მოცემულია დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი. ჰიპერგეომეტრიული განაწილების კანონი

მოცემულია დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სერია. იპოვეთ გამოტოვებული ალბათობა და დახაზეთ განაწილების ფუნქცია. გამოთვალეთ ამ სიდიდის მათემატიკური მოლოდინი და განსხვავება.

შემთხვევითი ცვლადი X იღებს მხოლოდ ოთხ მნიშვნელობას: -4, -3, 1 და 2. იგი იღებს თითოეულ ამ მნიშვნელობას გარკვეული ალბათობით. ვინაიდან ყველა ალბათობის ჯამი უნდა იყოს 1-ის ტოლი, გამოტოვებული ალბათობა უდრის:

0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,

შევადგინოთ X შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია. ცნობილია, რომ განაწილების ფუნქცია , მაშინ:

აქედან გამომდინარე,

მოდით დავხატოთ ფუნქცია ფ(x) .

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი უდრის შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობის ნამრავლებისა და შესაბამისი ალბათობის, ე.ი.

ჩვენ ვპოულობთ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის ვარიაციას ფორმულის გამოყენებით:

აპლიკაცია

კომბინატორიკის ელემენტები აქ: - რიცხვის ფაქტორიალი

მოქმედებები მოვლენებზე მოვლენა არის ნებისმიერი ფაქტი, რომელიც შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს გამოცდილების შედეგად. მოვლენების შერწყმა ადა IN- ეს ღონისძიება თანრომელიც შედგება გარეგნობისგან ან მოვლენისგან ა, ან მოვლენები IN, ან ორივე მოვლენა ერთდროულად. Დანიშნულება: ; მოვლენების გადაკვეთა ადა IN- ეს ღონისძიება თან, რომელიც შედგება ორივე მოვლენის ერთდროული წარმოშობისგან. Დანიშნულება: ;

ალბათობის კლასიკური განმარტება მოვლენის ალბათობა აარის ექსპერიმენტების რაოდენობის თანაფარდობა , ხელსაყრელი მოვლენის დადგომისთვის ა, ექსპერიმენტების საერთო რაოდენობამდე :

ალბათობის გამრავლების ფორმულა მოვლენის ალბათობა შეგიძლიათ იპოვოთ ფორმულის გამოყენებით: - მოვლენის ალბათობა A, მოვლენის ალბათობა IN, - მოვლენის ალბათობა INიმ პირობით, რომ ღონისძიება აუკვე მოხდა. თუ მოვლენები A და B დამოუკიდებელია (ერთის დადგომა არ ახდენს გავლენას მეორის წარმოშობაზე), მაშინ მოვლენის ალბათობა უდრის:

ალბათობების დამატების ფორმულა მოვლენის ალბათობა შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულის გამოყენებით: მოვლენის ალბათობა A, მოვლენის ალბათობა IN, - მოვლენების თანამონაწილეობის ალბათობა ადა IN. თუ მოვლენები A და B შეუთავსებელია (არ შეიძლება მოხდეს ერთდროულად), მაშინ მოვლენის ალბათობა უდრის:

საერთო ალბათობის ფორმულა დაე, ღონისძიება აშეიძლება მოხდეს ერთ-ერთ მოვლენასთან ერთდროულად , , …, - დავარქვათ მათ ჰიპოთეზა. Ასევე ცნობილია - შესრულების ალბათობა მე- ჰიპოთეზა და - მოვლენის A მოვლენის ალბათობა შესრულებისას მე- ჰიპოთეზა. მაშინ მოვლენის ალბათობა აშეგიძლიათ იპოვოთ ფორმულით:

ბერნულის სქემა იყოს n დამოუკიდებელი ტესტები. მოვლენის დადგომის (წარმატების) ალბათობა ათითოეულ მათგანში არის მუდმივი და თანაბარი გვმარცხის ალბათობა (ანუ მოვლენის არ მომხდარა ა) ქ = 1 - გვ. შემდეგ დადგომის ალბათობა კწარმატებაში ნტესტები შეიძლება მოიძებნოს ბერნულის ფორმულის გამოყენებით: ბერნულის სქემაში წარმატების ყველაზე სავარაუდო რაოდენობა არის ზოგიერთი მოვლენის შემთხვევების რაოდენობა, რომელსაც აქვს ყველაზე მაღალი ალბათობა. შეგიძლიათ იპოვოთ ფორმულის გამოყენებით:

შემთხვევითი ცვლადები დისკრეტული უწყვეტი (მაგალითად, 5 შვილიან ოჯახში გოგონების რაოდენობა) (მაგალითად, ქვაბის გამართულად მუშაობის დრო) დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადების რიცხვითი მახასიათებლები მოდით, დისკრეტული რაოდენობა იყოს მოცემული განაწილების სერიით: X რ , , …, - შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობები X; , , …, არის შესაბამისი ალბათობის მნიშვნელობები. განაწილების ფუნქცია შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია Xფუნქციას უწოდებენ , განსაზღვრულია მთელ რიცხვთა წრფეზე და უდრის ამის ალბათობას Xნაკლები იქნება X:

კითხვები გამოცდისთვის

ღონისძიება.

ოპერაციები შემთხვევით მოვლენებზე.

მოვლენის ალბათობის ცნება.

ალბათობების შეკრებისა და გამრავლების წესები. პირობითი ალბათობები.

საერთო ალბათობის ფორმულა. ბეიზის ფორმულა.

ბერნულის სქემა.

შემთხვევითი ცვლადი, მისი განაწილების ფუნქცია და განაწილების სერია.

განაწილების ფუნქციის ძირითადი თვისებები.

Მოსალოდნელი ღირებულება. მათემატიკური მოლოდინის თვისებები.

დისპერსია.

დისპერსიის თვისებები.

ერთგანზომილებიანი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილების სიმკვრივე.

განაწილების ტიპები: ერთგვაროვანი, ექსპონენციალური, ნორმალური, ბინომალური და პუასონის განაწილება.

მოივრ-ლაპლასის ლოკალური და ინტეგრალური თეორემები.

ორი შემთხვევითი ცვლადის სისტემის კანონი და განაწილების ფუნქცია.

ორი შემთხვევითი ცვლადის სისტემის განაწილების სიმკვრივე.

განაწილების პირობითი კანონები, პირობითი მათემატიკური მოლოდინი.

დამოკიდებული და დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადები. Კორელაციის კოეფიციენტი.

ნიმუში.

ნიმუშის დამუშავება. მრავალკუთხედი და სიხშირის ჰისტოგრამა. ემპირიული განაწილების ფუნქცია.განაწილების პარამეტრების შეფასების კონცეფცია. შეფასების მოთხოვნები. Ნდობის ინტერვალი. მათემატიკური მოლოდინისა და სტანდარტული გადახრის შესაფასებლად ინტერვალების აგება.
სტატისტიკური ჰიპოთეზები. თანხმობის კრიტერიუმები.
დისკრეტული შემთხვევითი
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სერია არის მისი შესაძლო მნიშვნელობებისა და შესაბამისი ალბათობების სია.
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია არის ფუნქცია:
,
x არგუმენტის თითოეული მნიშვნელობისთვის ალბათობის განსაზღვრა, რომ შემთხვევითი ცვლადი X მიიღებს ამ x-ზე ნაკლებ მნიშვნელობას.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მოლოდინი
,
სად არის დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობა; - შემთხვევითი ცვლადის მიღების X მნიშვნელობების ალბათობა.
თუ შემთხვევითი ცვლადი იღებს შესაძლო მნიშვნელობების თვლადი სიმრავლეს, მაშინ:
.
მოვლენის შემთხვევების რაოდენობის მათემატიკური მოლოდინი n დამოუკიდებელ ცდაში:
,

დისპერსია და დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის სტანდარტული გადახრა
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის დისპერსია:
ან .
დამოუკიდებელ ცდებში მოვლენის შემთხვევების რაოდენობის ვარიაცია
,
სადაც p არის მოვლენის დადგომის ალბათობა.
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის სტანდარტული გადახრა:
.

მაგალითი 1
შეადგინეთ ალბათობის განაწილების კანონი დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადისთვის (DRV) X – k შემთხვევის რაოდენობა მინიმუმ ერთი „ექვსი“ n = 8 კამათლის წყვილის სროლაში. განაწილების მრავალკუთხედის აგება. იპოვეთ განაწილების რიცხვითი მახასიათებლები (განაწილების რეჟიმი, მათემატიკური მოლოდინი M(X), დისპერსია D(X), სტანდარტული გადახრა s(X)). გამოსავალი:შემოვიღოთ აღნიშვნა: მოვლენა A – „კამათლის სროლისას ექვსი ერთხელ მაინც გამოჩნდა“. A მოვლენის P(A) = p ალბათობის საპოვნელად უფრო მოსახერხებელია პირველ რიგში საპირისპირო მოვლენის P(Ā) = q ალბათობის პოვნა - „კამათლის სროლისას ექვსი არასოდეს გამოჩენილა“.
იმის გამო, რომ "ექვსის" არ გამოჩენის ალბათობა ერთი საყრდენის სროლისას არის 5/6, მაშინ ალბათობის გამრავლების თეორემის მიხედვით
P(Ā) = q = = .
შესაბამისად,
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
პრობლემაში ტესტები მიჰყვება ბერნულის სქემას, ამიტომ d.s.v. სიდიდე X- ნომერი კმინიმუმ ერთი ექვსის დადგომა ორი კამათლის სროლისას ემორჩილება ალბათობის განაწილების ორნომიალურ კანონს:

სადაც = არის კომბინაციების რაოდენობა ნმიერ კ.

ამ პრობლემისთვის განხორციელებული გამოთვლები შეიძლება მოხერხებულად იყოს წარმოდგენილი ცხრილის სახით:
ალბათობის განაწილება d.s.v. X º კ (ნ = 8; გვ = ; ქ = )

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილების პოლიგონი (პოლიგონი). Xნაჩვენებია ფიგურაში:

ბრინჯი. ალბათობის განაწილების მრავალკუთხედი d.s.v. X=კ.
ვერტიკალური ხაზი აჩვენებს განაწილების მათემატიკურ მოლოდინს მ(X).

ვიპოვოთ d.s.v-ის ალბათობის განაწილების რიცხვითი მახასიათებლები. X. განაწილების რეჟიმი არის 2 (აქ პ 8(2) = 0.2932 მაქსიმუმი). მათემატიკური მოლოდინი განსაზღვრებით უდრის:
მ(X) = = 2,4444,
სად xk = კ– ღირებულება აღებულია d.s.v. X. ვარიაცია დ(X) ჩვენ ვპოულობთ განაწილებას ფორმულის გამოყენებით:
დ(X) = = 4,8097.
სტანდარტული გადახრა (RMS):
ს( X) = = 2,1931.

მაგალითი 2
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი Xგანაწილების კანონით მოცემულია

გამოსავალი.თუ , მაშინ (მესამე თვისება).
თუ, მაშინ. მართლაც, Xშეუძლია მიიღოს მნიშვნელობა 1 0.3 ალბათობით.
თუ, მაშინ. მართლაც, თუ ის აკმაყოფილებს უთანასწორობას
, მაშინ უდრის მოვლენის ალბათობას, რომელიც შეიძლება მოხდეს, როდესაც Xმიიღებს მნიშვნელობას 1 (ამ მოვლენის ალბათობა არის 0.3) ან მნიშვნელობა 4 (ამ მოვლენის ალბათობა არის 0.1). ვინაიდან ეს ორი მოვლენა შეუთავსებელია, შეკრების თეორემის მიხედვით, მოვლენის ალბათობა უდრის 0,3 + 0,1 = 0,4 ალბათობების ჯამს. თუ, მაშინ. მართლაც, მოვლენა გარკვეულია, ამიტომ მისი ალბათობა ერთის ტოლია. ასე რომ, განაწილების ფუნქცია შეიძლება ჩაიწეროს ანალიტიკურად შემდეგნაირად:

ამ ფუნქციის გრაფიკი:
მოდით ვიპოვოთ ამ მნიშვნელობების შესაბამისი ალბათობები. პირობით, მოწყობილობების გაუმართაობის ალბათობა ტოლია: მაშინ ალბათობა იმისა, რომ მოწყობილობები იმუშავებს გარანტიის პერიოდში, ტოლია:




განაწილების კანონს აქვს ფორმა:

ამოცანების ამოხსნის მაგალითები თემაზე „შემთხვევითი ცვლადები“.

დავალება 1 . ლატარიაზე 100 ბილეთია გაცემული. გათამაშდა ერთი მოგება 50 აშშ დოლარი. და ათი მოგება თითო 10 აშშ დოლარით. იპოვეთ X ღირებულების განაწილების კანონი - შესაძლო მოგების ღირებულება.

გამოსავალი. შესაძლო მნიშვნელობები X-სთვის: x 1 = 0; x 2 = 10 და x 3 = 50. ვინაიდან 89 „ცარიელი“ ბილეთია, მაშინ გვ 1 = 0.89, 10$ მოგების ალბათობა. (10 ბილეთი) – გვ 2 = 0.10 და მოგება 50 აშშ დოლარი -გვ 3 = 0.01. ამრიგად:

მარტივი კონტროლი: .

დავალება 2. ალბათობა იმისა, რომ მყიდველმა წინასწარ წაიკითხა პროდუქტის რეკლამა არის 0,6 (p = 0,6). რეკლამის ხარისხის შერჩევით კონტროლს ახორციელებს მყიდველების გამოკითხვა პირველმა, ვინც წინასწარ შეისწავლა რეკლამა. შეადგინეთ განაწილების სერია გამოკითხული მყიდველების რაოდენობისთვის.

გამოსავალი. პრობლემის პირობების მიხედვით, p = 0.6. მდებარეობა: q=1 -გვ = 0.4. ამ მნიშვნელობების ჩანაცვლებით მივიღებთ:და შექმენით განაწილების სერია:

დავალება 3. კომპიუტერი შედგება სამი დამოუკიდებლად მომუშავე ელემენტისგან: სისტემის ერთეული, მონიტორი და კლავიატურა. ძაბვის ერთი მკვეთრი ზრდით, თითოეული ელემენტის უკმარისობის ალბათობა არის 0.1. ბერნულის განაწილების საფუძველზე შეადგინეთ განაწილების კანონი ქსელში დენის მატების დროს წარუმატებელი ელემენტების რაოდენობისთვის.

გამოსავალი. განვიხილოთ ბერნულის განაწილება(ან ბინომი): ალბათობა იმისა, რომნ ტესტები, მოვლენა A გამოჩნდება ზუსტადკ ერთხელ: , ან:

IN დავუბრუნდეთ დავალებას.

X-ის შესაძლო მნიშვნელობები (ჩავარდნების რაოდენობა):

x 0 =0 – არცერთი ელემენტი არ ჩავარდა;

x 1 =1 – ერთი ელემენტის უკმარისობა;

x 2 =2 – ორი ელემენტის უკმარისობა;

x 3 =3 - ყველა ელემენტის უკმარისობა.

ვინაიდან, პირობით, p = 0.1, მაშინ q = 1 - p = 0.9. ბერნულის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ

, ,

, .

კონტროლი:.

ამიტომ, საჭირო განაწილების კანონი:

პრობლემა 4. წარმოებულია 5000 მრგვალი. ალბათობა იმისა, რომ ერთი ვაზნა დეფექტურია . რა არის იმის ალბათობა, რომ მთელ პარტიაში იყოს ზუსტად 3 დეფექტური ვაზნა?

გამოსავალი. გამოიყენება პუასონის განაწილება: ეს განაწილება გამოიყენება იმის დასადგენად, რომ ალბათობა ძალიან დიდია

ტესტების რაოდენობა (მასობრივი ტესტები), რომელთაგან თითოეულში A მოვლენის ალბათობა ძალიან მცირეა, მოვლენა A მოხდება k-ჯერ: , სად .

აქ n = 5000, p = 0.0002, k = 3. ჩვენ ვპოულობთ , შემდეგ სასურველ ალბათობას: .

პრობლემა 5. გასროლისას პირველ დარტყმამდე დარტყმის ალბათობით პ = 0.6 სროლისას, თქვენ უნდა იპოვოთ ალბათობა, რომ დარტყმა მოხდება მესამე გასროლაზე.

გამოსავალი. გამოვიყენოთ გეომეტრიული განაწილება: ჩატარდეს დამოუკიდებელი ცდები, რომლებშიც A მოვლენას აქვს p დადგომის ალბათობა (და არ მომხდარა q = 1 – p). ტესტი მთავრდება A მოვლენის დადგომისთანავე.

ასეთ პირობებში, ალბათობა იმისა, რომ მოვლენა მოხდეს k-ე ცდაზე, განისაზღვრება ფორმულით: . აქ p = 0.6; q = 1 – 0.6 = 0.4;k = 3. ამიტომ, .

პრობლემა 6. მოცემული იყოს X შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი:

იპოვნეთ მათემატიკური მოლოდინი.

გამოსავალი.

.

გაითვალისწინეთ, რომ მათემატიკური მოლოდინის ალბათური მნიშვნელობა არის შემთხვევითი ცვლადის საშუალო მნიშვნელობა.პრობლემა 7

. იპოვეთ X შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია შემდეგი განაწილების კანონით: .

გამოსავალი. Აქ 2 :

X

საჭირო ვარიაცია: .

დისპერსია ახასიათებს შემთხვევითი ცვლადის გადახრის (დისპერსიის) ზომას მისი მათემატიკური მოლოდინიდან.პრობლემა 8

10მ

იპოვეთ მისი რიცხვითი მახასიათებლები. 2 ,

ამოხსნა: m, m 2 მ

, მ. 2 შემთხვევითი X ცვლადის შესახებ შეგვიძლია ვთქვათ: მისი მათემატიკური მოლოდინი არის 6,4 მ, დისპერსიით 13,04 მ.

დავალება 9. , ან – მისი მათემატიკური მოლოდინი არის 6,4 მ გადახრით მ. მეორე ფორმულირება აშკარად უფრო ნათელია. X შემთხვევითი მნიშვნელობა
.

მოცემულია განაწილების ფუნქციით: .

იპოვეთ ალბათობა, რომ ტესტის შედეგად X მნიშვნელობა მიიღებს ინტერვალში მოცემულ მნიშვნელობას

.

დავალება 10. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი X მოცემულია განაწილების კანონით:

იპოვნეთ განაწილების ფუნქცია F(x ) და დახაზეთ იგი.

გამოსავალი. განაწილების ფუნქციიდან გამომდინარე,

ამისთვის , ეს

ზე ;

ზე ;

ზე ;

ზე ;

შესაბამისი სქემა:

პრობლემა 11.უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი X მოცემულია დიფერენციალური განაწილების ფუნქციით: .

იპოვეთ დარტყმის ალბათობა X ინტერვალზე

გამოსავალი. გაითვალისწინეთ, რომ ეს არის ექსპონენციური განაწილების კანონის განსაკუთრებული შემთხვევა.

მოდით გამოვიყენოთ ფორმულა: .

დავალება 12. იპოვეთ X დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის რიცხვითი მახასიათებლები, რომლებიც მითითებულია განაწილების კანონით:

ჩვენ შეგვიძლია გამოვყოთ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადების განაწილების ყველაზე გავრცელებული კანონები:

• ბინომალური განაწილების კანონი
• პუასონის განაწილების კანონი
• გეომეტრიული განაწილების კანონი
• ჰიპერგეომეტრიული განაწილების კანონი

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადების მოცემული განაწილებისთვის, მათი მნიშვნელობების ალბათობების, აგრეთვე რიცხვითი მახასიათებლების (მათემატიკური მოლოდინი, ვარიაცია და ა.შ.) გამოთვლა ხორციელდება გარკვეული „ფორმულების“ გამოყენებით. აქედან გამომდინარე, ძალიან მნიშვნელოვანია ვიცოდეთ ამ ტიპის განაწილება და მათი ძირითადი თვისებები.

1. ბინომალური განაწილების კანონი.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი $X$ ექვემდებარება ორობითი ალბათობის განაწილების კანონს, თუ ის იღებს მნიშვნელობებს $0,\ 1, \ 2, \ \dots, \ n$ ალბათობით $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. სინამდვილეში, შემთხვევითი ცვლადი $X$ არის $A$ მოვლენის შემთხვევების რაოდენობა $n$ დამოუკიდებელ ცდებში. $X$ შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილების კანონი:

$\begin(მასივი)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \წერტილები & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\მარჯვნივ) & P_n\left(1\მარჯვნივ) & \dots & P_n\left(n\მარჯვნივ) \\
\hline
\ბოლო (მასივი)$

ასეთი შემთხვევითი ცვლადისთვის, მათემატიკური მოლოდინი არის $M\left(X\right)=np$, ვარიაცია არის $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

მაგალითი . ოჯახს ორი შვილი ჰყავს. თუ დავუშვებთ, რომ ბიჭისა და გოგოს ყოლის ალბათობა 0,5$-ის ტოლია, იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი $\xi$ - ოჯახში ბიჭების რაოდენობა.

შემთხვევითი ცვლადი $\xi $ იყოს ოჯახში ბიჭების რაოდენობა. მნიშვნელობები, რომლებიც შეიძლება მიიღოს $\xi:\ 0, \ 1, \ 2$. ამ მნიშვნელობების ალბათობა შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულის გამოყენებით $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, სადაც $n =2$ არის დამოუკიდებელი ცდების რაოდენობა, $p=0.5$ არის მოვლენის ალბათობა $n$ საცდელების სერიაში. ჩვენ ვიღებთ:

$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\მარჯვნივ))^(2-0)=(0, 5)^2=0.25;$

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$

$P\left(\xi =2\მარჯვნივ)=C^2_2\cdot (0.5)^2\cdot (\left(1-0.5\მარჯვნივ))^(2-2)=(0, 5)^2 =0.25.$

მაშინ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი $\xi $ არის კორესპონდენცია $0,\ 1,\ 2$ მნიშვნელობებსა და მათ ალბათობებს შორის, ანუ:

$\begin(მასივი)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0.25 & 0.5 & 0.25 \\
\hline
\ბოლო (მასივი)$

განაწილების კანონში ალბათობების ჯამი უნდა იყოს $1$, ანუ $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+ 0, 25 = $1.

მოლოდინი $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, ვარიაცია $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, სტანდარტული გადახრა $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5)\დაახლოებით $0.707.

2. პუასონის განაწილების კანონი.

თუ დისკრეტულ შემთხვევით ცვლადს $X$ შეუძლია მიიღოს მხოლოდ არაუარყოფითი მთელი მნიშვნელობები $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ ალბათობით $P\left(X=k\right)=((( \ლამბდა )^კ )\ზედა (კ}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

კომენტარი. ამ განაწილების თავისებურება ის არის, რომ ექსპერიმენტულ მონაცემებზე დაყრდნობით ვპოულობთ შეფასებებს $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, თუ მიღებული შეფასებები ახლოსაა ერთმანეთთან, მაშინ გვაქვს მიზეზი იმის დასამტკიცებლად, რომ შემთხვევითი ცვლადი ექვემდებარება პუასონის განაწილების კანონს.

მაგალითი . პუასონის განაწილების კანონის დაქვემდებარებული შემთხვევითი ცვლადების მაგალითები შეიძლება იყოს: მანქანების რაოდენობა, რომლებსაც ხვალ მოემსახურება ბენზინგასამართი სადგური; დეფექტური ნივთების რაოდენობა წარმოებულ პროდუქტებში.

მაგალითი . ქარხანამ ბაზას 500 დოლარის პროდუქცია გაუგზავნა. ტრანზიტის დროს პროდუქტის დაზიანების ალბათობა არის $0.002$. იპოვეთ $X$ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი დაზიანებული პროდუქტების რაოდენობის ტოლი; რა არის $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$.

დაე, დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი $X$ იყოს დაზიანებული პროდუქტების რაოდენობა. ასეთი შემთხვევითი ცვლადი ექვემდებარება პუასონის განაწილების კანონს პარამეტრით $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$. მნიშვნელობების ალბათობა უდრის $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k)}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\მარცხნივ(X=0\მარჯვნივ)=((1^0)\ზედა (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\მარცხნივ(X=1\მარჯვნივ)=((1^1)\ზედა (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\მარცხნივ(X=2\მარჯვნივ)=((1^2)\ზედა (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\მარცხნივ(X=3\მარჯვნივ)=((1^3)\ზედა (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\მარცხნივ(X=4\მარჯვნივ)=((1^4)\ზედა (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\მარცხნივ(X=5\მარჯვნივ)=((1^5)\ზედა (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\მარცხნივ(X=6\მარჯვნივ)=((1^6)\ზედა (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\მარჯვნივ)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

$X$ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი:

$\begin(მასივი)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & K \\
\hline
P_i & 0.368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\ლამბდა )^k)\ზედმეტი (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\ბოლო (მასივი)$

ასეთი შემთხვევითი ცვლადისთვის მათემატიკური მოლოდინი და დისპერსია ერთმანეთის ტოლია და პარამეტრის $\lambda $, ანუ $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda. = 1$.

3. გეომეტრიული განაწილების კანონი.

თუ დისკრეტულ შემთხვევით ცვლადს $X$ შეუძლია მიიღოს მხოლოდ ბუნებრივი მნიშვნელობები $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ ალბათობით $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ მარჯვნივ)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, მაშინ ამბობენ, რომ ასეთი შემთხვევითი ცვლადი $X$ ექვემდებარება ალბათობის განაწილების გეომეტრიულ კანონს. სინამდვილეში, გეომეტრიული განაწილება არის ბერნულის ტესტი პირველ წარმატებამდე.

მაგალითი . შემთხვევითი ცვლადების მაგალითები, რომლებსაც აქვთ გეომეტრიული განაწილება, შეიძლება იყოს: გასროლების რაოდენობა მიზანზე პირველ დარტყმამდე; მოწყობილობის ტესტების რაოდენობა პირველ მარცხამდე; მონეტების გადაყრის რაოდენობა, სანამ პირველი თავი არ ამოვა და ა.შ.

გეომეტრიულ განაწილებას ექვემდებარება შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი და ვარიაცია, შესაბამისად, $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) )/p^ $2.

მაგალითი . თევზის გადაადგილების გზაზე ქვირითის ადგილისკენ არის $4$-იანი საკეტი. თითოეულ საკეტში თევზის გავლის ალბათობა არის $p=3/5$. შექმენით შემთხვევითი $X$ ცვლადის განაწილების სერია - თევზის მიერ გავლილი საკეტების რაოდენობა საკეტში პირველ დაკავებამდე. იპოვეთ $M\left(X\right),\ D\left (X\right), \ \sigma \left(X\right)$.

დაე, შემთხვევითი ცვლადი $X$ იყოს თევზის მიერ გავლილი საკეტების რაოდენობა საკეტში პირველ დაკავებამდე. ასეთი შემთხვევითი ცვლადი ექვემდებარება ალბათობის განაწილების გეომეტრიულ კანონს. მნიშვნელობები, რომლებიც შეიძლება მიიღოს შემთხვევითი ცვლადი $X: $ 1, 2, 3, 4. ამ მნიშვნელობების ალბათობა გამოითვლება ფორმულის გამოყენებით: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$, სადაც: $ p=2/5$ - საკეტში თევზის დაჭერის ალბათობა, $q=1-p=3/5$ - საკეტში თევზის გავლის ალბათობა, $k=1,\ 2, \ 3, \ 4$.

$P\left(X=1\მარჯვნივ)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\მარჯვნივ))^0=((2)\ მეტი (5)=0.4;$

$P\left(X=2\right)=(2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=(6)\over (25))=0.24$;

$P\left(X=3\მარჯვნივ)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\მარჯვნივ))^2=(2)\ მეტი (5))\cdot ((9)\over (25))=((18)\over (125))=0.144;$

$P\left(X=4\მარჯვნივ)=((2)\over (5))\cdot (\left((3)\over (5))\მარჯვნივ))^3+(\left(( (3)\ზედ (5))\მარჯვნივ))^4=((27)\over (125))=0.216.$

$\begin(მასივი)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\left(X_i\მარჯვნივ) & 0.4 & 0.24 & 0.144 & 0.216 \\
\hline
\ბოლო (მასივი)$

Მოსალოდნელი ღირებულება:

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$

დისპერსია:

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0.4\cdot (\ მარცხენა( 1-2,176\მარჯვნივ))^2+0,24\cdot (\ მარცხნივ(2-2,176\მარჯვნივ))^2+0,144\cdot (\ მარცხნივ(3-2,176\მარჯვნივ))^2+$

$+\0.216\cdot (\ მარცხნივ(4-2176\მარჯვნივ))^2\დაახლოებით 1.377.$

Სტანდარტული გადახრა:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1377)\დაახლოებით 1173.$

4. ჰიპერგეომეტრიული განაწილების კანონი.

თუ $N$ ობიექტები, რომელთა შორის $m$ ობიექტებს აქვთ მოცემული თვისება. $n$ ობიექტები შემთხვევითად არის მოძიებული დაბრუნების გარეშე, მათ შორის იყო $k$ ობიექტები, რომლებსაც აქვთ მოცემული თვისება. ჰიპერგეომეტრიული განაწილება შესაძლებელს ხდის შეფასდეს ალბათობა იმისა, რომ ნიმუშის ზუსტად $k$ ობიექტებს აქვთ მოცემული თვისება. დაე, შემთხვევითი ცვლადი $X$ იყოს იმ ობიექტების რაოდენობა ნიმუშში, რომლებსაც აქვთ მოცემული თვისება. შემდეგ $X$ შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობების ალბათობა:

$P\left(X=k\მარჯვნივ)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$

კომენტარი. Excel $f_x$-ის ფუნქციის ოსტატის სტატისტიკური ფუნქცია HYPERGEOMET საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ გარკვეული რაოდენობის ტესტების წარმატების ალბათობა.

$f_x\$-მდე სტატისტიკური$\ to$ ჰიპერგეომეტი$\ to$ კარგი. გამოჩნდება დიალოგური ფანჯარა, რომელიც უნდა შეავსოთ. სვეტში წარმატებების_რაოდენობა_ნიმუშშიმიუთითეთ მნიშვნელობა $k$. ნიმუში_ზომაუდრის $n$. სვეტში წარმატებების_რაოდენობა_ერთადმიუთითეთ მნიშვნელობა $m$. მოსახლეობის_ზომაუდრის $N$.

$X$ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი და დისპერსია, გეომეტრიული განაწილების კანონის შესაბამისად, ტოლია $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)=. ((nm\left(1 -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over (N-1))$.

მაგალითი . ბანკის საკრედიტო განყოფილებაში დასაქმებულია 5 უმაღლესი ფინანსური განათლების მქონე სპეციალისტი და 3 უმაღლესი იურიდიული განათლების მქონე სპეციალისტი. ბანკის ხელმძღვანელობამ გადაწყვიტა კვალიფიკაციის ასამაღლებლად 3 სპეციალისტი გამოეგზავნა, რომლებიც შემთხვევითი თანმიმდევრობით შეარჩიეს.

ა) გააკეთეთ სადისტრიბუციო სერიები უმაღლესი ფინანსური განათლების მქონე სპეციალისტების რაოდენობისთვის, რომელთა გაგზავნა შესაძლებელია მათი კვალიფიკაციის ასამაღლებლად;

ბ) იპოვეთ ამ განაწილების რიცხვითი მახასიათებლები.

დაე, შემთხვევითი ცვლადი $X$ იყოს უმაღლესი ფინანსური განათლების მქონე სპეციალისტების რაოდენობა სამი შერჩეულიდან. მნიშვნელობები, რომელთა მიღებაც $X-ს შეუძლია: 0,\ 1,\ 2,\ 3$. ეს შემთხვევითი ცვლადი $X$ ნაწილდება ჰიპერგეომეტრიული განაწილების მიხედვით შემდეგი პარამეტრებით: $N=8$ - პოპულაციის ზომა, $m=5$ - წარმატებების რაოდენობა პოპულაციაში, $n=3$ - ნიმუშის ზომა, $ k=0,\ 1, \2,\3$ - წარმატებების რაოდენობა ნიმუშში. შემდეგ $P\left(X=k\right)$ ალბათობა შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ C_(N)^(n) ) $-ზე მეტი. Ჩვენ გვაქვს:

$P\left(X=0\მარჯვნივ)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\დაახლოებით 0.018;$

$P\left(X=1\მარჯვნივ)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\დაახლოებით 0.268;$

$P\left(X=2\მარჯვნივ)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\დაახლოებით 0,536;$

$P\left(X=3\მარჯვნივ)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\დაახლოებით 0.179.$

შემდეგ $X$ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სერია:

$\begin(მასივი)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0.018 & 0.268 & 0.536 & 0.179 \\
\hline
\ბოლო (მასივი)$

მოდით გამოვთვალოთ $X$ შემთხვევითი ცვლადის რიცხვითი მახასიათებლები ჰიპერგეომეტრიული განაწილების ზოგადი ფორმულების გამოყენებით.

$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$

$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\მარჯვნივ)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\მარჯვნივ))\ ზევით (8-1))=((225)\ მეტი (448))\დაახლოებით 0.502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\დაახლოებით 0.7085.$