჩევით... იქ პლიუს/მინუს პასუხი არ მუშაობს. მაგრამ თუ პასუხს საქმიანად მოექცევით და ორ ცალკეულ პასუხად დაყოფთ, ყველაფერი მოგვარდება.) სინამდვილეში, სწორედ ამიტომ განვიხილავთ მას. რა, როგორ და სად.

უმარტივეს ტრიგონომეტრიულ განტოლებაში

sinx = ა

ჩვენ ასევე ვიღებთ ფესვების ორ სერიას. ყოველთვის. და ამ ორი სერიის ჩაწერაც შეიძლება ერთ ხაზზე. მხოლოდ ეს ხაზი იქნება უფრო რთული:

x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

მაგრამ არსი იგივე რჩება. მათემატიკოსებმა უბრალოდ შექმნეს ფორმულა ფესვების სერიის ორი ჩანაწერის ნაცვლად ერთი ჩანაწერის გასაკეთებლად. სულ ესაა!

შევამოწმოთ მათემატიკოსები? და არასოდეს იცი...)

წინა გაკვეთილზე დეტალურად განიხილეს ტრიგონომეტრიული განტოლების ამონახსნი (ყოველგვარი ფორმულის გარეშე) სინუსთან:

პასუხმა გამოიწვია ფესვების ორი სერია:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

თუ იმავე განტოლებას ფორმულის გამოყენებით გადავწყვეტთ, მივიღებთ პასუხს:

x = (-1) n რკალი 0,5 + π n, n ∈ Z

რეალურად ეს დაუმთავრებელი პასუხია.) ეს უნდა იცოდეს მოსწავლემ რკალი 0,5 = π /6.სრული პასუხი იქნება:

x = (-1)n π /6+ π n, n ∈ Z

ეს აჩენს საინტერესო კითხვას. პასუხის საშუალებით x 1; x 2 (ეს არის სწორი პასუხი!) და მარტოობის გზით X (და ეს არის სწორი პასუხი!) - იგივეა თუ არა? ჩვენ ახლა გავარკვევთ.)

პასუხში ვცვლით x 1 ღირებულებები ნ =0; 1; 2; და ა.შ., ვითვლით, ვიღებთ ფესვების სერიას:

x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 და ასე შემდეგ.

იგივე ჩანაცვლებით საპასუხოდ x 2 , ვიღებთ:

x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 და ასე შემდეგ.

ახლა მოდით შევცვალოთ მნიშვნელობები ნ (0; 1; 2; 3; 4...) სინგლის ზოგად ფორმულაში X . ანუ მინუს ერთს ავწევთ ნულოვან ხარისხზე, შემდეგ პირველზე, მეორეზე და ა.შ. რა თქმა უნდა, ჩვენ ჩავანაცვლებთ 0-ს მეორე ტერმინში; 1; 2 3; 4 და ა.შ. და ვითვლით. ჩვენ ვიღებთ სერიას:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 და ასე შემდეგ.

სულ ესაა, რასაც ხედავთ.) ზოგადი ფორმულა გვაძლევს ზუსტად იგივე შედეგებიისევე როგორც ორი პასუხი ცალ-ცალკე. ყველაფერი ერთდროულად, წესრიგში. მათემატიკოსები არ მოტყუებულან.)

ასევე შეიძლება შემოწმდეს ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის ფორმულები ტანგენტითა და კოტანგენტებით. მაგრამ ჩვენ არ გავაკეთებთ.) ისინი უკვე მარტივია.

ეს ყველაფერი ჩანაცვლება და შემოწმება კონკრეტულად დავწერე. აქ მნიშვნელოვანია ერთი მარტივი რამის გაგება: არსებობს ელემენტარული ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის ფორმულები, მხოლოდ პასუხების მოკლე შეჯამება.ამ მოკლედ, ჩვენ უნდა ჩავსვათ პლუს/მინუს კოსინუს ხსნარში და (-1) n სინუსურ ხსნარში.

ეს ჩანართები არანაირად არ ერევა დავალებებს, სადაც უბრალოდ უნდა ჩაწეროთ პასუხი ელემენტარულ განტოლებაზე. მაგრამ თუ თქვენ გჭირდებათ უთანასწორობის ამოხსნა, ან შემდეგ გჭირდებათ რაიმეს გაკეთება პასუხით: შეარჩიეთ ფესვები ინტერვალზე, შეამოწმეთ ODZ და ა.

მერე რა უნდა გავაკეთო? დიახ, ან დაწერეთ პასუხი ორ სერიაში, ან ამოხსენით განტოლება/უტოლობა ტრიგონომეტრიული წრის გამოყენებით. შემდეგ ეს ჩასვლები ქრება და ცხოვრება უფრო ადვილი ხდება.)

შეგვიძლია შევაჯამოთ.

უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოსახსნელად, არსებობს მზა პასუხის ფორმულები. ოთხი ცალი. ისინი კარგია განტოლების ამოხსნის მყისიერად ჩასაწერად. მაგალითად, თქვენ უნდა ამოხსნათ განტოლებები:

sinx = 0.3

მარტივად: x = (-1) n რკალი 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0.2

პრობლემა არაა: x = ± arccos 0.2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1.2

მარტივად: x = არქტანი 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3.7

ერთი დარჩა: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x = 1.8

თუ ცოდნით ანათებ, მაშინვე დაწერე პასუხი:

x= ± arccos 1.8 + 2π n, n ∈ Z

მაშინ უკვე ანათებ, ეს... ის... გუბედან.) სწორი პასუხი: არ არის გადაწყვეტილებები. არ მესმის რატომ? წაიკითხეთ რა არის რკალის კოსინუსი. გარდა ამისა, თუ თავდაპირველი განტოლების მარჯვენა მხარეს არის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტის, კოტანგენტის ტაბულური მნიშვნელობები, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 და ა.შ. - თაღებიდან პასუხი დაუმთავრებელი იქნება. თაღები რადიანად უნდა გადაკეთდეს.

და თუ შეხვდებით უთანასწორობას, მოიწონეთ

მაშინ პასუხი არის:

x πn, n ∈ Z

იშვიათი სისულელეა, დიახ...) აქ თქვენ უნდა ამოხსნათ ტრიგონომეტრიული წრის გამოყენებით. რას გავაკეთებთ შესაბამის თემაში.

მათთვის, ვინც გმირულად კითხულობს ამ სტრიქონებს. უბრალოდ არ შემიძლია არ ვაფასებ თქვენს ტიტანურ ძალისხმევას. ბონუსი თქვენთვის.)

ბონუსი:

საგანგაშო საბრძოლო სიტუაციაში ფორმულების ჩაწერისას, გამოცდილი ნერვებიც კი ხშირად იბნევიან სად πn, და სად 2π n. აქ არის მარტივი ხრიკი თქვენთვის. In ყველასფორმულები ღირს πn. გარდა ერთადერთი ფორმულისა რკალის კოსინუსით. იქვე დგას 2πn. ორიპენი. საკვანძო სიტყვა - ორი.იმავე ფორმულაში არის ორიხელი მოაწერე დასაწყისში. პლუს და მინუს. და იქ, და იქ - ორი.

ასე რომ თუ დაწერე ორიმოაწერეთ რკალის კოსინუსამდე, უფრო ადვილია გახსოვდეთ რა მოხდება ბოლოს ორიპენი. და ეს ასევე ხდება პირიქით. ადამიანს გამოტოვებს ნიშანი ± , ბოლომდე მიდის, სწორად წერს ორიპიენი და გონს მოვა. წინ არის რაღაც ორიმოაწერეთ ხელი! ადამიანი საწყისს დაუბრუნდება და შეცდომას გამოასწორებს! მოსწონს ეს.)

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. ვისწავლოთ - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის ცნება.

• ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოსახსნელად გადააქციეთ იგი ერთ ან რამდენიმე ძირითად ტრიგონომეტრიულ განტოლებად. ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნა საბოლოოდ მოდის ოთხი ძირითადი ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნაზე.

მოითხოვს ტრიგონომეტრიის ძირითადი ფორმულების ცოდნას - სინუსისა და კოსინუსების კვადრატების ჯამი, ტანგენტის გამოხატვა სინუსსა და კოსინუსზე და სხვა. მათთვის, ვინც დაივიწყა ან არ იცნობს მათ, გირჩევთ წაიკითხოთ სტატია "".
ასე რომ, ჩვენ ვიცით ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფორმულები, დროა გამოვიყენოთ ისინი პრაქტიკაში. ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნასწორი მიდგომით, ეს საკმაოდ საინტერესო აქტივობაა, მაგალითად, რუბიკის კუბის ამოხსნა.

თავად სახელწოდებიდან გამომდინარე, ცხადია, რომ ტრიგონომეტრიული განტოლება არის განტოლება, რომელშიც უცნობი არის ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ნიშნის ქვეშ.
არსებობს ეგრეთ წოდებული უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებები. აი, როგორ გამოიყურებიან ისინი: sinx = a, cos x = a, tan x = a. განვიხილოთ როგორ ამოხსნათ ასეთი ტრიგონომეტრიული განტოლებები, სიცხადისთვის გამოვიყენებთ უკვე ნაცნობ ტრიგონომეტრიულ წრეს.

sinx = ა

cos x = a

tan x = a

cot x = a

ნებისმიერი ტრიგონომეტრიული განტოლება წყდება ორ ეტაპად: განტოლებას ვამცირებთ უმარტივეს ფორმამდე და შემდეგ ვხსნით მას მარტივი ტრიგონომეტრიული განტოლების სახით.
არსებობს 7 ძირითადი მეთოდი, რომლითაც ხსნიან ტრიგონომეტრიულ განტოლებებს.

1. ცვლადი ჩანაცვლება და ჩანაცვლების მეთოდი

ამოხსენით განტოლება 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

შემცირების ფორმულების გამოყენებით ვიღებთ:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

შეცვალეთ cos(x + /6) y-ით, რომ გაამარტივოთ და მიიღოთ ჩვეულებრივი კვადრატული განტოლება:

2წ 2 – 3წ + 1 + 0

რომლის ფესვებია y 1 = 1, y 2 = 1/2

ახლა მოდით წავიდეთ საპირისპირო თანმიმდევრობით

ჩვენ ვცვლით y-ის ნაპოვნი მნიშვნელობებს და ვიღებთ პასუხის ორ ვარიანტს:

2. ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა ფაქტორიზაციის გზით

როგორ ამოხსნათ განტოლება sin x + cos x = 1?

მოდით გადავიტანოთ ყველაფერი მარცხნივ ისე, რომ 0 დარჩეს მარჯვნივ:

sin x + cos x – 1 = 0

მოდით გამოვიყენოთ ზემოთ განხილული იდენტობები განტოლების გასამარტივებლად:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

მოდით ფაქტორიზაცია:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

ვიღებთ ორ განტოლებას

3. შემცირება ერთგვაროვან განტოლებამდე

განტოლება ერთგვაროვანია სინუსსა და კოსინუსთან მიმართებაში, თუ მისი ყველა წევრი შეფარდებითია იმავე კუთხის ერთი და იგივე სიმძლავრის სინუსსა და კოსინუსთან. ერთგვაროვანი განტოლების ამოსახსნელად, გააკეთეთ შემდეგი:

ა) გადაიტანოს მისი ყველა წევრი მარცხენა მხარეს;

ბ) ფრჩხილებიდან ამოიღონ ყველა საერთო ფაქტორი;

გ) ყველა ფაქტორის და ფრჩხილის ტოლფასი 0-ზე;

დ) ფრჩხილებში მიიღება ქვედა ხარისხის ერთგვაროვანი განტოლება, რომელიც თავის მხრივ იყოფა უფრო მაღალი ხარისხის სინუსად ან კოსინუსად;

ე) ამოხსნათ მიღებული განტოლება tg.

ამოხსენით განტოლება 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

მოდით გამოვიყენოთ ფორმულა sin 2 x + cos 2 x = 1 და მოვიშოროთ ღია ორი მარჯვნივ:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

გაყოფა cos x-ზე:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

შეცვალეთ tan x y-ით და მიიღეთ კვადრატული განტოლება:

y 2 + 4y +3 = 0, რომლის ფესვებია y 1 =1, y 2 = 3

აქედან ჩვენ ვპოულობთ ორიგინალური განტოლების ორ ამონახსანს:

x 2 = არქტანი 3 + კ

4. განტოლებების ამოხსნა ნახევარ კუთხეზე გადასვლის გზით

ამოხსენით განტოლება 3sin x – 5cos x = 7

გადავიდეთ x/2-ზე:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

მოდით გადავიტანოთ ყველაფერი მარცხნივ:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

გაყოფა cos-ზე (x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg (x/2) + 6 = 0

5. დამხმარე კუთხის დანერგვა

განსახილველად ავიღოთ ფორმის განტოლება: a sin x + b cos x = c,

სადაც a, b, c არის რამდენიმე თვითნებური კოეფიციენტი, ხოლო x არის უცნობი.

მოდით გავყოთ განტოლების ორივე მხარე:



ახლა განტოლების კოეფიციენტებს, ტრიგონომეტრიული ფორმულების მიხედვით, აქვთ sin და cos თვისებები, კერძოდ: მათი მოდული არ არის 1-ზე მეტი და კვადრატების ჯამი = 1. ავღნიშნოთ ისინი შესაბამისად cos და sin, სადაც - ეს არის დამხმარე კუთხე ე.წ. შემდეგ განტოლება მიიღებს ფორმას:

cos * sin x + sin * cos x = C

ან sin(x + ) = C

ამ უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნა არის

x = (-1) k * arcsin C - + k, სადაც



უნდა აღინიშნოს, რომ აღნიშვნები cos და sin ურთიერთშემცვლელია.

ამოხსენით განტოლება sin 3x – cos 3x = 1

ამ განტოლების კოეფიციენტებია:

a = , b = -1, ამიტომ გაყავით ორივე მხარე = 2-ზე

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

როგორ ამოხსნათ ტრიგონომეტრიული განტოლებები:

ნებისმიერი ტრიგონომეტრიული განტოლება უნდა შემცირდეს ერთ-ერთ შემდეგ ტიპზე:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

სადაც \(t\) არის გამოხატულება x-ით, \(a\) არის რიცხვი. ასეთ ტრიგონომეტრიულ განტოლებებს ე.წ უმარტივესი. მათი მარტივად გადაჭრა შესაძლებელია () ან სპეციალური ფორმულების გამოყენებით:

პასუხი: \(\მარცხნივ[ \დაწყება(შეიკრიბა)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \ბოლო(შეიკრიბა)\მარჯვნივ.\) \(k,n∈Z\)

რას ნიშნავს თითოეული სიმბოლო ტრიგონომეტრიული განტოლებების ფესვების ფორმულაში, იხ.

ყურადღება!განტოლებებს \(\sin⁡x=a\) და \(\cos⁡x=a\) არ აქვთ ამონახსნები, თუ \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). რადგან ნებისმიერი x-სთვის სინუსი და კოსინუსი მეტია ან ტოლია \(-1\) და ნაკლები ან ტოლი \(1\):

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

მაგალითი . ამოხსენით განტოლება \(\cos⁡x=-1,1\).
გამოსავალი: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
უპასუხე : გადაწყვეტილებები არ არის.

მაგალითი . ამოხსენით ტრიგონომეტრიული განტოლება \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\).
გამოსავალი:

ტრიგონომეტრიული განტოლებების უმარტივესამდე დაყვანა არის შემოქმედებითი ამოცანა აქ თქვენ უნდა გამოიყენოთ ორივე და სპეციალური მეთოდები განტოლებების გადასაჭრელად:
- მეთოდი (ყველაზე პოპულარული ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში).
- მეთოდი.
- დამხმარე არგუმენტების მეთოდი.

განვიხილოთ კვადრატული ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნის მაგალითი

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება \(t=\cos⁡x\).
	ჩვენი განტოლება გახდა ტიპიური. თქვენ შეგიძლიათ მისი გადაჭრა გამოყენებით.
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	ჩვენ ვაკეთებთ საპირისპირო ჩანაცვლებას.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	პირველ განტოლებას ვხსნით რიცხვითი წრის გამოყენებით. მეორე განტოლებას არ აქვს ამონახსნები, რადგან \(\cos⁡x∈[-1;1]\) და არ შეიძლება იყოს ორის ტოლი ნებისმიერი x-ისთვის.
	მოდით ჩამოვწეროთ ამ წერტილებში მყოფი ყველა რიცხვი.

ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნის მაგალითი ODZ-ის შესწავლით:

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	არის წილადი და არის კოტანგენსი - ეს ნიშნავს, რომ უნდა ჩავწეროთ. შეგახსენებთ, რომ კოტანგენსი სინამდვილეში არის წილადი: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) ამიტომ, ODZ ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\).
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	რიცხვთა წრეზე მოვნიშნოთ „არაამოხსნა“.
\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	მოდი, გავთავისუფლდეთ განტოლების მნიშვნელს ctg\(x\)-ზე გამრავლებით. ჩვენ შეგვიძლია ამის გაკეთება, რადგან ზემოთ დავწერეთ, რომ ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	გამოვიყენოთ ორმაგი კუთხის ფორმულა სინუსისთვის: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	თუ თქვენი ხელები კოსინუსზე გასაყოფად გაიწელეთ, უკან დაიხიეთ! თქვენ შეგიძლიათ გაყოთ გამოხატულებაზე ცვლადით, თუ ის ნამდვილად არ არის ნულის ტოლი (მაგალითად, ეს: \(x^2+1.5^x\)). ამის ნაცვლად, ავიღოთ \(\cos⁡x\) ფრჩხილებიდან.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	მოდით "გავყოთ" განტოლება ორად.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	მოდით ამოხსნათ პირველი განტოლება რიცხვითი წრის გამოყენებით. მოდით გავყოთ მეორე განტოლება \(2\)-ზე და გადავიტანოთ \(\sin⁡x\) მარჯვენა მხარეს.
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	შედეგად ფესვები არ შედის ODZ-ში. ამიტომ მათ პასუხად არ ჩამოვწერთ. მეორე განტოლება ტიპიურია. მოდით გავყოთ \(\sin⁡x\)-ზე (\(\sin⁡x=0\) არ შეიძლება იყოს განტოლების ამონახსნი, რადგან ამ შემთხვევაში \(\cos⁡x=1\) ან \(\cos⁡ x=-1\)).
	ჩვენ კვლავ ვიყენებთ წრეს.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	ეს ფესვები არ არის გამორიცხული ODZ-ის მიერ, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ისინი პასუხში.

გაკვეთილი და პრეზენტაცია თემაზე: „მარტივი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა“

დამატებითი მასალები
ძვირფასო მომხმარებლებო, არ დაგავიწყდეთ დატოვოთ თქვენი კომენტარები, მიმოხილვები, სურვილები! ყველა მასალა შემოწმებულია ანტივირუსული პროგრამით.

ინსტრუქციები და ტრენაჟორები Integral ონლაინ მაღაზიაში 10 კლასისთვის 1C-დან
ჩვენ ვხსნით პრობლემებს გეომეტრიაში. ინტერაქტიული ამოცანები სივრცეში მშენებლობისთვის
პროგრამული გარემო "1C: მათემატიკური კონსტრუქტორი 6.1"

რას შევისწავლით:
1. რა არის ტრიგონომეტრიული განტოლებები?

3. ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის ორი ძირითადი მეთოდი.
4. ჰომოგენური ტრიგონომეტრიული განტოლებები.
5. მაგალითები.

რა არის ტრიგონომეტრიული განტოლებები?

ბიჭებო, ჩვენ უკვე შევისწავლეთ არქსინი, არკოზინი, არქტანგენსი და არკოტანგენსი. ახლა განვიხილოთ ტრიგონომეტრიული განტოლებები ზოგადად.

ტრიგონომეტრიული განტოლებები არის განტოლებები, რომლებშიც ცვლადი შეიცავს ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ნიშნის ქვეშ.

გავიმეოროთ უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის ფორმა:

1)თუ |a|≤ 1, მაშინ განტოლებას cos(x) = a აქვს ამონახსნი:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) თუ |a|≤ 1, მაშინ განტოლებას sin(x) = a აქვს ამონახსნი:

3) თუ |ა| > 1, მაშინ განტოლებას sin(x) = a და cos(x) = a არ აქვთ ამონახსნები 4) განტოლებას tg(x)=a აქვს ამონახსნი: x=arctg(a)+ πk

5) განტოლებას ctg(x)=a აქვს ამონახსნი: x=arcctg(a)+ πk

ყველა ფორმულისთვის k არის მთელი რიცხვი

უმარტივეს ტრიგონომეტრიულ განტოლებებს აქვს ფორმა: T(kx+m)=a, T არის რაღაც ტრიგონომეტრიული ფუნქცია.

ამოხსენით განტოლებები: ა) sin(3x)= √3/2

გამოსავალი:

ა) ავღნიშნოთ 3x=t, შემდეგ გადავწერთ ჩვენს განტოლებას სახით:

ამ განტოლების ამონახსნი იქნება: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

მნიშვნელობების ცხრილიდან ვიღებთ: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

დავუბრუნდეთ ჩვენს ცვლადს: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

შემდეგ x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

პასუხი: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, სადაც n არის მთელი რიცხვი. (-1)^n – მინუს ერთი n-ის ხარისხზე.

ტრიგონომეტრიული განტოლებების მეტი მაგალითები.

გამოსავალი:

ა) ამჯერად გადავიდეთ პირდაპირ განტოლების ფესვების გამოთვლაზე:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. მაშინ x/5= πk => x=5πk

პასუხი: x=5πk, სადაც k არის მთელი რიცხვი.

ბ) ვწერთ სახით: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. ჩვენ ვიცით, რომ: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

პასუხი: x=2π/9 + πk/3, სადაც k არის მთელი რიცხვი.

ამოხსენით განტოლებები: cos(4x)= √2/2. და იპოვნეთ ყველა ფესვი სეგმენტზე.

გამოსავალი:

მოდით გადავჭრათ ჩვენი განტოლება ზოგადი ფორმით: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

ახლა ვნახოთ, რა ფესვები ეცემა ჩვენს სეგმენტს. k-ზე k=0, x= π/16, ჩვენ მოცემულ სეგმენტში ვართ.
კ=1, x= π/16+ π/2=9π/16-ით ისევ ურტყამთ.
k=2-ისთვის x= π/16+ π=17π/16, მაგრამ აქ ჩვენ არ დავარტყით, რაც ნიშნავს, რომ დიდი k-სთვისაც აშკარად არ დავარტყამთ.

პასუხი: x= π/16, x= 9π/16

გადაწყვეტის ორი ძირითადი მეთოდი.

მოდით ამოხსნათ განტოლება:

გამოსავალი:
ჩვენი განტოლების ამოსახსნელად გამოვიყენებთ ახალი ცვლადის შემოღების მეთოდს, რომელიც აღვნიშნავთ: t=tg(x).

ჩანაცვლების შედეგად ვიღებთ: t 2 + 2t -1 = 0

ვიპოვოთ კვადრატული განტოლების ფესვები: t=-1 და t=1/3

შემდეგ tg(x)=-1 და tg(x)=1/3, მივიღებთ უმარტივეს ტრიგონომეტრიულ განტოლებას, ვიპოვოთ მისი ფესვები.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

პასუხი: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

განტოლების ამოხსნის მაგალითი

ამოხსენით განტოლებები: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

გამოსავალი:

გამოვიყენოთ იდენტობა: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

ჩვენი განტოლება მიიღებს ფორმას: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

შემოვიღოთ ჩანაცვლება t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

ჩვენი კვადრატული განტოლების ამონახსნი არის ფესვები: t=2 და t=-1/2

შემდეგ cos(x)=2 და cos(x)=-1/2.

იმიტომ რომ კოსინუსს არ შეუძლია მიიღოს ერთზე მეტი მნიშვნელობები, მაშინ cos(x)=2-ს ფესვები არ აქვს.

cos(x)=-1/2-ისთვის: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

პასუხი: x= ±2π/3 + 2πk

ჰომოგენური ტრიგონომეტრიული განტოლებები.

ფორმის განტოლებები

მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლებები.

პირველი ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოსახსნელად, გაყავით იგი cos(x-ზე): თქვენ არ შეგიძლიათ კოსინუსზე გაყოფა, თუ ის ნულის ტოლია, მოდით დავრწმუნდეთ, რომ ეს ასე არ არის:
მოდით cos(x)=0, შემდეგ asin(x)+0=0 => sin(x)=0, მაგრამ სინუსი და კოსინუსი ერთდროულად ნულის ტოლი არ არის, მივიღებთ წინააღმდეგობას, ასე რომ ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ გავყოთ ნულით.

ამოხსენით განტოლება:
მაგალითი: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

გამოსავალი:

ავიღოთ საერთო ფაქტორი: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

მაშინ ორი განტოლება უნდა ამოხსნათ:

Cos(x)=0 და cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 x= π/2 + πk;

განვიხილოთ განტოლება cos(x)+sin(x)=0 ჩვენი განტოლება გავყოთ cos(x-ზე):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

პასუხი: x= π/2 + πk და x= -π/4+πk

როგორ ამოხსნათ მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლებები?
ბიჭებო, ყოველთვის დაიცავით ეს წესები!

1. ნახეთ, რის ტოლია a კოეფიციენტი, თუ a=0 მაშინ ჩვენი განტოლება მიიღებს cos(x)(bsin(x)+ccos(x) ფორმას, რომლის ამოხსნის მაგალითი მოცემულია წინა სლაიდზე.

2. თუ a≠0, მაშინ განტოლების ორივე მხარე უნდა გავყოთ კოსინუსზე კვადრატზე, მივიღებთ:

ვცვლით t=tg(x) ცვლადს და ვიღებთ განტოლებას:

ამოხსენით მაგალითი No.:3

მოდით გავყოთ განტოლების ორივე მხარე კოსინუსზე:

ვცვლით ცვლადს t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

ვიპოვოთ კვადრატული განტოლების ფესვები: t=-3 და t=1

შემდეგ: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

პასუხი: x=-arctg(3) + πk და x= π/4+ πk

ამოხსენით მაგალითი No.:4

გამოსავალი:
მოდით შევცვალოთ ჩვენი გამოხატულება:

ჩვენ შეგვიძლია ამოხსნათ ასეთი განტოლებები: x= - π/4 + 2πk და x=5π/4 + 2πk

პასუხი: x= - π/4 + 2πk და x=5π/4 + 2πk

ამოხსენით მაგალითი No.:5

გამოსავალი:
მოდით შევცვალოთ ჩვენი გამოხატულება:

მოდით წარმოვიდგინოთ ჩანაცვლება tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

ჩვენი კვადრატული განტოლების ამონახსნი იქნება ფესვები: t=-2 და t=1/2

შემდეგ მივიღებთ: tg(2x)=-2 და tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

პასუხი: x=-arctg(2)/2 + πk/2 და x=arctg(1/2)/2+ πk/2

პრობლემები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის.

ა) sin(7x)= 1/2 ბ) cos(3x)= √3/2 გ) cos(-x) = -1 დ) tg(4x) = √3 დ) ctg(0.5x) = -1.7

2) ამოხსენით განტოლებები: sin(3x)= √3/2. და იპოვეთ ყველა ფესვი სეგმენტზე [π/2; π].

3) ამოხსენით განტოლება: cot 2 (x) + 2 cot (x) + 1 =0

4) ამოხსენი განტოლება: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) ამოხსენით განტოლება: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) ამოხსენით განტოლება: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)