რა არის განტოლება, რას ნიშნავს განტოლების ამოხსნა. ეს განტოლება წყდება ცვლადის მეთოდის შეცვლით

ტოლობების ზოგადი წარმოდგენის მიღების შემდეგ და მათი ერთ-ერთი ტიპის - რიცხვითი თანასწორობის გაცნობის შემდეგ, შეგიძლიათ დაიწყოთ საუბარი სხვა ტიპის თანასწორობაზე, რომელიც ძალიან მნიშვნელოვანია პრაქტიკული თვალსაზრისით - განტოლებები. ამ სტატიაში განვიხილავთ რა არის განტოლებადა რასაც განტოლების ფესვი ჰქვია. აქ მივცემთ შესაბამის განმარტებებს, ასევე განტოლებებისა და მათი ფესვების სხვადასხვა მაგალითებს.

გვერდის ნავიგაცია.

რა არის განტოლება?

განტოლებების მიზნობრივი შესავალი ჩვეულებრივ იწყება მე-2 კლასის მათემატიკის გაკვეთილებზე. ამ დროს მოცემულია შემდეგი განტოლების განსაზღვრა:

განმარტება.

განტოლებაარის თანასწორობის შემცველი უცნობი ნომერი, რომელიც უნდა მოიძებნოს.

განტოლებებში უცნობი რიცხვები ჩვეულებრივ აღინიშნება მცირე რიცხვების გამოყენებით. ლათინური ასოებიმაგალითად, p, t, u და ა.შ., მაგრამ ყველაზე ხშირად გამოყენებული ასოებია x, y და z.

ამრიგად, განტოლება განისაზღვრება დამწერლობის ფორმის თვალსაზრისით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თანასწორობა არის განტოლება, როდესაც ის ემორჩილება მითითებულ წერის წესებს - შეიცავს ასოს, რომლის მნიშვნელობაც უნდა მოიძებნოს.

მოდით მოვიყვანოთ პირველი და ყველაზე მაგალითები მარტივი განტოლებები. დავიწყოთ x=8, y=3 და ა.შ. ფორმის განტოლებებით. განტოლებები, რომლებიც შეიცავს ნიშანს რიცხვებთან და ასოებთან ერთად, ცოტა უფრო რთული გამოიყურება არითმეტიკული მოქმედებებიმაგალითად, x+2=3, z−2=5, 3·t=9, 8:x=2.

განტოლებათა მრავალფეროვნება იზრდება გაცნობის შემდეგ - ფრჩხილებით იწყება განტოლებები, მაგალითად, 2·(x−1)=18 და x+3·(x+2·(x−2))=3. განტოლებაში უცნობი ასო შეიძლება გამოჩნდეს რამდენჯერმე, მაგალითად, x+3+3·x−2−x=9, ასევე ასოები შეიძლება იყოს განტოლების მარცხენა მხარეს, მის მარჯვენა მხარეს ან ორივე მხარეს. განტოლება, მაგალითად, x· (3+1)−4=8, 7−3=z+1 ან 3·x−4=2·(x+12) .

შემდგომ სწავლის შემდეგ ნატურალური რიცხვებიხდება მთელი, რაციონალური, რეალური რიცხვების გაცნობა, ხდება ახალი მათემატიკური ობიექტების შესწავლა: ძალები, ფესვები, ლოგარითმები და ა.შ., ხოლო უფრო და უფრო ჩნდება ამ ნივთების შემცველი განტოლებების ახალი ტიპები. მათი მაგალითები შეგიძლიათ იხილოთ სტატიაში განტოლებების ძირითადი ტიპებისკოლაში სწავლა.

მე-7 კლასში ასოებთან ერთად, რომლებიც გარკვეულ ციფრებს ნიშნავს, იწყებენ განიხილონ ასოები, რომელთა მიღებაც შეუძლიათ. სხვადასხვა მნიშვნელობა, მათ ცვლადებს უწოდებენ (იხ. სტატია). ამავდროულად, სიტყვა "ცვლადი" შედის განტოლების განმარტებაში და ხდება ასე:

განმარტება.

განტოლებაეწოდება ტოლობა, რომელიც შეიცავს ცვლადს, რომლის მნიშვნელობაც უნდა მოიძებნოს.

მაგალითად, განტოლება x+3=6·x+7 არის განტოლება x ცვლადთან, ხოლო 3·z−1+z=0 არის განტოლება z ცვლადთან.

იმავე მე-7 კლასში ალგებრის გაკვეთილების დროს ვხვდებით განტოლებებს, რომლებიც შეიცავს არა ერთ, არამედ ორ სხვადასხვა უცნობ ცვლადს. მათ უწოდებენ განტოლებებს ორ ცვლადში. მომავალში ნებადართულია სამი ან მეტი ცვლადის არსებობა განტოლებებში.

განმარტება.

განტოლებები ერთი, ორი, სამი და ა.შ. ცვლადები– ეს არის განტოლებები, რომლებიც შეიცავს, შესაბამისად, ერთ, ორ, სამ, ... უცნობ ცვლადებს.

მაგალითად, განტოლება 3.2 x+0.5=1 არის განტოლება x ერთი ცვლადით, თავის მხრივ, x−y=3 ფორმის განტოლება არის განტოლება ორი ცვლადით x და y. და კიდევ ერთი მაგალითი: x 2 +(y−1) 2 +(z+0.5) 2 =27. ნათელია, რომ ასეთი განტოლება არის განტოლება სამი უცნობი ცვლადით x, y და z.

რა არის განტოლების ფესვი?

განტოლების განმარტება პირდაპირ კავშირშია ამ განტოლების ფესვის განსაზღვრასთან. მოდით განვახორციელოთ რამდენიმე მსჯელობა, რომელიც დაგვეხმარება გავიგოთ რა არის განტოლების ფესვი.

ვთქვათ, გვაქვს განტოლება ერთი ასოთი (ცვლადი). თუ თქვენ ჩაანაცვლებთ რიცხვს ამ განტოლების ჩანაწერში შეტანილი ასოს ნაცვლად, მაშინ განტოლება გადაიქცევა რიცხვობრივ ტოლობაში. უფრო მეტიც, შედეგად მიღებული თანასწორობა შეიძლება იყოს ჭეშმარიტი ან მცდარი. მაგალითად, თუ a+1=5 განტოლებაში a ასოს ნაცვლად ჩაანაცვლებთ რიცხვს 2, მიიღებთ არასწორ რიცხვით ტოლობას 2+1=5. თუ ამ განტოლებაში a-ის ნაცვლად რიცხვს 4 შევცვლით, მივიღებთ სწორ ტოლობას 4+1=5.

პრაქტიკაში, უმეტეს შემთხვევაში, ინტერესი არის ცვლადის ის მნიშვნელობები, რომელთა ჩანაცვლება განტოლებაში იძლევა სწორ ტოლობას ამ მნიშვნელობებს უწოდებენ ამ განტოლების ფესვებს ან ამონახსნებს.

განმარტება.

განტოლების ფესვი- ეს არის ასოს (ცვლადის) მნიშვნელობა, რომლის ჩანაცვლებისას განტოლება იქცევა სწორ რიცხვობრივ ტოლობაში.

გაითვალისწინეთ, რომ განტოლების ფესვს ერთ ცვლადში ასევე უწოდებენ განტოლების ამოხსნას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, განტოლების ამონახსნი და განტოლების ფესვი ერთი და იგივეა.

მოდით ავხსნათ ეს განმარტება მაგალითით. ამისათვის დავუბრუნდეთ a+1=5 ზემოთ დაწერილ განტოლებას. განტოლების ფესვის მითითებული განმარტების მიხედვით, რიცხვი 4 არის ამ განტოლების ფესვი, რადგან ამ რიცხვის ჩანაცვლებისას ასო a-ს ნაცვლად მივიღებთ სწორ ტოლობას 4+1=5, ხოლო რიცხვი 2 არ არის მისი. ფესვი, ვინაიდან იგი შეესაბამება 2+1= 5 ფორმის არასწორ ტოლობას.

ამ დროს ჩნდება მთელი რიგი ბუნებრივი კითხვები: „აქვს თუ არა რომელიმე განტოლებას ფესვი და რამდენი ფესვი აქვს მას?“ მოცემული განტოლება"? ჩვენ მათ ვუპასუხებთ.

არსებობს ორივე განტოლება, რომელსაც აქვს ფესვები და განტოლებები, რომლებსაც ფესვები არ აქვთ. მაგალითად, განტოლებას x+1=5 აქვს ფესვი 4, მაგრამ განტოლებას 0 x=5 არ აქვს ფესვები, რადგან არ აქვს მნიშვნელობა რა რიცხვი ჩავანაცვლოთ ამ განტოლებაში x ცვლადის ნაცვლად, მივიღებთ არასწორ ტოლობას 0=5. .

რაც შეეხება განტოლების ფესვების რაოდენობას, ისინი არსებობენ როგორც განტოლებები, რომლებსაც აქვთ რამდენიმე საბოლოო ნომერიფესვები (ერთი, ორი, სამი და ა.შ.) და უსასრულოდ ბევრი ფესვის მქონე განტოლებები. მაგალითად, განტოლებას x−2=4 აქვს ერთი ფესვი 6, განტოლების ფესვები x 2 =9 არის ორი რიცხვი −3 და 3, განტოლება x·(x−1)·(x−2)=0. აქვს სამი ფესვი 0, 1 და 2, ხოლო x=x განტოლების ამონახსნი არის ნებისმიერი რიცხვი, ანუ მას აქვს ფესვების უსასრულო რაოდენობა.

რამდენიმე სიტყვა უნდა ითქვას განტოლების ფესვების მიღებულ აღნიშვნაზე. თუ განტოლებას არ აქვს ფესვები, მაშინ ისინი ჩვეულებრივ წერენ „განტოლებას არ აქვს ფესვები“ ან იყენებენ ცარიელი სიმრავლის ნიშანს ∅. თუ განტოლებას აქვს ფესვები, მაშინ ისინი იწერება მძიმით გამოყოფილი, ან იწერება როგორც ნაკრების ელემენტებიხვეული ფრჩხილებში. მაგალითად, თუ განტოლების ფესვებია −1, 2 და 4 რიცხვები, მაშინ ჩაწერეთ −1, 2, 4 ან (−1, 2, 4). ასევე დასაშვებია განტოლების ფესვების ჩაწერა მარტივი ტოლობების სახით. მაგალითად, თუ განტოლება მოიცავს ასო x და ამ განტოლების ფესვები არის რიცხვები 3 და 5, მაშინ შეგიძლიათ დაწეროთ x=3, x=5 და ხშირად ემატება ხელმოწერები x 1 =3, x 2 =5. ცვლადს, თითქოს მიუთითებს განტოლების რიცხვების ფესვებს. უსასრულო ნაკრებიგანტოლების ფესვები ჩვეულებრივ იწერება სახით, თუ ეს შესაძლებელია, აღნიშვნა ნატურალური რიცხვების სიმრავლეებისთვის, მთელი რიცხვები, Z; რეალური რიცხვებირ. მაგალითად, თუ x ცვლადის მქონე განტოლების ფესვი არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი, ჩაწერეთ, ხოლო თუ y ცვლადის მქონე განტოლების ფესვები არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი 1-დან 9-ის ჩათვლით, მაშინ ჩაწერეთ.

განტოლებისთვის ორი, სამი და დიდი თანხაცვლადები, როგორც წესი, არ გამოიყენება ტერმინი „განტოლების ფესვი“ ამ შემთხვევებში ისინი ამბობენ „განტოლების ამოხსნას“. რას ჰქვია განტოლების ამოხსნა რამდენიმე ცვლადით? მოდით მივცეთ შესაბამისი განმარტება.

განმარტება.

განტოლების ამოხსნა ორი, სამი და ა.შ. ცვლადებიმოუწოდა წყვილი, სამი და ა.შ. ცვლადების მნიშვნელობები, აქცევს ამ განტოლებას სწორ რიცხვობრივ თანასწორობაში.

მოდით ვაჩვენოთ განმარტებითი მაგალითები. განვიხილოთ განტოლება ორი ცვლადით x+y=7. ჩავანაცვლოთ რიცხვი 1 x-ის ნაცვლად, ხოლო რიცხვი 2 y-ის ნაცვლად და გვაქვს ტოლობა 1+2=7. ცხადია, ეს არასწორია, შესაბამისად, მნიშვნელობების წყვილი x=1, y=2 არ არის წერილობითი განტოლების ამოხსნა. თუ ავიღებთ x=4, y=3 სიდიდეების წყვილს, მაშინ განტოლებაში ჩანაცვლების შემდეგ მივიღებთ სწორ ტოლობას 4+3=7, შესაბამისად, ცვლადი მნიშვნელობების ეს წყვილი, განსაზღვრებით, გამოსავალია. x+y=7 განტოლებამდე.

განტოლებებს რამდენიმე ცვლადით, ისევე როგორც განტოლებებს ერთი ცვლადით, შეიძლება არ ჰქონდეს ფესვები, შეიძლება ჰქონდეს ფესვების სასრული რაოდენობა, ან შეიძლება ჰქონდეს ფესვების უსასრულო რაოდენობა.

წყვილები, სამეულები, ოთხეულები და ა.შ. ცვლადების მნიშვნელობები ხშირად იწერება მოკლედ, ფრჩხილებში მძიმებით გამოყოფილი მათი მნიშვნელობებით. ამ შემთხვევაში, ფრჩხილებში ჩაწერილი რიცხვები შეესაბამება ცვლადებს ანბანური თანმიმდევრობა. მოდით დავაზუსტოთ ეს პუნქტი დაბრუნებით წინა განტოლებამდე x+y=7. ამ განტოლების ამონახსნი x=4, y=3 შეიძლება მოკლედ დაიწეროს როგორც (4, 3).

მათემატიკის, ალგებრის სასკოლო კურსში და ანალიზის საწყისებში უდიდესი ყურადღება ეთმობა განტოლებების ფესვების პოვნას ერთი ცვლადით. ამ პროცესის წესებს დეტალურად განვიხილავთ სტატიაში. განტოლებების ამოხსნა.

ბიბლიოგრაფია.

• მათემატიკა. 2 კლასი სახელმძღვანელო ზოგადი განათლებისთვის ინსტიტუტები ად. ელექტრონზე გადამზიდავი. 14 საათზე ნაწილი 1 / [მ. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova და სხვ.] - მე-3 გამოცემა. - მ.: განათლება, 2012. - 96გვ.: ავად. - (რუსეთის სკოლა). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Ალგებრა:სახელმძღვანელო მე-7 კლასისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედაქტორი S.A. თელიაკოვსკი. - მე-17 გამოცემა. - მ.: განათლება, 2008. - 240გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Ალგებრა:მე-9 კლასი: საგანმანათლებლო. ზოგადი განათლებისთვის ინსტიტუტები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედაქტორი S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ.: განათლება, 2009. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-021134-5.

უცნობი რიცხვის ტოლობას განტოლება ეწოდება.

მაგალითად: x + 23 = 45; 65 x = 13; 12 -dg = 48;45:x=3.

განტოლების ამოხსნა ნიშნავს უცნობი რიცხვის ისეთი მნიშვნელობის პოვნას, რომ ტოლობა იყოს ჭეშმარიტი.

ამ რიცხვს განტოლების ფესვი ეწოდება.

Მაგალითად:

x+ 23 = 45; x = 22, ვინაიდან 22 + 23 = 45.

ამრიგად, ეს განსაზღვრება ასევე განსაზღვრავს განტოლების შესამოწმებლად გზას: უცნობი რიცხვის ნაპოვნი მნიშვნელობის ჩანაცვლება გამოსახულებით, მისი მნიშვნელობის გამოთვლა და შედეგის შედარება მოცემულ რიცხვთან (პასუხი).

თუ უცნობი რიცხვის მნიშვნელობა სწორად იქნა ნაპოვნი, მაშინ მიიღება სწორი ტოლობა.

განტოლებების ამოხსნის მეთოდები.

უმარტივესი განტოლებებისა და მათი ამოხსნის მეთოდების შესწავლა მტკიცედ დამკვიდრდა საწყისი მათემატიკური მომზადების სისტემაში. განტოლებები შესწავლილი რეალობის ფრაგმენტების მოდელირების ერთ-ერთი საშუალებაა და მათთან გაცნობა მათემატიკური განათლების არსებითი ნაწილია. ამავდროულად, დაწყებითი სკოლის მოსწავლეებს განტოლებებში გაცნობა ამზადებს მათ დაწყებით სკოლაში მათემატიკის შესასწავლად.

მათემატიკაში განტოლება ჩვეულებრივ გაგებულია, როგორც „არგუმენტების მნიშვნელობების პოვნის პრობლემის ანალიტიკური წარმოდგენა, რომლებისთვისაც მოცემული ორი ფუნქციის მნიშვნელობები ტოლია. არგუმენტები, რომლებზეც ეს ფუნქციებია დამოკიდებული, ეწოდება უცნობი,და უცნობის მნიშვნელობები, რომლებშიც ფუნქციების მნიშვნელობები ტოლია ამონახსნები - განტოლების ფესვები."ეს ნიშნავს, რომ განტოლების კონცეფცია, პირველ რიგში, ასოცირდება ანალიტიკური გამოხატულება(ჩვენს შემთხვევაში არითმეტიკით) და მეორეც, - თანცვლადის კონცეფცია, რომელიც იღებს მნიშვნელობებს გარკვეული ნაკრებიდან.

დაწყებით სკოლაში განტოლების ამოხსნის ორი გზა განიხილება.

შერჩევის მეთოდი

უცნობი ნომრის შესაფერისი მნიშვნელობა არჩეულია რომელიმედან დააყენეთ ღირებულებები, ან რიცხვების თვითნებური ნაკრებიდან.

არჩეული რიცხვი გამოსახულებაში ჩანაცვლებისას უნდა გადააქციოს ნამდვილ ტოლობაში. Მაგალითად:

7, 10, 5, 4, 1, 3 რიცხვებიდან აირჩიეთ თითოეული განტოლებისთვის x-ის მნიშვნელობა, რომელიც მისცემს სწორ ტოლობას: 9 + x=14 7-x=2 x-1 = 9 x+5 = b

თითოეული შემოთავაზებული რიცხვი მოწმდება გამოსახულებაში ჩანაცვლებით და მიღებული მნიშვნელობის პასუხთან შედარებით.

შემოთავაზებული მნიშვნელობების დიდი რაოდენობით, ამ მეთოდს დიდი დრო და ძალისხმევა სჭირდება. გამოთქმების მნიშვნელობების დამოუკიდებლად შერჩევისას ბავშვმა შეიძლება დამოუკიდებლად ვერ იპოვნოს უცნობის შესაძლო მნიშვნელობა.

მოქმედების კომპონენტებს შორის ურთიერთობის გამოყენების გზა.

გამოიყენება მოქმედების კომპონენტების ურთიერთდაკავშირების წესები.

Მაგალითად:

ამოხსენით განტოლება: 9 + x=14

ტერმინი უცნობია. უცნობი ტერმინის საპოვნელად, თქვენ უნდა გამოაკლოთ ცნობილი წევრი ჯამს. ეს ნიშნავს x = 14 - 9; x = 5.

ამოხსენით განტოლება: 7 -x=2

სუბტრაჰენდი უცნობია. უცნობი სუბტრაჰენდის საპოვნელად, თქვენ უნდა გამოაკლოთ განსხვავება მინუენდს. ეს ნიშნავს x = 1 - 2; x = 5.

ამოხსენით განტოლება: x-1 = 9

უცნობი წუთი. უცნობი მინუენდის საპოვნელად, განსხვავებას უნდა დაამატოთ სუბტრაჰენდი. ასე რომ x = 9 + 1; x = 10.

გამრავლებისა და გაყოფის მოქმედებებით განტოლებების ამოსახსნელად გამოიყენება გამრავლებისა და გაყოფის კომპონენტების დამოკიდებულების წესები.

Მაგალითად:

ამოხსენით განტოლება: 96:x=24

გამყოფი უცნობია. უცნობი გამყოფის მოსაძებნად, დივიდენდი უნდა გაყოთ კოეფიციენტზე. ეს ნიშნავს x = 96: 24; x = 4. შევამოწმოთ ამონახსნი: 24 4 = 96.

ამოხსენით განტოლება: x:23 = 4

დივიდენდი უცნობია. უცნობი დივიდენდის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ გამყოფი კოეფიციენტზე. ეს ნიშნავს x = 23 4; x = 92. შევამოწმოთ ამონახსნი: 92: 23 = 4.

ამოხსენით განტოლება: o:- 14 = 84

მულტიპლიკატორი უცნობია. უცნობი ფაქტორის მოსაძებნად, თქვენ უნდა გაყოთ პროდუქტი ცნობილ ფაქტორზე. ეს ნიშნავს x = 84:14 x = 6. მოდით შევამოწმოთ გამოსავალი: x 14 = 84.

ამ წესების გამოყენება განტოლებების ამოხსნის უფრო სწრაფ გზას იძლევა. სირთულე იმაში მდგომარეობს, რომ ბევრი ბავშვი ერთმანეთში ურევს მოქმედების კომპონენტების ურთიერთობის წესებს და კომპონენტების სახელებს (კარგად უნდა იცოდეთ 6 წესი და 10 კომპონენტის დასახელება).

უფრო რთული განტოლებისთვის გამოიყენება ფიტინგის მეთოდი, მაგალითად:

35 + x + x + x = 35 - აშკარაა, რომ უცნობს შეუძლია მხოლოდ ნულოვანი მნიშვნელობის აღება;

78-x-x = 76 - აშკარად x = 1, ვინაიდან 78 - 1 - 1 = 76.

(6 + x) ფორმის ფრჩხილებით განტოლებისთვის - 5 = 38, გამოიყენება მოქმედების კომპონენტების ურთიერთობის წესი. განტოლების მარცხენა მხარე განიხილება პირველ რიგში, როგორც განსხვავება, ფრჩხილებში გამოსახული გამოთქმის გათვალისწინებით, როგორც ერთი უცნობი კომპონენტი. ეს ერთი უცნობი კომპონენტი არის მინუენდი. უცნობი მინიუენდის საპოვნელად, განსხვავებას უნდა დაამატოთ ქვეტრაჰენდი:

ამრიგად, განტოლება ჩვეულ ფორმას იღებს. ამ განტოლებაში თქვენ უნდა იპოვოთ უცნობი ტერმინი: x = 43-6 x = 37;

მოდით შევამოწმოთ ამონახსნი (შეცვალეთ უცნობის ნაპოვნი მნიშვნელობა თავდაპირველ გამოსახულებაში): (6 + 37) - 5 = (6 - 5) + 37 = 1 + 37 = 38.

რიგი ალტერნატიული მათემატიკის სახელმძღვანელოები დაწყებითი კლასებისთვის ბავშვებს აცნობს უფრო რთულ განტოლებებს (I.I. Arginskaya, L.G. Peterson), რომელთა გადასაჭრელად რეკომენდებულია მოქმედების კომპონენტების ურთიერთობის წესების გამოყენება არაერთხელ.

Მაგალითად:

ამოხსენით განტოლება: (y-3)-5-875 = 210

მოდით გადავხედოთ განტოლების მარცხენა მხარეს და განვსაზღვროთ მოქმედებების თანმიმდევრობა.

(y-3)- 5 -875 = 210

მარცხენა მხარეს გამოხატვის ტიპი განისაზღვრება ბოლო მოქმედებით: ბოლო მოქმედება არის გამოკლება, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ ვიწყებთ გამოხატვის განხილვას, როგორც განსხვავებას.

მინუენდი (y - 3) 5, გამოვაკლოთ 875, სხვაობის მნიშვნელობა 210.

უცნობი შეიცავს შემცირებულს. მოდი ვიპოვოთ მინუენდი (მთელი ეს გამოთქმა ერთ მინუენდად მივიჩნევთ): უცნობის საპოვნელად, განსხვავებას უნდა დაამატოთ სუბტრაჰენდი.

(y- 3)- 5 = 210 + 875;

(y - 3) 5 = 1085: y

კვლავ განვსაზღვროთ პროცედურა: (y - 3) 5 = 1085.

ბოლო მოქმედებიდან გამომდინარე, მარცხენა მხარეს გამოსახულებას პროდუქტად მივიჩნევთ. პირველი ფაქტორი არის (y - 3), მეორე კოეფიციენტი არის 5, პროდუქტის ღირებულება არის 1085. უცნობი შეიცავს პირველ კოეფიციენტს. ვიპოვოთ იგი (მთელი გამოთქმა y - 3 უცნობია მიგვაჩნია). უცნობი ფაქტორის მოსაძებნად, თქვენ უნდა გაყოთ პროდუქტი ცნობილ ფაქტორზე.

y - 3 = 1085: 5;

ჩვენ მივიღეთ განტოლება, რომელშიც minuend უცნობია. მოდი ვიპოვოთ:

მოდით შევამოწმოთ ამოხსნა უცნობის ნაპოვნი მნიშვნელობის პირველში ჩანაცვლებით საწყისი განტოლება:

(218-3)-5-875 = 210.

მარცხენა მხარის მნიშვნელობის გამოთვლის შემდეგ, ჩვენ დავრწმუნდით, რომ სწორი ტოლობა იქნა მიღებული. ეს ნიშნავს, რომ განტოლება სწორად არის ამოხსნილი.

ზემოაღნიშნული გადაწყვეტის მეთოდის ანალიზი აჩვენებს, რომ ეს არის ხანგრძლივი, შრომატევადი პროცესი, რომელიც მოითხოვს ბავშვს ჰქონდეს ყველა წესის მკაფიო ცოდნა, ანალიზის მაღალი დონე და ცვლადის რთული სტრუქტურის აღქმის უნარი, რომელიც მიღებულია ნაბიჯ-ნაბიჯ გადაწყვეტა, როგორც ერთი მთლიანობა (სინთეზის და აბსტრაქციის მაღალი დონე).

ზრდასრული ადამიანი, რომელიც იცნობს საშუალო სკოლაში გამოყენებული მსგავსი განტოლებების ამოხსნის უნივერსალურ მეთოდს (ფრჩხილების გახსნა, განტოლების კომპონენტების გადაადგილება მარცხნიდან მარჯვნივ) ნათლად ხედავს ამ მეთოდის ნაკლოვანებებს და გადაჭარბებულ შრომის ინტენსივობას. ამასთან დაკავშირებით, რიგი მეთოდოლოგები მართებულად გამოთქვამენ ეჭვებს დაწყებითი სკოლის მათემატიკის კურსებში ასეთი რთული სტრუქტურის განტოლებების აქტიური დანერგვის მიზანშეწონილობის შესახებ. ამოხსნის ეს მეთოდი ირაციონალურია მათემატიკური თვალსაზრისით და დაივიწყება და განადგურდება, როგორც კი 5-7 კლასების მათემატიკის მასწავლებელი გააცნობს ბავშვს ამ ტიპის განტოლებების ამოხსნის ზოგად ტექნიკას.

რა არის განტოლება

• რას ნიშნავს განტოლების ამოხსნა

• განტოლებების ამოხსნის ძირითადი წესები.

• განტოლებათა კლასიფიკაცია.

• განტოლება არის ტოლობა, რომელშიც უცნობი ასოებით არის წარმოდგენილი. ასოს მნიშვნელობას, რომლის დროსაც სწორი რიცხვითი თანასწორობა მიიღება განტოლებიდან, ეწოდება განტოლების ფესვი.

ამოხსენით განტოლება

• ამოხსენით განტოლება - ნიშნავს მისი ყველა ფესვის პოვნას (ან დარწმუნდეს, რომ განტოლებას არ აქვს ერთი ფესვი).

• უცნობი წევრის საპოვნელად, თქვენ უნდა გამოაკლოთ ცნობილი ტერმინი ჯამს (თუ a + x = b, მაშინ x = b – a)

• 7 + x = 23

• x = 23 - 7

• x = 16

• უცნობი მინუენდის საპოვნელად, თქვენ უნდა დაამატოთ ქვეტრაჰენდი და განსხვავება.

• (თუ x – a = d, მაშინ x = a + d)

• x-8 =5

• x = 8+5

• x=13

• უცნობი სუბტრაჰენდის საპოვნელად, თქვენ უნდა გამოაკლოთ განსხვავება მინუენდისგან

• (თუ a - x = b, მაშინ x = a-b)

• 9 = 1.3

• x = 9- 1.3

• x = 7.7

• უცნობი ფაქტორის მოსაძებნად, თქვენ უნდა გაყოთ პროდუქტი ცნობილ ფაქტორზე

• (თუ ax = b, მაშინ x = b: ა)

• 0.2x = 6

• x = 6: 0.2

• x=30

• უცნობი დივიდენდის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ კოეფიციენტი გამყოფზე (თუ x: a = b, მაშინ x = ab)

• x: 0.3 = 4

• x = 4 * 0.3

• x = 1.2

• უცნობი გამყოფის მოსაძებნად, დივიდენდი უნდა გაყოთ კოეფიციენტზე

• (თუ a: x =b, მაშინ x = a:b)

• 0.8:x=-5

• x=0.8(-5)

• x=-0,16

• განტოლების ფესვები არ იცვლება, თუ რომელიმე ტერმინი გადადის განტოლების ერთი ნაწილიდან მეორეზე, ცვლის მის ნიშანს.

• 3x – 8 = x – 14

• 3x –x = -14 + 8

• 2x = -6

• x = -3

• განტოლების ფესვები არ იცვლება, თუ ორივე მხარე გამრავლებულია ან იყოფა იმავე რიცხვზე, რომელიც არ არის ნულის ტოლი.

განტოლების ამონახსნი არის x =

• განტოლების ამონახსნი არის x =

• განტოლება (სადაც a 0, a უდრის განტოლებას f (x) = g (x)

• ჩანაცვლების გამოყენებით, ფორმის განტოლება მცირდება კვადრატულ განტოლებამდე

• განტოლებას, რომელიც შეიცავს ცვლადს ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ, ეწოდება ლოგარითმული.

• ფორმის ლოგარითმული განტოლების ამოხსნა

• ეფუძნება იმ ფაქტს, რომ ასეთი განტოლება უდრის განტოლებას f(x)=g(x) დამატებით პირობებში f(x)

• ლოგარითმის განმარტების მიხედვით,

• წრფივი განტოლება ერთი უცნობით არის ფორმის განტოლება ამ განტოლებას ყოველთვის აქვს უნიკალური ამონახსნი:

• კვადრატული განტოლება ერთი უცნობით არის ფორმის განტოლება

• კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი არის რიცხვი

• თუ D > 0, მაშინ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები

• თუ D=0, მაშინ განტოლებას აქვს უნიკალური ამონახსნი:

• თუ D > 0, მაშინ განტოლებას ორი ამონახსნი აქვს:

• არასრული კვადრატული განტოლება არის განტოლება, რომელშიც მინიმუმ ერთი კოეფიციენტი არის ნული. C=0-ზე განტოლება იღებს ფორმას

• შემცირებული კვადრატული განტოლება არის ფორმის განტოლება, ანუ კვადრატული განტოლება, რომელშიც პირველი კოეფიციენტი უდრის ერთს.

• განსაზღვრეთ განტოლების ფესვების ნიშნები

ვიეტის თეორემა

• თუ მოცემულ კვადრატულ განტოლებას რეალური ფესვები აქვს, მაშინ მათი ჯამი უდრის მინუს ნიშნით აღებულ მეორე კოეფიციენტს, ე.ი. –р და მათი ნამრავლია თავისუფალი ვადა q.

• ფორმის განტოლებას ბიკვადრადული ეწოდება.

• ასეთი განტოლება წყდება ცვლადის მეთოდის ცვლილებით. მოდით დანიშნოთ მაშინ. თავდაპირველი განტოლება მიიღებს ფორმას, ანუ ეს არის ჩვეულებრივი კვადრატული განტოლება.

• მესამე ხარისხის სიმეტრიული განტოლება არის ფორმის განტოლება გაითვალისწინეთ, რომ

• იმათ. ამ განტოლების ამონახსნი სიმრავლის ტოლფასია

• მეოთხე ხარისხის სიმეტრიული განტოლება არის რომელიმე შემდეგი ორი განტოლებიდან:

• პირველი განტოლების ამოსახსნელად შემოგვაქვს ახალი ცვლადი, ხოლო მეორის ამოსახსნელად -

• ცვლადი გვაქვს: ე.ი. მიღებულია ჩვეულებრივი კვადრატული განტოლებები.

• x რიცხვის მოდული არის თავად რიცხვი, თუ ის არაუარყოფითია, ან რიცხვი –x, თუ რიცხვი x უარყოფითია. Დანიშნულება:

• ამ განმარტების ოფიციალური აღნიშვნაა:

• ამოხსენით განტოლება:

განტოლების ფესვების ფორმულა

• განტოლების ფესვების ფორმულა

• sin x=a () აქვს ფორმა

• cos x=a

• თან x=a

• ctg x=a

• ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია ცვლადის ცვლილების მეთოდის გამოყენებით

• ფორმის ტრიგონომეტრიული განტოლება

• ყველა ტერმინი, რომელსაც აქვს იგივე ხარისხი სინუსთან და კოსინუსთან მიმართებაში, ეწოდება

• ერთგვაროვანი. ერთგვაროვანი განტოლება ადვილად შეიძლება შემცირდეს ფარდობით განტოლებამდე, თუ მისი ყველა წევრი იყოფა. უფრო მეტიც, თუ, მაშინ ასეთი დაყოფა არ გამოიწვევს ამონახსნების დაკარგვას, რადგან მნიშვნელობა არ აკმაყოფილებს განტოლებას. თუ ასეა, მაშინ იგი ამოღებულია ფრჩხილებიდან.

• ფორმის განტოლება უდრის განტოლებას, სადაც

• ყველაზე ხშირად გამოყენებული მეთოდია ის, რომ მარჯვენა მხარეს განტოლების ყველა ტერმინი გადადის მარცხენა მხარეს; რის შემდეგაც მარცხნივ

• განტოლების ნაწილი ფაქტორიზაცია ხდება ტრიგონომეტრიული ფუნქციების პროდუქტად დაშლის ფორმულების გამოყენებით, ხარისხის შემცირების ფორმულების და ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ნამრავლის სისტემად გადაქცევის ფორმულების გამოყენებით.

წილადი რაციონალური განტოლებები

• რაციონალური ალგებრული განტოლება არის ფორმის განტოლება, სადაც და არიან პოლინომები.

• გამოთქმას აქვს აზრი მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ პირობა დაკმაყოფილებულია

• ეს ნიშნავს, რომ რაციონალურ განტოლებას გამოსავალი აქვს პირობით

ირაციონალური განტოლებები

• განტოლებები, რომლებიც შეიცავს მეორე ხარისხის ერთ რადიკალს

• განტოლების ორივე მხარის ძლიერებამდე აწევა.

• როდესაც განტოლების ორივე მხარე ამაღლებულია ლუწი სიმძლავრემდე, შედეგი არის განტოლება, რომელიც არ არის ორიგინალის ექვივალენტური. მიღებული ფესვების თავდაპირველ განტოლებაში უშუალოდ შემოწმება ხელს უწყობს ზედმეტი ფესვების მოშორებას, ე.ი. ფესვები მონაცვლეობით იცვლება საწყის განტოლებაში და მოწმდება სწორია თუ არა რიცხვითი ტოლობა.

• ორი გამონათქვამის ნამრავლი (რაოდენობა) ნულის ტოლია.

• ორი გამონათქვამის ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ გამონათქვამებიდან ერთი მაინც ნულის ტოლია, ხოლო მეორე აზრი აქვს. ფორმალურად ასე წერია:

• ფორმალური აღნიშვნა ნულის ტოლი ორი გამონათქვამის კოეფიციენტისთვის:

• განტოლებები, რომლებიც შეიცავს მეორე ხარისხის რადიკალის ორ (სამ) ნიშანს

• განტოლების ორივე მხარის კვადრატში.

პირველ რიგში, განტოლება უნდა გარდაიქმნას ისე, რომ რადიკალები ერთ ნაწილში იყოს, ხოლო თავდაპირველი განტოლების დარჩენილი ტერმინები მეორეში. ეს კეთდება, თუ განტოლებაში ორი რადიკალია. თუ სამი მათგანია, მაშინ ორი მათგანი რჩება განტოლების ერთ ნაწილში, ხოლო მესამე გადადის მეორეში. შემდეგ განტოლების ორივე მხარე კვადრატდება და ხდება აუცილებელი გარდაქმნები. შემდეგი, განტოლების ყველა ტერმინი, რომელიც არ შეიცავს რადიკალებს, კვლავ გადადის განტოლების ერთ მხარეს, ხოლო დარჩენილი რადიკალი (ახლა მხოლოდ ერთია!) მეორეზე. შედეგად მიღებული განტოლება კვლავ კვადრატულია და შედეგი არის განტოლება, რომელიც არ შეიცავს რადიკალებს.

მესამე და უფრო მაღალი ხარისხის რადიკალების შემცველი განტოლებები.

• მესამე ხარისხის რადიკალების შემცველი განტოლებების ამოხსნისას შეიძლება სასარგებლო იყოს შემდეგი იდენტობების გამოყენება:

• ამოხსენით განტოლება:

• ამოხსნა: მოდით ავწიოთ ამ განტოლების ორივე მხარე მესამე ხარისხზე და გამოვიყენოთ ზემოთ მოცემული იდენტურობა:

• გაითვალისწინეთ, რომ გამონათქვამი ფრჩხილებში უდრის 1-ს, რაც გამომდინარეობს თავდაპირველი განტოლებიდან. ამის გათვალისწინებით და მსგავსი პირობების გათვალისწინებით, ჩვენ ვიღებთ:

• გავხსნათ ფრჩხილები, დავამატოთ მსგავსი ტერმინები და ამოვხსნათ კვადრატული განტოლება. მისი ფესვებია x=5 და x=-25/2. თუ ვივარაუდებთ (განმარტებით), რომ კენტი ფესვების ამოღებაც შესაძლებელია უარყოფითი რიცხვებიდან, მაშინ ორივე მიღებული რიცხვი არის საწყისი განტოლების ამონახსნები.

• პასუხი: 5.-25/2

რა ღირებულებებზე ა

• რა ღირებულებებზე ააქვს თუ არა განტოლებას ორი ფესვი, რომელთაგან ერთი 1-ზე მეტია, მეორე კი ნაკლები?

• გამოსავალი: განვიხილოთ ფუნქცია:

• და შეადგინეთ მისი გრაფიკის ესკიზი. ზე a=0ფუნქცია ხდება წრფივი და აქვს ორი გადაკვეთა ღერძთან ოჰ(განტოლების ფესვები y=0) დავერ იტანს.

• ზე a>0ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა, რომლის ტოტები მიმართულია ზემოთ. აუცილებელი და საკმარისი პირობა ფესვების არსებობისთვის ისეთი, რომ და ამ შემთხვევაში ერთადერთი პირობაა:

• თუ და მდგომარეობა, შესაბამისად, (ნახ.)

• ასე რომ, პრობლემის გადაწყვეტა ოფიციალურად მოცემულია ნაკრების მიერ:

• პასუხი:

• განტოლებათა სისტემა შედგება ორი ან მეტი ალგებრული განტოლებისგან.

• სისტემური გადაწყვეტაარის ცვლადი მნიშვნელობების ერთობლიობა, რომელიც ჩანაცვლებისთანავე აქცევს სისტემის თითოეულ განტოლებას ციფრულ ან ლიტერატურულ იდენტურად.

• სისტემის გადაჭრა -ნიშნავს ყველა მისი გადაწყვეტის პოვნას ან იმის მტკიცებას, რომ არ არსებობს.

სისტემების გრაფიკული გადაწყვეტა

• განტოლებათა სისტემების ამოხსნის გრაფიკული გზა შემდეგია:

• აგებულია სისტემის თითოეული განტოლების გრაფიკები;

• განისაზღვრება გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები;

• პასუხი ჩაწერილია: აგებული გრაფიკების გადაკვეთის წერტილების კოორდინატები.

• განტოლებათა სისტემების ამოხსნის გრაფიკული მეთოდი უმეტეს შემთხვევაში არ იძლევა სისტემის ზუსტ ამოხსნას, მაგრამ ის შეიძლება სასარგებლო იყოს მსჯელობის ვიზუალური ილუსტრირებისთვის.

გამოსავალი:

• გამოსავალი:პირველი და მესამე განტოლების გრაფიკები სწორია; მეორე განტოლების გრაფიკი არის კუბური პარაბოლა (ნახ). სამი გადაკვეთის წერტილიდან მხოლოდ ერთია საერთო სისტემის განტოლებების ყველა გრაფიკისთვის.

• პასუხი: (0;0)

განტოლებათა ეკვივალენტობა

• განტოლებებს უწოდებენ ეკვივალენტს (ეკვივალენტს), თუ პირველი განტოლების ყველა ფესვი არის მეორე განტოლების ფესვები, ხოლო მეორე განტოლების ყველა ფესვი არის პირველის ფესვები.

• განტოლების ეკვივალენტური გარდაქმნები არის გარდაქმნები, რომლებიც მივყავართ ეკვივალენტურ განტოლებამდე:

• 1) ნებისმიერი რიცხვის დამატება განტოლების ორივე მხარეს ერთდროულად (კერძოდ, ტერმინების გადატანა განტოლების ერთი ნაწილიდან მეორეზე ნიშნის ცვლილებით)

• 2) განტოლების ორივე მხარის ერთდროულად გამრავლება (და გაყოფა) ნებისმიერ სხვა რიცხვზე ნულის გარდა.

• ასევე, რეალური რიცხვების დომენის განტოლებისთვის:

• 3) განტოლების ორივე მხარის ნებისმიერ კენტ ხარისხზე აწევით

• 4) განტოლების ორივე მხარის აწევა, იმ პირობით, რომ ისინი არაუარყოფითია, ნებისმიერ ბუნებრივ ძალამდე

იუ.ნ. მაკარიჩევი – „ალგებრა. დამატებითი თავები სასკოლო სახელმძღვანელოსთვის. მე-8 კლასი." 2003 წ

იუ.ნ. მაკარიჩევი – „ალგებრა. დამატებითი თავები სასკოლო სახელმძღვანელოსთვის. მე-9 კლასი." 2003 წ

პრეზენტაცია მომზადებულია:

• შმანოვა ვიქტორია

• დეევა ალექსანდრა

• მე-11 კლასი

• მუნიციპალური საგანმანათლებლო დაწესებულება "#1 საშუალო სკოლა"

• შუმიხა

• 2007 წ

• დეტალური ინფორმაცია ტელეფონით 83524521413

• განსაკუთრებული მადლობა No1 საშუალო სკოლის მასწავლებლებს:

• ტერეგულოვა ირინა ვიქტოროვნა

• შმანოვი ანატოლი ივანოვიჩი

ზოგადად, ნებისმიერი განტოლება არის მათემატიკური მოდელიჭიქის სასწორი (ბერკეტი, თანაბარი, როკერი - მრავალი სახელია), გამოგონილი უძველესი ბაბილონი 7000 წლის წინ ან უფრო ადრეც. უფრო მეტიც, მე კი ვფიქრობ, რომ სწორედ უძველეს ბაზრობებში გამოყენებული თასის სასწორები გახდა განტოლებების პროტოტიპი. და თუ რომელიმე განტოლებას შეხედავთ არა როგორც რიცხვებისა და ასოების გაუგებარ ერთობლიობას, რომლებიც დაკავშირებულია ორი პარალელური ჯოხებით, არამედ როგორც სასწორები, მაშინ ყველაფერთან დაკავშირებით პრობლემები არ იქნება:

ნებისმიერი განტოლება ჰგავს დაბალანსებულ სასწორებს

ისე ხდება, რომ ყოველდღიურად უფრო და უფრო მეტი განტოლება ჩნდება ჩვენს ცხოვრებაში, მაგრამ სულ უფრო ნაკლებად გვესმის, რა არის განტოლება და რა არის მისი მნიშვნელობა. ყოველ შემთხვევაში, მე ასეთი შთაბეჭდილება დამრჩა, როდესაც ვცდილობდი ავუხსნა ჩემს უფროს ქალიშვილს მარტივი მათემატიკური განტოლების მნიშვნელობა, როგორიცაა:

x + 2 = 8 (500.1)

იმათ. სკოლაში, რა თქმა უნდა, უხსნიან, რომ ასეთ შემთხვევებში, რათა იპოვონ X, თქვენ უნდა გამოაკლოთ 2 მარჯვენა მხარეს:

x = 8 - 2 (500.3)

ეს, რა თქმა უნდა, აბსოლუტურად სწორი მოქმედება, მაგრამ რატომ გჭირდებათ გამოკლება და არა, მაგალითად, შეკრება ან გაყოფა სასკოლო სახელმძღვანელოებიარ არის ახსნა. არსებობს მხოლოდ წესი, რომელიც თქვენ უბრალოდ უნდა ისწავლოთ:

როდესაც განტოლების წევრი გადადის ერთი ნაწილიდან მეორეზე, მისი ნიშანი იცვლება საპირისპიროდ.

რაც შეეხება იმას, თუ როგორ უნდა გაიგოს 10 წლის მოსწავლემ ეს წესი და რა მნიშვნელობა აქვს მას, თქვენი ფიქრი და გადაწყვეტილებაა. უფრო მეტიც, გაირკვა, რომ ჩემს ახლო ნათესავებსაც არასოდეს ესმოდათ განტოლებების მნიშვნელობა, მაგრამ უბრალოდ დაიმახსოვრეს ის, რაც იყო საჭირო (და განსაკუთრებით ზემოაღნიშნული წესი) და მხოლოდ ამის შემდეგ გამოიყენეს ის, როგორც ღმერთს სურდა. მე არ მომეწონა ეს მდგომარეობა, ამიტომ გადავწყვიტე დამეწერა ეს სტატია (ჩემი უმცროსი იზრდება, რამდენიმე წელიწადში მას კვლავ მოუწევს ამის ახსნა და ეს შეიძლება ასევე გამოადგეს ჩემი საიტის რამდენიმე მკითხველს) .

მაშინვე მინდა ვთქვა, რომ მიუხედავად იმისა, რომ სკოლაში 10 წელი ვსწავლობდი, არ არსებობს წესები და განმარტებები ტექნიკური დისციპლინები, არასოდეს ასწავლიდა. იმათ. თუ რამე ნათელია, მაშინ ის დაიმახსოვრდება, მაგრამ თუ რაღაც არ არის ნათელი, მაშინ რა აზრი აქვს მის დაჭედვას მნიშვნელობის გაგების გარეშე, თუ მაინც დაივიწყება? გარდა ამისა, თუ რაღაც არ მესმის, ეს ნიშნავს, რომ არ მჭირდება (სულ ახლახან მივხვდი, რომ თუ სკოლაში რაღაც ვერ გავიგე, ეს ჩემი ბრალი კი არა, მასწავლებლების, სახელმძღვანელოების და ზოგადად განათლების სისტემები).

ეს მიდგომა მაძლევდა უამრავ თავისუფალ დროს, რომელიც ბავშვობაში ისე აკლდა ყველა სახის თამაშს და გართობას. პარალელურად მივიღე მონაწილეობა ფიზიკასა და ქიმიაში სხვადასხვა ოლიმპიადებში და გავიმარჯვე კიდეც მათემატიკაში ერთ რეგიონულ კონკურსში. მაგრამ დრო გავიდა, აბსტრაქტული ცნებებით მოქმედი დისციპლინების რაოდენობა მხოლოდ გაიზარდა და, შესაბამისად, შემცირდა ჩემი ქულები. ინსტიტუტის პირველ კურსზე აბსტრაქტული ცნებებით მოქმედი დისციპლინების რაოდენობა იყო აბსოლუტური უმრავლესობა და, რა თქმა უნდა, სრული C სტუდენტი ვიყავი. მაგრამ შემდეგ, როდესაც მრავალი მიზეზის გამო მომიწია მასალების სიძლიერესთან ლექციებისა და ჩანაწერების დახმარების გარეშე გამკლავება და ერთგვარად მესმოდა ეს, ყველაფერი შეუფერხებლად წავიდა და წარჩინების დიპლომით დასრულდა. თუმცა, საუბარია არა ახლა ამაზე, არამედ იმაზე, რომ მითითებული სპეციფიკიდან გამომდინარე, ჩემი ცნებები და განმარტებები შეიძლება მნიშვნელოვნად განსხვავდებოდეს სკოლაში სწავლებისგან.

ახლა გავაგრძელოთ

უმარტივესი განტოლებები, ანალოგია მასშტაბებთან

სინამდვილეში, ბავშვებს უკვე ასწავლიან სხვადასხვა საგნების შედარებას სკოლამდელი ასაკიროდესაც მათ ჯერ კიდევ არ იციან ლაპარაკი. ისინი ჩვეულებრივ იწყებენ გეომეტრიული შედარება. მაგალითად, ბავშვს ეჩვენება ორი კუბი და ბავშვმა უნდა განსაზღვროს რომელი კუბი უფრო დიდი და რომელი პატარა. და თუ ისინი ერთნაირია, მაშინ ეს არის თანაბარი ზომა. შემდეგ დავალება უფრო რთული ხდება, ბავშვს ეჩვენება ობიექტები სხვადასხვა ფორმები, სხვადასხვა ფერებიდა აირჩიე იდენტური ნივთებიბავშვისთვის ეს უფრო და უფრო რთული ხდება. თუმცა, ჩვენ ასე არ გავართულებთ დავალებას, არამედ ყურადღებას გავამახვილებთ მხოლოდ ერთ ტიპის თანასწორობაზე - ფულად-წონაზე.

როდესაც სასწორები იმავე ჰორიზონტალურ დონეზეა (სასწორის ისრები ნაჩვენებია ფიგურაში 500.1 ნარინჯისფერი და ლურჯი, ემთხვევა, ჰორიზონტალური დონე ნაჩვენებია შავი თამამი ხაზით), ეს ნიშნავს, რომ სასწორის მარჯვენა ტაფაზე არის იგივე წონა, რაც მარცხენა ტაფაზე. უმარტივეს შემთხვევაში, ეს შეიძლება იყოს წონა 1 კგ:

სურათი 500.1.

და შემდეგ მივიღებთ უმარტივეს განტოლებას 1 = 1. თუმცა, ეს განტოლება მხოლოდ ჩემთვისაა, მათემატიკაში მსგავსი გამონათქვამებითანასწორობას ეძახიან, მაგრამ ეს არ ცვლის არსს. თუ სასწორის მარცხენა ტაფს მოვაცილებთ წონას და დავდებთ რამეს, თუნდაც ვაშლს, ლურსმნებსაც კი, წითელ ხიზილალასაც კი და ამავდროულად სასწორი იმავე ჰორიზონტალურ დონეზე იქნება, მაშინ ეს მაინც ნიშნავს, რომ 1 კგ. რომელიმე მითითებული პროდუქტის ტოლია 1 კგ წონაზე დარჩენილი სასწორის მარჯვენა მხარეს. რჩება მხოლოდ ამ კილოგრამის გადახდა გამყიდველის მიერ დადგენილი ფასის მიხედვით. სხვა საქმეა, რომ შეიძლება არ მოგწონდეს ფასი, ან ეჭვი გეპარება სასწორის სიზუსტეში - მაგრამ ეს უკვე ეკონომიკური და იურიდიული ურთიერთობების, მათემატიკის კითხვებია. პირდაპირი ურთიერთობაარ ქონა.

რა თქმა უნდა, იმ შორეულ დროში, როდესაც თასის სასწორები გამოჩნდა, ყველაფერი ბევრად უფრო მარტივი იყო. ჯერ ერთი, არ არსებობდა წონის ისეთი საზომი, როგორიცაა კილოგრამი, მაგრამ არსებობდა ფულადი ერთეულები, რომლებიც შეესაბამება წონის ზომებს, მაგალითად, ტალანტი, შეკელი, ფუნტი, გრივნა და ა.შ. (სხვათა შორის, დიდი ხანია მიკვირს, რომ არსებობს ფუნტი - ვალუტის ერთეულიდა ფუნტი არის წონის საზომი, არის გრივნა - ფულადი ერთეული, და ოდესღაც გრივნა იყო წონის საზომი და მხოლოდ ახლახან, როდესაც გავიგე, რომ ნიჭი არ არის მხოლოდ ძველი ებრაელების ფულადი ერთეული, ნახსენები ძველი აღთქმა, არამედ ძველ ბაბილონში მიღებული წონის საზომიც, ყველაფერი თავის ადგილზე დადგა).

უფრო ზუსტად, თავიდან იყო წონების ზომები, ჩვეულებრივ მარცვლეული კულტურების მარცვლები და მხოლოდ ამის შემდეგ გამოჩნდა ფული, რომელიც შეესაბამება ამ წონის ზომას. მაგალითად, 60 მარცვალი ერთ შეკელს შეესაბამებოდა, 60 შეკელს ერთ მინას, 60 მინას კი ერთ ტალანტს. ამიტომ, თავდაპირველად სასწორებს იყენებდნენ იმის შესამოწმებლად, იყო თუ არა შეთავაზებული ფული ყალბი და მხოლოდ მაშინ გამოჩნდა წონები, როგორც ფულის, წონების და გამოთვლების, ელექტრონული სასწორის და პლასტიკური ბარათების ექვივალენტი, მაგრამ ეს არ ცვლის საქმის არსს.

იმ შორეულ დროში, გამყიდველს არ სჭირდებოდა სიგრძით და დეტალურად ახსნა, თუ რა ეღირება კონკრეტული პროდუქტი. საკმარისი იყო გაყიდული პროდუქტი სასწორის ერთ ტაფაზე დადო, ხოლო მყიდველმა მეორეზე ფული ჩადო - ეს ძალიან მარტივი და გასაგებია და ადგილობრივი დიალექტის ცოდნაც კი არ არის საჭირო, შეგიძლიათ ვაჭრობა მსოფლიოს ნებისმიერ წერტილში. მაგრამ დავუბრუნდეთ განტოლებებს.

თუ განტოლებას (500.1) განვიხილავთ სასწორის პოზიციიდან, მაშინ ეს ნიშნავს, რომ სასწორის მარცხენა ტაფაზე არის უცნობი რაოდენობის კილოგრამი და კიდევ 2 კილოგრამი, ხოლო მარჯვენა ტაფაზე არის 8 კილოგრამი:

x + 2 კგ, = 8 კგ, (500.1.2)

შენიშვნა: ამ შემთხვევაში, ხაზგასმული სიმბოლოა სკალის ბოლოში ქაღალდზე გაანგარიშებისას, ეს ხაზი შეიძლება უფრო დაემსგავსოს სკალის ქვედა ნაწილს. უფრო მეტიც, მათემატიკოსებმა დიდი ხანია გამოიგონეს სპეციალური სიმბოლოები- ფრჩხილები, ამიტომ ნებისმიერი ფრჩხილები შეიძლება ჩაითვალოს სასწორის მხარეებად, განტოლებების მნიშვნელობის გაგების პირველ ეტაპზე მაინც. მიუხედავად ამისა, უფრო მეტი სიცხადისთვის დავტოვებ ხაზს.

მაშ, რა უნდა გავაკეთოთ, რომ გავიგოთ კილოგრამების უცნობი რაოდენობა? უფლება! სასწორის მარცხენა და მარჯვენა მხრიდან 2 კილოგრამი ამოიღეთ, შემდეგ სასწორი დარჩება იმავე ჰორიზონტალურ დონეზე, ანუ კვლავ გვექნება თანასწორობა:

x + 2 კგ, - 2 კგ = 8 კგ, - 2 კგ (500.2.2)

შესაბამისად

x, = 8 კგ - 2 კგ, (500.3.2)

x, = 6 კგ, (500.4.2)

სურათი 500.2.

ხშირად მათემატიკა მოქმედებს არა კილოგრამებით, არამედ რამდენიმე აბსტრაქტული განზომილებიანი ერთეულით და შემდეგ განტოლების ამოხსნის (500.1) ჩაწერა, მაგალითად, მონახაზში, ასე გამოიყურება:

x + 2, = 8, (500.1)

x + 2, - 2 = 8, - 2 (500.2)

x, = 8 - 2 , (500.3)

x = 6 (500.4)

რაც ასახულია სურათზე 500.2.

შენიშვნაფორმალურად, კიდევ უფრო უკეთ გასაგებად, განტოლებას (500.2) უნდა მოჰყვეს ფორმის სხვა განტოლება: x + 2 - 2, = 8 - 2,რაც ნიშნავს, რომ მოქმედება დასრულდა და ისევ წონასწორობის თასებთან გვაქვს საქმე. თუმცა, ჩემი აზრით, არ არის საჭირო გადაწყვეტილების ასეთი სრულიად სრული ჩაწერა.

სუფთა ფურცლებში, როგორც წესი, გამოიყენება განტოლების ამოხსნის შემოკლებული აღნიშვნა და არა მხოლოდ ძალიან საჭიროები, ჩემი აზრით, შემოკლებულია. საწყისი ეტაპიგანტოლებების, მასშტაბების სიმბოლოების, მაგრამ მთელი განტოლებების შესწავლა. ასე რომ, განტოლების (500.1) ამოხსნის შემოკლებული ვერსია სუფთა ვერსიაში, სახელმძღვანელოებში მოცემული მაგალითების მიხედვით, ასე გამოიყურება:

x + 2 = 8 (500.1.1)

x = 8 - 2 (500.3.1)

x = 6 (500.4)

შედეგად, სასწორებთან ანალოგიის გამოყენებით შევადგინეთ დამატებითი განტოლება (500.2) სახელმძღვანელოებში შემოთავაზებულთან შედარებით, ან ამოხსნის მეთოდით, ან ამ ამოხსნის დაწერის ფორმით. ჩემი აზრით, ეს არის განტოლება, უფრო მეტიც, დაწერილი დაახლოებით ამ ფორმით, ე.ი. სასწორის სიმბოლური აღნიშვნით - ეს არის დაკარგული რგოლი, რომელიც მნიშვნელოვანია განტოლებების მნიშვნელობის გასაგებად.

იმათ. განტოლებების ამოხსნისას საპირისპირო ნიშნით არაფერს გადავიტანთ არსად, არამედ ვასრულებთ იგივე მათემატიკურ მოქმედებებს განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარეებით.

ახლა ჩვეულებრივად არის ჩაწერილი განტოლებების ამონახსნები ზემოთ მოცემული შემოკლებული ფორმით. განტოლებას (500.1.1) მაშინვე მოსდევს განტოლება (500.3.1), აქედან გამომდინარეობს საპირისპირო ნიშნების წესი, რომელიც, თუმცა, ბევრისთვის უფრო ადვილი დასამახსოვრებელია, ვიდრე განტოლებების მნიშვნელობაში ჩაღრმავება.

შენიშვნა: ჩაწერის შემოკლებული ფორმის საწინააღმდეგო არაფერი მაქვს, მეტიც. მოწინავე მომხმარებლებს შეუძლიათ კიდევ უფრო შეამცირონ ეს ფორმა, მაგრამ ეს უნდა გაკეთდეს მხოლოდ მას შემდეგ, რაც განტოლებების ზოგადი მნიშვნელობა უკვე მკაფიოდ არის გაგებული.

და გაფართოებული აღნიშვნა საშუალებას გაძლევთ გაიგოთ განტოლებების ამოხსნის ძირითადი წესები:

1. თუ იგივე მათემატიკურ მოქმედებებს შევასრულებთ მარცხენა და მარჯვენა მხარეგანტოლებები, მაშინ თანასწორობა რჩება.

2. არ აქვს მნიშვნელობა განსახილველ განტოლებაში რომელი ნაწილია მარცხენა და რომელი მარჯვენა, ჩვენ შეგვიძლია თავისუფლად გავცვალოთ ისინი.

ეს მათემატიკური ოპერაციები შეიძლება იყოს ნებისმიერი. ჩვენ შეგვიძლია გამოვაკლოთ იგივე რიცხვი მარცხენა და მარჯვენა მხრიდან, როგორც ზემოთ ნაჩვენებია. ჩვენ შეგვიძლია დავამატოთ იგივე რიცხვი განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარეს, მაგალითად:

x - 2, = 8, (500.5.1)

x - 2, + 2 = 8, + 2 (500.5.2)

x, = 8 + 2 , (500.5.3)

x = 10 (500.5.4)

ჩვენ შეგვიძლია გავყოთ ან გავამრავლოთ ორივე მხარე ერთ რიცხვზე, მაგალითად:

3х, = 12, (500.6.1)

3x, : 3 = 12, : 3 (500.6.2)

x, = 12 : 3 , (500.6.3)

x = 4 (500.6.4)

3x - 6, = 12, (500.7.1)

3x - 6, + 6 = 12, + 6 (500.7.2)

3x, = 18, (500.7.3)

3x, : 3 = 18, : 3 (500.7.4)

x = 6 (500.7.5)

ჩვენ შეგვიძლია გავაერთიანოთ ან განვასხვავოთ ორივე ნაწილი. ჩვენ შეგვიძლია გავაკეთოთ ის, რაც გვინდა მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებთან, მაგრამ თუ ეს მოქმედებები იგივეა მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებისთვის, მაშინ თანასწორობა დარჩება (სასწორი დარჩება იმავე ჰორიზონტალურ დონეზე).

რა თქმა უნდა, თქვენ უნდა აირჩიოთ მოქმედებები, რომლებიც საშუალებას მოგცემთ განსაზღვროთ უცნობი რაოდენობა რაც შეიძლება სწრაფად და მარტივად.

ამ თვალსაზრისით, საპირისპირო მოქმედების კლასიკური მეთოდი უფრო მარტივი ჩანს, მაგრამ რა უნდა გააკეთოს, თუ ბავშვს ჯერ არ შეუსწავლია უარყოფითი რიცხვები? იმავდროულად, შედგენილ განტოლებას აქვს შემდეგი ფორმა:

5 - x = 3 (500.8)

იმათ. კლასიკური მეთოდით ამ განტოლების ამოხსნისას, ერთ-ერთი შესაძლო ამონახსნები, რომელიც იძლევა უმოკლეს აღნიშვნას, არის შემდეგი:

- x = 3 - 5 (500.8.2)

- x = - 2 (500.8.3)

x = 2 (500.8.4)

და რაც მთავარია, როგორ შეგიძლიათ აუხსნათ ბავშვს, რატომ არის განტოლება (500.8.3) განტოლების (500.8.4) იდენტური?

ეს ნიშნავს, რომ ამ შემთხვევაში, გამოყენების დროსაც კი კლასიკური მეთოდიაზრი არ აქვს წერაზე დაზოგვას და ჯერ უნდა მოიცილოთ მარცხენა მხარეს უცნობი მნიშვნელობა, რომელსაც უარყოფითი ნიშანი აქვს.

5 - x = 3 (500.8)

5 = 3 + x (500.8.5)

3 + x = 5 (500.8.6)

x = 5 - 3 (500.8.7)

x = 2 (500.8.4)

სრული ჩანაწერი ასე გამოიყურება:

5 - x, = 3, (500.8)

5 - x, + x = 3, + x (500.9.2)

5, = 3 + x, (500.9.3)

3 + x, = 5, (500.8.6)

3 + x, - 3 = 5, - 3 (500.9.3)

x, = 5 - 3, (500.8.7)

x = 2 (500.8.4)

კიდევ დავამატებ. ამოხსნის სრული ჩანაწერი საჭიროა არა მასწავლებლებისთვის, არამედ განტოლებების ამოხსნის მეთოდის უკეთ გასაგებად. და როდესაც ჩვენ ვცვლით განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარეს, თითქოს ჩვენ ვცვლით მასშტაბის ხედვას მყიდველის თვალსაზრისით გამყიდველის თვალსაზრისით, მაგრამ თანასწორობა იგივე რჩება.

სამწუხაროდ, მე ვერასოდეს მოვახერხე ჩემი ქალიშვილისთვის ამოხსნა სრულად ჩაეწერა, თუნდაც მონახაზებში. მას აქვს რკინის არგუმენტი: "ჩვენ ასე არ გვასწავლიდნენ". ამასობაში იზრდება შედგენილი განტოლებების სირთულე, მცირდება გამოცნობის პროცენტი, თუ რა მოქმედებაა საჭირო უცნობი რაოდენობის დასადგენად და იკლებს ქულები. არ ვიცი რა გავაკეთო ამას...

შენიშვნა: ვ თანამედროვე მათემატიკამიღებულია ტოლობებისა და განტოლებების გარჩევა, ე.ი. 1 = 1 არის მხოლოდ რიცხვითი ტოლობა და თუ ტოლობის ერთ-ერთ ნაწილში არის უცნობი, რომელიც უნდა მოიძებნოს, მაშინ ეს უკვე განტოლებაა. რაც შეეხება ჩემთვის, ასეთ დიფერენციაციას აზრი არ აქვს ბევრი აზრი აქვს, მაგრამ მხოლოდ ართულებს მასალის აღქმას. მე მჯერა, რომ ნებისმიერ თანასწორობას შეიძლება ეწოდოს განტოლება და ნებისმიერი განტოლება ემყარება თანასწორობას. გარდა ამისა, ჩნდება კითხვა: x = 6, ეს უკვე თანასწორობაა თუ ჯერ კიდევ განტოლებაა?

უმარტივესი განტოლებები, დროის ანალოგია

რა თქმა უნდა, განტოლებების ამოხსნისას მასშტაბებთან ანალოგია შორს არის ერთადერთისგან. მაგალითად, განტოლებების ამოხსნა შეიძლება განხილული იყოს დროის პერსპექტივიდანაც. შემდეგ განტოლებით (500.1) აღწერილი მდგომარეობა ასე ჟღერს:

მას შემდეგ რაც დავამატეთ უცნობი რაოდენობა Xკიდევ 2 ერთეული, ახლა გვაქვს 8 ერთეული (აწმყო). თუმცა, ამა თუ იმ მიზეზის გამო, ჩვენ არ გვაინტერესებს რამდენი იყო, არამედ რამდენი იყო წარსულში. შესაბამისად, იმისთვის, რომ გავიგოთ, რამდენი გვქონდა ეს იგივე ერთეული, უნდა შევასრულოთ საპირისპირო მოქმედება, ე.ი. გამოვაკლოთ 2 8-ს (განტოლება 500.3). ეს მიდგომა ზუსტად ემთხვევა იმას, რაც სახელმძღვანელოებშია წარმოდგენილი, მაგრამ, ჩემი აზრით, არც ისე ნათელია, როგორც სასწორებთან ანალოგია. თუმცა, ამ საკითხთან დაკავშირებით მოსაზრებები შეიძლება განსხვავებული იყოს.

ფრჩხილებით განტოლების ამოხსნის მაგალითი

მე დავწერე ეს სტატია ზაფხულში, როდესაც ჩემმა ქალიშვილმა დაამთავრა მე-4 კლასი, მაგრამ ექვს თვეზე ნაკლები ხნის შემდეგ მათ სკოლაში სთხოვეს ამოეხსნათ შემდეგი ფორმის განტოლებები:

(97 + 75: (50 - 5x)) 3 = 300 (500.10)

კლასში ვერავინ შეძლო ამ განტოლების ამოხსნა, და მაინც არაფერია რთული მის ამოხსნაში ჩემი შემოთავაზებული მეთოდის გამოყენებისას, მაგრამ აღნიშვნის სრული ფორმა ძალიან დიდ ადგილს დაიკავებს:

(500.10.2)

97 + 75: (50 - 5x), = 300: 3, (500.10.3)

97 + 75: (50 - 5x), = 100, (500.10.4)

(500.10.5)

75: (50 - 5x), = 100 - 97, (500.10.6)

75: (50 - 5x), = 3, (500.10.7)

(500.10.8)

75, = 3 (50 - 5x), (500.10.9)

(500.10.10)

75: 3, = 50 - 5x, (500.10.11)

25, = 50 - 5x, (500.10.12)

25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)

25 + 5x, = 50, (500.10.14)

25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)

5x, = 50 - 25, (500.10.16)

5x, = 25, (500.10.17)

5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)

x, = 25:5, (500.10.19)

x = 5 (500.10.20)

თუმცა ამ ეტაპზე ასეთ სრული ფორმაარ არის საჭირო ჩაწერა. მას შემდეგ რაც მივაღწიეთ ორმაგი ფრჩხილები, მაშინ არ არის აუცილებელი მარცხენა და მარჯვენა მხარეს მათემატიკური ოპერაციებისთვის ცალკე განტოლების შექმნა, ამიტომ ამოხსნის მონახაზში ჩაწერა შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს:

97 + 75: (50 - 5x) , : 3 = 300 , : 3, (500.10.2)

97 + 75: (50 - 5x), = 100, (500.10.4)

97 + 75: (50 - 5x), - 97 = 100 - 97, (500.10.5)

75: (50 - 5x), = 3, (500.10.7)

75: (50 - 5x), · (50 - 5x) = 3, · (50 - 5x) (500.10.8)

75, = 3 (50 - 5x), (500.10.9)

75, : 3 = 3 (50 - 5x), : 3 (500.10.10)

25, = 50 - 5x, (500.10.12)

25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)

25 + 5x, = 50, (500.10.14)

25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)

5x, = 25, (500.10.17)

5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)

x = 5 (500.10.20)

საერთო ჯამში, ამ ეტაპზე ორიგინალის ამოსახსნელად 14 განტოლების ჩაწერა იყო საჭირო.

ამ შემთხვევაში, განტოლების ამოხსნის სუფთა ასლში ჩაწერა შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს:

97 + 75: (50 - 5x) = 300: 3 (500.10.3)

97 + 75: (50 - 5x) = 100 (500.10.4)

75: (50 - 5x) = 100 - 97 (500.10.6)

75: (50 - 5x) = 3 (500.10.7)

75 = 3 (50 - 5x) (500.10.9)

75: 3 = 50 - 5x (500.10.11)

25 = 50 - 5x (500.10.12)

25 + 5x = 50 (500.10.14)

5x = 50 - 25 (500.10.16)

5x = 25 500.10.17)

x = 25:5 (500.10.19)

x = 5 (500.10.20)

იმათ. აღნიშვნის შემოკლებული ფორმით მაინც უნდა შევქმნათ 12 განტოლება. ჩაწერაში დანაზოგი მინიმალურია, მაგრამ მეხუთეკლასელს შეიძლება რეალურად ჰქონდეს პრობლემები საჭირო მოქმედებების გაგებაში.

P.S.მხოლოდ ორმაგ ფრჩხილებთან დაკავშირებით ჩემი ქალიშვილი დაინტერესდა განტოლებების ამოხსნის მეთოდით, რომელიც მე შევთავაზე, მაგრამ ამავე დროს, მის წერის ფორმაში, თუნდაც მონახაზში, ჯერ კიდევ 2-ჯერ ნაკლები განტოლებაა, რადგან ის გამოტოვებს ფინალს. განტოლებები, როგორიცაა (500.10.4), (500.10. 7) და მსგავსი, და როდესაც ჩაიწერება, მაშინვე ტოვებს ადგილს შემდეგი მათემატიკური ოპერაციისთვის. შედეგად, მის პროექტში ჩანაწერი ასე გამოიყურებოდა:

(97 + 75: (50 - 5x)) 3, : 3 = 300, : 3 (500.10.2)

97 + 75: (50 - 5x), - 97 = 100, - 97 (500.10.5)

75: (50 - 5x), · (50 - 5x) = 3, · (50 - 5x) (500.10.8)

75, : 3 = 3 (50 - 5x), : 3 (500.10.10)

25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)

25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)

5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)

x = 5 (500.10.20)

შედეგად მივიღეთ მხოლოდ 8 განტოლება, რაც კიდევ უფრო ნაკლებია, ვიდრე საჭიროა შემოკლებული ამონახსნებისთვის. პრინციპში, წინააღმდეგი არ ვარ, მაგრამ სასარგებლო იქნება.

ეს არის ის, რისი თქმაც მინდოდა ერთი უცნობი სიდიდის შემცველი უმარტივესი განტოლებების ამოხსნის შესახებ. ორი უცნობი სიდიდის შემცველი განტოლების ამოსახსნელად დაგჭირდებათ

მე ვიცი სკოლის მათემატიკაბავშვს პირველად ესმის ტერმინი „განტოლება“. რა არის ეს, მოდით ერთად გავარკვიოთ. ამ სტატიაში განვიხილავთ გადაწყვეტის ტიპებსა და მეთოდებს.

მათემატიკა. განტოლებები

დასაწყისისთვის, ჩვენ გირჩევთ გაიგოთ თავად კონცეფცია, რა არის ეს? როგორც მათემატიკის ბევრ სახელმძღვანელოშია ნათქვამი, განტოლება არის ზოგიერთი გამონათქვამი, რომელთა შორის უნდა იყოს ტოლობის ნიშანი. ეს გამონათქვამები შეიცავს ასოებს, ე.წ. ცვლადებს, რომელთა მნიშვნელობა უნდა მოიძებნოს.

ეს არის სისტემის ატრიბუტი, რომელიც ცვლის მის მნიშვნელობას. ნათელი მაგალითიცვლადებია:

• ჰაერის ტემპერატურა;
• ბავშვის სიმაღლე;
• წონა და ასე შემდეგ.

მათემატიკაში ისინი აღნიშნავენ ასოებით, მაგალითად, x, a, b, c... ჩვეულებრივ მათემატიკის დავალება ასე მიდის: იპოვნეთ განტოლების მნიშვნელობა. ეს ნიშნავს, რომ აუცილებელია ამ ცვლადების მნიშვნელობის პოვნა.

ჯიშები

განტოლება (წინა აბზაცში განვიხილეთ რა არის) შეიძლება შემდეგი ფორმის იყოს:

• ხაზოვანი;
• მოედანი;
• კუბური;
• ალგებრული;
• ტრანსცენდენტული.

ყველა ტიპის უფრო დეტალური გაცნობისთვის, თითოეულს ცალკე განვიხილავთ.

წრფივი განტოლება

ეს არის პირველი სახეობა, რომელსაც სკოლის მოსწავლეები ეცნობიან. ისინი წყდება საკმაოდ სწრაფად და მარტივად. მაშ, რა არის წრფივი განტოლება? ეს არის ფორმის გამოხატულება: ah=c. ეს განსაკუთრებით გაუგებარია, ამიტომ მოვიყვანთ რამდენიმე მაგალითს: 2x=26; 5x=40; 1.2x=6.

მოდით შევხედოთ განტოლებების მაგალითებს. ამისათვის ჩვენ უნდა შევაგროვოთ ყველა ცნობილი მონაცემი ერთ მხარეს, ხოლო უცნობი - მეორე მხარეს: x=26/2; x=40/5; x=6/1.2. აქ გამოიყენება ძირითადი წესებიმათემატიკა: a*c=e, აქედან c=e/a; a=e/c. განტოლების ამოხსნის დასასრულებლად ვასრულებთ ერთ მოქმედებას (ჩვენს შემთხვევაში გაყოფა) x = 13; x=8; x=5. ეს იყო გამრავლების მაგალითები, ახლა ვნახოთ გამოკლება და შეკრება: x+3=9; 10x-5=15. ცნობილ მონაცემებს გადავცემთ ერთი მიმართულებით: x=9-3; x=20/10. შეასრულეთ ბოლო მოქმედება: x=6; x=2.

ასევე შესაძლებელია ვარიანტები წრფივი განტოლებები, სადაც გამოყენებულია ერთზე მეტი ცვლადი: 2x-2y=4. ამოსახსნელად საჭიროა თითოეულ ნაწილს მივუმატოთ 2y, მივიღებთ 2x-2y+2y=4-2y, როგორც შევნიშნეთ, ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს -2y და +2y გააუქმებს, დაგვტოვებს: 2x=4 -2у. ბოლო ნაბიჯი არის თითოეული ნაწილის ორზე გაყოფა, მივიღებთ პასუხს: x უდრის ორს გამოკლებული y.

განტოლებებთან დაკავშირებული პრობლემები გვხვდება აჰმესის პაპირუსებზეც კი. აქ არის ერთი პრობლემა: რიცხვი და მისი მეოთხე ნაწილი ჯამდება 15-მდე. მის ამოსახსნელად ვწერთ შემდეგ განტოლებას: x პლუს ერთი მეოთხედი x უდრის თხუთმეტს. ამოხსნის შედეგზე დაფუძნებული სხვა მაგალითს ვხედავთ, ვიღებთ პასუხს: x=12. მაგრამ ეს პრობლემა შეიძლება მოგვარდეს სხვა გზით, კერძოდ, ეგვიპტური ან, როგორც მას სხვაგვარად უწოდებენ, ვარაუდის მეთოდი. პაპირუსი იყენებს შემდეგ ხსნარს: აიღეთ მისი ოთხი და მეოთხედი, ანუ ერთი. ჯამში აძლევენ ხუთს, ახლა თხუთმეტი უნდა გაიყოს ჯამზე, მივიღებთ სამს, ბოლო ნაბიჯი არის სამის ოთხზე გამრავლება. ვიღებთ პასუხს: 12. რატომ ვყოფთ თხუთმეტს ხუთზე ამონახსნით? ასე რომ, ჩვენ გავარკვიეთ რამდენჯერ თხუთმეტი, ანუ შედეგი, რომელიც უნდა მივიღოთ არის ხუთზე ნაკლები. პრობლემები ამ გზით წყდებოდა შუა საუკუნეებში, იგი ცნობილი გახდა, როგორც ცრუ პოზიციის მეთოდი.

კვადრატული განტოლებები

გარდა ადრე განხილული მაგალითებისა, არის სხვა. კონკრეტულად რომელი? კვადრატული განტოლება, რა არის ეს? ისინი ჰგავს ცულს 2 +bx+c=0. მათი გადასაჭრელად, თქვენ უნდა გაეცნოთ რამდენიმე კონცეფციას და წესს.

პირველ რიგში, თქვენ უნდა იპოვოთ დისკრიმინანტი ფორმულის გამოყენებით: b 2 -4ac. გადაწყვეტილების სამი შესაძლო შედეგია:

• დისკრიმინანტი ნულზე მეტია;
• ნულზე ნაკლები;
• ნულის ტოლი.

პირველ ვარიანტში პასუხი შეგვიძლია მივიღოთ ორი ფესვიდან, რომლებიც გვხვდება ფორმულის მიხედვით: -b+-დისკრიმინანტის ფესვი გაყოფილი ორმაგად პირველ კოეფიციენტზე, ანუ 2a.

მეორე შემთხვევაში, განტოლებას არ აქვს ფესვები. მესამე შემთხვევაში, ფესვი გვხვდება ფორმულის გამოყენებით: -b/2a.

მოდით შევხედოთ კვადრატული განტოლების მაგალითს უფრო დეტალური შესავალისთვის: სამი x კვადრატი გამოკლებული თოთხმეტი x მინუს ხუთი უდრის ნულს. დასაწყისისთვის, როგორც ადრე დაიწერა, ჩვენ ვეძებთ დისკრიმინატორს, ჩვენს შემთხვევაში ის უდრის 256-ს. გაითვალისწინეთ, რომ მიღებული რიცხვი მეტია ნულზე, ამიტომ უნდა მივიღოთ ორი ფესვისგან შემდგარი პასუხი. ჩვენ ვცვლით მიღებულ დისკრიმინანტს ფესვების პოვნის ფორმულაში. შედეგად გვაქვს: x უდრის ხუთს და მინუს მესამედს.

სპეციალური შემთხვევები კვადრატულ განტოლებებში

ეს არის მაგალითები, რომლებშიც ზოგიერთი მნიშვნელობა არის ნული (a, b ან c) და შესაძლოა ერთზე მეტი.

მაგალითად, ავიღოთ შემდეგი განტოლება, რომელიც არის კვადრატული: ორი x კვადრატი უდრის ნულს, აქ ვხედავთ, რომ b და c უდრის ნულს. ვცადოთ მისი ამოხსნა, ამისათვის ვყოფთ განტოლების ორივე მხარეს ორზე, გვაქვს: x 2 =0. შედეგად ვიღებთ x=0.

სხვა შემთხვევაა 16x 2 -9=0. აქ მხოლოდ b=0. ავხსნათ განტოლება, გადავიტანოთ თავისუფალი კოეფიციენტი მარჯვენა მხარეს: 16x 2 = 9, ახლა თითოეულ ნაწილს ვყოფთ თექვსმეტზე: x 2 = ცხრა მეთექვსმეტედ. ვინაიდან ჩვენ გვაქვს x კვადრატი, 9/16-ის ფესვი შეიძლება იყოს უარყოფითი ან დადებითი. პასუხს ვწერთ შემდეგნაირად: x უდრის პლუს/მინუს სამ მეოთხედს.

კიდევ ერთი შესაძლო პასუხი არის ის, რომ განტოლებას საერთოდ არ აქვს ფესვები. მოდით შევხედოთ ამ მაგალითს: 5x 2 +80=0, აქ b=0. გადასაჭრელად ჩააგდეთ თავისუფალი წევრი მარჯვენა მხარე, ამ მოქმედებების შემდეგ მივიღებთ: 5x 2 = -80, ახლა თითოეულ ნაწილს ვყოფთ ხუთზე: x 2 = გამოკლებული თექვსმეტი. თუ რომელიმე რიცხვი არის კვადრატში, მაშინ უარყოფითი მნიშვნელობაჩვენ არ მივიღებთ მას. ამიტომ, ჩვენი პასუხია: განტოლებას არ აქვს ფესვები.

ტრინომალური გაფართოება

კვადრატულ განტოლებაზე დავალება ასევე შეიძლება ასე ჟღერდეს: გაფართოება კვადრატული ტრინომიალიმულტიპლიკატორებით. ეს შეიძლება გაკეთდეს შემდეგი ფორმულის გამოყენებით: a(x-x 1)(x-x 2). ამისათვის, როგორც დავალების სხვა ვერსიაში, აუცილებელია დისკრიმინანტის პოვნა.

განვიხილოთ შემდეგი მაგალითი: 3x 2 -14x-5, შეადარეთ ტრინომი. ჩვენ ვპოულობთ დისკრიმინანტს ჩვენთვის უკვე ცნობილი ფორმულის გამოყენებით, ის ტოლია 256-ის. მაშინვე აღვნიშნავთ, რომ 256 მეტია ნულზე, შესაბამისად, განტოლებას ექნება ორი ფესვი. ვპოულობთ მათ, როგორც წინა აბზაცში, გვაქვს: x = ხუთი და მინუს ერთი მესამედი. გამოვიყენოთ ფორმულა ტრინომის ფაქტორინგისთვის: 3(x-5)(x+1/3). მეორე ფრჩხილში მივიღეთ ტოლობის ნიშანი, რადგან ფორმულა შეიცავს მინუს ნიშანს და ფესვიც უარყოფითია, მათემატიკის საბაზისო ცოდნის გამოყენებით, ჯამში გვაქვს პლუს ნიშანი. გასამარტივებლად გავამრავლოთ განტოლების პირველი და მესამე წევრი, რათა მოვიშოროთ წილადი: (x-5)(x+1).

განტოლებები კვადრატულამდე

ამ განყოფილებაში ვისწავლით როგორ ამოხსნათ უფრო რთული განტოლებები. დავიწყოთ მაშინვე მაგალითით:

(x 2 - 2x) 2 - 2(x 2 - 2x) - 3 = 0. შეგვიძლია შევამჩნიოთ განმეორებადი ელემენტები: (x 2 - 2x), მის ამოსახსნელად ჩვენთვის მოსახერხებელია მისი სხვა ცვლადით ჩანაცვლება და შემდეგ სასწრაფოდ ამოხსენით ჩვეულებრივი კვადრატული განტოლება ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ ასეთ ამოცანაში მივიღებთ ოთხ ფესვს, ეს არ უნდა შეგაშინოთ. აღვნიშნავთ a ცვლადის გამეორებას. ვიღებთ: a 2 -2a-3=0. ჩვენი შემდეგი ნაბიჯი არის ახალი განტოლების დისკრიმინანტის პოვნა. ვიღებთ 16-ს, ვიპოვით ორ ფესვს: მინუს ერთი და სამი. გვახსოვს, რომ ჩანაცვლება გავაკეთეთ, ჩავანაცვლეთ ეს მნიშვნელობები, შედეგად გვაქვს განტოლებები: x 2 - 2x=-1; x 2 - 2x=3. პირველ პასუხში ვხსნით მათ: x ერთის ტოლი, მეორეში: x უდრის მინუს ერთი და სამი. პასუხს ვწერთ შემდეგნაირად: პლუს/მინუს ერთი და სამი. როგორც წესი, პასუხი იწერება ზრდადი თანმიმდევრობით.

კუბური განტოლებები

მოდით შევხედოთ კიდევ ერთს შესაძლო ვარიანტი. ეს დაახლოებითკუბური განტოლებების შესახებ. ისინი ასე გამოიყურებიან: ax 3 + b x 2 + cx + d =0. განტოლებების მაგალითებს განვიხილავთ ქვემოთ, მაგრამ პირველ რიგში, პატარა თეორიას. მათ შეიძლება ჰქონდეთ სამი ფესვი და ასევე არსებობს ფორმულა კუბური განტოლებისთვის დისკრიმინანტის მოსაძებნად.

მოდით შევხედოთ მაგალითს: 3x 3 +4x 2 +2x=0. როგორ მოვაგვაროთ? ამისათვის ჩვენ უბრალოდ ვდებთ x ფრჩხილებიდან: x(3x 2 +4x+2)=0. ჩვენ მხოლოდ უნდა გამოვთვალოთ განტოლების ფესვები ფრჩხილებში. ფრჩხილებში კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი ნულზე ნაკლებია, ამის საფუძველზე გამოსახულებას აქვს ფესვი: x=0.

Ალგებრა. განტოლებები

მოდით გადავიდეთ შემდეგ ხედზე. ახლა მოკლედ განვიხილავთ ალგებრულ განტოლებებს. ერთ-ერთი დავალება ასეთია: ფაქტორი 3x 4 +2x 3 +8x 2 +2x+5. Ყველაზე მოსახერხებელი გზითიქნება შემდეგი დაჯგუფება: (3x 4 +3x 2)+(2x 3 +2x)+(5x 2 +5). გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენ წარმოვადგინეთ 8x 2 პირველი გამოსახულებიდან, როგორც 3x 2 და 5x 2 ჯამი. ახლა თითოეული ფრჩხილიდან ამოვიღებთ საერთო კოეფიციენტს 3x 2 (x2 + 1) + 2x (x 2 +1) + 5 (x 2 +1). ვხედავთ, რომ გვაქვს საერთო კოეფიციენტი: x კვადრატში პლუს ერთი, ამოვიღებთ ფრჩხილებიდან: (x 2 +1)(3x 2 +2x+5). შემდგომი გაფართოება შეუძლებელია, რადგან ორივე განტოლებას აქვს უარყოფითი დისკრიმინანტი.

ტრანსცენდენტული განტოლებები

ჩვენ გირჩევთ გაუმკლავდეთ შემდეგ ტიპს. ეს არის განტოლებები, რომლებიც შეიცავს ტრანსცენდენტურ ფუნქციებს, კერძოდ ლოგარითმულ, ტრიგონომეტრიულ ან ექსპონენციალურ. მაგალითები: 6sin 2 x+tgx-1=0, x+5lgx=3 და ასე შემდეგ. როგორ ხსნიან მათ ტრიგონომეტრიის კურსში შეიტყობთ.

ფუნქცია

საბოლოო ნაბიჯი არის ფუნქციის განტოლების კონცეფციის განხილვა. წინა ვარიანტებისგან განსხვავებით, ამ ტიპისარ წყდება, მაგრამ მასზე დაყრდნობით აშენდება გრაფიკი. ამისათვის ღირს განტოლების კარგად გაანალიზება, მშენებლობისთვის საჭირო ყველა წერტილის პოვნა და მინიმალური და მაქსიმალური ქულების გამოთვლა.