ნომრები და მათი მოდულები. რიცხვის მოდულის განსაზღვრა
რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა აარის მანძილი საწყისიდან წერტილამდე ა(ა).
ამ განმარტების გასაგებად, მოდით ჩავანაცვლოთ ცვლადი ანებისმიერი რიცხვი, მაგალითად 3 და სცადეთ მისი ხელახლა წაკითხვა:
რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა 3 არის მანძილი საწყისიდან წერტილამდე ა(3 ).
ცხადი ხდება, რომ მოდული სხვა არაფერია, თუ არა ჩვეულებრივი მანძილი. შევეცადოთ დავინახოთ მანძილი საწყისიდან A წერტილამდე 3 )
მანძილი საწყისიდან A წერტილამდე 3 ) უდრის 3-ს (სამი ერთეული ან სამი ნაბიჯი).
რიცხვის მოდული მითითებულია ორი ვერტიკალური ხაზით, მაგალითად:
3 რიცხვის მოდული აღინიშნა შემდეგნაირად: |3|
4 რიცხვის მოდული აღინიშნება შემდეგნაირად: |4|
5 რიცხვის მოდული აღინიშნება შემდეგნაირად: |5|
ჩვენ მოვძებნეთ რიცხვი 3-ის მოდული და აღმოვაჩინეთ, რომ ის უდრის 3-ს. ასე ჩავწერთ მას:
იკითხება ასე: "3 რიცხვის მოდული არის სამი"
ახლა შევეცადოთ ვიპოვოთ -3 რიცხვის მოდული. კვლავ ვუბრუნდებით განმარტებას და ჩავანაცვლებთ მასში რიცხვს -3. მხოლოდ წერტილის ნაცვლად აგამოიყენეთ ახალი წერტილი ბ. სრული გაჩერება აჩვენ უკვე გამოვიყენეთ პირველ მაგალითში.
რიცხვის მოდული - 3 არის მანძილი საწყისიდან წერტილამდე ბ(—3 ).
მანძილი ერთი წერტილიდან მეორემდე არ შეიძლება იყოს უარყოფითი. ამიტომ, ნებისმიერი უარყოფითი რიცხვის მოდული, როგორც მანძილი, ასევე არ იქნება უარყოფითი. -3 რიცხვის მოდული იქნება რიცხვი 3. მანძილი საწყისიდან B(-3) წერტილამდე ასევე უდრის სამ ერთეულს:
იკითხება ასე: "რიცხვის მინუს სამი მოდული არის სამი"
რიცხვი 0-ის მოდული 0-ის ტოლია, ვინაიდან წერტილი 0 კოორდინატით ემთხვევა საწყისს, ე.ი. მანძილი საწყისიდან წერტილამდე O(0)უდრის ნულს:
"ნულოვანი მოდული არის ნული"
ჩვენ ვაკეთებთ დასკვნებს:
- რიცხვის მოდული არ შეიძლება იყოს უარყოფითი;
- დადებითი რიცხვისა და ნულისთვის მოდული უდრის თავად რიცხვს, ხოლო უარყოფითი რიცხვისთვის – საპირისპირო რიცხვს;
- საპირისპირო რიცხვებს აქვთ თანაბარი მოდულები.
საპირისპირო ნომრები
რიცხვებს, რომლებიც განსხვავდებიან მხოლოდ ნიშნებით, ეძახიან საწინააღმდეგო. მაგალითად, რიცხვები −2 და 2 საპირისპიროა. ისინი განსხვავდებიან მხოლოდ ნიშნებით. რიცხვ −2-ს აქვს მინუს ნიშანი, ხოლო 2-ს აქვს პლუს ნიშანი, მაგრამ ჩვენ ამას ვერ ვხედავთ, რადგან პლუს, როგორც ადრე ვთქვით, ტრადიციულად არ იწერება.
საპირისპირო რიცხვების სხვა მაგალითები:
საპირისპირო რიცხვებს აქვთ თანაბარი მოდულები. მაგალითად, ვიპოვოთ −2 და 2-ის მოდულები
ნახაზი აჩვენებს, რომ მანძილი საწყისიდან წერტილებამდე A(−2)და B(2)თანაბრად უდრის ორ ნაბიჯს.
მოგეწონა გაკვეთილი?
შემოუერთდით ჩვენს ახალ VKontakte ჯგუფს და დაიწყეთ შეტყობინებების მიღება ახალი გაკვეთილების შესახებ
ამ სტატიაში ჩვენ დეტალურად გავაანალიზებთ რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა. ჩვენ მივცემთ რიცხვის მოდულის სხვადასხვა განმარტებას, შემოგთავაზებთ აღნიშვნას და გთავაზობთ გრაფიკულ ილუსტრაციებს. ამავდროულად, მოდით გადავხედოთ რიცხვის მოდულის პოვნის სხვადასხვა მაგალითებს განსაზღვრებით. ამის შემდეგ ჩამოვთვლით და გავამართლებთ მოდულის ძირითად თვისებებს. სტატიის ბოლოს ვისაუბრებთ იმაზე, თუ როგორ არის განსაზღვრული და ნაპოვნი რთული რიცხვის მოდული.
გვერდის ნავიგაცია.
ნომრის მოდული - განმარტება, აღნიშვნა და მაგალითები
ჯერ წარმოგიდგენთ რიცხვის მოდულის აღნიშვნა. a რიცხვის მოდულს დავწერთ როგორც , ანუ რიცხვის მარცხნივ და მარჯვნივ დავსვამთ ვერტიკალურ ტირეებს მოდულის ნიშნის შესაქმნელად. მოდით მოვიყვანოთ რამდენიმე მაგალითი. მაგალითად, მოდული −7 შეიძლება დაიწეროს როგორც ; მოდული 4.125 იწერება როგორც და მოდულს აქვს ფორმის აღნიშვნა.
მოდულის შემდეგი განმარტება ეხება , და შესაბამისად , და მთელ რიცხვებს, რაციონალურ და ირაციონალურ რიცხვებს, როგორც რეალური რიცხვების სიმრავლის შემადგენელ ნაწილებს. ჩვენ ვისაუბრებთ კომპლექსური რიცხვის მოდულზე.
განმარტება.
ნომრის მოდული a– ეს არის ან თავად რიცხვი a, თუ a დადებითი რიცხვია, ან რიცხვი −a, a რიცხვის საპირისპირო, თუ a უარყოფითი რიცხვია, ან 0, თუ a=0.
რიცხვის მოდულის გახმოვანებული განმარტება ხშირად იწერება შემდეგი ფორმით 
, ეს ჩანაწერი ნიშნავს, რომ თუ a>0, თუ a=0 და თუ a<0
.
ჩანაწერი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს უფრო კომპაქტური ფორმით 
. ეს აღნიშვნა ნიშნავს, რომ თუ (a მეტია ან ტოლია 0-ის), და თუ a<0
.
ასევე არის შესასვლელი 
. აქ ცალკე უნდა ავხსნათ შემთხვევა, როდესაც a=0. ამ შემთხვევაში გვაქვს , მაგრამ −0=0, ვინაიდან ნული ითვლება თავის საპირისპირო რიცხვად.
მივცეთ რიცხვის მოდულის პოვნის მაგალითებიმითითებული განმარტების გამოყენებით. მაგალითად, ვიპოვოთ 15 და ნომრების მოდულები. დავიწყოთ მოძიებით. ვინაიდან რიცხვი 15 დადებითია, მისი მოდული, განსაზღვრებით, უდრის თავად ამ რიცხვს, ანუ . რა არის რიცხვის მოდული? ვინაიდან უარყოფითი რიცხვია, მისი მოდული უდრის რიცხვის საპირისპირო რიცხვს, ანუ რიცხვს 
. ამრიგად, .
ამ პუნქტის დასასრულებლად წარმოგიდგენთ ერთ დასკვნას, რომელიც ძალიან მოსახერხებელია პრაქტიკაში რიცხვის მოდულის პოვნისას. რიცხვის მოდულის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ რიცხვის მოდული უდრის რიცხვს მოდულის ნიშნის ქვეშ მისი ნიშნის გათვალისწინების გარეშედა ზემოთ განხილული მაგალითებიდან ეს ძალიან ნათლად ჩანს. აღნიშნული განცხადება განმარტავს, თუ რატომ არის ასევე მოწოდებული რიცხვის მოდული რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა. ასე რომ, რიცხვის მოდული და რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა ერთი და იგივეა.
რიცხვის მოდული მანძილის სახით
გეომეტრიულად, რიცხვის მოდული შეიძლება განიმარტოს როგორც მანძილი. მივცეთ რიცხვის მოდულის განსაზღვრა მანძილზე.
განმარტება.
ნომრის მოდული a– ეს არის მანძილი საწყისიდან კოორდინატთა წრფეზე a რიცხვის შესაბამის წერტილამდე.
ეს განმარტება შეესაბამება პირველ აბზაცში მოცემული რიცხვის მოდულის განმარტებას. მოდით განვმარტოთ ეს წერტილი. მანძილი საწყისიდან დადებითი რიცხვის შესაბამის წერტილამდე ამ რიცხვის ტოლია. ნული შეესაბამება საწყისს, ამიტომ მანძილი საწყისიდან 0 კოორდინატის მქონე წერტილამდე ნულის ტოლია (არ დაგჭირდებათ გამოყოთ ერთი ერთეული სეგმენტი და არც ერთი სეგმენტი, რომელიც ადგენს ერთეული სეგმენტის რომელიმე ნაწილს თანმიმდევრობით. O წერტილიდან 0 კოორდინატის მქონე წერტილამდე მისასვლელად). მანძილი საწყისიდან უარყოფითი კოორდინატის მქონე წერტილამდე ტოლია ამ წერტილის კოორდინატის საპირისპირო რიცხვის, რადგან ის უდრის მანძილს საწყისიდან იმ წერტილამდე, რომლის კოორდინატი არის საპირისპირო რიცხვი.
მაგალითად, რიცხვი 9-ის მოდული უდრის 9-ს, ვინაიდან მანძილი საწყისიდან 9 კოორდინატის მქონე წერტილამდე უდრის ცხრას. კიდევ ერთი მაგალითი მოვიყვანოთ. წერტილი −3.25 კოორდინატით მდებარეობს O წერტილიდან 3.25-ის დაშორებით, ასე რომ 
.
რიცხვის მოდულის მითითებული განმარტება არის ორი რიცხვის სხვაობის მოდულის განსაზღვრის განსაკუთრებული შემთხვევა.
განმარტება.
ორი რიცხვის სხვაობის მოდული a და b უდრის მანძილს კოორდინატთა ხაზის წერტილებს შორის a და b კოორდინატებთან.
ანუ, თუ A(a) და B(b) კოორდინატთა წრფეზე მოცემულია წერტილები, მაშინ მანძილი A წერტილიდან B წერტილამდე უდრის a და b რიცხვებს შორის სხვაობის მოდულის. თუ ავიღებთ O წერტილს (წარმოშობას) B წერტილად, მაშინ მივიღებთ ამ აბზაცის დასაწყისში მოცემული რიცხვის მოდულის განმარტებას.
რიცხვის მოდულის განსაზღვრა არითმეტიკული კვადრატული ფესვის გამოყენებით
ხანდახან ხდება მოდულის განსაზღვრა არითმეტიკული კვადრატული ფესვით.
მაგალითად, გამოვთვალოთ −30 რიცხვების მოდულები და ამ განსაზღვრების საფუძველზე. Ჩვენ გვაქვს. ანალოგიურად, ჩვენ ვიანგარიშებთ ორი მესამედის მოდულს: 
.
რიცხვის მოდულის განსაზღვრა არითმეტიკული კვადრატული ფესვის მეშვეობით ასევე შეესაბამება ამ მუხლის პირველ პუნქტში მოცემულ განმარტებას. ვაჩვენოთ. მოდით, დადებითი რიცხვი იყოს, ხოლო −a უარყოფითი რიცხვი. მერე 
და 
, თუ a=0 , მაშინ 
.
მოდულის თვისებები
მოდულს აქვს მრავალი დამახასიათებელი შედეგი - მოდულის თვისებები. ახლა ჩვენ წარმოგიდგენთ მათ ძირითად და ყველაზე ხშირად გამოყენებას. ამ თვისებების დასაბუთებისას დავეყრდნობით რიცხვის მოდულის განსაზღვრას მანძილის მიხედვით.
დავიწყოთ მოდულის ყველაზე აშკარა თვისებით - რიცხვის მოდული არ შეიძლება იყოს უარყოფითი რიცხვი. პირდაპირი ფორმით, ამ თვისებას აქვს ნებისმიერი რიცხვის ფორმა a. ამ თვისების დასაბუთება ძალიან ადვილია: რიცხვის მოდული არის მანძილი და მანძილი არ შეიძლება გამოისახოს როგორც უარყოფითი რიცხვი.
მოდით გადავიდეთ მოდულის შემდეგ თვისებაზე. რიცხვის მოდული არის ნული, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ეს რიცხვი ნულის ტოლია. ნულის მოდული განსაზღვრებით ნულია. ნული შეესაბამება საწყისს კოორდინატთა წრფეზე არცერთი სხვა წერტილი არ შეესაბამება ნულს, ვინაიდან თითოეული რეალური რიცხვი ასოცირდება ერთ წერტილთან კოორდინატთა წრფეზე. ამავე მიზეზით, ნულის გარდა ნებისმიერი რიცხვი შეესაბამება საწყისისგან განსხვავებულ წერტილს. და მანძილი საწყისიდან ნებისმიერ წერტილამდე, გარდა O წერტილისა, არ არის ნული, რადგან მანძილი ორ წერტილს შორის არის ნული, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ეს წერტილები ემთხვევა. ზემოთ მოყვანილი მსჯელობა ადასტურებს, რომ მხოლოდ ნულის მოდული უდრის ნულს.
Განაგრძე. საპირისპირო რიცხვებს აქვთ თანაბარი მოდულები, ანუ ნებისმიერი რიცხვისთვის a. მართლაც, კოორდინატთა ხაზის ორი წერტილი, რომელთა კოორდინატები საპირისპირო რიცხვებია, ერთსა და იმავე მანძილზეა საწყისიდან, რაც ნიშნავს, რომ საპირისპირო რიცხვების მოდულები ტოლია.
მოდულის შემდეგი თვისებაა: ორი რიცხვის ნამრავლის მოდული ტოლია ამ რიცხვების მოდულის ნამრავლის, ანუ . განმარტებით, a და b რიცხვების ნამრავლის მოდული ტოლია ან a·b თუ , ან −(a·b) თუ . ნამდვილ რიცხვთა გამრავლების წესებიდან გამომდინარეობს, რომ a და b რიცხვების მოდულის ნამრავლი ტოლია ან a·b, , ან −(a·b) თუ , რომელიც ადასტურებს განსახილველ თვისებას.
a-ის კოეფიციენტის გაყოფა b-ზე ტოლია რიცხვის მოდულის კოეფიციენტის გაყოფილი b-ის მოდულზე., ანუ . მოდით გავამართლოთ მოდულის ეს თვისება. ვინაიდან კოეფიციენტი ნამრავლის ტოლია, მაშინ. წინა ქონების ძალით გვაქვს 
. რჩება მხოლოდ ტოლობის გამოყენება, რომელიც მოქმედებს რიცხვის მოდულის განსაზღვრის საფუძველზე.
მოდულის შემდეგი თვისება იწერება უტოლობად: 
, a , b და c არის თვითნებური რეალური რიცხვები. წერილობითი უთანასწორობა სხვა არაფერია, თუ არა სამკუთხედის უტოლობა. ამის გასაგებად, ავიღოთ წერტილები A(a), B(b), C(c) კოორდინატთა წრფეზე და განვიხილოთ გადაგვარებული სამკუთხედი ABC, რომლის წვეროები დევს იმავე წრფეზე. განმარტებით, განსხვავების მოდული უდრის AB სეგმენტის სიგრძეს, - AC სეგმენტის სიგრძეს და - CB სეგმენტის სიგრძეს. ვინაიდან სამკუთხედის ნებისმიერი გვერდის სიგრძე არ აღემატება დანარჩენი ორი გვერდის სიგრძის ჯამს, მაშინ უტოლობა მართალია. 
მაშასადამე, უთანასწორობაც მართალია.
ახლახან დადასტურებული უთანასწორობა ბევრად უფრო ხშირია ფორმაში 
. ჩაწერილი უტოლობა ჩვეულებრივ განიხილება, როგორც მოდულის ცალკეული თვისება ფორმულირებით: ” ორი რიცხვის ჯამის მოდული არ აღემატება ამ რიცხვების მოდულების ჯამს" მაგრამ უტოლობა უშუალოდ უტოლობიდან გამომდინარეობს, თუ b-ის ნაცვლად −b დავდებთ და ავიღებთ c=0.
რთული რიცხვის მოდული
მივცეთ რთული რიცხვის მოდულის განსაზღვრა. დაე, მოგვცეს რთული რიცხვი, დაწერილი ალგებრული ფორმით, სადაც x და y არის რამდენიმე რეალური რიცხვი, რომლებიც, შესაბამისად, წარმოადგენს მოცემული z რთული რიცხვის რეალურ და წარმოსახვით ნაწილებს და არის წარმოსახვითი ერთეული.
მოდულის განმარტებაშეიძლება მივცეთ შემდეგნაირად: რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა ა(მოდული) არის მანძილი მოცემული რიცხვის გამოსახული წერტილიდან აკოორდინატთა ხაზზე, საწყისამდე. განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ:
ამრიგად, მოდულის გასაფართოებლად აუცილებელია სუბმოდულური გამოხატვის ნიშნის დადგენა. თუ ეს დადებითია, მაშინ შეგიძლიათ უბრალოდ ამოიღოთ მოდულის ნიშანი. თუ სუბმოდულური გამოხატულება უარყოფითია, მაშინ ის უნდა გამრავლდეს „მინუსზე“ და ისევ მოდულის ნიშანი აღარ უნდა ჩაიწეროს.
მოდულის ძირითადი მახასიათებლები:
მოდულებით განტოლებების ამოხსნის რამდენიმე მეთოდი
არსებობს რამდენიმე ტიპის მოდულის განტოლება, რომელთათვისაც სასურველი ამონახსნები არსებობს. თუმცა, ეს მეთოდი არ არის ერთადერთი. მაგალითად, ფორმის განტოლებისთვის:
სასურველი გამოსავალი იქნება აგრეგატზე გადასვლა:
და ფორმის განტოლებისთვის:
თქვენ ასევე შეგიძლიათ გადახვიდეთ თითქმის მსგავს კომპლექტზე, მაგრამ რადგან მოდული იღებს მხოლოდ დადებით მნიშვნელობებს, განტოლების მარჯვენა მხარეც დადებითი უნდა იყოს. ეს პირობა უნდა დაემატოს როგორც ზოგადი შეზღუდვა მთელი მაგალითისთვის. შემდეგ ვიღებთ სისტემას:
ორივე ამ ტიპის განტოლება შეიძლება გადაწყდეს სხვა გზით: მოდულის შესაბამისად გახსნით იმ ინტერვალებით, სადაც სუბმოდულურ გამოსახულებას აქვს გარკვეული ნიშანი. ამ შემთხვევაში, ჩვენ მივიღებთ ორი სისტემის კომბინაციას. მოდით წარმოვადგინოთ ზემოთ მოცემული ორივე ტიპის განტოლებისთვის მიღებული ამონახსნების ზოგადი ფორმა:
განტოლებების ამოსახსნელად, რომლებიც შეიცავს ერთზე მეტ მოდულს, გამოიყენეთ ინტერვალის მეთოდი, რომელიც არის შემდეგი:
- პირველ რიგში, ჩვენ ვპოულობთ წერტილებს რიცხვთა ღერძზე, რომლებზეც ქრება მოდულის ქვეშ მყოფი თითოეული გამონათქვამი.
- შემდეგ, ჩვენ ვყოფთ მთელ რიცხვობრივ ღერძს ინტერვალებად მიღებულ წერტილებს შორის და ვამოწმებთ თითოეული სუბმოდულური გამონათქვამის ნიშანს თითოეულ ინტერვალზე. გაითვალისწინეთ, რომ გამოხატვის ნიშნის დასადგენად, თქვენ უნდა ჩაანაცვლოთ მასში ნებისმიერი მნიშვნელობა xინტერვალიდან, გარდა სასაზღვრო წერტილებისა. აირჩიეთ ეს ღირებულებები x, რომლებიც ადვილად შეიცვლება.
- შემდეგ, თითოეულ მიღებულ ინტერვალზე, ჩვენ ვხსნით ყველა მოდულს თავდაპირველ განტოლებაში მათი ნიშნების შესაბამისად ამ ინტერვალზე და ვხსნით მიღებულ ჩვეულებრივ განტოლებას. საბოლოო პასუხში ჩვენ ვწერთ ამ განტოლების მხოლოდ იმ ფესვებს, რომლებიც ხვდება შესასწავლ ინტერვალში. კიდევ ერთხელ: ჩვენ ვატარებთ ამ პროცედურას თითოეული მიღებული ინტერვალისთვის.
- უკან
- წინ
როგორ წარმატებით მოვემზადოთ CT-სთვის ფიზიკასა და მათემატიკაში?
ფიზიკასა და მათემატიკაში CT-სთვის წარმატებით მოსამზადებლად, სხვა საკითხებთან ერთად, აუცილებელია სამი ყველაზე მნიშვნელოვანი პირობის შესრულება:
- შეისწავლეთ ყველა თემა და შეასრულეთ ყველა ტესტი და დავალება მოცემული საგანმანათლებლო მასალებში ამ საიტზე. ამისათვის თქვენ საერთოდ არაფერი გჭირდებათ, კერძოდ: ყოველდღიურად სამი-ოთხი საათი დაუთმეთ ფიზიკასა და მათემატიკაში კომპიუტერული ტომოგრაფიისთვის მომზადებას, თეორიის შესწავლას და ამოცანების გადაჭრას. ფაქტია, რომ CT არის გამოცდა, სადაც საკმარისი არ არის მხოლოდ ფიზიკის ან მათემატიკის ცოდნა, თქვენ ასევე უნდა შეძლოთ სწრაფად და წარუმატებლად გადაჭრათ სხვადასხვა თემებზე და სხვადასხვა სირთულის პრობლემების დიდი რაოდენობა. ამ უკანასკნელის სწავლა მხოლოდ ათასობით პრობლემის გადაჭრით შეიძლება.
- ისწავლეთ ყველა ფორმულა და კანონი ფიზიკაში და ფორმულები და მეთოდები მათემატიკაში. სინამდვილეში, ამის გაკეთება ასევე ძალიან მარტივია, ფიზიკაში მხოლოდ 200-მდე ფორმულაა, მათემატიკაში კი ცოტათი ნაკლები. თითოეულ ამ საგანში არის დაახლოებით ათეული სტანდარტული მეთოდი სირთულის ძირითადი დონის პრობლემების გადასაჭრელად, რომელთა სწავლაც შესაძლებელია და, ამრიგად, სრულიად ავტომატურად და უპრობლემოდ გადაჭრით კომპიუტერული ტომოგრაფიის უმეტესი ნაწილი სწორ დროს. ამის შემდეგ მხოლოდ ყველაზე რთულ ამოცანებზე მოგიწევთ ფიქრი.
- დაესწარით ფიზიკასა და მათემატიკაში სარეპეტიციო ტესტირების სამივე ეტაპს. თითოეული RT შეიძლება ორჯერ მოინახულოს ორივე ვარიანტის გადასაწყვეტად. ისევ და ისევ, CT-ზე, პრობლემების სწრაფად და ეფექტურად გადაჭრის შესაძლებლობისა და ფორმულებისა და მეთოდების ცოდნის გარდა, თქვენ ასევე უნდა შეძლოთ დროის სწორად დაგეგმვა, ძალების განაწილება და რაც მთავარია, სწორად შეავსოთ პასუხის ფორმა, გარეშე პასუხებისა და პრობლემების რიცხვების აღრევა, ან საკუთარი გვარი. ასევე, RT-ის დროს მნიშვნელოვანია შევეჩვიოთ პრობლემებში კითხვების დასმის სტილს, რომელიც შეიძლება ძალიან უჩვეულო ჩანდეს DT-ში მოუმზადებელი ადამიანისთვის.
ამ სამი პუნქტის წარმატებული, გულმოდგინე და პასუხისმგებლობით განხორციელება საშუალებას მოგცემთ აჩვენოთ შესანიშნავი შედეგი CT–ზე, მაქსიმუმი, რაც შეგიძლიათ.
იპოვე შეცდომა?
თუ ფიქრობთ, რომ სასწავლო მასალებში იპოვეთ შეცდომა, გთხოვთ დაწეროთ ამის შესახებ ელექტრონული ფოსტით. თქვენ ასევე შეგიძლიათ შეატყობინოთ შეცდომის შესახებ სოციალურ ქსელში (). წერილში მიუთითეთ საგანი (ფიზიკა ან მათემატიკა), თემის ან ტესტის დასახელება ან ნომერი, ამოცანის ნომერი ან ტექსტში (გვერდზე) ადგილი, სადაც, თქვენი აზრით, არის შეცდომა. ასევე აღწერეთ რა არის საეჭვო შეცდომა. თქვენი წერილი შეუმჩნეველი არ დარჩება, შეცდომა ან გამოსწორდება, ან აგიხსნით, რატომ არ არის შეცდომა.
გაკვეთილის მიზნები
სკოლის მოსწავლეებს გავაცნოთ ისეთი მათემატიკური კონცეფცია, როგორიცაა რიცხვის მოდული;
ასწავლოს სკოლის მოსწავლეებს რიცხვების მოდულების პოვნის უნარები;
ნასწავლი მასალის განმტკიცება სხვადასხვა ამოცანების შესრულებით;
Დავალებები
ბავშვების ცოდნის გაძლიერება რიცხვების მოდულის შესახებ;
ტესტური ამოცანების ამოხსნით შეამოწმეთ როგორ აითვისეს მოსწავლეებმა შესწავლილი მასალა;
განაგრძეთ მათემატიკის გაკვეთილებისადმი ინტერესის გაღვივება;
სკოლის მოსწავლეებში ლოგიკური აზროვნების, ცნობისმოყვარეობისა და შეუპოვრობის გამომუშავება.
Გაკვეთილის გეგმა
1. რიცხვის მოდულის ზოგადი ცნებები და განმარტება.
2. მოდულის გეომეტრიული მნიშვნელობა.
3. რიცხვის მოდული და მისი თვისებები.
4. განტოლებისა და უტოლობების ამოხსნა, რომლებიც შეიცავს რიცხვის მოდულს.
5. ისტორიული ცნობები ტერმინის „რიცხვის მოდულის“ შესახებ.
6. დავალება გაშუქებული თემის ცოდნის გასამყარებლად.
7. საშინაო დავალება.
ზოგადი ცნებები რიცხვის მოდულის შესახებ
რიცხვის მოდულს ჩვეულებრივ უწოდებენ თავად რიცხვს, თუ მას არ აქვს უარყოფითი მნიშვნელობა, ან იგივე რიცხვი უარყოფითია, მაგრამ საპირისპირო ნიშნით.
ანუ, არაუარყოფითი რეალური რიცხვის a მოდული არის თავად რიცხვი:
და უარყოფითი რეალური რიცხვის x მოდული არის საპირისპირო რიცხვი:
ჩაწერისას ეს ასე გამოიყურება:
უფრო ხელმისაწვდომი გაგებისთვის, მოვიყვანოთ მაგალითი. მაგალითად, რიცხვი 3-ის მოდული არის 3 და ასევე -3 რიცხვის მოდული არის 3.
აქედან გამომდინარეობს, რომ რიცხვის მოდული ნიშნავს აბსოლუტურ მნიშვნელობას, ანუ მის აბსოლუტურ მნიშვნელობას, მაგრამ მისი ნიშნის გათვალისწინების გარეშე. კიდევ უფრო მარტივად რომ ვთქვათ, აუცილებელია ნომრიდან ნიშნის ამოღება.
რიცხვის მოდული შეიძლება დაინიშნოს და გამოიყურებოდეს ასე: |3|, |x|, |a| და ა.შ.
ასე, მაგალითად, რიცხვი 3-ის მოდული აღინიშნება |3|.
ასევე, უნდა გვახსოვდეს, რომ რიცხვის მოდული არასოდეს არის უარყოფითი: |a|≥ 0.
|5| = 5, |-6| = 6, |-12.45| = 12.45 და ა.შ.
მოდულის გეომეტრიული მნიშვნელობა
რიცხვის მოდული არის მანძილი, რომელიც იზომება ერთეულების სეგმენტებში საწყისიდან წერტილამდე. ეს განმარტება ავლენს მოდულს გეომეტრიული თვალსაზრისით.
ავიღოთ კოორდინატთა ხაზი და დავნიშნოთ მასზე ორი წერტილი. მოდით, ეს წერტილები შეესაბამებოდეს რიცხვებს, როგორიცაა -4 და 2.
ახლა ყურადღება მივაქციოთ ამ ფიგურას. ჩვენ ვხედავთ, რომ A წერტილი, რომელიც მითითებულია კოორდინატთა ხაზზე, შეესაბამება რიცხვს -4 და თუ ყურადღებით დააკვირდებით, ნახავთ, რომ ეს წერტილი მდებარეობს 4 ერთეული სეგმენტის დაშორებით საცნობარო წერტილიდან 0. აქედან გამომდინარეობს, რომ OA სეგმენტის სიგრძე ოთხ ერთეულს უდრის. ამ შემთხვევაში, OA სეგმენტის სიგრძე, ანუ რიცხვი 4, იქნება -4 რიცხვის მოდული.
ამ შემთხვევაში რიცხვის მოდული აღინიშნება და იწერება ასე: |−4| = 4.
ახლა ავიღოთ და დავნიშნოთ წერტილი B კოორდინატთა წრფეზე.
ეს წერტილი B შეესაბამება რიცხვს +2 და, როგორც ვხედავთ, იგი მდებარეობს საწყისიდან ორი ერთეული სეგმენტის მანძილზე. აქედან გამომდინარეობს, რომ OB სეგმენტის სიგრძე უდრის ორ ერთეულს. ამ შემთხვევაში, ნომერი 2 იქნება +2 რიცხვის მოდული.
ჩანაწერში ასე გამოიყურება: |+2| = 2 ან |2| = 2.
ახლა შევაჯამოთ. თუ ავიღებთ უცნობ რიცხვს a და ავნიშნავთ მას კოორდინატთა წრფეზე, როგორც A წერტილს, მაშინ ამ შემთხვევაში მანძილი A წერტილიდან საწყისამდე, ანუ OA სეგმენტის სიგრძე ზუსტად არის რიცხვის ”a” მოდული. “.
წერილობით ის ასე გამოიყურება: |a| = OA.
რიცხვის მოდული და მისი თვისებები
ახლა შევეცადოთ გამოვყოთ მოდულის თვისებები, განვიხილოთ ყველა შესაძლო შემთხვევა და დავწეროთ ისინი პირდაპირი გამონათქვამების გამოყენებით:
ჯერ ერთი, რიცხვის მოდული არის არაუარყოფითი რიცხვი, რაც ნიშნავს, რომ დადებითი რიცხვის მოდული უდრის თავად რიცხვს: |a| = a, თუ a > 0;
მეორეც, მოდულები, რომლებიც შედგება საპირისპირო რიცხვებისგან, ტოლია: |a| = |–a|. ანუ, ეს თვისება გვეუბნება, რომ საპირისპირო რიცხვებს ყოველთვის აქვთ თანაბარი მოდულები, ისევე როგორც კოორდინატთა ხაზში, თუმცა მათ აქვთ საპირისპირო რიცხვები, ისინი იმავე მანძილზე არიან საცნობარო წერტილიდან. აქედან გამომდინარეობს, რომ ამ საპირისპირო რიცხვების მოდულები ტოლია.
მესამე, ნულის მოდული ნულის ტოლია, თუ ეს რიცხვი არის ნული: |0| = 0, თუ a = 0. აქ შეგვიძლია დარწმუნებით ვთქვათ, რომ ნულის მოდული განსაზღვრებით ნულია, რადგან ის შეესაბამება კოორდინატთა ხაზის საწყისს.
მოდულის მეოთხე თვისება არის ის, რომ ორი რიცხვის ნამრავლის მოდული უდრის ამ რიცხვების მოდულის ნამრავლს. ახლა მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ რას ნიშნავს ეს. თუ ჩვენ მივყვებით განსაზღვრებას, მაშინ მე და თქვენ ვიცით, რომ a და b რიცხვების ნამრავლის მოდული იქნება a b, ან −(a b), თუ a b ≥ 0, ან – (a b), თუ a b მეტია. 0. B ჩაწერა ასე გამოიყურება: |a b| = |ა| |ბ|.
მეხუთე თვისება არის ის, რომ რიცხვთა კოეფიციენტის მოდული უდრის ამ რიცხვების მოდულების შეფარდებას: |a: b| = |ა| : |ბ|.
და რიცხვების მოდულის შემდეგი თვისებები:
განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნა, რომლებიც მოიცავს რიცხვის მოდულს
ამოცანების ამოხსნის დაწყებისას, რომლებსაც აქვთ რიცხვის მოდული, უნდა გახსოვდეთ, რომ ასეთი ამოცანის გადასაჭრელად აუცილებელია მოდულის ნიშნის გამოვლენა იმ თვისებების ცოდნის გამოყენებით, რომლებსაც ეს პრობლემა შეესაბამება.
სავარჯიშო 1
მაგალითად, თუ მოდულის ნიშნის ქვეშ არის გამოხატულება, რომელიც დამოკიდებულია ცვლადზე, მაშინ მოდული უნდა გაფართოვდეს განმარტების შესაბამისად:
რა თქმა უნდა, პრობლემების გადაჭრისას არის შემთხვევები, როდესაც მოდული ცალსახად ვლინდება. თუ, მაგალითად, ავიღოთ
, აქ ჩვენ ვხედავთ, რომ ასეთი გამოხატულება მოდულის ნიშნის ქვეშ არის არაუარყოფითი x და y ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.
ან, მაგალითად, ავიღოთ
ჩვენ ვხედავთ, რომ მოდულის ეს გამოხატულება არ არის დადებითი z-ის არცერთი მნიშვნელობისთვის.
დავალება 2
კოორდინატთა ხაზი ნაჩვენებია თქვენს წინაშე. ამ სტრიქონზე აუცილებელია მონიშნოთ რიცხვები, რომელთა მოდული იქნება 2-ის ტოლი.
გამოსავალი
უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ უნდა დავხატოთ კოორდინატთა ხაზი. თქვენ უკვე იცით, რომ ამისათვის ჯერ სწორ ხაზზე უნდა აირჩიოთ საწყისი, მიმართულება და ერთეული სეგმენტი. შემდეგი, ჩვენ უნდა მოვათავსოთ წერტილები საწყისიდან, რომლებიც უდრის ორი ერთეული სეგმენტის მანძილს.
როგორც ხედავთ, კოორდინატთა ხაზზე არის ორი ასეთი წერტილი, რომელთაგან ერთი შეესაბამება რიცხვს -2, ხოლო მეორე - 2-ს.
ისტორიული ინფორმაცია რიცხვების მოდულის შესახებ
ტერმინი "მოდული" მომდინარეობს ლათინური სახელიდან modulus, რაც ნიშნავს "ზომას". ეს ტერმინი გამოიგონა ინგლისელმა მათემატიკოსმა როჯერ კოტესმა. მაგრამ მოდულის ნიშანი შემოიღეს გერმანელი მათემატიკოსის კარლ ვაიერშტრასის წყალობით. როდესაც იწერება, მოდული აღინიშნება შემდეგი სიმბოლოს გამოყენებით: | |.
კითხვები მასალის ცოდნის გასამყარებლად
დღევანდელ გაკვეთილზე გავეცანით ისეთ კონცეფციას, როგორიცაა რიცხვის მოდული, ახლა კი მოდით შევამოწმოთ როგორ აითვისეთ ეს თემა დასმულ კითხვებზე პასუხის გაცემით:
1. რა ჰქვია იმ რიცხვს, რომელიც დადებითი რიცხვის საპირისპიროა?
2. რა ჰქვია რიცხვს, რომელიც უარყოფითი რიცხვის საპირისპიროა?
3. დაასახელეთ რიცხვი, რომელიც არის ნულის საპირისპირო. ასეთი რიცხვი არსებობს?
4. დაასახელეთ რიცხვი, რომელიც არ შეიძლება იყოს რიცხვის მოდული.
5. განსაზღვრეთ რიცხვის მოდული.
Საშინაო დავალება
1. თქვენს წინაშეა ნომრები, რომლებიც უნდა დაალაგოთ მოდულების კლებადობით. თუ დავალებას სწორად შეასრულებთ, გაიგებთ იმ ადამიანის სახელს, ვინც პირველად შემოიტანა ტერმინი „მოდული“ მათემატიკაში.
2. დახაზეთ კოორდინატთა ხაზი და იპოვეთ მანძილი M (-5) და K (8) საწყისამდე.
