ფორმულები ფუნქციის წარმოებულის მოსაძებნად. ჯამისა და სხვაობის წარმოებული

იყოს და იყოს დამოუკიდებელი x ცვლადის ფუნქციები. დაე, ისინი იყოს დიფერენცირებადი x ცვლადის მნიშვნელობების გარკვეულ დიაპაზონში.:
(1) .

შემდეგ, ამ სფეროში,

ამ ფუნქციების ჯამის (განსხვავების) წარმოებული უდრის ამ ფუნქციების წარმოებულთა ჯამს (განსხვავებას).
;
.

მტკიცებულება
.
ვინაიდან ფუნქციები და დიფერენცირებადია ზე, არსებობს შემდეგი საზღვრები, რომლებიც ამ ფუნქციების წარმოებულებია:


.

განვიხილოთ x ცვლადის y ფუნქცია, რომელიც არის ფუნქციების ჯამი და:
.

მოდით გამოვიყენოთ წარმოებულის განმარტება.
.
ამრიგად, ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ ფუნქციების ჯამის წარმოებული უდრის წარმოებულთა ჯამს:
.

ანალოგიურად, ჩვენ შეგვიძლია ვაჩვენოთ, რომ ფუნქციების სხვაობის წარმოებული ტოლია წარმოებულთა სხვაობას:
(1) .

ეს შეიძლება აჩვენოს სხვა გზით, ჯამის დიფერენციაციის მხოლოდ დადასტურებული წესის გამოყენებით და:

ეს ორი წესი შეიძლება დაიწეროს როგორც ერთი განტოლება:

შედეგი
.
ზემოთ განვიხილეთ ორი ფუნქციის ჯამის წარმოებულის პოვნის წესი. ეს წესი შეიძლება განზოგადდეს ნებისმიერი რაოდენობის დიფერენცირებადი ფუნქციების ჯამს და განსხვავებას.
(2) .
ნებისმიერი სასრული რაოდენობის დიფერენცირებადი ფუნქციების ჯამის (განსხვავების) წარმოებული უდრის მათი წარმოებულების ჯამს (განსხვავებას). წარმოებულის ნიშნის გარეთ მუდმივის განთავსების წესის გათვალისწინებით, ეს წესი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:
ან გაფართოებული ფორმით:

აქ - მუდმივები;

- x ცვლადის დიფერენცირებადი ფუნქციები. 2 გამოძიების მტკიცებულებები
.
როდესაც n = 3 , ვიყენებთ წესს (1) და მუდმივის მოთავსების წესს წარმოებულის ნიშნის გარეთ. ჩვენ გვაქვს:
.

როდესაც n =

.
გამოიყენეთ ფორმულა (1) ფუნქციებისთვის და:
თვითნებური რიცხვისთვის n, ჩვენ ვიყენებთ ინდუქციის მეთოდს. მოდით განტოლება (2) დაკმაყოფილდეს .

მაშინ ჩვენ გვაქვს:

ანუ, იმ დაშვებიდან, რომ განტოლება (2) დაკმაყოფილებულია , გამოდის, რომ განტოლება (2) დაკმაყოფილებულია .

და რადგან განტოლება (2) ჭეშმარიტია , ის მართალია ყველასთვის.
.

გამოძიება დადასტურდა.

მაგალითები
.
მაგალითი 1
;

;
.

იპოვეთ წარმოებული
.

გამოსავალი
.
ფრჩხილების გახსნა. ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას
;
;
.

ჩვენ ასევე ვიყენებთ დენის ფუნქციების თვისებებს.
.

ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას (2) ფუნქციების ჯამისა და სხვაობის წარმოებულებისთვის.

წარმოებულების ცხრილიდან ვხვდებით:

მერე
.

გამოძიება დადასტურდა.

საბოლოოდ გვაქვს:
.
უპასუხე
.
მაგალითი 2
;
;
;
;
;
.
იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული x ცვლადის მიმართ
.
მოდით შევამციროთ ფესვები ძალაუფლების ფუნქციებზე.
.
აქ გავითვალისწინეთ, რომ მოცემული ფუნქცია განსაზღვრულია ზე.
.

ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას (2) ფუნქციების ჯამისა და სხვაობის წარმოებულებისთვის.

მაგალითი 3

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული
.

გამოძიება დადასტურდა.

მოდით გარდავქმნათ ფუნქცია. ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ დენის ფუნქციისა და ფესვების თვისებებს:

;
;
;
.

ჩვენ ვპოულობთ წარმოებულს წესის (2) გამოყენებით:


.

დიფერენციაციის ამოცანების ამოხსნისას უნდა მოძებნოთ სხვადასხვა კლასის ფუნქციების წარმოებულები. ამ სტატიაში განვიხილავთ მთავარს დიფერენციაციის წესები, რომელსაც მუდმივად გამოვიყენებთ წარმოებულების მოძიებისას. ჩვენ დავამტკიცებთ ყველა ამ წესს ფუნქციის წარმოებულის განსაზღვრაზე დაყრდნობით და აუცილებლად შევჩერდებით მაგალითების დეტალურ ამოხსნაზე, რათა გავიგოთ მათი გამოყენების პრინციპი.

დიფერენციაციის წესების დამტკიცებისას, ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ f(x) და g(x) ფუნქციები დიფერენცირებადია X ინტერვალზე.

ანუ ნებისმიერისთვის მართალია, სად არის შესაბამისი ფუნქციების ნამატები.

სხვა პოსტში.

დიფერენცირების ძირითადი წესები მოიცავს:

წარმოებულის ნიშნის მიღმა მუდმივი ფაქტორის განხორციელება.

დავამტკიცოთ ფორმულა. წარმოებულის განმარტებით გვაქვს:

თვითნებური ფაქტორი შეიძლება გადავიდეს ზღვარზე გადასვლის ნიშნის მიღმა (ეს ცნობილია ლიმიტის თვისებებიდან), ამიტომ

ეს ასრულებს დიფერენციაციის პირველი წესის მტკიცებულებას.

ხშირად საჭიროა ჯერ დიფერენცირებადი ფუნქციის ფორმის გამარტივება, რათა გამოვიყენოთ წარმოებულების ცხრილი და წარმოებულების პოვნის წესები. ამას ნათლად ადასტურებს შემდეგი მაგალითები.

მაგალითი.

შეასრულეთ ფუნქციების დიფერენციაცია .

გამოსავალი.

ლოგარითმული ფუნქციის თვისებებიდან გამომდინარე, შეგიძლიათ გადახვიდეთ აღნიშვნაზე. რჩება დამახსოვრება ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებული და მუდმივი ფაქტორის დამატება:

მაგალითი.

გამოსავალი.

მოდით გადავცვალოთ ორიგინალური ფუნქცია .

ჩვენ ვიყენებთ მულტიპლიკატორის წარმოებულის ნიშნის გარეთ მოთავსების წესს და ვიღებთ ცხრილიდან ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებულს:

ჯამის წარმოებული, სხვაობის წარმოებული.

დიფერენციაციის მეორე წესის დასამტკიცებლად ვიყენებთ წარმოებულის განმარტებას და უწყვეტი ფუნქციის ზღვრის თვისებას.

ანალოგიურად შეიძლება დადასტურდეს, რომ n ფუნქციის ჯამის (განსხვავების) წარმოებული ტოლია n წარმოებულის ჯამის (განსხვავების).

მაგალითი.

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული .

გამოსავალი.

მოდით გავამარტივოთ ორიგინალური ფუნქციის ფორმა.

ჩვენ ვიყენებთ წარმოებული ჯამის (განსხვავების) წესს:

წინა აბზაცში ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნეს წარმოებულის ნიშნიდან

რჩება მხოლოდ წარმოებულების ცხრილის გამოყენება:

ფუნქციების ნამრავლის წარმოებული.

მოდით დავამტკიცოთ ორი ფუნქციის პროდუქტის დიფერენცირების წესი.

მოდით ჩამოვწეროთ ფუნქციების ნამრავლის შეფარდების შეფარდების ზღვარი არგუმენტის ზრდასთან. გავითვალისწინებთ, რომ და (ფუნქციის ზრდა ნულისკენ მიისწრაფვის, როგორც არგუმენტის ზრდა ნულისკენ).

ქ.ე.დ.

მაგალითი.

დიფერენცირება ფუნქცია .

გამოსავალი.

ამ მაგალითში. ჩვენ ვიყენებთ პროდუქტის წარმოებულების წესს:

ჩვენ მივმართავთ ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულების ცხრილს და ვიღებთ პასუხს:

მაგალითი.

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული.

გამოსავალი.

ამ მაგალითში . აქედან გამომდინარე,

განვიხილოთ სამი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებულის პოვნის შემთხვევა. პრინციპში, ერთი და იგივე სისტემის გამოყენებით შესაძლებელია ოთხი, ხუთი და ოცდახუთი ფუნქციის პროდუქტის დიფერენცირება.

მაგალითი.

შეასრულეთ ფუნქციის დიფერენციაცია.

გამოსავალი.

ჩვენ გამოვალთ ორი ფუნქციის პროდუქტის დიფერენცირების წესიდან. როგორც f(x) ფუნქცია მივიღებთ ნამრავლს (1+x)sinx და როგორც g(x) მივიღებთ lnx:

საპოვნელად ჩვენ კვლავ ვიყენებთ პროდუქტის წარმოებულების წესს:

ჩვენ ვიყენებთ წარმოებული ჯამის წესს და წარმოებული ცხრილს:

შევცვალოთ შედეგი:

როგორც ხედავთ, ზოგჯერ თქვენ უნდა გამოიყენოთ რამდენიმე დიფერენციაციის წესი ერთ მაგალითში. ამაში არაფერია რთული, მთავარია, თანმიმდევრულად ვიმოქმედოთ და ყველაფერი ერთმანეთს არ ავურიოთ.

მაგალითი.

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული.

გამოსავალი.

ფუნქცია წარმოადგენს გამონათქვამების განსხვავებას და, შესაბამისად

პირველ გამოსახულებაში ჩვენ ორს ვიღებთ წარმოებული ნიშნიდან, ხოლო მეორე გამონათქვამში გამოვიყენებთ პროდუქტის დიფერენცირების წესს:

ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებული (წილადის წარმოებული).

დავამტკიცოთ ორი ფუნქციის (წილადების) კოეფიციენტის დიფერენცირების წესი. . აღსანიშნავია, რომ g(x) არ ქრება X ინტერვალში არც ერთი x-ისთვის.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, გადახედოთ ჩვენს კონფიდენციალურობის პრაქტიკას და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• საიტზე განაცხადის გაგზავნისას, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენ მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ უნიკალური შეთავაზებებით, აქციებით და სხვა ღონისძიებებით და მომავალი ღონისძიებებით.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და კომუნიკაციების გასაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს აქციაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

ინფორმაციის გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვამხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• აუცილებლობის შემთხვევაში - კანონის, სასამართლო პროცედურების შესაბამისად, სასამართლო პროცესებში და/ან საჯარო მოთხოვნის ან რუსეთის ფედერაციის სამთავრობო ორგანოების მოთხოვნის საფუძველზე - თქვენი პირადი ინფორმაციის გამჟღავნება. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ გადავწყვეტთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, კანონის აღსრულების ან სხვა საზოგადოებრივი მნიშვნელობის მიზნებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეიძლება გადავიტანოთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მემკვიდრე მესამე მხარეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პერსონალური ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის პატივისცემა კომპანიის დონეზე

თქვენი პერსონალური ინფორმაციის უსაფრთხოების უზრუნველსაყოფად, ჩვენ ვუწოდებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების სტანდარტებს ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

როგორ მოვძებნოთ წარმოებული, როგორ ავიღოთ წარმოებული?ამ გაკვეთილზე ჩვენ ვისწავლით თუ როგორ მოვძებნოთ ფუნქციების წარმოებულები. მაგრამ ამ გვერდის შესწავლამდე გირჩევთ გაეცნოთ მეთოდოლოგიურ მასალას ცხელი ფორმულები სასკოლო მათემატიკის კურსისთვის. საცნობარო სახელმძღვანელოს გახსნა ან ჩამოტვირთვა შესაძლებელია გვერდზე მათემატიკური ფორმულები და ცხრილები. ასევე იქიდან დაგვჭირდება წარმოებულების ცხრილისჯობს მისი ამობეჭდვა ხშირად მოგიწევთ მიმართოთ არა მხოლოდ ახლა, არამედ ოფლაინშიც.

ჭამე? მოდი დავიწყოთ. ორი სიახლე მაქვს თქვენთვის: კარგი და ძალიან კარგი. კარგი ამბავი ეს არის: იმისთვის, რომ ისწავლოთ წარმოებულების პოვნა, არ გჭირდებათ იცოდეთ და გაიგოთ, რა არის წარმოებული. უფრო მეტიც, უფრო მიზანშეწონილია ფუნქციის წარმოებულის განმარტება, წარმოებულის მათემატიკური, ფიზიკური, გეომეტრიული მნიშვნელობის მოგვიანებით შესწავლა, რადგან თეორიის მაღალხარისხიანი შესწავლა, ჩემი აზრით, მოითხოვს მთელი რიგის შესწავლას. სხვა თემები, ასევე გარკვეული პრაქტიკული გამოცდილება.
ახლა კი ჩვენი ამოცანაა ტექნიკურად ავითვისოთ ეს იგივე წარმოებულები. ძალიან კარგი ამბავი ის არის, რომ წარმოებულების სწავლა არც ისე რთულია, ამ ამოცანის ამოხსნის (და ახსნის) საკმაოდ მკაფიო ალგორითმი, მაგალითად, უფრო რთულია;

მე გირჩევთ თემის შესწავლის შემდეგ თანმიმდევრობას:: პირველი, ეს სტატია. შემდეგ თქვენ უნდა წაიკითხოთ ყველაზე მნიშვნელოვანი გაკვეთილი რთული ფუნქციის წარმოებული. ეს ორი ძირითადი გაკვეთილი თქვენს უნარებს ნულიდან აიღებს. შემდეგ შეგიძლიათ გაეცნოთ უფრო რთულ წარმოებულებს სტატიაში რთული წარმოებულები. ლოგარითმული წარმოებული. თუ ბარი ძალიან მაღალია, ჯერ წაიკითხეთ უმარტივესი ტიპიური პრობლემები წარმოებულებთან. ახალი მასალის გარდა, გაკვეთილი მოიცავს წარმოებულების სხვა, უფრო მარტივ ტიპებს და არის შესანიშნავი შესაძლებლობა თქვენი დიფერენცირების ტექნიკის გასაუმჯობესებლად. გარდა ამისა, ტესტის ნაშრომები თითქმის ყოველთვის შეიცავს ამოცანებს ფუნქციების წარმოებულების პოვნაზე, რომლებიც მითითებულია იმპლიციტურად ან პარამეტრულად. ასევე არის ასეთი გაკვეთილი: იმპლიციტური და პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქციების წარმოებულები.

შევეცდები ხელმისაწვდომი ფორმით, ეტაპობრივად, გასწავლოთ ფუნქციების წარმოებულების პოვნა. ყველა ინფორმაცია წარმოდგენილია დეტალურად, მარტივი სიტყვებით.

სინამდვილეში, მოდით დაუყოვნებლივ შევხედოთ მაგალითს:

მაგალითი 1

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

გამოსავალი:

ეს არის უმარტივესი მაგალითი, გთხოვთ იპოვოთ იგი ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულების ცხრილში. ახლა გადავხედოთ გამოსავალს და გავაანალიზოთ რა მოხდა? და მოხდა შემდეგი: გვქონდა ფუნქცია, რომელიც ამოხსნის შედეგად გადაიქცა ფუნქციად.

მარტივად რომ ვთქვათ, იმისათვის, რომ იპოვოთ ფუნქციის წარმოებული, თქვენ უნდა გადააქციოთ იგი სხვა ფუნქციად გარკვეული წესების მიხედვით. გადახედეთ კიდევ ერთხელ წარმოებულების ცხრილს - იქ ფუნქციები გადაიქცევა სხვა ფუნქციებად. ერთადერთი გამონაკლისი არის ექსპონენციალური ფუნქცია, რომელიც იქცევა საკუთარ თავში. წარმოებულის პოვნის ოპერაცია ეწოდება დიფერენციაცია .

აღნიშვნები: წარმოებული აღინიშნება ან .

ყურადღება, მნიშვნელოვანია!დაივიწყეთ დარტყმის დადება (სადაც ეს აუცილებელია), ან დამატებითი დარტყმის დახატვა (სადაც ეს არ არის საჭირო) - დიდი შეცდომა!ფუნქცია და მისი წარმოებული ორი განსხვავებული ფუნქციაა!

დავუბრუნდეთ ჩვენს წარმოებულთა ცხრილს. ამ ცხრილიდან სასურველია დაიმახსოვრე: დიფერენცირების წესები და ზოგიერთი ელემენტარული ფუნქციის წარმოებულები, განსაკუთრებით:

მუდმივის წარმოებული:
, სადაც არის მუდმივი რიცხვი;

სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებული:
, კერძოდ: , , .

რატომ გახსოვს? ეს ცოდნა არის ძირითადი ცოდნა წარმოებულების შესახებ. და თუ თქვენ ვერ უპასუხებთ მასწავლებლის კითხვას "რა არის რიცხვის წარმოებული?", მაშინ თქვენი სწავლა უნივერსიტეტში შეიძლება დასრულდეს თქვენთვის (მე პირადად ვიცნობ რეალურ ცხოვრებაში არსებულ ორ შემთხვევას). გარდა ამისა, ეს არის ყველაზე გავრცელებული ფორმულები, რომლებიც უნდა გამოვიყენოთ თითქმის ყოველ ჯერზე, როცა წარმოებულებს ვხვდებით.

სინამდვილეში, მარტივი ცხრილის მაგალითები იშვიათია, როგორც წესი, წარმოებულების პოვნისას ჯერ გამოიყენება დიფერენციაციის წესები, შემდეგ კი ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულების ცხრილი.

ამასთან დაკავშირებით გადავდივართ განხილვაზე დიფერენციაციის წესები:

1) მუდმივი რიცხვი შეიძლება (და უნდა) ამოიღოთ წარმოებული ნიშნიდან

სად არის მუდმივი რიცხვი (მუდმივი)

მაგალითი 2

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

მოდით შევხედოთ წარმოებულების ცხრილს. კოსინუსის წარმოებული არსებობს, მაგრამ გვაქვს .

დროა გამოვიყენოთ წესი, წარმოებულის ნიშნიდან ვიღებთ მუდმივ ფაქტორს:

ახლა ჩვენ ვაქცევთ ჩვენს კოსინუსს ცხრილის მიხედვით:

კარგი, მიზანშეწონილია შედეგის ოდნავ „დავარცხნა“ - პირველ რიგში დააყენეთ მინუს ნიშანი, ამავდროულად მოიცილეთ ფრჩხილები:

2) ჯამის წარმოებული უდრის წარმოებულთა ჯამს

მაგალითი 3

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

გადავწყვიტოთ. როგორც თქვენ უკვე შენიშნეთ, პირველი ნაბიჯი, რომელიც ყოველთვის შესრულებულია წარმოებულის პოვნისას, არის ის, რომ ჩავსვამთ მთელ გამონათქვამს ფრჩხილებში და ვსვამთ პირველ ნიშანს ზედა მარჯვნივ:

გამოვიყენოთ მეორე წესი:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ დიფერენციაციისთვის, ყველა ფესვი და ხარისხი უნდა იყოს წარმოდგენილი ფორმით, ხოლო თუ ისინი მნიშვნელშია, გადაიტანეთ ისინი ზემოთ. როგორ გავაკეთოთ ეს, განხილულია ჩემს სასწავლო მასალებში.

ახლა გავიხსენოთ დიფერენციაციის პირველი წესი - ჩვენ ვიღებთ მუდმივ ფაქტორებს (რიცხვებს) წარმოებულის ნიშნის მიღმა:

ჩვეულებრივ, ამოხსნის დროს, ეს ორი წესი გამოიყენება ერთდროულად (ისე, რომ აღარ გადაიწეროს გრძელი გამოთქმა).

შტრიხების ქვეშ მდებარე ყველა ფუნქცია არის ცხრილის ელემენტარული ფუნქციები, რომლებიც ჩვენ ვახორციელებთ ტრანსფორმაციას:

თქვენ შეგიძლიათ დატოვოთ ყველაფერი ისე, როგორც არის, რადგან აღარ არის დარტყმები და ნაპოვნია წარმოებული. თუმცა, მსგავსი გამონათქვამები ჩვეულებრივ ამარტივებს:

მიზანშეწონილია ამ ტიპის ყველა ძლევამოსილების წარმოდგენა ძირების სახით, უნდა იყოს გადატვირთული მნიშვნელზე. მიუხედავად იმისა, რომ თქვენ არ გჭირდებათ ამის გაკეთება, ეს არ იქნება შეცდომა.

მაგალითი 4

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ეცადეთ, თავად მოაგვაროთ ეს მაგალითი (პასუხი გაკვეთილის ბოლოს). მსურველებს შეუძლიათ ისარგებლონ ინტენსიური კურსი pdf ფორმატში, რაც განსაკუთრებით აქტუალურია, თუ ძალიან ცოტა დრო გაქვთ თქვენს განკარგულებაში.

3) ფუნქციების ნამრავლის წარმოებული

როგორც ჩანს, ანალოგია გვთავაზობს ფორმულას ...., მაგრამ გასაკვირი ის არის, რომ:

ეს უჩვეულო წესია (როგორც, ფაქტობრივად, სხვები)გამომდინარეობს წარმოებული განმარტებები. მაგრამ ჩვენ ჯერ-ჯერობით შევიკავებთ თეორიას - ახლა უფრო მნიშვნელოვანია ვისწავლოთ როგორ გადავჭრათ:

მაგალითი 5

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

აქ გვაქვს ორი ფუნქციის ნამრავლი, რომელიც დამოკიდებულია .
ჯერ ჩვენ ვიყენებთ ჩვენს უცნაურ წესს და შემდეგ ვაფორმირებთ ფუნქციებს წარმოებული ცხრილის გამოყენებით:

რთული? სულაც არა, საკმაოდ ხელმისაწვდომი ჩაიდანისთვისაც კი.

მაგალითი 6

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ეს ფუნქცია შეიცავს ორი ფუნქციის - კვადრატული ტრინომისა და ლოგარითმის ჯამს და ნამრავლს. სკოლიდან გვახსოვს, რომ გამრავლება და გაყოფა უპირატესია შეკრებაზე და გამოკლებაზე.

აქაც იგივეა. პირველ რიგშიჩვენ ვიყენებთ პროდუქტის დიფერენციაციის წესს:

ახლა ფრჩხილისთვის ვიყენებთ პირველ ორ წესს:

შტრიხების ქვეშ დიფერენცირების წესების გამოყენების შედეგად, ჩვენ მხოლოდ ელემენტარული ფუნქციები გვრჩება წარმოებულების ცხრილის გამოყენებით, ვაქცევთ მათ სხვა ფუნქციებად:

მზადაა.

წარმოებულების პოვნის გარკვეული გამოცდილებით, მარტივი წარმოებულები, როგორც ჩანს, არ საჭიროებს ასეთ დეტალურად აღწერას. ზოგადად, ჩვეულებრივ, ზეპირად წყდება და ეს მაშინვე იწერება .

მაგალითი 7

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი თქვენთვის მოსაგვარებლად (პასუხი გაკვეთილის ბოლოს)

4) კოეფიციენტური ფუნქციების წარმოებული

ჭერში გაღებული ლუქი, არ ინერვიულოთ, შეფერხებაა.
მაგრამ ეს არის მკაცრი რეალობა:

მაგალითი 8

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

რა აკლია აქ - ჯამი, სხვაობა, პროდუქტი, წილადი…. საიდან დავიწყოთ?! არის ეჭვები, არ არსებობს ეჭვები, მაგრამ, ყოველ შემთხვევაშიპირველ რიგში, დახაზეთ ფრჩხილები და დაადეთ შტრიხი ზედა მარჯვნივ:

ახლა გადავხედავთ გამონათქვამს ფრჩხილებში, როგორ გავამარტივოთ იგი? ამ შემთხვევაში ვამჩნევთ ფაქტორს, რომელიც, პირველი წესის მიხედვით, მიზანშეწონილია მოთავსდეს წარმოებულის ნიშნის გარეთ.