ნდობის ინტერვალი ზოგადი დისპერსიისთვის. ნდობის ინტერვალი საშუალოს შესაფასებლად (ცნობილია ვარიაცია) MS EXCEL-ში

ნდობის ინტერვალის აგება ნორმალურად განაწილებული დისპერსიისთვის მოსახლეობაეფუძნება იმ ფაქტს, რომ შემთხვევითი მნიშვნელობა:

აქვს c 2 -Pearson განაწილება n=-ით ნ-1 გრადუსი თავისუფლება. მოდით დავაყენოთ ნდობის ალბათობა g და განვსაზღვროთ რიცხვები და მდგომარეობიდან

რიცხვები და ამ პირობის დაკმაყოფილება შეიძლება აირჩეს უსასრულო რაოდენობის გზით. ერთი გზა შემდეგია

და .

რიცხვების მნიშვნელობები და განისაზღვრება ცხრილებიდან პირსონის განაწილებისთვის. ამის შემდეგ ვქმნით უტოლობას

შედეგად, ჩვენ ვიღებთ შემდეგ ინტერვალს დისპერსიის შეფასება საერთო მოსახლეობა:

. (3.25)

ზოგჯერ ეს გამოთქმა იწერება როგორც

, (3.26)

, (3.27)

სადაც კოეფიციენტებისთვის შედგენილია სპეციალური ცხრილები.

მაგალითი 3.10.ქარხანა ამუშავებს ავტომატურ ხაზს ხსნადი ყავის 100 გრამიან ქილებში შესაფუთად. თუ შევსებული ქილების საშუალო წონა განსხვავდება ზუსტი წონისგან, მაშინ ხაზი მორგებულია საშუალო წონის რეგულირებისთვის სამუშაო რეჟიმში. თუ მასის დისპერსია აღემატება მითითებულ მნიშვნელობას, მაშინ ხაზი უნდა შეჩერდეს შეკეთებისა და რეგულირებისთვის. დროდადრო არჩევენ ყავის ქილებს საშუალო წონისა და მისი ცვალებადობის შესამოწმებლად. დავუშვათ, რომ ყავის ქილა შემთხვევით შერჩეულია ხაზიდან და დისპერსიის შეფასებაა ს 2 =18.540. შექმენით 95% ნდობის ინტერვალი პოპულაციის ვარიაციის s 2-ისთვის.

გამოსავალი.თუ დავუშვებთ, რომ მოსახლეობას აქვს ნორმალური განაწილება, ვიყენებთ ფორმულას (3.26). პრობლემის პირობების მიხედვით მნიშვნელოვნების დონეა a=0.05 და a/2=0.025. c 2-ის ცხრილების მიხედვით -Pearson განაწილება n=-ით ნ–1=29 გრადუსი თავისუფლება ვპოულობთ

და .

მაშინ s 2-ის ნდობის ინტერვალი შეიძლება დაიწეროს როგორც

სტანდარტული გადახრისთვის პასუხი იქნება

. â

სტატისტიკური ჰიპოთეზების ტესტირება

Ძირითადი ცნებები

ეკონომეტრიული მოდელების უმეტესობა მოითხოვს განმეორებით გაუმჯობესებას და დახვეწას. ამისათვის საჭიროა განხორციელდეს შესაბამისი გამოთვლები, რომლებიც დაკავშირებულია გარკვეული წინაპირობების მიზანშეწონილობის ან შეუძლებლობის დადგენასთან, ნაპოვნი შეფასებების ხარისხისა და მიღებული დასკვნების სანდოობის გაანალიზებასთან. ამიტომ, ჰიპოთეზის ტესტირების ძირითადი პრინციპების ცოდნა სავალდებულოა ეკონომეტრიაში.

ხშირ შემთხვევაში აუცილებელია მოსახლეობის განაწილების კანონის ცოდნა. თუ განაწილების კანონი უცნობია, მაგრამ არსებობს საფუძველი ვივარაუდოთ, რომ მას აქვს გარკვეული ფორმა, მაშინ წამოიჭრება ჰიპოთეზა: ზოგადი მოსახლეობა ნაწილდება ამ კანონის მიხედვით. მაგალითად, შეიძლება ვივარაუდოთ, რომ მოსახლეობის შემოსავალს, მაღაზიაში მომხმარებელთა დღიურ რაოდენობას და წარმოებული ნაწილების ზომას აქვს ნორმალური განაწილების კანონი.

შესაძლებელია, რომ განაწილების კანონი ცნობილია, მაგრამ მისი პარამეტრები არა. თუ არსებობს საფუძველი ვივარაუდოთ, რომ უცნობი პარამეტრი q უდრის მოსალოდნელ რიცხვს q 0, მაშინ წამოიჭრება ჰიპოთეზა: q=q 0. მაგალითად, შეგიძლიათ გააკეთოთ ვარაუდები მოსახლეობის საშუალო შემოსავლის, აქციების საშუალო მოსალოდნელი შემოსავლის, შემოსავლის გავრცელების შესახებ და ა.შ.

ქვეშ სტატისტიკური ჰიპოთეზა ჰგაიგეთ ნებისმიერი დაშვება პოპულაციის (შემთხვევითი ცვლადის) შესახებ, რომელიც შემოწმებულია ნიმუშის მიხედვით. ეს შეიძლება იყოს ვარაუდი ზოგადი პოპულაციის განაწილების ტიპზე, ორი სანიმუშო ვარიაციების თანასწორობის შესახებ, ნიმუშების დამოუკიდებლობის შესახებ, ნიმუშების ჰომოგენურობის შესახებ, ე.ი. რომ განაწილების კანონი არ იცვლება ნიმუშიდან სინჯამდე და ა.შ.

ჰიპოთეზა ე.წ მარტივი, თუ იგი ცალსახად განსაზღვრავს რაიმე განაწილებას ან პარამეტრს; ვ წინააღმდეგ შემთხვევაშიჰიპოთეზა ეწოდება კომპლექსი. მაგალითად, მარტივი ჰიპოთეზა არის დაშვება, რომ შემთხვევითი ცვლადი Xგანაწილებული სტანდარტის მიხედვით ნორმალური კანონი ნ(0;1); თუ ვივარაუდებთ, რომ შემთხვევითი ცვლადი XᲛას აქვს ნორმალური დისტრიბუცია ნ(მ;1), სადაც ა£ მ£ ბ, მაშინ ეს რთული ჰიპოთეზაა.

შემოწმებული ჰიპოთეზა ე.წ ძირითადიან ნულოვანი ჰიპოთეზადა მითითებულია სიმბოლოთი ჰ 0 . მთავარ ჰიპოთეზასთან ერთად განიხილება ურთიერთსაწინააღმდეგო ჰიპოთეზაც, რომელსაც ჩვეულებრივ ე.წ კონკურენციასან ალტერნატიული ჰიპოთეზადა აღინიშნება სიმბოლოთი ჰ 1 . თუ მთავარი ჰიპოთეზა უარყოფილია, მაშინ ხდება ალტერნატიული ჰიპოთეზა. მაგალითად, თუ შემოწმებულია ჰიპოთეზა, რომ პარამეტრი q უდრის ზოგიერთს დააყენეთ მნიშვნელობა q 0, ე.ი. ჰ 0:q=q 0 , შემდეგ როგორც ალტერნატიული ჰიპოთეზაერთ-ერთი შემდეგი ჰიპოთეზა შეიძლება ჩაითვალოს: ჰ 1:q>q 0, ჰ 2: ქ ჰ 3:q¹q 0, ჰ 4:q=q 1 . ალტერნატიული ჰიპოთეზის არჩევანი განისაზღვრება პრობლემის სპეციფიკური ფორმულირებით.

წამოყენებული ჰიპოთეზა შეიძლება იყოს სწორი ან არასწორი, ამიტომ საჭიროა მისი შემოწმება. ვინაიდან შემოწმება ტარდება სტატისტიკური მეთოდების გამოყენებით, ამასთან დაკავშირებით, გარკვეული ალბათობით, შეიძლება არასწორი გადაწყვეტილება იყოს მიღებული. აქ ორი სახის შეცდომის დაშვება შეიძლება. პირველი სახის შეცდომა არის ის, რომ სწორი ჰიპოთეზა უარყოფილი იქნება. I ტიპის შეცდომის ალბათობა აღინიშნება ასო a, ე.ი.

მეორე ტიპის შეცდომაარის ის, რომ არასწორი ჰიპოთეზა მიიღება. II ტიპის შეცდომის ალბათობა აღინიშნება b ასოთი, ე.ი.

ამ შეცდომების შედეგები არ არის თანაბარი. პირველი იწვევს უფრო ფრთხილ, კონსერვატიულ გადაწყვეტილებას, მეორე იწვევს გაუმართლებელ რისკს. რა არის უკეთესი ან უარესი, დამოკიდებულია პრობლემის კონკრეტულ ფორმულირებაზე და ნულოვანი ჰიპოთეზის შინაარსზე. მაგალითად, თუ ჰ 0 გულისხმობს საწარმოს პროდუქციის მაღალხარისხიანად აღიარებას და თუ დაშვებულია პირველი ტიპის შეცდომა, მაშინ შესაფერისი პროდუქტები უარყოფილი იქნება. თუ ჩვენ დავუშვებთ ტიპი 2 შეცდომას, მომხმარებელს გავუგზავნით დეფექტურ ნივთს. ცხადია, ამ შეცდომის შედეგები უფრო სერიოზულია კომპანიის იმიჯის და მისი გრძელვადიანი პერსპექტივის თვალსაზრისით.

შეზღუდული ნიმუშის გამო შეუძლებელია პირველი და მეორე ტიპის შეცდომების გამორიცხვა. ამიტომ, ისინი ცდილობენ მინიმუმამდე დაიყვანონ ზარალი ამ შეცდომებისგან. გაითვალისწინეთ, რომ შეუძლებელია ამ შეცდომების ალბათობის ერთდროულად შემცირება, რადგან მათი შემცირების გამოწვევები კონკურენციას უწევს. და ერთი მათგანის დაშვების ალბათობის შემცირება იწვევს მეორის დაშვების ალბათობის ზრდას. უმეტეს შემთხვევაში, ორივე ალბათობის შემცირების ერთადერთი გზა არის ნიმუშის ზომის გაზრდა.

წესს, რომლის მიხედვითაც მთავარი ჰიპოთეზა მიიღება ან უარყოფილია, ეწოდება სტატისტიკური კრიტერიუმი . ამ მიზნით არჩეულია K შემთხვევითი ცვლადი, რომლის განაწილება ზუსტად ან დაახლოებით ცნობილია და რომელიც ემსახურება ექსპერიმენტულ და ჰიპოთეტურ მნიშვნელობებს შორის შეუსაბამობის საზომს.

ჰიპოთეზის შესამოწმებლად, ნიმუშის მონაცემებზე დაყრდნობით, გამოთვალეთ შერჩევითი(ან დაკვირვებადი) კრიტერიუმის მნიშვნელობა კ დაკვირვებადი. შემდეგ, შერჩეული კრიტერიუმის განაწილების შესაბამისად, კრიტიკული რეგიონიკ კრეტა. ეს არის კრიტერიუმის მნიშვნელობების ნაკრები, რომლებზეც უარყოფილია ნულოვანი ჰიპოთეზა. შესაძლო მნიშვნელობების დარჩენილი ნაწილი ეწოდება ჰიპოთეზის მიღების სფერო. თუ ყურადღებას გაამახვილებთ კრიტიკულ ზონაზე, შეგიძლიათ შეცდომა დაუშვათ
1-ლი ტიპი, რომლის ალბათობა წინასწარ არის განსაზღვრული და უდრის a-ს, ე.წ მნიშვნელობის დონეჰიპოთეზები. ეს გულისხმობს შემდეგ მოთხოვნას კრიტიკული რეგიონისთვის K კრეტა:

მნიშვნელოვნების დონე a განსაზღვრავს K კრიტიკული რეგიონის „ზომას“. კრეტა. ამასთან, მისი პოზიცია კრიტერიუმის მნიშვნელობების სიმრავლეზე დამოკიდებულია ალტერნატიული ჰიპოთეზის ტიპზე. მაგალითად, თუ შემოწმებულია ნულოვანი ჰიპოთეზა ჰ 0:q=q 0 , ხოლო ალტერნატიულ ჰიპოთეზას აქვს ფორმა ჰ 1:q>q 0, მაშინ კრიტიკული რეგიონი შედგება ინტერვალისგან (K 2, +¥), სადაც K 2 წერტილი განისაზღვრება მდგომარეობიდან პ(K>K 2)=a ( მარჯვენა კრიტიკული რეგიონი ჰ 2: ქ პ(კ დატოვა კრიტიკული რეგიონი). თუ ალტერნატიული ჰიპოთეზა არის ფორმის ჰ 3:q¹q 0, მაშინ კრიტიკული რეგიონი შედგება ორი ინტერვალისაგან (–¥;K 1) და (K 2, +¥), სადაც K 1 და K 2 წერტილები განისაზღვრება პირობებიდან: პ(K>K 2)=a/2 და პ(კ ორმხრივი კრიტიკული რეგიონი).

სტატისტიკური ჰიპოთეზების ტესტირების ძირითადი პრინციპი შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად. თუ კ დაკვირვებადივარდება კრიტიკულ რეგიონში, შემდეგ ჰიპოთეზა ჰ 0 უარყოფილია და ჰიპოთეზა მიიღება ჰ 1 . თუმცა, ამით თქვენ უნდა გესმოდეთ, რომ აქ შეგიძლიათ დაუშვათ ტიპი 1 შეცდომა ალბათობით a. თუ კ დაკვირვებადივარდება ჰიპოთეზის მიღების დიაპაზონში - მაშინ არ არსებობს მიზეზი ნულოვანი ჰიპოთეზის უარყოფისთვის ჰ 0 . მაგრამ ეს საერთოდ არ ნიშნავს ამას ჰ 0 არის ერთადერთი შესაფერისი ჰიპოთეზა: უბრალოდ შეუსაბამობა ნიმუშის მონაცემებსა და ჰიპოთეზას შორის ჰ 0 არის პატარა; თუმცა, სხვა ჰიპოთეზებს შეიძლება ჰქონდეს იგივე თვისება.

კრიტერიუმის ძალაარის ალბათობა იმისა, რომ ნულოვანი ჰიპოთეზა უარყოფილი იქნება, თუ ალტერნატიული ჰიპოთეზა ჭეშმარიტია; იმათ. კრიტერიუმის ძალა არის 1–b, სადაც b არის 2 ტიპის შეცდომის დაშვების ალბათობა. ჰიპოთეზის შესამოწმებლად მივიღოთ გარკვეული მნიშვნელოვნების დონე a და ნიმუშს ჰქონდეს ფიქსირებული ზომა. ვინაიდან არსებობს გარკვეული თვითნებობა კრიტიკული რეგიონის არჩევისას, მიზანშეწონილია მისი აგება ისე, რომ კრიტერიუმის ძალა იყოს მაქსიმალური ან ისე, რომ ტიპი 2 შეცდომის ალბათობა მინიმალური იყოს.

განაწილების პარამეტრების შესახებ ჰიპოთეზების შესამოწმებლად გამოყენებული კრიტერიუმები ეწოდება მნიშვნელობის კრიტერიუმები. კერძოდ, კრიტიკული რეგიონის აგება ნდობის ინტერვალის აგების მსგავსია. ტესტები, რომლებიც გამოიყენება შერჩევის განაწილებასა და ჰიპოთეტურ თეორიულ განაწილებას შორის შეთანხმების შესამოწმებლად, ეწოდება თანხმობის კრიტერიუმები.

სტატისტიკაში არსებობს ორი სახის შეფასება: წერტილი და ინტერვალი. ქულის შეფასებაარის ერთი ნიმუშის სტატისტიკა, რომელიც გამოიყენება პოპულაციის პარამეტრის შესაფასებლად. მაგალითად, ნიმუში ნიშნავს არის პოპულაციის მათემატიკური მოლოდინის წერტილის შეფასება და შერჩევის დისპერსიას S 2- პოპულაციის ცვალებადობის ქულათა შეფასება σ 2. ნაჩვენებია, რომ შერჩევის საშუალო არის მოსახლეობის მათემატიკური მოლოდინების მიუკერძოებელი შეფასება. შერჩევის საშუალოს უწოდებენ მიუკერძოებელს, რადგან ყველა ნიმუშის საშუალო ნიშნავს (იგივე ნიმუშის ზომით) ნ) უდრის საერთო მოსახლეობის მათემატიკურ მოლოდინს.

ნიმუშის დისპერსიის მიზნით S 2გახდა მოსახლეობის დისპერსიის მიუკერძოებელი შეფასება σ 2, ნიმუშის დისპერსიის მნიშვნელი ტოლი უნდა იყოს ნ – 1 , მაგრამ არა ნ. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პოპულაციის ვარიაცია არის ყველა შესაძლო ნიმუშის ვარიაციების საშუალო.

პოპულაციის პარამეტრების შეფასებისას უნდა გვახსოვდეს, რომ ნიმუშის სტატისტიკა, როგორიცაა , დამოკიდებულია კონკრეტულ ნიმუშებზე. ამ ფაქტის გათვალისწინება, მოპოვება ინტერვალის შეფასებაზოგადი მოსახლეობის მათემატიკური მოლოდინი, ანალიზი სანიმუშო საშუალებების განაწილების შესახებ (დაწვრილებით იხ.). აგებული ინტერვალი ხასიათდება გარკვეული ნდობის დონით, რომელიც წარმოადგენს ალბათობას იმისა, რომ ჭეშმარიტი პოპულაციის პარამეტრი სწორად არის შეფასებული. მსგავსი ნდობის ინტერვალები შეიძლება გამოყენებულ იქნას მახასიათებლის პროპორციის შესაფასებლად რდა მოსახლეობის ძირითადი განაწილებული მასა.

ჩამოტვირთეთ შენიშვნა ფორმატში ან ფორმატში, მაგალითები ფორმატში

ნდობის ინტერვალის აგება მოსახლეობის მათემატიკური მოლოდინისთვის ცნობილი სტანდარტული გადახრით

პოპულაციაში მახასიათებლის წილის ნდობის ინტერვალის აგება

ეს განყოფილება აფართოებს ნდობის ინტერვალის კონცეფციას კატეგორიულ მონაცემებზე. ეს საშუალებას გვაძლევს შევაფასოთ მახასიათებლის წილი პოპულაციაში რნიმუშის გაზიარების გამოყენებით რს= X/ნ. როგორც მითითებულია, თუ რაოდენობები ნრდა ნ(1 – გვ)აღემატება 5 რიცხვს, ბინომალური განაწილება შეიძლება მიახლოებით იყოს ნორმალური. ამიტომ, შევაფასოთ მახასიათებლის წილი პოპულაციაში რშესაძლებელია ინტერვალის აგება, რომლის ნდობის დონე ტოლია (1 – α)х100%.

სად გვს- მახასიათებლის ნიმუშის წილი, ტოლი X/ნ, ე.ი. წარმატებების რაოდენობა გაყოფილი ნიმუშის ზომაზე, რ- მახასიათებლის წილი ზოგადად პოპულაციაში, ზ- სტანდარტიზებული ნორმალური განაწილების კრიტიკული მნიშვნელობა, ნ- ნიმუშის ზომა.

მაგალითი 3.დავუშვათ, რომ საინფორმაციო სისტემიდან ამოღებულია ნიმუში, რომელიც შედგება ბოლო ერთი თვის განმავლობაში შევსებული 100 ინვოისისგან. ვთქვათ, ამ ანგარიშ-ფაქტურებიდან 10 შეცდომით იყო შედგენილი. ამრიგად, რ= 10/100 = 0.1. 95% ნდობის დონე შეესაბამება კრიტიკულ მნიშვნელობას Z = 1.96.

ამდენად, ალბათობა იმისა, რომ ინვოისების 4.12%-დან 15.88%-მდე შეცდომებს შეიცავს, არის 95%.

მოცემული ნიმუშის ზომისთვის, ნდობის ინტერვალი, რომელიც შეიცავს პოპულაციაში მახასიათებლის პროპორციას, უფრო ფართო ჩანს, ვიდრე უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი. ეს იმიტომ ხდება, რომ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის გაზომვები შეიცავს უფრო მეტ ინფორმაციას, ვიდრე კატეგორიული მონაცემების გაზომვები. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, კატეგორიული მონაცემები, რომლებიც იღებენ მხოლოდ ორ მნიშვნელობას, შეიცავს არასაკმარის ინფორმაციას მათი განაწილების პარამეტრების შესაფასებლად.

INსასრული პოპულაციისგან ამოღებული შეფასებების გამოთვლა

მათემატიკური მოლოდინის შეფასება.კორექტირების ფაქტორი საბოლოო პოპულაციისთვის ( fpc) გამოიყენებოდა სტანდარტული შეცდომის ფაქტორით შესამცირებლად. პოპულაციის პარამეტრების შეფასების ნდობის ინტერვალების გაანგარიშებისას, კორექტირების ფაქტორი გამოიყენება იმ სიტუაციებში, როდესაც ნიმუშები შედგენილია დაბრუნების გარეშე. ამრიგად, ნდობის ინტერვალი მათემატიკური მოლოდინისთვის, რომელსაც აქვს ნდობის დონე ტოლი (1 – α)х100%, გამოითვლება ფორმულით:

მაგალითი 4.სასრული პოპულაციისთვის კორექტირების ფაქტორის გამოყენების საილუსტრაციოდ, დავუბრუნდეთ ანგარიშ-ფაქტურების საშუალო ოდენობის ნდობის ინტერვალის გამოთვლის პრობლემას, რომელიც ზემოთ იყო განხილული მე-3 მაგალითში. დავუშვათ, რომ კომპანია გამოსცემს თვეში 5000 ინვოისს და X̅=110.27 დოლარი, ს= $28,95 ნ = 5000, ნ = 100, α = 0,05, t 99 = 1,9842. ფორმულის გამოყენებით (6) ვიღებთ:

მახასიათებლის წილის შეფასება.დაბრუნების გარეშე არჩევისას, ნდობის ინტერვალი ატრიბუტის პროპორციისთვის, რომელსაც აქვს ნდობის დონე ტოლი (1 – α)х100%, გამოითვლება ფორმულით:

ნდობის ინტერვალები და ეთიკური საკითხები

მოსახლეობის შერჩევისა და სტატისტიკური დასკვნების გაკეთებისას ხშირად ჩნდება ეთიკური საკითხები. მთავარი ის არის, თუ როგორ ეთანხმება ნდობის ინტერვალები და ქულების შეფასებები ნიმუშის სტატისტიკის მიხედვით. საგამომცემლო პუნქტის შეფასებები ასოცირებული ნდობის ინტერვალების დაზუსტების გარეშე (ჩვეულებრივ, 95% ნდობის დონეზე) და ნიმუშის ზომას, საიდანაც ისინი მიღებულია, შეიძლება გამოიწვიოს დაბნეულობა. ამან შეიძლება მომხმარებლისთვის შექმნას შთაბეჭდილება, რომ ქულების შეფასება არის ზუსტად ის, რაც მას სჭირდება მთელი პოპულაციის თვისებების პროგნოზირებისთვის. ამრიგად, აუცილებელია გვესმოდეს, რომ ნებისმიერ კვლევაში ყურადღება უნდა გამახვილდეს არა წერტილოვან შეფასებებზე, არამედ ინტერვალურ შეფასებებზე. გარდა ამისა, განსაკუთრებული ყურადღება უნდა მიექცეს ნიმუშის ზომის სწორად შერჩევას.

ყველაზე ხშირად სტატისტიკური მანიპულაციის ობიექტს წარმოადგენს მოსახლეობის სოციოლოგიური გამოკითხვის შედეგები ცალკეულ პოლიტიკურ საკითხებზე. ამავდროულად, გამოკითხვის შედეგები ქვეყნდება გაზეთების პირველ გვერდებზე, ხოლო შერჩევის შეცდომა და სტატისტიკური ანალიზის მეთოდოლოგია სადღაც შუაში ქვეყნდება. მიღებული ქულების შეფასებების მართებულობის დასადასტურებლად საჭიროა მიეთითოს ნიმუშის ზომა, რომლის საფუძველზეც იქნა მიღებული ისინი, ნდობის ინტერვალის საზღვრები და მისი მნიშვნელოვნების დონე.

შემდეგი შენიშვნა

გამოყენებულია მასალები წიგნიდან Levin et al. – M.: Williams, 2004. – გვ. 448–462 წწ

ცენტრალური ლიმიტის თეორემააცხადებს, რომ საკმარისად დიდი ნიმუშის ზომით, საშუალებების ნიმუშის განაწილება შეიძლება მიახლოებული იყოს ნორმალური განაწილებით. ეს ქონება არ არის დამოკიდებული მოსახლეობის განაწილების ტიპზე.

Ნდობის ინტერვალი- სტატისტიკური სიდიდის შემზღუდველი მნიშვნელობები, რომლებიც მოცემული ნდობის ალბათობით γ, იქნება ამ ინტერვალში უფრო დიდი მოცულობის შერჩევისას. აღინიშნება როგორც P(θ - ε. პრაქტიკაში, ნდობის ალბათობა γ არჩეულია ერთიანობასთან საკმაოდ ახლოს მყოფი მნიშვნელობებიდან: γ = 0,9, γ = 0,95, γ = 0,99.

მომსახურების მიზანი. ამ სერვისის გამოყენებით შეგიძლიათ განსაზღვროთ:

ნდობის ინტერვალი ზოგადი საშუალოსთვის, ნდობის ინტერვალი დისპერსიისთვის;
ნდობის ინტერვალი სტანდარტული გადახრისთვის, ნდობის ინტერვალი ზოგადი წილისათვის;

შედეგად მიღებული გამოსავალი ინახება Word ფაილში (იხ. მაგალითი). ქვემოთ მოცემულია ვიდეო ინსტრუქცია, თუ როგორ უნდა შეავსოთ საწყისი მონაცემები.

მაგალითი No1. კოლმეურნეობაში, სულ 1000 ცხვრის ნახირიდან, 100 ცხვარმა გაიარა შერჩევითი კონტროლის პარსვა. შედეგად, დადგინდა მატყლის საშუალო მოჭერა 4,2 კგ ცხვარზე. 0,99 ალბათობით განსაზღვრეთ ნიმუშის საშუალო კვადრატული ცდომილება თითო ცხვარზე მატყლის საშუალო პარსვის დადგენისას და საზღვრები, რომლებშიც შეტანილია ათვლის მნიშვნელობა, თუ განსხვავება არის 2,5. ნიმუში არ განმეორდება.
მაგალითი No2. მოსკოვის ჩრდილოეთ საბაჟოს ფოსტაზე იმპორტირებული პროდუქციის პარტიიდან შემთხვევითი განმეორებითი შერჩევით იქნა აღებული პროდუქციის „A“ 20 ნიმუში. ტესტის შედეგად დადგინდა ნიმუშში პროდუქტის "A" საშუალო ტენიანობა, რომელიც აღმოჩნდა 6%-ის ტოლი სტანდარტული გადახრით 1%.
0,683 ალბათობით განსაზღვრეთ პროდუქტის საშუალო ტენიანობის ზღვრები იმპორტირებული პროდუქციის მთელ პარტიაში.
მაგალითი No3. 36 სტუდენტის გამოკითხვამ აჩვენა, რომ მათ მიერ სასწავლო წლის განმავლობაში წაკითხული სახელმძღვანელოების საშუალო რაოდენობა 6-ის ტოლია. თუ დავუშვებთ, რომ სტუდენტის მიერ წაკითხული სახელმძღვანელოების რაოდენობას სემესტრში აქვს ნორმალური განაწილების კანონი სტანდარტული გადახრით 6-ის ტოლი, იპოვეთ : ა) სანდოობით 0 ,99 ინტერვალის შეფასებაამ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინისთვის; ბ) რა ალბათობით შეგვიძლია ვთქვათ, რომ სტუდენტის მიერ სემესტრში წაკითხული სახელმძღვანელოების საშუალო რაოდენობა, ამ ნიმუშიდან გამოთვლილი, გადაუხვევს მათემატიკური მოლოდინს აბსოლუტური სიდიდით არაუმეტეს 2-ით.

ნდობის ინტერვალების კლასიფიკაცია

შეფასებული პარამეტრის ტიპის მიხედვით:

ნიმუშის ტიპის მიხედვით:

ნდობის ინტერვალი უსასრულო ნიმუშისთვის;
ნდობის ინტერვალი საბოლოო ნიმუშისთვის;

ნიმუშს ეწოდება ხელახალი შერჩევა, თუ შერჩეული ობიექტი უბრუნდება პოპულაციას შემდეგის არჩევამდე. ნიმუშს ეწოდება განუმეორებელი, თუ შერჩეული ობიექტი არ დაბრუნდება პოპულაციაში. პრაქტიკაში, ჩვეულებრივ, საქმე გვაქვს არაგანმეორებად ნიმუშებთან.

შემთხვევითი შერჩევის საშუალო შერჩევის შეცდომის გაანგარიშება

შეუსაბამობა ნიმუშიდან მიღებული ინდიკატორების მნიშვნელობებსა და საერთო პოპულაციის შესაბამის პარამეტრებს შორის ე.წ. წარმომადგენლობითი შეცდომა.
ზოგადი და სანიმუშო პოპულაციების ძირითადი პარამეტრების აღნიშვნა.

შერჩევის საშუალო შეცდომის ფორმულები
ხელახალი შერჩევა		არაგანმეორებადი შერჩევა
საშუალოდ	გასაზიარებლად	საშუალოდ	გასაზიარებლად

შერჩევის შეცდომის ზღვარს (Δ) შორის კავშირი გარანტირებულია გარკვეული ალბათობით Р(t),ხოლო შერჩევის საშუალო შეცდომას აქვს ფორმა: ან Δ = t·μ, სადაც ტ– ნდობის კოეფიციენტი, განისაზღვრება ალბათობის დონის P(t) მიხედვით ლაპლასის ინტეგრალური ფუნქციის ცხრილის მიხედვით.

ნიმუშის ზომის გამოთვლის ფორმულები წმინდა შემთხვევითი შერჩევის მეთოდით

დაე, შემთხვევითი ცვლადი განაწილდეს ნორმალური კანონის მიხედვით, რომლისთვისაც D ვარიანსი უცნობია. კეთდება n ზომის ნიმუში. მისგან განისაზღვრება შესწორებული ნიმუშის ვარიაცია s 2. შემთხვევითი მნიშვნელობა

განაწილებულია კანონის მიხედვით 2 თავისუფლების n -1 გრადუსით. საიმედოობის გათვალისწინებით, შეგიძლიათ იპოვოთ ნებისმიერი რაოდენობის საზღვრები 1 2 და 2 2 ინტერვალით, ისეთი, რომ

ვიპოვოთ 1 2 და 2 2 შემდეგი პირობებიდან:

P(2 1 2) = (1 -)/ 2(**)

P(2 2 2) = (1 -)/ 2(***)

ცხადია, თუ ბოლო ორი პირობა დაკმაყოფილებულია, თანასწორობა (*) მართალია.

შემთხვევითი ცვლადის 2-ის ცხრილებში, ჩვეულებრივ მოცემულია განტოლების ამონახსნი

ასეთი ცხრილიდან, q მოცემული მნიშვნელობისა და თავისუფლების გრადუსების რაოდენობის n - 1 გამოყენებით, შეგიძლიათ განსაზღვროთ q 2-ის მნიშვნელობა. ამრიგად, მნიშვნელობა 2 2 ფორმულაში (***) დაუყოვნებლივ გვხვდება.

1 2-ის დასადგენად ჩვენ გარდაქმნით (**):

P(2 1 2) = 1 - (1 -)/ 2 = (1 +)/ 2

შედეგად მიღებული ტოლობა საშუალებას გვაძლევს განვსაზღვროთ მნიშვნელობა 1 2 ცხრილიდან.

ახლა, როდესაც ნაპოვნია მნიშვნელობები 1 2 და 2 2, მოდით წარმოვადგინოთ თანასწორობა (*) სახით

მოდით გადავიწეროთ ბოლო ტოლობა ისე, რომ განისაზღვროს ნდობის ინტერვალის საზღვრები უცნობი მნიშვნელობისთვის:

აქედან მარტივია სტანდარტული გადახრის ნდობის ინტერვალის პოვნის ფორმულა:

დავალება. ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ ხმაური იმავე ტიპის ვერტმფრენების კაბინებში გარკვეული რეჟიმით მომუშავე ძრავებით არის ჩვეულებრივი კანონის მიხედვით განაწილებული შემთხვევითი ცვლადი. შემთხვევითობის პრინციპით შეირჩა 20 ვერტმფრენი და თითოეულ მათგანში ხმაურის დონე (დეციბელებში) გაზომეს. გაზომვების შესწორებული ნიმუშის ვარიაცია აღმოჩნდა 22.5. იპოვეთ ნდობის ინტერვალი, რომელიც ფარავს ხმაურის დონის უცნობი სტანდარტული გადახრას ამ ტიპის ვერტმფრენების კაბინებში, საიმედოობით 98%.

გამოსავალი. 19-ის ტოლი თავისუფლების გრადუსების რაოდენობაზე და (1 - 0.98)/2 = 0.01 ალბათობაზე დაყრდნობით, განაწილების ცხრილიდან 2 ვპოულობთ მნიშვნელობას 2 2 = 36.2. ანალოგიურად, ალბათობით (1 + 0,98)/2 = 0,99, ვიღებთ 1 2 = 7,63. ფორმულის (****) გამოყენებით ვიღებთ საჭირო ნდობის ინტერვალს: (3.44; 7.49).

თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ეს საძიებო ფორმა თქვენთვის საჭირო ამოცანის მოსაძებნად. შეიყვანეთ სიტყვა, ფრაზა ამოცანიდან ან მისი ნომერი, თუ იცით.

ნდობის ინტერვალები: პრობლემების გადაჭრის სია

ნდობის ინტერვალები: თეორია და პრობლემები

ნდობის ინტერვალების გაგება

მოკლედ წარმოვიდგინოთ ნდობის ინტერვალის ცნება, რომელიც
1) აფასებს რიცხვითი ნიმუშის ზოგიერთ პარამეტრს უშუალოდ თავად ნიმუშის მონაცემებიდან,
2) ფარავს ამ პარამეტრის მნიშვნელობას γ ალბათობით.

Ნდობის ინტერვალიპარამეტრისთვის X(ალბათობით γ) ეწოდება ფორმის ინტერვალი, ისეთი, რომ და მნიშვნელობები გამოითვლება გარკვეული გზით ნიმუშიდან.

ჩვეულებრივ, გამოყენებულ პრობლემებში ნდობის ალბათობა აღებულია γ = 0,9; 0,95; 0.99.

მოდით განვიხილოთ n ზომის ზოგიერთი ნიმუში, რომელიც დამზადებულია ზოგადი პოპულაციისგან, განაწილებული სავარაუდოდ ნორმალური განაწილების კანონის მიხედვით. მოდით ვაჩვენოთ რა ფორმულები გამოიყენება საპოვნელად ნდობის ინტერვალები განაწილების პარამეტრებისთვის- მათემატიკური მოლოდინი და დისპერსია (სტანდარტული გადახრა).

ნდობის ინტერვალი მათემატიკური მოლოდინისთვის

შემთხვევა 1.განაწილების სხვაობა ცნობილია და ტოლია. შემდეგ პარამეტრის ნდობის ინტერვალი ააქვს ფორმა:
ტგანისაზღვრება ლაპლასის განაწილების ცხრილიდან მიმართების მიხედვით

შემთხვევა 2.განაწილების დისპერსია უცნობია; შემდეგ პარამეტრის ნდობის ინტერვალი ააქვს ფორმა:
, სადაც არის ნიმუშის საშუალო გამოთვლა ნიმუშიდან, პარამეტრიდან ტგანისაზღვრება სტუდენტური განაწილების ცხრილიდან

მაგალითი.გარკვეული სიდიდის 7 გაზომვის საფუძველზე, გაზომვის შედეგების საშუალო აღმოჩნდა 30, ხოლო ნიმუშის ვარიაცია 36. იპოვეთ საზღვრები, რომლებშიც მოთავსებულია გაზომილი სიდიდის ნამდვილი მნიშვნელობა 0,99 სანდოობით.

გამოსავალი.ჩვენ ვიპოვით . შემდეგ ნდობის ლიმიტები ინტერვალისთვის, რომელიც შეიცავს გაზომილი მნიშვნელობის ნამდვილ მნიშვნელობას, შეგიძლიათ იპოვოთ ფორმულის გამოყენებით:
, სადაც არის ნიმუშის საშუალო, არის ნიმუშის განსხვავება. ჩვენ ვცვლით ყველა მნიშვნელობას და ვიღებთ:

ნდობის ინტერვალი დისპერსიისთვის

ჩვენ გვჯერა, რომ ზოგადად რომ ვთქვათ, მათემატიკური მოლოდინი უცნობია და ცნობილია დისპერსიის მხოლოდ წერტილის მიუკერძოებელი შეფასება. შემდეგ ნდობის ინტერვალს აქვს ფორმა:
, სად - ცხრილებიდან განსაზღვრული განაწილების კვანტილები.

მაგალითი. 7 ტესტის მონაცემებზე დაყრდნობით აღმოჩნდა სტანდარტული გადახრის შეფასების მნიშვნელობა s=12. იპოვეთ 0,9 ალბათობით, დისპერსიის შესაფასებლად აგებული სანდო ინტერვალის სიგანე.

გამოსავალი.ნდობის ინტერვალი უცნობი პოპულაციის დისპერსიისთვის შეიძლება მოიძებნოს ფორმულის გამოყენებით:

ჩვენ ვცვლით და ვიღებთ:

მაშინ ნდობის ინტერვალის სიგანეა 465.589-71.708=393.881.

ნდობის ინტერვალი ალბათობისთვის (პროპორცია)

შემთხვევა 1.დაე, ნიმუშის ზომა და ნიმუშის ფრაქცია (შეფარდებითი სიხშირე) ცნობილი იყოს ამოცანაში. მაშინ ზოგადი წილის ნდობის ინტერვალი (ჭეშმარიტი ალბათობა) აქვს ფორმა:
, სადაც პარამეტრი ტგანისაზღვრება ლაპლასის განაწილების ცხრილიდან მიმართების გამოყენებით.

შემთხვევა 2.თუ პრობლემაში პოპულაციის მთლიანი ზომა, საიდანაც იქნა აღებული ნიმუში, დამატებით არის ცნობილი, ზოგადი წილის ნდობის ინტერვალი (ჭეშმარიტი ალბათობა) შეიძლება მოიძებნოს კორექტირებული ფორმულის გამოყენებით:
.

მაგალითი.ცნობილია, რომ იპოვნეთ საზღვრები, რომლებშიც სავარაუდოა, რომ შეიცავდეს საერთო წილს.

გამოსავალი.ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას:

მოდი ვიპოვოთ პარამეტრი მდგომარეობიდან , ჩვენ ვიღებთ ჩანაცვლებას ფორმულაში:

მათემატიკური სტატისტიკის პრობლემების სხვა მაგალითებს ნახავთ გვერდზე