ერთ ბაზამდე შემცირების ფორმულა. ლოგარითმის განმარტება, ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა

ჩვენ ვაგრძელებთ ლოგარითმების შესწავლას. ამ სტატიაში ვისაუბრებთ ლოგარითმების გამოთვლა, ამ პროცესს ე.წ ლოგარითმი. ჯერ გავიგებთ ლოგარითმების გამოთვლას განმარტებით. შემდეგი, მოდით შევხედოთ, თუ როგორ არის ნაპოვნი ლოგარითმების მნიშვნელობები მათი თვისებების გამოყენებით. ამის შემდეგ, ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ ლოგარითმების გამოთვლაზე სხვა ლოგარითმების თავდაპირველად მითითებული მნიშვნელობებით. და ბოლოს, მოდით ვისწავლოთ ლოგარითმის ცხრილების გამოყენება. მთელი თეორია მოცემულია მაგალითებით დეტალური გადაწყვეტილებებით.

გვერდის ნავიგაცია.

ლოგარითმების გამოთვლა განმარტებით

უმარტივეს შემთხვევებში შესაძლებელია საკმაოდ სწრაფად და მარტივად შესრულება ლოგარითმის პოვნა განსაზღვრებით. მოდით უფრო დეტალურად განვიხილოთ, თუ როგორ ხდება ეს პროცესი.

მისი არსი არის b რიცხვის წარმოდგენა a c სახით, საიდანაც, ლოგარითმის განმარტებით, რიცხვი c არის ლოგარითმის მნიშვნელობა. ანუ, განმარტებით, ტოლობების შემდეგი ჯაჭვი შეესაბამება ლოგარითმის პოვნას: log a b=log a a c =c.

ამრიგად, ლოგარითმის განსაზღვრებით გამოთვლა მთავრდება c რიცხვის პოვნამდე, რომ c = b და თავად რიცხვი c არის ლოგარითმის სასურველი მნიშვნელობა.

წინა აბზაცებში მოცემული ინფორმაციის გათვალისწინებით, როდესაც ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ რიცხვი მოცემულია ლოგარითმის ბაზის გარკვეული სიმძლავრით, შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ მიუთითოთ რის ტოლია ლოგარითმი - ის უდრის მაჩვენებელს. მოდით ვაჩვენოთ მაგალითების გადაწყვეტილებები.

მაგალითი.

იპოვეთ log 2 2 −3 და ასევე გამოთვალეთ რიცხვის e 5,3 ბუნებრივი ლოგარითმი.

გამოსავალი.

ლოგარითმის განმარტება საშუალებას გვაძლევს დაუყოვნებლივ ვთქვათ, რომ log 2 2 −3 =−3. მართლაც, რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ უდრის 2-ს −3 ხარისხს.

ანალოგიურად, ჩვენ ვპოულობთ მეორე ლოგარითმს: lne 5.3 =5.3.

პასუხი:

log 2 2 −3 =−3 და lne 5,3 =5,3.

თუ რიცხვი b ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ არ არის მითითებული, როგორც ლოგარითმის ფუძის სიმძლავრე, მაშინ საჭიროა ყურადღებით დაათვალიეროთ, რომ ნახოთ შესაძლებელია თუ არა რიცხვის b გამოსახვა a c სახით. ხშირად ეს წარმოდგენა საკმაოდ აშკარაა, განსაკუთრებით მაშინ, როდესაც რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ უდრის ბაზის ხარისხს 1, ან 2, ან 3, ...

მაგალითი.

გამოთვალეთ ლოგარითმები log 5 25 და .

გამოსავალი.

ადვილი მისახვედრია, რომ 25=5 2, ეს საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ პირველი ლოგარითმი: log 5 25=log 5 5 2 =2.

გადავიდეთ მეორე ლოგარითმის გამოთვლაზე. რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს 7-ის ხარისხად: (იხილეთ საჭიროების შემთხვევაში). აქედან გამომდინარე, .

გადავიწეროთ მესამე ლოგარითმი შემდეგი ფორმით. ახლა თქვენ ხედავთ ამას , საიდანაც ვასკვნით, რომ . მაშასადამე, ლოგარითმის განმარტებით .

მოკლედ, გამოსავალი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად: .

პასუხი:

ჟურნალი 5 25=2, და .

როდესაც ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ არის საკმარისად დიდი ნატურალური რიცხვი, არ არის საზიანო მისი გაანგარიშება პირველ ფაქტორებად. ხშირად გვეხმარება ისეთი რიცხვის წარმოდგენაში, როგორიც არის ლოგარითმის ფუძის გარკვეული სიმძლავრე და, შესაბამისად, ამ ლოგარითმის განსაზღვრებით გამოთვლა.

მაგალითი.

იპოვეთ ლოგარითმის მნიშვნელობა.

გამოსავალი.

ლოგარითმების ზოგიერთი თვისება საშუალებას გაძლევთ დაუყოვნებლივ მიუთითოთ ლოგარითმების მნიშვნელობა. ეს თვისებები მოიცავს ერთის ლოგარითმის თვისებას და ფუძის ტოლი რიცხვის ლოგარითმის თვისებას: log 1 1=log a a 0 =0 და log a=log a 1 =1. ანუ, როდესაც ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ არის რიცხვი 1 ან რიცხვი, რომელიც ტოლია ლოგარითმის ფუძესთან, მაშინ ამ შემთხვევებში ლოგარითმები უდრის 0-ს და 1-ს.

მაგალითი.

რის ტოლია ლოგარითმები და log10?

გამოსავალი.

ვინაიდან , მაშინ ლოგარითმის განმარტებიდან გამომდინარეობს .

მეორე მაგალითში რიცხვი 10 ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ ემთხვევა მის ფუძეს, ამიტომ ათეულის ათწილადი ლოგარითმი უდრის ერთს, ანუ lg10=lg10 1 =1.

პასუხი:

და lg10=1.

გაითვალისწინეთ, რომ ლოგარითმების გამოთვლა განმარტებით (რაზეც წინა აბზაცში ვისაუბრეთ) გულისხმობს ტოლობის log a a p =p გამოყენებას, რაც ლოგარითმების ერთ-ერთი თვისებაა.

პრაქტიკაში, როდესაც რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ და ლოგარითმის ფუძის ქვეშ არის ადვილად წარმოდგენილი, როგორც გარკვეული რიცხვის სიმძლავრე, ძალიან მოსახერხებელია ფორმულის გამოყენება. , რომელიც შეესაბამება ლოგარითმების ერთ-ერთ თვისებას. მოდით შევხედოთ ლოგარითმის პოვნის მაგალითს, რომელიც ასახავს ამ ფორმულის გამოყენებას.

მაგალითი.

გამოთვალეთ ლოგარითმი.

გამოსავალი.

პასუხი:

.

ლოგარითმების თვისებები, რომლებიც ზემოთ არ არის ნახსენები, ასევე გამოიყენება გამოთვლებში, მაგრამ ამაზე ვისაუბრებთ შემდეგ აბზაცებში.

ლოგარითმების პოვნა სხვა ცნობილი ლოგარითმების მეშვეობით

ამ პარაგრაფში მოცემული ინფორმაცია აგრძელებს ლოგარითმების თვისებების გამოყენების თემას მათი გამოთვლისას. მაგრამ აქ მთავარი განსხვავება ისაა, რომ ლოგარითმების თვისებები გამოიყენება ორიგინალური ლოგარითმის სხვა ლოგარითმით გამოხატვისთვის, რომლის მნიშვნელობა ცნობილია. გარკვევისთვის მოვიყვანოთ მაგალითი. ვთქვათ, ვიცით, რომ log 2 3≈1.584963, შემდეგ შეგვიძლია ვიპოვოთ, მაგალითად, log 2 6 მცირე ტრანსფორმაციის განხორციელებით ლოგარითმის თვისებების გამოყენებით: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

ზემოთ მოყვანილ მაგალითში საკმარისი იყო პროდუქტის ლოგარითმის თვისების გამოყენება. თუმცა, ბევრად უფრო ხშირად საჭიროა ლოგარითმების თვისებების უფრო ფართო არსენალის გამოყენება, რათა გამოვთვალოთ ორიგინალური ლოგარითმი მოცემულების მეშვეობით.

მაგალითი.

გამოთვალეთ 27-ის ლოგარითმი 60-მდე, თუ იცით, რომ log 60 2=a და log 60 5=b.

გამოსავალი.

ასე რომ, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ჟურნალი 60 27. ადვილი მისახვედრია, რომ 27 = 3 3 და ორიგინალური ლოგარითმი, სიმძლავრის ლოგარითმის თვისების გამო, შეიძლება გადაიწეროს როგორც 3·log 60 3.

ახლა ვნახოთ, როგორ გამოვხატოთ log 60 3 ცნობილი ლოგარითმების მიხედვით. ფუძის ტოლი რიცხვის ლოგარითმის თვისება საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ ტოლობის ჟურნალი 60 60=1. მეორეს მხრივ, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . ამრიგად, 2 ლოგი 60 2+ლოგი 60 3+ლოგი 60 5=1. აქედან გამომდინარე, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

დაბოლოს, ჩვენ ვიანგარიშებთ თავდაპირველ ლოგარითმს: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

პასუხი:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

ცალკე, აღსანიშნავია ფორმის ლოგარითმის ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულის მნიშვნელობა. . ის საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ ლოგარითმებიდან ნებისმიერი ფუძით ლოგარითმებზე კონკრეტული ფუძის მქონე ლოგარითმებზე, რომელთა მნიშვნელობები ცნობილია ან შესაძლებელია მათი პოვნა. ჩვეულებრივ, ორიგინალური ლოგარითმიდან, გარდამავალი ფორმულის გამოყენებით, ისინი გადადიან ლოგარითმებზე ერთ-ერთ 2, e ან 10 ფუძეზე, რადგან ამ ბაზებისთვის არის ლოგარითმების ცხრილები, რომლებიც საშუალებას აძლევს მათი მნიშვნელობების გამოთვლას გარკვეული ხარისხით. სიზუსტე. შემდეგ აბზაცში ჩვენ გაჩვენებთ, თუ როგორ კეთდება ეს.

ლოგარითმის ცხრილები და მათი გამოყენება

ლოგარითმის მნიშვნელობების სავარაუდო გაანგარიშებისთვის შეიძლება გამოყენებულ იქნას ლოგარითმის ცხრილები. ყველაზე ხშირად გამოყენებული ბაზის 2 ლოგარითმის ცხრილი, ბუნებრივი ლოგარითმის ცხრილი და ათობითი ლოგარითმის ცხრილი. ათობითი რიცხვების სისტემაში მუშაობისას მოსახერხებელია ლოგარითმების ცხრილის გამოყენება, რომელიც დაფუძნებულია ათეულზე. მისი დახმარებით ჩვენ ვისწავლით ლოგარითმების მნიშვნელობების პოვნას.

წარმოდგენილი ცხრილი საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ რიცხვების ათობითი ლოგარითმების მნიშვნელობები 1000-დან 9999-მდე (სამი ათობითი ადგილით) ათიათასიანი სიზუსტით. ჩვენ გავაანალიზებთ ლოგარითმის მნიშვნელობის პოვნის პრინციპს ათობითი ლოგარითმების ცხრილის გამოყენებით კონკრეტული მაგალითის გამოყენებით - ეს უფრო ნათელია. მოდი ვიპოვოთ log1.256.

ათობითი ლოგარითმების ცხრილის მარცხენა სვეტში ვხვდებით 1.256 რიცხვის პირველ ორ ციფრს, ანუ ვპოულობთ 1.2-ს (სიცხადისთვის ეს რიცხვი შემოხაზულია ლურჯად). 1.256 რიცხვის მესამე ციფრი (ციფრი 5) გვხვდება ორმაგი ხაზის მარცხნივ პირველ ან ბოლო სტრიქონში (ეს რიცხვი შემოხაზულია წითლად). ორიგინალური რიცხვის 1.256 მეოთხე ციფრი (ციფრი 6) გვხვდება ორმაგი ხაზის მარჯვნივ პირველ ან ბოლო სტრიქონში (ეს რიცხვი შემოხაზულია მწვანე ხაზით). ახლა ჩვენ ვპოულობთ რიცხვებს ლოგარითმის ცხრილის უჯრედებში მონიშნული მწკრივისა და მონიშნული სვეტების კვეთაზე (ეს რიცხვები მონიშნულია ნარინჯისფრად). მონიშნული რიცხვების ჯამი იძლევა ათწილადის ლოგარითმის სასურველ მნიშვნელობას მეოთხე ათწილადამდე, ანუ log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

შესაძლებელია თუ არა, ზემოთ მოყვანილი ცხრილის გამოყენებით, ვიპოვოთ რიცხვების ათობითი ლოგარითმების მნიშვნელობები, რომლებსაც აქვთ სამზე მეტი ციფრი ათწილადის წერტილის შემდეგ, ისევე როგორც ის, ვინც სცილდება 1-დან 9.999-მდე დიაპაზონს? Დიახ, შეგიძლია. მოდით აჩვენოთ, თუ როგორ კეთდება ეს მაგალითით.

გამოვთვალოთ lg102.76332. ჯერ უნდა დაწერო ნომერი სტანდარტული ფორმით: 102.76332=1.0276332·10 2. ამის შემდეგ მანტისა უნდა დამრგვალდეს მესამე ათწილადამდე, გვაქვს 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, მაშინ როცა თავდაპირველი ათობითი ლოგარითმი დაახლოებით უდრის მიღებული რიცხვის ლოგარითმს, ანუ ვიღებთ log102.76332≈lg1.028·10 2. ახლა ჩვენ ვიყენებთ ლოგარითმის თვისებებს: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. საბოლოოდ, ათწილადი ლოგარითმების ცხრილიდან ვპოულობთ lg1.028 ლოგარითმის მნიშვნელობას lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. შედეგად, ლოგარითმის გამოთვლის მთელი პროცესი ასე გამოიყურება: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

დასასრულს, აღსანიშნავია, რომ ათობითი ლოგარითმების ცხრილის გამოყენებით შეგიძლიათ გამოთვალოთ ნებისმიერი ლოგარითმის სავარაუდო მნიშვნელობა. ამისათვის საკმარისია გამოიყენოთ გარდამავალი ფორმულა, რომ გადავიდეთ ათობითი ლოგარითმებზე, იპოვოთ მათი მნიშვნელობები ცხრილში და შეასრულოთ დარჩენილი გამოთვლები.

მაგალითად, გამოვთვალოთ ჟურნალი 2 3 . ლოგარითმის ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულის მიხედვით გვაქვს . ათობითი ლოგარითმების ცხრილიდან ვხვდებით log3≈0.4771 და log2≈0.3010. ამრიგად, .

ბიბლიოგრაფია.

• კოლმოგოროვი A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. და სხვა ალგებრა და ანალიზის საწყისები: ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების მე-10 - მე-11 კლასების სახელმძღვანელო.
• გუსევი V.A., Mordkovich A.G. მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკურ სასწავლებლებში შესვლისთვის).

\(a^(b)=c\) \(\მარცხენა მარჯვენა ისარი\) \(\log_(a)(c)=b\)

მოდი უფრო მარტივად ავხსნათ. მაგალითად, \(\log_(2)(8)\) ტოლია იმ სიმძლავრისა, რომელზეც \(2\) უნდა გაიზარდოს \(8\) მისაღებად. აქედან ირკვევა, რომ \(\log_(2)(8)=3\).

ლოგარითმის არგუმენტი და საფუძველი

ნებისმიერ ლოგარითმს აქვს შემდეგი „ანატომია“:

ლოგარითმის არგუმენტი ჩვეულებრივ იწერება მის დონეზე, ხოლო ფუძე იწერება ქვესკრიპტით, რომელიც უფრო ახლოსაა ლოგარითმის ნიშანთან. და ეს ჩანაწერი ასე იკითხება: "ლოგარითმი ოცდახუთიდან ხუთამდე".

როგორ გამოვთვალოთ ლოგარითმი?

ლოგარითმის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა უპასუხოთ კითხვას: რა ძალაზე უნდა გაიზარდოს საფუძველი არგუმენტის მისაღებად?

Მაგალითად, გამოთვალეთ ლოგარითმი: ა) \(\log_(4)(16)\) ბ) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) გ) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

ა) რა ძალაზე უნდა გაიზარდოს \(4\) რომ მივიღოთ \(16\)? ცხადია მეორე. Ამიტომაც:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

გ) რა სიმძლავრემდე უნდა გაიზარდოს \(\sqrt(5)\) რომ მივიღოთ \(1\)? რომელი ძალა განაპირობებს ნებისმიერ ნომერ პირველს? ნული, რა თქმა უნდა!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

დ) რა სიმძლავრემდე უნდა გაიზარდოს \(\sqrt(7)\) რომ მივიღოთ \(\sqrt(7)\)? ჯერ ერთი, ნებისმიერი რიცხვი პირველ ხარისხში უდრის თავის თავს.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

ე) რა სიმძლავრემდე უნდა გაიზარდოს \(3\) \(\sqrt(3)\) მისაღებად? ჩვენ ვიცით, რომ ეს არის წილადი სიძლიერე, რაც ნიშნავს, რომ კვადრატული ფესვი არის \(\frac(1)(2)\) სიძლიერე.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

მაგალითი : გამოთვალეთ ლოგარითმი \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

გამოსავალი :

უპასუხე : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

რატომ გამოიგონეს ლოგარითმი?

ამის გასაგებად, მოდით ამოხსნათ განტოლება: \(3^(x)=9\). უბრალოდ შეუსაბამეთ \(x\), რათა განტოლება იმუშაოს. რა თქმა უნდა, \(x=2\).

ახლა ამოხსენით განტოლება: \(3^(x)=8\).რის ტოლია x? Ამაშია ზუსტად ამის აზრი.

ყველაზე ჭკვიანი იტყვის: "X არის ორზე ცოტა ნაკლები". ზუსტად როგორ ჩავწეროთ ეს რიცხვი? ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად გამოიგონეს ლოგარითმი. მისი წყალობით, აქ პასუხი შეიძლება დაიწეროს როგორც \(x=\log_(3)(8)\).

მინდა ხაზგასმით აღვნიშნო, რომ \(\log_(3)(8)\), მოსწონს ნებისმიერი ლოგარითმი მხოლოდ რიცხვია. დიახ, გამოიყურება უჩვეულო, მაგრამ მოკლეა. რადგან თუ გვინდოდა მისი დაწერა ათწილადად, ასე გამოიყურებოდა: \(1.892789260714.....\)

მაგალითი : ამოხსენით განტოლება \(4^(5x-4)=10\)

გამოსავალი :

უპასუხე : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

ათწილადი და ბუნებრივი ლოგარითმები

როგორც ლოგარითმის განმარტებაშია ნათქვამი, მისი საფუძველი შეიძლება იყოს ნებისმიერი დადებითი რიცხვი გარდა ერთი \((a>0, a\neq1)\). და ყველა შესაძლო საფუძველს შორის არის ორი, რომელიც ხდება ისე ხშირად, რომ მათთან ერთად გამოიგონეს სპეციალური მოკლე აღნიშვნა ლოგარითმებისთვის:

ბუნებრივი ლოგარითმი: ლოგარითმი, რომლის საფუძველია ეილერის რიცხვი \(e\) (დაახლოებით \(2.7182818…\)), ხოლო ლოგარითმი იწერება როგორც \(\ln(a)\).

ანუ \(\ln(a)\) იგივეა, რაც \(\log_(e)(a)\)

ათწილადი ლოგარითმი: ლოგარითმი, რომლის საფუძველია 10, იწერება \(\lg(a)\).

ანუ \(\lg(a)\) იგივეა, რაც \(\log_(10)(a)\), სადაც \(a\) არის რაღაც რიცხვი.

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა

ლოგარითმს ბევრი თვისება აქვს. ერთ-ერთ მათგანს ეწოდება "ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა" და ასე გამოიყურება:

ეს თვისება პირდაპირ გამომდინარეობს განმარტებიდან. ვნახოთ ზუსტად როგორ გაჩნდა ეს ფორმულა.

გავიხსენოთ ლოგარითმის განმარტების მოკლე აღნიშვნა:

თუ \(a^(b)=c\), მაშინ \(\log_(a)(c)=b\)

ანუ \(b\) იგივეა, რაც \(\log_(a)(c)\). მაშინ ჩვენ შეგვიძლია ჩავწეროთ \(\log_(a)(c)\) \(b\)-ის ნაცვლად ფორმულაში \(a^(b)=c\). აღმოჩნდა \(a^(\log_(a)(c))=c\) - მთავარი ლოგარითმული იდენტობა.

თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ლოგარითმების სხვა თვისებები. მათი დახმარებით თქვენ შეგიძლიათ გაამარტივოთ და გამოთვალოთ გამონათქვამების მნიშვნელობები ლოგარითმებით, რომელთა პირდაპირ გამოთვლა რთულია.

მაგალითი : იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა \(36^(\log_(6)(5))\)

გამოსავალი :

უპასუხე : \(25\)

როგორ დავწეროთ რიცხვი ლოგარითმის სახით?

როგორც ზემოთ აღვნიშნეთ, ნებისმიერი ლოგარითმი მხოლოდ რიცხვია. პირიქითაც მართალია: ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება დაიწეროს ლოგარითმად. მაგალითად, ჩვენ ვიცით, რომ \(\log_(2)(4)\) უდრის ორს. შემდეგ შეგიძლიათ დაწეროთ \(\log_(2)(4)\) ორის ნაცვლად.

მაგრამ \(\log_(3)(9)\) ასევე უდრის \(2\), რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ ასევე შეგვიძლია დავწეროთ \(2=\log_(3)(9)\) . ანალოგიურად, \(\log_(5)(25)\), და \(\log_(9)(81)\) და ა.შ. ანუ გამოდის

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

ამრიგად, თუ გვჭირდება, შეგვიძლია დავწეროთ ორი ლოგარითმად ნებისმიერი ფუძით სადმე (განტოლებაში, გამოსახულებაში თუ უტოლობაში) - ჩვენ უბრალოდ არგუმენტად ვწერთ ფუძეს კვადრატში.

იგივეა სამმაგი – ის შეიძლება დაიწეროს როგორც \(\log_(2)(8)\), ან როგორც \(\log_(3)(27)\), ან როგორც \(\log_(4)( 64) \)... აქ არგუმენტად ვწერთ ფუძეს კუბში:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

და ოთხთან ერთად:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

და მინუს ერთით:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

და ერთი მესამედით:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

ნებისმიერი რიცხვი \(a\) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ლოგარითმის სახით \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

მაგალითი : იპოვე გამოთქმის მნიშვნელობა \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

გამოსავალი :

უპასუხე : \(1\)

b დადებითი რიცხვის ლოგარითმი a საფუძველზე (a>0, a არ არის 1-ის ტოლი) არის c რიცხვი, რომ a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

გაითვალისწინეთ, რომ არაპოზიტიური რიცხვის ლოგარითმი განუსაზღვრელია. გარდა ამისა, ლოგარითმის საფუძველი უნდა იყოს დადებითი რიცხვი, რომელიც არ არის 1-ის ტოლი. მაგალითად, თუ კვადრატში -2 მივიღებთ რიცხვს 4, მაგრამ ეს არ ნიშნავს, რომ 4-ის ფუძე -2 ლოგარითმი ტოლია. 2-მდე.

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა

მნიშვნელოვანია, რომ ამ ფორმულის მარჯვენა და მარცხენა მხარის განსაზღვრის ფარგლები განსხვავებული იყოს. მარცხენა მხარე განისაზღვრება მხოლოდ b>0-ისთვის, a>0 და a ≠ 1-ისთვის. მარჯვენა მხარე განისაზღვრება ნებისმიერი b-ისთვის და საერთოდ არ არის დამოკიდებული a-ზე. ამრიგად, ძირითადი ლოგარითმული „იდენტობის“ გამოყენება განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას შეიძლება გამოიწვიოს OD-ის ცვლილება.

ლოგარითმის განმარტების ორი აშკარა შედეგი

მართლაც, a რიცხვის პირველ ხარისხზე აყვანისას ვიღებთ იგივე რიცხვს, ხოლო ნულოვან ხარისხზე აყვანისას ვიღებთ ერთს.

ნამრავლის ლოგარითმი და კოეფიციენტის ლოგარითმი

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

მინდა გავაფრთხილო სკოლის მოსწავლეები, არ გამოიყენონ ეს ფორმულები დაუფიქრებლად ლოგარითმული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას. მათი გამოყენებისას „მარცხნიდან მარჯვნივ“, ODZ ვიწროვდება, ხოლო ლოგარითმების ჯამიდან ან სხვაობიდან პროდუქტის ან კოეფიციენტის ლოგარითმზე გადასვლისას, ODZ ფართოვდება.

მართლაც, გამოთქმა log a (f (x) g (x)) განისაზღვრება ორ შემთხვევაში: როდესაც ორივე ფუნქცია მკაცრად დადებითია ან როდესაც f(x) და g(x) ორივე ნულზე ნაკლებია.

ამ გამოთქმის ჯამად log a f (x) + log a g (x) გარდაქმნით, იძულებული ვართ შემოვიფარგლოთ მხოლოდ იმ შემთხვევით, როდესაც f(x)>0 და g(x)>0. არსებობს მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონის შევიწროება და ეს კატეგორიულად მიუღებელია, ვინაიდან ამან შეიძლება გამოიწვიოს გადაწყვეტილებების დაკარგვა. ანალოგიური პრობლემა არსებობს ფორმულისთვის (6).

ხარისხი შეიძლება ამოღებულ იქნას ლოგარითმის ნიშნიდან

და კიდევ ერთხელ მინდა მოვუწოდო სიზუსტეს. განვიხილოთ შემდეგი მაგალითი:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

ტოლობის მარცხენა მხარე აშკარად არის განსაზღვრული f(x)-ის ყველა მნიშვნელობისთვის ნულის გარდა. მარჯვენა მხარე არის მხოლოდ f(x)>0! ლოგარითმიდან ხარისხის ამოღებით, ჩვენ კვლავ ვიწროვებთ ODZ-ს. საპირისპირო პროცედურა იწვევს მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონის გაფართოებას. ყველა ეს შენიშვნა ეხება არა მხოლოდ ძალა 2-ს, არამედ ნებისმიერ თანაბარ ძალას.

ახალ ფონდში გადასვლის ფორმულა

ის იშვიათი შემთხვევა, როდესაც ODZ არ იცვლება ტრანსფორმაციის დროს. თუ თქვენ გონივრულად შეარჩიეთ ბაზა c (დადებითი და არა 1-ის ტოლი), ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა სრულიად უსაფრთხოა.

თუ ჩვენ ვირჩევთ რიცხვს b ახალ საფუძვლად c, მივიღებთ ფორმულის მნიშვნელოვან განსაკუთრებულ შემთხვევას (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

რამდენიმე მარტივი მაგალითი ლოგარითმებით

მაგალითი 1. გამოთვალეთ: log2 + log50.
გამოსავალი. log2 + log50 = log100 = 2. ჩვენ გამოვიყენეთ ლოგარითმების ჯამი ფორმულა (5) და ათობითი ლოგარითმის განმარტება.

მაგალითი 2. გამოთვალეთ: lg125/lg5.
გამოსავალი. log125/log5 = log 5 125 = 3. ჩვენ გამოვიყენეთ ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა (8).

ლოგარითმებთან დაკავშირებული ფორმულების ცხრილი

რა არის ლოგარითმი?

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალები 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც ძალიან "არ არის ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

რა არის ლოგარითმი? როგორ ამოხსნათ ლოგარითმები? ეს კითხვები ბევრ კურსდამთავრებულს აბნევს. ტრადიციულად, ლოგარითმების თემა განიხილება რთული, გაუგებარი და საშინელი. განსაკუთრებით განტოლებები ლოგარითმებით.

ეს აბსოლუტურად არ შეესაბამება სიმართლეს. აბსოლუტურად! არ გჯერა? ჯარიმა. ახლა, სულ რაღაც 10-20 წუთში თქვენ:

1. გაიგებთ რა არის ლოგარითმი.

2. ისწავლეთ ექსპონენციალური განტოლებების მთელი კლასის ამოხსნა. მაშინაც კი, თუ მათ შესახებ არაფერი გსმენიათ.

3. ისწავლეთ მარტივი ლოგარითმების გამოთვლა.

უფრო მეტიც, ამისათვის თქვენ მხოლოდ უნდა იცოდეთ გამრავლების ცხრილი და როგორ ავიყვანოთ რიცხვი ხარისხამდე...

ვგრძნობ, რომ ეჭვი გეპარება... კარგი, კარგი, მონიშნე დრო! წადი!

პირველ რიგში, ამოხსენით ეს განტოლება თქვენს თავში:

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. ვისწავლოთ - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

მოგეხსენებათ, გამონათქვამების ძალებით გამრავლებისას მათი მაჩვენებლები ყოველთვის იკრიბება (a b *a c = a b+c). ეს მათემატიკური კანონი გამოიტანა არქიმედესმა და მოგვიანებით, მე-8 საუკუნეში, მათემატიკოსმა ვირასენმა შექმნა მთელი რიცხვების მაჩვენებლების ცხრილი. სწორედ ისინი ემსახურებოდნენ ლოგარითმების შემდგომ აღმოჩენას. ამ ფუნქციის გამოყენების მაგალითები შეგიძლიათ ნახოთ თითქმის ყველგან, სადაც თქვენ უნდა გაამარტივოთ რთული გამრავლება მარტივი შეკრებით. თუ 10 წუთს დაუთმობთ ამ სტატიის კითხვას, ჩვენ აგიხსნით რა არის ლოგარითმები და როგორ იმუშაოთ მათთან. მარტივი და ხელმისაწვდომი ენით.

განმარტება მათემატიკაში

ლოგარითმი არის შემდეგი ფორმის გამოხატულება: log a b=c, ანუ ნებისმიერი არაუარყოფითი რიცხვის (ანუ ნებისმიერი დადებითი) ლოგარითმი "b" მის ფუძეზე "a" ითვლება "c" ხარისხად. ” რომელზედაც უნდა გაიზარდოს ფუძე “a”, რათა საბოლოოდ მივიღოთ მნიშვნელობა “b”. გავაანალიზოთ ლოგარითმი მაგალითების გამოყენებით, ვთქვათ არის გამონათქვამი log 2 8. როგორ მოვძებნოთ პასუხი? ეს ძალიან მარტივია, თქვენ უნდა იპოვოთ სიმძლავრე ისეთი, რომ 2-დან საჭირო სიმძლავრემდე მიიღოთ 8. თქვენს თავში გარკვეული გამოთვლების გაკეთების შემდეგ მივიღებთ რიცხვს 3! და ეს მართალია, რადგან 2 3-ის ხარისხზე იძლევა პასუხს, როგორც 8.

ლოგარითმების სახეები

ბევრი მოსწავლისა და სტუდენტისთვის ეს თემა რთული და გაუგებარი ჩანს, მაგრამ სინამდვილეში ლოგარითმები არც ისე საშინელია, მთავარია მათი ზოგადი მნიშვნელობის გაგება და მათი თვისებების და ზოგიერთი წესის დამახსოვრება. ლოგარითმული გამოსახულებების სამი განსხვავებული ტიპი არსებობს:

1. ბუნებრივი ლოგარითმი ln a, სადაც ფუძეა ეილერის რიცხვი (e = 2.7).
2. ათწილადი a, სადაც ფუძე არის 10.
3. ნებისმიერი b რიცხვის ლოგარითმი a>1-მდე.

თითოეული მათგანი წყდება სტანდარტული გზით, მათ შორის გამარტივება, შემცირება და შემდგომი შემცირება ერთ ლოგარითმზე ლოგარითმული თეორემების გამოყენებით. ლოგარითმების სწორი მნიშვნელობების მისაღებად, მათი ამოხსნისას უნდა გახსოვდეთ მათი თვისებები და მოქმედებების თანმიმდევრობა.

წესები და გარკვეული შეზღუდვები

მათემატიკაში არის რამდენიმე წესი-შეზღუდვა, რომლებიც მიღებულია აქსიომად, ანუ ისინი არ ექვემდებარება განხილვას და არის ჭეშმარიტება. მაგალითად, შეუძლებელია რიცხვების ნულზე გაყოფა და ასევე შეუძლებელია უარყოფითი რიცხვების ლუწი ფესვის ამოღება. ლოგარითმებს ასევე აქვთ საკუთარი წესები, რომელთა დაცვით შეგიძლიათ მარტივად ისწავლოთ მუშაობა გრძელი და ტევადი ლოგარითმული გამონათქვამებითაც კი:

• ფუძე "a" ყოველთვის უნდა იყოს ნულზე მეტი და არა 1-ის ტოლი, წინააღმდეგ შემთხვევაში გამოთქმა დაკარგავს თავის მნიშვნელობას, რადგან "1" და "0" ნებისმიერი ხარისხით ყოველთვის მათი მნიშვნელობების ტოლია;
• თუ a > 0, მაშინ a b >0, გამოდის, რომ „c“ ასევე უნდა იყოს ნულზე მეტი.

როგორ ამოხსნათ ლოგარითმები?

მაგალითად, დავალება მოცემულია პასუხის პოვნა განტოლებაზე 10 x = 100. ეს ძალიან მარტივია, თქვენ უნდა აირჩიოთ სიმძლავრე ათი რიცხვის აწევით, რომლითაც მივიღებთ 100-ს. ეს, რა თქმა უნდა, არის 10 2 = 100.

ახლა წარმოვიდგინოთ ეს გამონათქვამი ლოგარითმული ფორმით. ვიღებთ log 10 100 = 2. ლოგარითმების ამოხსნისას ყველა მოქმედება პრაქტიკულად იყრის თავს იმ სიმძლავრის საპოვნელად, რომელზედაც საჭიროა ლოგარითმის ფუძის შეყვანა მოცემული რიცხვის მისაღებად.

უცნობი ხარისხის მნიშვნელობის ზუსტად დასადგენად, თქვენ უნდა ისწავლოთ როგორ იმუშაოთ გრადუსების ცხრილთან. ეს ასე გამოიყურება:

როგორც ხედავთ, ზოგიერთი მაჩვენებლის გამოცნობა შესაძლებელია ინტუიციურად, თუ თქვენ გაქვთ ტექნიკური გონება და ცოდნა გამრავლების ცხრილის შესახებ. თუმცა, უფრო დიდი მნიშვნელობებისთვის დაგჭირდებათ დენის მაგიდა. მისი გამოყენება შეუძლიათ მათაც, ვინც საერთოდ არაფერი იცის რთული მათემატიკური თემების შესახებ. მარცხენა სვეტი შეიცავს ციფრებს (ბაზა a), რიცხვების ზედა მწკრივი არის c სიმძლავრის მნიშვნელობა, რომელზედაც ამაღლებულია რიცხვი. კვეთაზე, უჯრედები შეიცავს ნომრის მნიშვნელობებს, რომლებიც პასუხია (a c =b). ავიღოთ, მაგალითად, პირველივე უჯრედი 10-ით და კვადრატში მივიღოთ მნიშვნელობა 100, რომელიც მითითებულია ჩვენი ორი უჯრედის გადაკვეთაზე. ყველაფერი ისეთი მარტივი და მარტივია, რომ ყველაზე ჭეშმარიტი ჰუმანისტიც კი მიხვდება!

განტოლებები და უტოლობა

გამოდის, რომ გარკვეულ პირობებში მაჩვენებლის მაჩვენებელი ლოგარითმია. ამიტომ, ნებისმიერი მათემატიკური რიცხვითი გამონათქვამი შეიძლება დაიწეროს ლოგარითმული ტოლობის სახით. მაგალითად, 3 4 = 81 შეიძლება ჩაიწეროს 81-ის მე-3 ლოგარითმად, ტოლი ოთხი (log 3 81 = 4). უარყოფითი ძალებისთვის წესები იგივეა: 2 -5 = 1/32 ვწერთ ლოგარითმად, ვიღებთ log 2 (1/32) = -5. მათემატიკის ერთ-ერთი ყველაზე მომხიბვლელი განყოფილება არის "ლოგარითმების" თემა. განტოლებების მაგალითებსა და ამონახსნებს განვიხილავთ ქვემოთ, მათი თვისებების შესწავლისთანავე. ახლა მოდით შევხედოთ როგორ გამოიყურება უტოლობები და როგორ განვასხვავოთ ისინი განტოლებისგან.

მოცემულია შემდეგი გამოთქმა: log 2 (x-1) > 3 - ეს არის ლოგარითმული უტოლობა, რადგან უცნობი მნიშვნელობა „x“ ლოგარითმული ნიშნის ქვეშ არის. და ასევე გამონათქვამში შედარებულია ორი სიდიდე: სასურველი რიცხვის ლოგარითმი ორზე მეტია ვიდრე სამი.

ყველაზე მნიშვნელოვანი განსხვავება ლოგარითმულ განტოლებებსა და უტოლობას შორის არის ის, რომ განტოლებები ლოგარითმებით (მაგალითად, ლოგარითმი 2 x = √9) პასუხში გულისხმობს ერთ ან მეტ კონკრეტულ რიცხვობრივ მნიშვნელობას, ხოლო უტოლობის ამოხსნისას ორივე მისაღები დიაპაზონი. მნიშვნელობები და წერტილები განისაზღვრება ამ ფუნქციის დარღვევით. შედეგად, პასუხი არ არის ინდივიდუალური რიცხვების მარტივი ნაკრები, როგორც განტოლების პასუხში, არამედ უწყვეტი სერია ან რიცხვების სიმრავლე.

ძირითადი თეორემები ლოგარითმების შესახებ

ლოგარითმის მნიშვნელობების პოვნის პრიმიტიული ამოცანების გადაჭრისას, მისი თვისებები შეიძლება არ იყოს ცნობილი. თუმცა, როდესაც საქმე ეხება ლოგარითმულ განტოლებებს ან უტოლობას, უპირველეს ყოვლისა, აუცილებელია ლოგარითმების ყველა ძირითადი თვისების მკაფიოდ გაგება და პრაქტიკაში გამოყენება. განტოლებათა მაგალითებს განვიხილავთ ჯერ უფრო დეტალურად.

1. ძირითადი იდენტურობა ასე გამოიყურება: a logaB =B. იგი გამოიყენება მხოლოდ მაშინ, როდესაც a მეტია 0-ზე, არ უდრის ერთს და B არის ნულზე მეტი.
2. პროდუქტის ლოგარითმი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგი ფორმულით: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. ამ შემთხვევაში სავალდებულო პირობაა: d, s 1 და s 2 > 0; a≠1. ამ ლოგარითმული ფორმულის მტკიცებულება შეგიძლიათ მაგალითებითა და ამოხსნით. მოდით log a s 1 = f 1 და log a s 2 = f 2, შემდეგ a f1 = s 1, a f2 = s 2. მივიღებთ, რომ s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (თვისებები გრადუსი ), და შემდეგ განმარტებით: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, რაც დასამტკიცებლად იყო საჭირო.
3. კოეფიციენტის ლოგარითმი ასე გამოიყურება: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. ფორმულის სახით თეორემა იღებს შემდეგ ფორმას: log a q b n = n/q log a b.

ამ ფორმულას ეწოდება "ლოგარითმის ხარისხის თვისება". ის წააგავს ჩვეულებრივი ხარისხების თვისებებს და გასაკვირი არ არის, რადგან ყველა მათემატიკა ემყარება ბუნებრივ პოსტულატებს. მოდით შევხედოთ მტკიცებულებას.

მოდით log a b = t, გამოდის t =b. თუ ორივე ნაწილს ავწევთ m ხარისხზე: a tn = b n;

მაგრამ რადგან a tn = (a q) nt/q = b n, ამიტომ log a q b n = (n*t)/t, მაშინ log a q b n = n/q log a b. თეორემა დადასტურდა.

პრობლემებისა და უთანასწორობის მაგალითები

ლოგარითმებზე ამოცანების ყველაზე გავრცელებული ტიპები არის განტოლებებისა და უტოლობების მაგალითები. ისინი გვხვდება თითქმის ყველა პრობლემურ წიგნში და ასევე არის მათემატიკის გამოცდების აუცილებელი ნაწილი. უნივერსიტეტში შესასვლელად ან მათემატიკაში მისაღები გამოცდების ჩასაბარებლად, თქვენ უნდა იცოდეთ როგორ სწორად ამოხსნათ ასეთი ამოცანები.

სამწუხაროდ, არ არსებობს ერთიანი გეგმა ან სქემა ლოგარითმის უცნობი მნიშვნელობის ამოხსნისა და განსაზღვრისთვის, მაგრამ გარკვეული წესები შეიძლება გამოყენებულ იქნას თითოეულ მათემატიკური უტოლობის ან ლოგარითმული განტოლებისთვის. უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გაარკვიოთ, შეიძლება თუ არა გამოხატვის გამარტივება ან შემცირება ზოგად ფორმამდე. თქვენ შეგიძლიათ გაამარტივოთ გრძელი ლოგარითმული გამონათქვამები, თუ სწორად გამოიყენებთ მათ თვისებებს. მოდით გავეცნოთ მათ სწრაფად.

ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნისას უნდა განვსაზღვროთ რა ტიპის ლოგარითმი გვაქვს: მაგალითის გამოხატულება შეიძლება შეიცავდეს ბუნებრივ ლოგარითმს ან ათობითი.

აქ არის მაგალითები ln100, ln1026. მათი გამოსავალი ემყარება იმ ფაქტს, რომ მათ უნდა დაადგინონ სიმძლავრე, რომლის ფუძე 10 ტოლი იქნება, შესაბამისად, 100 და 1026. ბუნებრივი ლოგარითმების ამოსახსნელად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ლოგარითმული იდენტობები ან მათი თვისებები. მოდით შევხედოთ სხვადასხვა ტიპის ლოგარითმული ამოცანების ამოხსნის მაგალითებს.

როგორ გამოვიყენოთ ლოგარითმის ფორმულები: მაგალითებითა და გადაწყვეტილებებით

ასე რომ, მოდით შევხედოთ ლოგარითმების შესახებ ძირითადი თეორემების გამოყენების მაგალითებს.

1. პროდუქტის ლოგარითმის თვისება შეიძლება გამოყენებულ იქნას ამოცანებში, სადაც აუცილებელია b რიცხვის დიდი მნიშვნელობის დაშლა უფრო მარტივ ფაქტორებად. მაგალითად, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. პასუხი არის 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - როგორც ხედავთ, ლოგარითმის სიმძლავრის მეოთხე თვისების გამოყენებით, ჩვენ მოვახერხეთ ერთი შეხედვით რთული და ამოუხსნელი გამოსახულების ამოხსნა. თქვენ უბრალოდ უნდა დაადგინოთ საფუძველი და შემდეგ ამოიღოთ მაჩვენებლების მნიშვნელობები ლოგარითმის ნიშნიდან.

დავალებები ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან

ლოგარითმები ხშირად გვხვდება მისაღებ გამოცდებში, განსაკუთრებით ბევრი ლოგარითმული პრობლემა ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში (სახელმწიფო გამოცდა სკოლის ყველა კურსდამთავრებულისთვის). როგორც წესი, ეს ამოცანები წარმოდგენილია არა მხოლოდ A ნაწილში (გამოცდის ყველაზე მარტივი ტესტი), არამედ C ნაწილში (ყველაზე რთული და მოცულობითი ამოცანები). გამოცდა მოითხოვს ზუსტ და სრულყოფილ ცოდნას თემის „ბუნებრივი ლოგარითმები“.

მაგალითები და პრობლემების გადაწყვეტა აღებულია ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ოფიციალური ვერსიებიდან. ვნახოთ, როგორ წყდება ასეთი ამოცანები.

მოცემული ჟურნალი 2 (2x-1) = 4. ამოხსნა:
მოდით გადავიწეროთ გამონათქვამი, გავამარტივოთ იგი ცოტა log 2 (2x-1) = 2 2, ლოგარითმის განმარტებით მივიღებთ, რომ 2x-1 = 2 4, შესაბამისად 2x = 17; x = 8.5.

• უმჯობესია, ყველა ლოგარითმი ერთსა და იმავე ფუძეზე შევიყვანოთ, რათა გამოსავალი არ იყოს რთული და დამაბნეველი.
• ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ მყოფი ყველა გამონათქვამი მითითებულია, როგორც დადებითი, ამიტომ, როდესაც გამონათქვამის გამოხატულება, რომელიც ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ არის და მისი ფუძეა ამოღებულია მულტიპლიკატორად, ლოგარითმის ქვეშ დარჩენილი გამოხატულება უნდა იყოს დადებითი.