სამკუთხედის სწორი ფეხების გათვალისწინებით, იპოვეთ ჰიპოტენუზა. როგორ მოვძებნოთ ფეხები, თუ ცნობილია ჰიპოტენუზა

მართკუთხა სამკუთხედის ორ გვერდს, რომლებიც მართ კუთხეს ქმნიან, ფეხები ეწოდება. მართი კუთხის მოპირდაპირე სამკუთხედის ყველაზე გრძელ გვერდს ჰიპოტენუზა ეწოდება. ჰიპოტენუზის გამოსავლენად, თქვენ უნდა იცოდეთ ფეხების სიგრძე.

ინსტრუქციები

1. ფეხების სიგრძე და ჰიპოტენუზა დაკავშირებულია პითაგორას თეორემით აღწერილი ურთიერთობით. ალგებრული ფორმულირება: „მართკუთხა სამკუთხედში, ჰიპოტენუზის სიგრძის კვადრატი უდრის ფეხების სიგრძის კვადრატების ჯამს: c2 = a2 + b2, სადაც c არის ჰიპოტენუზის სიგრძე, a და b არის ფეხების სიგრძე.

2. ფეხების სიგრძის ცოდნა, პითაგორას თეორემის მიხედვით, შესაძლებელია ვიპოვოთ მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა: c = ?(a2 + b2).

3. მაგალითი. ერთი ფეხის სიგრძეა 3 სმ, მეორის სიგრძე 4 სმ. მათი კვადრატების ჯამია 25 სმ?: 9 სმ? + 16 სმ? = 25 სმ?.ჰიპოტენუზის სიგრძე ჩვენს შემთხვევაში უდრის კვადრატულ ფესვს 25 სმ? – 5 სმ მაშასადამე, ჰიპოტენუზის სიგრძეა 5 სმ.

ჰიპოტენუზა არის მართკუთხა სამკუთხედის გვერდი, რომელიც მოპირდაპირეა 90 გრადუსიანი კუთხით. მისი სიგრძის გამოსათვლელად საკმარისია ვიცოდეთ ერთ-ერთი ფეხის სიგრძე და სამკუთხედის ერთ-ერთი მწვავე კუთხის ზომა.

ინსტრუქციები

1. მართკუთხა სამკუთხედის ცნობილი ფეხით და მახვილი კუთხით, ჰიპოტენუზის ზომა შეიძლება ტოლი იყოს ფეხის შეფარდება ამ კუთხის კოსინუსთან/სინუსთან, თუ ეს კუთხე არის მის საპირისპირო/მიმდებარე: h = C1 (ან C2)/sin? h = C1 (ან C2 )/cos?. მაგალითი: მოყვანილი იყოს მართკუთხა სამკუთხედი AB ჰიპოტენუზით და მართი კუთხე C იყოს 60 გრადუსი ფეხის BC არის 8 სმ. უნდა ვიპოვოთ AB ჰიპოტენუზის სიგრძე. ამისათვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ ზემოთ შემოთავაზებული ნებისმიერი მეთოდი: AB = BC/cos60 = 8 სმ AB = BC/sin30 = 8 სმ.

ჰიპოტენუზა მართკუთხა ფორმის ყველაზე გრძელი მხარეა სამკუთხედი. ის მდებარეობს სწორი კუთხის საპირისპიროდ. მართკუთხა ჰიპოტენუზის პოვნის მეთოდი სამკუთხედიდამოკიდებულია იმაზე, თუ რა საწყისი მონაცემები გაქვთ.

ინსტრუქციები

1. თუ მართკუთხა ფეხები გვაქვს სამკუთხედი, შემდეგ მართკუთხედის ჰიპოტენუზის სიგრძე სამკუთხედიშეიძლება აღმოვაჩინოთ პითაგორას თეორემის დახმარებით - ჰიპოტენუზის სიგრძის კვადრატი უდრის ფეხების სიგრძის კვადრატების ჯამს: c2 = a2 + b2, სადაც a და b არის ფეხების სიგრძე. მართკუთხა სამკუთხედი .

2. თუ დავხატავთ ერთ-ერთ ფეხს და მახვილ კუთხეს, მაშინ ჰიპოტენუზის პოვნის ფორმულა დამოკიდებული იქნება იმაზე, თუ რომელი კუთხეა ამოძრავებულ ფეხთან მიმართებაში - მიმდებარე (მდებარეობს ფეხის მახლობლად) თუ მოპირდაპირე (მდებარეობს მის მოპირდაპირედ. მიმდებარე კუთხე, ჰიპოტენუზა უდრის ფეხის შეფარდებას ამ კუთხის კოსინუსით: c = a/cos? E არის საპირისპირო კუთხე, ჰიპოტენუზა უდრის ფეხის შეფარდებას კუთხის სინუსთან: გ = ა/ცოდვა?.

ვიდეო თემაზე

ჰიპოტენუზა არის მართკუთხა სამკუთხედის გვერდი, რომელიც მდებარეობს სწორი კუთხის საპირისპიროდ. ეს არის მართკუთხა სამკუთხედის ყველაზე გრძელი გვერდი. მისი გამოთვლა შესაძლებელია პითაგორას თეორემის ან ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ფორმულების გამოყენებით.

ინსტრუქციები

1. მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებს, რომლებიც მართი კუთხის მიმდებარედ არიან, ფეხები ეწოდება. ფიგურაში, ფეხები მითითებულია AB და BC. მიეცით ორივე ფეხის სიგრძე. ავღნიშნოთ ისინი როგორც |AB| და |ძვ.წ.|. ჰიპოტენუზის |AC|-ის სიგრძის საპოვნელად ვიყენებთ პითაგორას თეორემას. ამ თეორემის მიხედვით, ფეხის კვადრატების ჯამი უდრის ჰიპოტენუზის კვადრატს, ე.ი. ჩვენი ფიგურის აღნიშვნაში |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. ფორმულიდან ვხვდებით, რომ ჰიპოტენუზის AC სიგრძე გვხვდება |AC| = ?(|AB|^2 + |BC|^2) .

2. მოდით შევხედოთ მაგალითს. მიეცით ფეხების სიგრძე |AB|. = 13, |ძვ.წ.| = 21. პითაგორას თეორემით ვხვდებით, რომ |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610. ჰიპოტენუზის სიგრძის მისაღებად საჭიროა ჯამის კვადრატული ფესვი აიღოთ. ფეხების კვადრატების, ე.ი. 610 ნომრიდან: |AC| =?610. მთელი რიცხვების კვადრატების ცხრილის გამოყენებით აღმოვაჩენთ, რომ რიცხვი 610 არ არის რომელიმე მთელი რიცხვის სრულყოფილი კვადრატი. ჰიპოტენუზის სიგრძის საბოლოო მნიშვნელობა რომ მივიღოთ, ვცადოთ სრული კვადრატის გადატანა ფესვის ნიშნის ქვეშ. ამისათვის 610 რიცხვის ფაქტორიზაციას მოვახდინოთ. 610 = 2 * 5 * 61. პრიმიტიული რიცხვების ცხრილის დათვალიერებისას, ჩვენ ვხედავთ, რომ 61 არის პრიმიტიული რიცხვი. შესაბამისად, 610 რიცხვის შემდგომი შემცირება არარეალურია. ვიღებთ საბოლოო შედეგს |AC| = ?610 თუ ჰიპოტენუზის კვადრატი ტოლი იყო, მაგალითად, 675, მაშინ?675 = ?(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * ?3 = 15 * ?3. თუ მსგავსი შემცირება მისაღებია, შეასრულეთ საპირისპირო შემოწმება - ჯამის კვადრატი და შეადარე საწყის მნიშვნელობას.

3. გვაცნობეთ ერთ-ერთი ფეხი და მის მიმდებარე კუთხე. კონკრეტულად რომ ვთქვათ, ეს იყოს მხარე |AB| და კუთხე?. შემდეგ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციის კოსინუსის ფორმულა - კუთხის კოსინუსი უდრის მიმდებარე ფეხის შეფარდებას ჰიპოტენუზასთან. იმათ. ჩვენს აღნიშვნაში cos ? = |AB| / |AC|. იქიდან ვიღებთ ჰიპოტენუზის სიგრძეს |AC| = |AB| / cos ?.თუ ჩვენ ვიცნობთ მხარეს |ძვ.წ.| და კუთხე?, მაშინ გამოვიყენებთ ფორმულას კუთხის სინუსის გამოსათვლელად - კუთხის სინუსი უდრის მოპირდაპირე მხარის შეფარდებას ჰიპოტენუზასთან: sin? = |ძვ.წ.| / |AC|. ჩვენ ვხვდებით, რომ ჰიპოტენუზის სიგრძეა |AC| = |ძვ.წ.| /cos?.

4. სიცხადისთვის, მოდით შევხედოთ მაგალითს. მიეცით ფეხის სიგრძე |AB|. = 15. და კუთხე? = 60°. ვიღებთ |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0.5 = 30. მოდით ვნახოთ, როგორ შეგიძლიათ შეამოწმოთ თქვენი შედეგი პითაგორას თეორემის გამოყენებით. ამისათვის ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ მეორე ფეხის სიგრძე |BC|. იყენებთ tg კუთხის ტანგენტის ფორმულას? = |ძვ.წ.| / |AC|, ვიღებთ |ძვ.წ.| = |AB| *ტგ? = 15 * tan 60° = 15 * ?3. შემდეგ ვიყენებთ პითაგორას თეორემას, მივიღებთ 15^2 + (15 * ?3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. შემოწმება დასრულებულია.

სასარგებლო რჩევა
ჰიპოტენუზის გამოთვლის შემდეგ შეამოწმეთ, აკმაყოფილებს თუ არა მიღებული მნიშვნელობა პითაგორას თეორემას.

მოგეხსენებათ, გეომეტრია რთული მეცნიერებაა, რომელიც განსაკუთრებულ ზრუნვას და სიზუსტეს მოითხოვს პრობლემების გადაჭრაში. ბევრი გამოთქმა და ფორმულა, რომლებსაც შემდგომ ვიყენებთ უფრო რთულ გამოთვლებში, მოცემულია მათემატიკის სახელმძღვანელოებში 6-7 კლასებისთვის. ტრიგონომეტრიული ფუნქციების სწავლის პროცესი უფრო მარტივი და სასიამოვნო რომ გავხადოთ, ამ სტატიაში განვიხილავთ მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზის გამოთვლის რამდენიმე მოკლე გზას.

როგორ მოვძებნოთ ჰიპოტენუზა ფეხების მიხედვით?

გავიხსენოთ პატარა თეორია: მართკუთხა სამკუთხედი არის ბრტყელი ფიგურა, რომელსაც აქვს სამი კუთხე. ერთ-ერთ მათგანს აქვს 90º სიდიდე, გვერდებს კი ფეხები და ჰიპოტენუზა ეწოდება. მარჯვენა კუთხის მოპირდაპირე მხარე არის ჰიპოტენუზა, ხოლო დანარჩენი ორი არის მიმდებარე ფეხი. მხარეთა მთავარი თამაში გამოიხატება პითაგორას თეორემაში, რომლის მიხედვითაც ჰიპოტენუზა უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს. თუმცა, ეს მხოლოდ დამაბნეველი ჩანს, რადგან სინამდვილეში ყველაფერი ბევრად უფრო მარტივია.

გეომეტრიული ფიგურის თვისებები

სანამ სამკუთხედის ჰიპოტენუზას იპოვით, უნდა გესმოდეთ, რა თვისებები აქვს ამ ფიგურას. განვიხილოთ ძირითადი:

მართკუთხა სამკუთხედში ორივე მახვილი კუთხე ემატება 90º-ს.
30º კუთხის მოპირდაპირე ფეხი უდრის ჰიპოტენუზის ½ ზომას.
თუ ფეხი უდრის ჰიპოტენუზის ½-ს, მაშინ მეორე კუთხეს ექნება იგივე მნიშვნელობა - 30º.

მართკუთხა სამკუთხედში ჰიპოტენუზის პოვნის რამდენიმე გზა არსებობს. უმარტივესი გამოსავალი არის ფეხების გამოყენებით გამოთვლა. ვთქვათ, თქვენ იცით A და B გვერდების ფეხების მნიშვნელობები. შემდეგ პითაგორას თეორემა გვეხმარება, რომელიც გვეუბნება, რომ თუ ფეხის თითოეულ მნიშვნელობას გავა კვადრატში და შევაჯამებთ მიღებულ მონაცემებს, გავიგებთ რა არის ჰიპოტენუზა უდრის. ასე რომ, ჩვენ უბრალოდ უნდა გამოვყოთ კვადრატული ფესვის მნიშვნელობა:

მაგალითად, თუ ფეხი A = 3 სმ და ფეხი B = 4 სმ, მაშინ გაანგარიშება ასე გამოიყურება:

როგორ ვიპოვოთ ჰიპოტენუზა კუთხით?

კიდევ ერთი გზა იმის გასარკვევად, თუ რა არის ჰიპოტენუზა მართკუთხა სამკუთხედში არის გამოთვლა მოცემული კუთხით. ამისათვის ჩვენ უნდა გამოვიტანოთ მნიშვნელობა სინუსური ფორმულით. ვთქვათ, ვიცით ფეხის ზომა (A) და მოპირდაპირე კუთხის მნიშვნელობა (α). მაშინ მთელი ხსნარი შეიცავს ერთ ფორმულას: C=A/sin(α).

მაგალითად, თუ ფეხის სიგრძეა 40 სმ, ხოლო კუთხე 45°, მაშინ ჰიპოტენუზის სიგრძე შეიძლება გამოვყოთ შემდეგნაირად:

40/ცოდო(45°) = 40/0.71 = 56.33.

საჭირო მნიშვნელობა ასევე შეიძლება განისაზღვროს მოცემული კუთხის კოსინუსის მეშვეობით. ვთქვათ, ვიცით ერთი ფეხის (B) და მკვეთრი მიმდებარე კუთხის (α) მნიშვნელობა. შემდეგ პრობლემის გადასაჭრელად დაგჭირდებათ ერთი ფორმულა: C=B/ cos(α).

მაგალითად, თუ ფეხის სიგრძეა 50 სმ და კუთხე 45°, მაშინ ჰიპოტენუზა შეიძლება გამოითვალოს შემდეგნაირად:

50/cos(45°) = 50/0.71 = 80.42.

ამრიგად, ჩვენ განვიხილეთ სამკუთხედში ჰიპოტენუზის გასარკვევად ძირითადი გზები. პრობლემის გადაჭრისას მნიშვნელოვანია კონცენტრირება ხელმისაწვდომ მონაცემებზე, მაშინ უცნობი რაოდენობის პოვნა საკმაოდ მარტივი იქნება. თქვენ მხოლოდ უნდა იცოდეთ რამდენიმე ფორმულა და პრობლემების გადაჭრის პროცესი გახდება მარტივი და სასიამოვნო.

ინსტრუქციები

თუ საჭიროა პითაგორას თეორემის გამოყენებით გამოთვლა, გამოიყენეთ შემდეგი ალგორითმი: - სამკუთხედში განსაზღვრეთ რომელი გვერდებია ფეხები და რომელი ჰიპოტენუზა. ორმოცდაათი გრადუსიანი კუთხის ფორმირების ორი მხარე არის ფეხები, დარჩენილი მესამე არის ჰიპოტენუზა. (სმ) - ამ სამკუთხედის თითოეული ფეხი აწიეთ მეორე ხარისხამდე, ანუ გაამრავლეთ თავისთავად. მაგალითი 1. დავუშვათ, რომ ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ ჰიპოტენუზა, თუ სამკუთხედში ერთი ფეხი არის 12 სმ, ხოლო მეორე 5 სმ, ჯერ ფეხების კვადრატები ტოლია: 12 * 12 = 144 სმ და 5 * 5 = 25 სმ. შემდეგი, განსაზღვრეთ კვადრატების ფეხების ჯამი. გარკვეული რიცხვია ჰიპოტენუზა, თქვენ უნდა მოიცილოთ რიცხვის მეორე ხარისხი, რომ იპოვოთ სიგრძესამკუთხედის ეს მხარე. ამისათვის ამოიღეთ კვადრატული ფესვიდან ფეხების კვადრატების ჯამის მნიშვნელობა. მაგალითი 1. 144+25=169. 169-ის კვადრატული ფესვი არის 13. მაშასადამე, ამის სიგრძე ჰიპოტენუზაუდრის 13 სმ.

სიგრძის გამოთვლის კიდევ ერთი გზა ჰიპოტენუზამდგომარეობს სინუსის და კუთხეების ტერმინოლოგიაში სამკუთხედში. განმარტებით: კუთხის ალფა სინუსი - ჰიპოტენუზის საპირისპირო ფეხი. ანუ, ფიგურის დათვალიერებისას, sin a = CB / AB. აქედან გამომდინარე, ჰიპოტენუზა AB = CB / sin a მაგალითი 2. მოდით, კუთხე იყოს 30 გრადუსი, ხოლო საპირისპირო მხარე 4 სმ. ამოხსნა: AB = 4 სმ / ცოდვა 30 = 4 სმ / 0,5 = 8 სმ პასუხი: სიგრძე ჰიპოტენუზა 8 სმ-ის ტოლი.

პოვნის მსგავსი გზა ჰიპოტენუზაკუთხის კოსინუსის განსაზღვრებიდან. კუთხის კოსინუსი არის მის მიმდებარე გვერდის თანაფარდობა და ჰიპოტენუზა. ანუ cos a = AC/AB, აქედან გამომდინარე AB = AC/cos a. მაგალითი 3. ABC სამკუთხედში AB არის ჰიპოტენუზა, კუთხე BAC არის 60 გრადუსი, ფეხი AC არის 2 სმ.
ამოხსნა: AB = AC/cos 60 = 2/0.5 = 4 სმ პასუხი: ჰიპოტენუზა 4 სმ სიგრძისაა.

სასარგებლო რჩევა

კუთხის სინუსის ან კოსინუსის მნიშვნელობის პოვნისას გამოიყენეთ სინუსებისა და კოსინუსების ცხრილი ან ბრედისის ცხრილი.

რჩევა 2: როგორ ვიპოვოთ ჰიპოტენუზის სიგრძე მართკუთხა სამკუთხედში

ჰიპოტენუზა არის ყველაზე გრძელი გვერდი მართკუთხა სამკუთხედში, ამიტომ გასაკვირი არ არის, რომ სიტყვა ბერძნულიდან ითარგმნება როგორც "გაჭიმული". ეს მხარე ყოველთვის დგას 90° კუთხის საპირისპიროდ და ამ კუთხის შემქმნელ გვერდებს ფეხები ეწოდება. ამ გვერდების სიგრძისა და ამ მნიშვნელობების სხვადასხვა კომბინაციებში მახვილი კუთხეების მნიშვნელობების ცოდნა, შეგვიძლია გამოვთვალოთ ჰიპოტენუზის სიგრძე.

ინსტრუქციები

თუ ორივე სამკუთხედის (A და B) სიგრძე ცნობილია, მაშინ გამოიყენეთ ჰიპოტენუზის (C) სიგრძე, ალბათ ყველაზე ცნობილი მათემატიკური პოსტულატი - პითაგორას თეორემა. მასში ნათქვამია, რომ ჰიპოტენუზის სიგრძის კვადრატი არის ფეხების სიგრძის კვადრატების ჯამი, საიდანაც გამომდინარეობს, რომ თქვენ უნდა გამოთვალოთ ორი მხარის კვადრატული სიგრძის ჯამის ფესვი: C = √ ( A² + B²). მაგალითად, თუ ერთი ფეხის სიგრძეა 15 და - 10 სანტიმეტრი, მაშინ ჰიპოტენუზის სიგრძე იქნება დაახლოებით 18,0277564 სანტიმეტრი, ვინაიდან √(15²+10²)=√(225+100)= √325≈18,02775.

თუ ცნობილია მხოლოდ ერთი ფეხის (A) სიგრძე მართკუთხა სამკუთხედში, ისევე როგორც მის მოპირდაპირე კუთხის მნიშვნელობა (α), მაშინ ჰიპოტენუზის სიგრძე (C) შეიძლება გამოყენებულ იქნას ერთ-ერთი ტრიგონომეტრიული გამოყენებით. ფუნქციები - სინუსი. ამისთვის ცნობილი გვერდის სიგრძე გავყოთ ცნობილი კუთხის სინუსზე: C=A/sin(α). მაგალითად, თუ ერთ-ერთი ფეხის სიგრძეა 15 სანტიმეტრი, ხოლო კუთხე სამკუთხედის მოპირდაპირე წვეროზე არის 30°, მაშინ ჰიპოტენუზის სიგრძე იქნება 30 სანტიმეტრის ტოლი, ვინაიდან 15/sin(30°) =15/0.5=30.

თუ მართკუთხა სამკუთხედში ცნობილია ერთ-ერთი მწვავე კუთხის ზომა (α) და მიმდებარე ფეხის სიგრძე (B), მაშინ ჰიპოტენუზის (C) სიგრძის გამოსათვლელად შეგიძლიათ გამოიყენოთ სხვა ტრიგონომეტრიული ფუნქცია - კოსინუსი. ცნობილი ფეხის სიგრძე უნდა გაყოთ ცნობილი კუთხის კოსინუსზე: C=B/ cos(α). მაგალითად, თუ ამ ფეხის სიგრძე 15 სანტიმეტრია, ხოლო მის მიმდებარე მახვილი კუთხე 30°, მაშინ ჰიპოტენუზის სიგრძე იქნება დაახლოებით 17,3205081 სანტიმეტრი, ვინაიდან 15/cos(30°)=15/(0,5*) √3)=30/√3≈17.3205081.

სიგრძე ჩვეულებრივ გამოიყენება ხაზის სეგმენტზე ორ წერტილს შორის მანძილის აღსანიშნავად. ეს შეიძლება იყოს სწორი, გატეხილი ან დახურული ხაზი. თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ სიგრძე საკმაოდ მარტივად, თუ იცით სეგმენტის სხვა ინდიკატორები.

ინსტრუქციები

ვიდეო თემაზე

გთხოვთ გაითვალისწინოთ

მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების გაანგარიშებისას, მისი მახასიათებლების ცოდნამ შეიძლება როლი შეასრულოს:
1) თუ მართი კუთხის ფეხი დევს 30 გრადუსიანი კუთხის საპირისპიროდ, მაშინ ის უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს;
2) ჰიპოტენუზა ყოველთვის გრძელია ვიდრე რომელიმე ფეხი;
3) თუ წრე შემოიფარგლება მართკუთხა სამკუთხედის გარშემო, მაშინ მისი ცენტრი უნდა იყოს ჰიპოტენუზის შუაში.

ინსტრუქციები

გვაცნობეთ ერთ-ერთი ფეხი და მის მიმდებარე კუთხე. კონკრეტულად რომ ვთქვათ, ეს იყოს მხარე |AB| და კუთხე α. შემდეგ ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ფორმულა მიმდებარე ფეხის ტრიგონომეტრიული კოსინუს-კოსინუსის თანაფარდობისთვის. იმათ. ჩვენს აღნიშვნაში cos α = |AB| / |AC|. აქედან ვიღებთ ჰიპოტენუზის |AC|-ის სიგრძეს = |AB| / cos α.
თუ ვიცით მხარე |ძვ.წ.| და კუთხე α, მაშინ გამოვიყენებთ ფორმულას კუთხის სინუსის გამოსათვლელად - კუთხის სინუსი უდრის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდებას ჰიპოტენუზასთან: sin α = |BC| / |AC|. ჩვენ ვხვდებით, რომ ჰიპოტენუზის სიგრძეა |AC| = |ძვ.წ.| / cos α.

სიცხადისთვის, მოდით შევხედოთ მაგალითს. მიეცით ფეხის სიგრძე |AB|. = 15. და კუთხე α = 60°. ვიღებთ |AC| = 15 / cos 60 ° = 15 / 0.5 = 30.
მოდით შევხედოთ, თუ როგორ შეგიძლიათ შეამოწმოთ თქვენი შედეგი პითაგორას თეორემის გამოყენებით. ამისათვის ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ მეორე ფეხის სიგრძე |BC|. tan α = |BC| კუთხის ტანგენტის ფორმულის გამოყენებით / |AC|, ვიღებთ |ძვ.წ.| = |AB| * tan α = 15 * tan 60° = 15 * √3. შემდეგი, ჩვენ ვიყენებთ პითაგორას თეორემას, ვიღებთ 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. შემოწმება დასრულებულია.

სასარგებლო რჩევა

ჰიპოტენუზის გამოთვლის შემდეგ შეამოწმეთ, აკმაყოფილებს თუ არა მიღებული მნიშვნელობა პითაგორას თეორემას.

წყაროები:

მარტივი რიცხვების ცხრილი 1-დან 10000-მდე

ფეხებიარის მართკუთხა სამკუთხედის ორი მოკლე გვერდი, რომლებიც ქმნიან წვეროს, რომლის ზომაა 90°. ასეთ სამკუთხედში მესამე გვერდს ჰიპოტენუზა ეწოდება. სამკუთხედის ყველა ეს გვერდი და კუთხე ერთმანეთთან არის დაკავშირებული გარკვეული ურთიერთობებით, რაც შესაძლებელს ხდის ფეხის სიგრძის გამოთვლას, თუ ცნობილია რამდენიმე სხვა პარამეტრი.

ინსტრუქციები

გამოიყენეთ პითაგორას თეორემა ფეხისთვის (A), თუ იცით მართკუთხა სამკუთხედის დანარჩენი ორი გვერდის (B და C) სიგრძე. ეს თეორემა ამბობს, რომ ფეხების კვადრატული სიგრძის ჯამი უდრის ჰიპოტენუზის კვადრატს. აქედან გამომდინარეობს, რომ თითოეული ფეხის სიგრძე უდრის ჰიპოტენუზისა და მეორე ფეხის სიგრძის კვადრატულ ფესვს: A=√(C²-B²).

გამოიყენეთ პირდაპირი ტრიგონომეტრიული ფუნქციის "სინუსი" განმარტება მწვავე კუთხისთვის, თუ ცნობილია კუთხის (α) სიდიდე, რომელიც მდებარეობს გამოთვლილი ფეხის საპირისპიროდ და ჰიპოტენუზის (C) სიგრძე. ეს ნიშნავს, რომ სასურველი ფეხის სიგრძის ამ ცნობილი თანაფარდობის სინუსი ჰიპოტენუზის სიგრძესთან. ეს ნიშნავს, რომ სასურველი ფეხის სიგრძე უდრის ჰიპოტენუზის სიგრძისა და ცნობილი კუთხის სინუსის ნამრავლს: A=C∗sin(α). იგივე ცნობილი სიდიდეებისთვის, თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ კოსეკანტი და გამოთვალოთ საჭირო სიგრძე ჰიპოტენუზის სიგრძის გაყოფით ცნობილი კუთხის A=C/cosec(α) კოსეკანტზე.

გამოიყენეთ პირდაპირი ტრიგონომეტრიული კოსინუსის ფუნქციის განმარტება, თუ ჰიპოტენუზის სიგრძის გარდა (C), ცნობილია სასურველთან მიმდებარე მახვილი კუთხის (β) სიდიდეც. ამ კუთხის კოსინუსი არის სასურველი ფეხისა და ჰიპოტენუზის სიგრძის თანაფარდობა და აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ფეხის სიგრძე უდრის ჰიპოტენუზის სიგრძისა და ცნობილი კუთხის კოსინუსის ნამრავლს: A=C∗cos(β). შეგიძლიათ გამოიყენოთ სეკანტური ფუნქციის განმარტება და გამოთვალოთ სასურველი მნიშვნელობა ჰიპოტენუზის სიგრძის გაყოფით ცნობილი კუთხის A=C/sec(β) სეკანტზე.

გამოიტანეთ საჭირო ფორმულა მსგავსი განსაზღვრებიდან ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ტანგენტის წარმოებულისთვის, თუ სასურველი ფეხის (A) მოპირდაპირე მდებარე მწვავე კუთხის (α) მნიშვნელობის გარდა ცნობილია მეორე ფეხის (B) სიგრძე. . სასურველი ფეხის მოპირდაპირე კუთხის ტანგენსი არის ამ ფეხის სიგრძის თანაფარდობა მეორე ფეხის სიგრძესთან. ეს ნიშნავს, რომ სასურველი მნიშვნელობა ტოლი იქნება ცნობილი ფეხის სიგრძისა და ცნობილი კუთხის ტანგენტის ნამრავლის: A=B∗tg(α). იგივე ცნობილი სიდიდეებიდან შეიძლება გამოვიყენოთ სხვა ფორმულა, თუ გამოვიყენებთ კოტანგენტის ფუნქციის განმარტებას. ამ შემთხვევაში ფეხის სიგრძის გამოსათვლელად საჭირო იქნება ცნობილი ფეხის სიგრძის შეფარდება ცნობილი კუთხის კოტანგენსთან: A=B/ctg(α).

ვიდეო თემაზე

სიტყვა "კათეტი" რუსულად ბერძნულიდან შემოვიდა. ზუსტი თარგმანით, ეს ნიშნავს ქლიავის ხაზს, ანუ დედამიწის ზედაპირზე პერპენდიკულარულს. მათემატიკაში, ფეხები არის გვერდები, რომლებიც ქმნიან მართკუთხა სამკუთხედის სწორ კუთხეებს. ამ კუთხის მოპირდაპირე მხარეს ჰიპოტენუზა ეწოდება. ტერმინი "კათეტი" ასევე გამოიყენება არქიტექტურასა და შედუღების ტექნოლოგიაში.

დახაზეთ მართკუთხა სამკუთხედი DIA. მონიშნეთ მისი ფეხები, როგორც a და b, ხოლო მისი ჰიპოტენუზა, როგორც c. მართკუთხა სამკუთხედის ყველა გვერდი და კუთხე ერთმანეთისგან არის განსაზღვრული. ერთ-ერთი მწვავე კუთხის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობას ჰიპოტენუზასთან ეწოდება ამ კუთხის სინუსი. ამ სამკუთხედში sinCAB=a/c. კოსინუსი არის თანაფარდობა მიმდებარე ფეხის ჰიპოტენუზასთან, ანუ cosCAB=b/c. შებრუნებულ მიმართებებს უწოდებენ სეკანტს და კოსეკანტს.

ამ კუთხის სეკანტი მიიღება ჰიპოტენუზის მიმდებარე ფეხზე გაყოფით, ანუ secCAB = c/b. შედეგი არის კოსინუსის ორმხრივი, ანუ ის შეიძლება გამოიხატოს ფორმულის გამოყენებით secCAB=1/cosSAB.
კოსეკანტი უდრის ჰიპოტენუზის მოპირდაპირე მხარეს გაყოფილ კოეფიციენტს და არის სინუსის ორმხრივი. ის შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით cosecCAB=1/sinCAB

ორივე ფეხი დაკავშირებულია ერთმანეთთან და კოტანგენტის საშუალებით. ამ შემთხვევაში, ტანგენსი იქნება a გვერდის თანაფარდობა b მხარესთან, ანუ მოპირდაპირე მხარეს მეზობელ მხარესთან. ეს ურთიერთობა შეიძლება გამოიხატოს ფორმულით tgCAB=a/b. შესაბამისად, შებრუნებული თანაფარდობა იქნება კოტანგენსი: ctgCAB=b/a.

ჰიპოტენუზისა და ორივე ფეხის ზომებს შორის ურთიერთობა განისაზღვრა ძველი ბერძნული პითაგორას მიერ. ხალხი კვლავ იყენებს თეორემას და მის სახელს. ნათქვამია, რომ ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს, ანუ c2 = a2 + b2. შესაბამისად, თითოეული ფეხი ტოლი იქნება ჰიპოტენუზისა და მეორე ფეხის კვადრატებს შორის სხვაობის კვადრატული ფესვის. ეს ფორმულა შეიძლება დაიწეროს როგორც b=√(c2-a2).

ფეხის სიგრძე ასევე შეიძლება გამოიხატოს თქვენთვის ცნობილი ურთიერთობებით. სინუსებისა და კოსინუსების თეორემების მიხედვით, ფეხი ტოლია ჰიპოტენუზისა და ერთ-ერთი ამ ფუნქციის ნამრავლის. ის შეიძლება გამოიხატოს როგორც და ან კოტანგენტის სახით. ფეხი a შეიძლება მოიძებნოს, მაგალითად, ფორმულის გამოყენებით a = b*tan CAB. ზუსტად ანალოგიურად, მოცემული ტანგენტის ან , მეორე ფეხი განისაზღვრება.

ტერმინი „კათეტი“ ასევე გამოიყენება არქიტექტურაში. იგი გამოიყენება იონურ კაპიტალზე და მისი უკანა ნაწილის შუა ნაწილში. ანუ ამ შემთხვევაში ეს ტერმინი მოცემული წრფის პერპენდიკულარულია.

შედუღების ტექნოლოგიაში არის "ფილე შედუღების ფეხი". როგორც სხვა შემთხვევებში, ეს არის უმოკლესი მანძილი. აქ საუბარია უფსკრულის შესახებ შედუღებამდე ერთ ნაწილს შორის მეორე ნაწილის ზედაპირზე მდებარე ნაკერის საზღვარზე.

ვიდეო თემაზე

წყაროები:

რა არის ფეხი და ჰიპოტენუზა 2019 წელს

ბერძნულიდან თარგმნილი, ჰიპოტენუზა ნიშნავს "მჭიდროდ". სწორად გასაგებად, წარმოიდგინეთ მშვილდის სიმები, რომელიც აკავშირებს მოქნილი ჯოხის ორ ბოლოს. ანალოგიურად, მართკუთხა სამკუთხედში, ყველაზე გრძელი გვერდი არის ჰიპოტენუზა, რომელიც მდებარეობს სწორი კუთხის საპირისპიროდ. ის მოქმედებს როგორც დამაკავშირებელი დანარჩენ ორ მხარეს, რომელსაც ეწოდება ფეხები. იმის გასარკვევად, თუ რამდენი ხნისაა ეს "სტრიქონი", თქვენ უნდა გქონდეთ ფეხების სიგრძე, ან ორი მწვავე კუთხის ზომა. ამ მონაცემების კომბინაციით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ სასურველი მნიშვნელობა ფორმულების გამოყენებით.

როგორ მოვძებნოთ ჰიპოტენუზა ფეხების მიხედვით

გამოთვლა ყველაზე მარტივი გზაა, თუ იცით ორი ფეხის ზომა (მოდით აღვნიშნოთ ერთი, როგორც A, მეორე როგორც B). თავად პითაგორა და მისი მსოფლიოში ცნობილი თეორემა სამაშველოში მოდის. ის გვეუბნება, რომ თუ ფეხის სიგრძის კვადრატს მოვაყრით და გამოთვლილ მნიშვნელობებს დავამატებთ, შედეგად ჩვენ გვეცოდინება ჰიპოტენუზის სიგრძის კვადრატული მნიშვნელობა. ზემოაღნიშნულიდან დავასკვნათ: ჰიპოტენუზის მნიშვნელობის საპოვნელად აუცილებელია C = √ (A² + B²) ფეხის კვადრატების ჯამის კვადრატული ფესვის ამოღება. მაგალითი: მხარე A=10 სმ, მხარე B=20 სმ. გამოთვლა უდრის 22,36 სმ:

როგორ ვიპოვოთ ჰიპოტენუზა კუთხით

ცოტა უფრო რთულია ჰიპოტენუზის სიგრძის გამოთვლა მოცემული კუთხით. თუ იცით ორი ფეხიდან ერთ-ერთის ზომა (აღინიშნება A-თი) და კუთხის ზომა (მითითებულია α), რომელიც დევს მის საპირისპიროდ, მაშინ ჰიპოტენუზას ზომა ტრიგონომეტრიის, და კონკრეტულად, სინუსის გამოყენებით არის ნაპოვნი. ყველაფერი რაც თქვენ უნდა გააკეთოთ არის ცნობილი ფეხის მნიშვნელობის გაყოფა კუთხის სინუსზე. C=A/sin(α). მაგალითი: ფეხის სიგრძე A = 30 სმ, მის მოპირდაპირე კუთხე არის 45°, ჰიპოტენუზა იქნება 42,25 სმ.

კიდევ ერთი გზაა ჰიპოტენუზის ზომის პოვნა კოსინუსის გამოყენებით. იგი გამოიყენება, თუ იცით ფეხის ზომა (აღნიშნულია B-ით) და მკვეთრი კუთხე (აღნიშნავს α) მის მიმდებარედ. ყველაფერი რაც თქვენ უნდა გააკეთოთ არის ფეხის მნიშვნელობის გაყოფა კუთხის სინუსზე. С=В/ cos(α). მაგალითი: ფეხის სიგრძე B = 30 სმ, მის მოპირდაპირე კუთხე არის 45°, ჰიპოტენუზა იქნება 42,25 სმ.

როგორ ვიპოვოთ ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა

ნებისმიერმა თავმოყვარე მოსწავლემ იცის, რომ სამკუთხედი არის ტოლფერდა, იმ პირობით, რომ სამი გვერდიდან ორი ერთმანეთის ტოლია. ამ გვერდებს გვერდითი ეწოდება, ხოლო დარჩენილს - ფუძე. თუ ერთ-ერთი კუთხე არის 90°, მაშინ თქვენ გაქვთ ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედი.

ასეთ სამკუთხედში ჰიპოტენუზის პოვნა მარტივია, რადგან მას აქვს რამდენიმე თვისება, რაც დაგეხმარებათ. ფუძის მიმდებარე კუთხეები ტოლია მნიშვნელობით, კუთხის მნიშვნელობების ჯამი არის 180°. ეს ნიშნავს, რომ სწორი კუთხე მდებარეობს ფუძის საპირისპიროდ, რაც ნიშნავს, რომ ფუძე არის ჰიპოტენუზა, ხოლო გვერდები არის ფეხები.