რა განსხვავებაა კუბებს შორის? განსხვავების კუბი და კუბების განსხვავება: შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენების წესები

კვადრატების განსხვავება

მოდით გამოვიტანოთ $a^2-b^2$ კვადრატების სხვაობის ფორმულა.

ამისათვის გახსოვდეთ შემდეგი წესი:

თუ გამოსახულებას დავამატებთ რომელიმე მონომს და გამოვაკლებთ იმავე მონომს, მივიღებთ სწორ იდენტურობას.

მოდით დავუმატოთ ჩვენს გამოსახულებას და გამოვაკლოთ მონომი $ab$:

საერთო ჯამში ვიღებთ:

ანუ, სხვაობა ორი მონომის კვადრატებს შორის უდრის მათი სხვაობისა და ჯამის ნამრავლს.

მაგალითი 1

წარმოადგინეთ როგორც პროდუქტი $(4x)^2-y^2$

\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]

\[((2x))^2-y^2=\მარცხნივ(2x-y\მარჯვნივ)(2x+y)\]

კუბურების ჯამი

მოდით გამოვიტანოთ $a^3+b^3$ კუბების ჯამის ფორმულა.

ავიღოთ საერთო ფაქტორები ფრჩხილებიდან:

ავიღოთ $\left(a+b\right)$ ფრჩხილებიდან:

საერთო ჯამში ვიღებთ:

ანუ ორი მონომის კუბების ჯამი მათი ჯამის ნამრავლისა და მათი სხვაობის ნაწილობრივი კვადრატის ტოლია.

მაგალითი 2

წარმოადგინეთ როგორც პროდუქტი $(8x)^3+y^3$

ეს გამოთქმა შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]

კვადრატების განსხვავების ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ:

\[((2x))^3+y^3=\მარცხნივ(2x+y\მარჯვნივ)(4x^2-2xy+y^2)\]

კუბების განსხვავება

მოდით გამოვიტანოთ $a^3-b^3$ კუბების სხვაობის ფორმულა.

ამისათვის ჩვენ გამოვიყენებთ იმავე წესს, როგორც ზემოთ.

მოდით დავუმატოთ ჩვენს გამოსახულებას და გამოვაკლოთ მონომები $a^2b\ და\ (ab)^2$:

ავიღოთ საერთო ფაქტორები ფრჩხილებიდან:

ავიღოთ $\left(a-b\right)$ ფრჩხილებიდან:

საერთო ჯამში ვიღებთ:

ანუ ორი მონომის კუბების სხვაობა უდრის მათი სხვაობის ნამრავლს მათი ჯამის არასრული კვადრატით.

მაგალითი 3

წარმოადგინეთ როგორც პროდუქტი $(8x)^3-y^3$

ეს გამოთქმა შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]

კვადრატების განსხვავების ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ:

\[((2x))^3-y^3=\მარცხნივ(2x-y\მარჯვნივ)(4x^2+2xy+y^2)\]

ამოცანების მაგალითი კვადრატების განსხვავებისა და კუბების ჯამისა და სხვაობის ფორმულების გამოყენებით

მაგალითი 4

ფაქტორიზაცია.

ა) $((a+5))^2-9$

გ) $-x^3+\frac(1)(27)$

გამოსავალი:

ა) $((a+5))^2-9$

\[((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]

კვადრატების სხვაობის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ:

\[((a+5))^2-3^2=\მარცხნივ(a+5-3\მარჯვნივ)\მარცხნივ(a+5+3\მარჯვნივ)=\მარცხნივ(a+2\მარჯვნივ)(a +8)\]

მოდით დავწეროთ ეს გამოთქმა ფორმაში:

მოდით გამოვიყენოთ კუბურების ფორმულა:

გ) $-x^3+\frac(1)(27)$

მოდით დავწეროთ ეს გამოთქმა ფორმაში:

\[-x^3+\frac(1)(27)=(\მარცხენა(\frac(1)(3)\მარჯვნივ))^3-x^3\]

მოდით გამოვიყენოთ კუბურების ფორმულა:

\[(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\მარჯვნივ)\]

წინა გაკვეთილებზე განვიხილეთ პოლინომის ფაქტორების ორი გზა: ფრჩხილებიდან საერთო ფაქტორის ამოღება და დაჯგუფების მეთოდი.

ამ გაკვეთილზე ჩვენ განვიხილავთ მრავალწევრის ფაქტორების სხვა ხერხს შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენებით.

ჩვენ გირჩევთ, რომ დაწეროთ თითოეული ფორმულა მინიმუმ 12-ჯერ. უკეთესი დასამახსოვრებლად, ჩაწერეთ გამრავლების ყველა შემოკლებული ფორმულა პატარა მოტყუების ფურცელზე.

გავიხსენოთ, როგორ გამოიყურება კუბების ფორმულის განსხვავება.

კუბების ფორმულის განსხვავება არც ისე ადვილი დასამახსოვრებელია, ამიტომ მის დასამახსოვრებლად გირჩევთ გამოიყენოთ სპეციალური მეთოდი.

მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ ნებისმიერი შემოკლებული გამრავლების ფორმულა ასევე მუშაობს საპირისპირო მხარეს.

მოდით შევხედოთ მაგალითს. აუცილებელია კუბურების სხვაობის ფაქტორი.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ "27a 3" არის "(3a) 3", რაც ნიშნავს, რომ კუბების ფორმულის სხვაობისთვის "a"-ს ნაცვლად ვიყენებთ "3a".

ჩვენ ვიყენებთ კუბების განსხვავების ფორმულას. "a 3"-ის ადგილზე გვაქვს "27a 3", ხოლო "b 3"-ის ადგილზე, როგორც ფორმულაში არის "b 3".

კუბების განსხვავების გამოყენება საპირისპირო მიმართულებით

მოდით შევხედოთ სხვა მაგალითს. თქვენ უნდა გადაიყვანოთ მრავალწევრების ნამრავლი კუბების სხვაობად გამრავლების შემოკლებული ფორმულის გამოყენებით.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ მრავალწევრების ნამრავლი "(x − 1)(x 2 + x + 1)" წააგავს კუბურების ფორმულის სხვაობის მარჯვენა მხარეს, მხოლოდ "a"-ს ნაცვლად არის "x" და ადგილზე "ბ"-დან არის "1".

„(x − 1)(x 2 + x + 1)“-სთვის ვიყენებთ კუბურების ფორმულას საპირისპირო მიმართულებით.

მოდით შევხედოთ უფრო რთულ მაგალითს. საჭიროა მრავალწევრების ნამრავლის გამარტივება.

თუ შევადარებთ „(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)“ კუბების სხვაობის ფორმულას მარჯვენა მხარეს
« a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)", მაშინ გესმით, რომ პირველი ფრჩხილიდან "a"-ს ადგილზე არის "y 2", ხოლო "b"-ის ადგილზე არის "1".

შემოკლებული გამრავლების ფორმულები.

შემოკლებული გამრავლების ფორმულების შესწავლა: ჯამის კვადრატი და ორი გამონათქვამის სხვაობის კვადრატი; ორი გამონათქვამის კვადრატების განსხვავება; ჯამის კუბი და ორი გამონათქვამის სხვაობის კუბი; ორი გამონათქვამის კუბების ჯამები და განსხვავებები.

შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენება მაგალითების ამოხსნისას.

გამონათქვამების გასამარტივებლად, ფაქტორების მრავალწევრებისთვის და მრავალწევრების სტანდარტულ ფორმამდე დასაყვანად გამოიყენება გამრავლების შემოკლებული ფორმულები. გამრავლების შემოკლებული ფორმულები ზეპირად უნდა იცოდეთ.

მოდით a, b R. შემდეგ:

1. ორი გამონათქვამის ჯამის კვადრატი უდრისპირველი გამოხატვის კვადრატს პლუს ორჯერ პირველი გამონათქვამის ნამრავლი და მეორეს პლუს მეორე გამოსახულების კვადრატი.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. ორი გამონათქვამის სხვაობის კვადრატი უდრისპირველი გამოხატვის კვადრატს გამოკლებული ორჯერ პირველი გამოსახულების ნამრავლი და მეორე პლუს მეორე გამოსახულების კვადრატი.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. კვადრატების განსხვავებაორი გამოსახვა ტოლია ამ გამონათქვამების სხვაობის ნამრავლისა და მათი ჯამის.

a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

4. ჯამის კუბიორი გამონათქვამი უდრის პირველი გამოსახულების კუბის პლუს სამმაგად პირველი გამოსახულების კვადრატის ნამრავლს და მეორეს პლუს სამმაგს პირველი გამოსახულების ნამრავლს და მეორის კვადრატს პლუს მეორე გამოსახულების კუბს.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. განსხვავების კუბიორი გამონათქვამი უდრის პირველი გამოსახულების კუბის მინუს სამმაგი პირველი გამოსახულების კვადრატის ნამრავლს და მეორეს პლუს სამმაგი პირველი გამოსახულების ნამრავლს და მეორის კვადრატს გამოკლებული მეორე გამოსახულების კუბი.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. კუბურების ჯამიორი გამონათქვამი უდრის პირველი და მეორე გამონათქვამების ჯამის ნამრავლს და ამ გამონათქვამთა სხვაობის არასრული კვადრატის ნამრავლს.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. კუბების განსხვავებაორი გამონათქვამი უდრის პირველი და მეორე გამონათქვამების სხვაობის ნამრავლს ამ გამონათქვამების ჯამის არასრული კვადრატით.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენება მაგალითების ამოხსნისას.

მაგალითი 1.

გამოთვალეთ

ა) ორი გამონათქვამის ჯამის კვადრატის ფორმულის გამოყენებით გვაქვს

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

ბ) ორი გამონათქვამის სხვაობის კვადრატის ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

მაგალითი 2.

გამოთვალეთ

ორი გამონათქვამის კვადრატების სხვაობის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ

მაგალითი 3.

გამოხატვის გამარტივება

(x - y) 2 + (x + y) 2

მოდით გამოვიყენოთ ფორმულები ჯამის კვადრატისა და ორი გამონათქვამის სხვაობის კვადრატისთვის

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

შემოკლებული გამრავლების ფორმულები ერთ ცხრილში:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

გამრავლების შემოკლებული ფორმულები ან წესები გამოიყენება არითმეტიკაში, ან უფრო კონკრეტულად ალგებრაში, დიდი ალგებრული გამონათქვამების შეფასების პროცესის დასაჩქარებლად. თავად ფორმულები მომდინარეობს ალგებრაში არსებული წესებიდან რამდენიმე მრავალწევრის გასამრავლებლად.

ამ ფორმულების გამოყენება იძლევა საკმაოდ სწრაფ გადაწყვეტას სხვადასხვა მათემატიკური ამოცანებისთვის და ასევე ეხმარება გამონათქვამების გამარტივებას. ალგებრული გარდაქმნების წესები საშუალებას გაძლევთ შეასრულოთ რამდენიმე მანიპულაცია გამონათქვამებით, რის შემდეგაც შეგიძლიათ მიიღოთ ტოლობის მარცხენა მხარეს გამოხატულება მარჯვენა მხარეს, ან გარდაქმნათ თანასწორობის მარჯვენა მხარე (მარცხენა მხარეს გამოსახულების მისაღებად ტოლობის ნიშნის შემდეგ).

მოსახერხებელია მეხსიერებიდან შემოკლებული გამრავლებისთვის გამოყენებული ფორმულების ცოდნა, რადგან ისინი ხშირად გამოიყენება ამოცანებისა და განტოლებების გადასაჭრელად. ქვემოთ მოცემულია ამ სიაში შეტანილი ძირითადი ფორმულები და მათი სახელები.

ჯამის კვადრატი

ჯამის კვადრატის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა იპოვოთ ჯამი, რომელიც შედგება პირველი წევრის კვადრატისგან, პირველი წევრის ორჯერ ნამრავლისა და მეორისა და მეორის კვადრატისგან. გამოთქმის სახით ეს წესი იწერება შემდეგნაირად: (a + c)² = a² + 2ac + c².

კვადრატული განსხვავება

სხვაობის კვადრატის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გამოთვალოთ ჯამი, რომელიც შედგება პირველი რიცხვის კვადრატისგან, პირველი რიცხვის ორჯერ ნამრავლისა და მეორის (საპირისპირო ნიშნით აღებული) და მეორე რიცხვის კვადრატისგან. გამოთქმის სახით ეს წესი ასე გამოიყურება: (a - c)² = a² - 2ac + c².

კვადრატების განსხვავება

ორი რიცხვის კვადრატში განსხვავების ფორმულა ტოლია ამ რიცხვების ჯამის ნამრავლისა და მათი განსხვავებისა. გამოთქმის სახით ეს წესი ასე გამოიყურება: a² - с² = (a + с)·(a - с).

ჯამის კუბი

ორი წევრის ჯამის კუბის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გამოვთვალოთ ჯამი, რომელიც შედგება პირველი წევრის კუბისგან, გაასამმაგებს პირველი წევრის კვადრატის ნამრავლს და მეორეს, გაასამმაგებს პირველი წევრისა და მეორეს ნამრავლს. კვადრატში და მეორე წევრის კუბი. გამოხატვის სახით ეს წესი ასე გამოიყურება: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

კუბურების ჯამი

ფორმულის მიხედვით, ის უდრის ამ წევრთა ჯამის ნამრავლს და სხვაობის არასრულ კვადრატს. გამოთქმის სახით ეს წესი ასე გამოიყურება: a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²).

მაგალითი.აუცილებელია ორი კუბის დამატებით ჩამოყალიბებული ფიგურის მოცულობის გამოთვლა. ცნობილია მხოლოდ მათი გვერდების ზომები.

თუ გვერდითი მნიშვნელობები მცირეა, მაშინ გამოთვლები მარტივია.

თუ გვერდების სიგრძე გამოიხატება რთული რიცხვებით, მაშინ ამ შემთხვევაში უფრო ადვილია გამოიყენოთ ფორმულა "კუბების ჯამი", რაც მნიშვნელოვნად გაამარტივებს გამოთვლებს.

განსხვავების კუბი

კუბური სხვაობის გამოთქმა ასე ჟღერს: როგორც პირველი წევრის მესამე ხარისხების ჯამი, გაასმამეთ პირველი წევრის კვადრატის უარყოფითი ნამრავლი მეორეზე, გაამამაგეთ პირველი წევრის ნამრავლი მეორე წევრის კვადრატზე. და მეორე წევრის უარყოფითი კუბი. მათემატიკური გამოხატვის სახით, განსხვავების კუბი ასე გამოიყურება: (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

კუბების განსხვავება

კუბების ფორმულის სხვაობა კუბების ჯამისგან განსხვავდება მხოლოდ ერთი ნიშნით. ამრიგად, კუბების სხვაობა არის ფორმულა, რომელიც ტოლია ამ რიცხვების სხვაობის ნამრავლისა და ჯამის მათი არასრული კვადრატის. ფორმით, კუბების სხვაობა ასე გამოიყურება: a 3 - c 3 = (a - c) (a 2 + ac + c 2).

მაგალითი.აუცილებელია გამოვთვალოთ ფიგურის მოცულობა, რომელიც დარჩება ყვითელი მოცულობითი ფიგურის გამოკლების შემდეგ, რომელიც ასევე კუბია, ლურჯი კუბის მოცულობას. ცნობილია მხოლოდ პატარა და დიდი კუბის გვერდითი ზომა.

თუ გვერდითი მნიშვნელობები მცირეა, მაშინ გამოთვლები საკმაოდ მარტივია. და თუ გვერდების სიგრძე გამოიხატება მნიშვნელოვანი რიცხვებით, მაშინ ღირს ფორმულის გამოყენება სახელწოდებით "კუბების განსხვავება" (ან "განსხვავების კუბი"), რაც მნიშვნელოვნად გაამარტივებს გამოთვლებს.