რა არის რიცხვის წარმოებული x ხარისხზე? უმაღლესი რიგის წარმოებულები

ცხრილის პირველივე ფორმულის გამოყვანისას, ჩვენ განვიხილავთ წარმოებული ფუნქციის განსაზღვრას წერტილში. ავიღოთ სად x- ნებისმიერი რეალური რიცხვი, ანუ x– ნებისმიერი რიცხვი ფუნქციის განსაზღვრის დომენიდან. მოდით ჩამოვწეროთ ფუნქციის გაზრდის შეფარდების ზღვარი არგუმენტის ზრდასთან:

უნდა აღინიშნოს, რომ ზღვრული ნიშნის ქვეშ მიიღება გამონათქვამი, რომელიც არ არის ნულის გაყოფის განუსაზღვრელობა ნულზე, ვინაიდან მრიცხველი არ შეიცავს უსასრულოდ მცირე მნიშვნელობას, არამედ ზუსტად ნულს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მუდმივი ფუნქციის ზრდა ყოველთვის ნულია.

ამრიგად, მუდმივი ფუნქციის წარმოებულინულის ტოლია განმარტების მთელ დომენში.

სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებული.

წარმოებული ფორმულა დენის ფუნქციაროგორც ჩანს , სადაც მაჩვენებელი გვ- ნებისმიერი რეალური რიცხვი.

ჯერ დავამტკიცოთ ბუნებრივი მაჩვენებლის ფორმულა, ანუ for p = 1, 2, 3,…

ჩვენ გამოვიყენებთ წარმოებულის განმარტებას. მოდით დავწეროთ სიმძლავრის ფუნქციის გაზრდის შეფარდების ზღვარი არგუმენტის ზრდასთან:

მრიცხველში გამოხატვის გასამარტივებლად, ჩვენ მივმართავთ ნიუტონის ბინომიალურ ფორმულას:

აქედან გამომდინარე,

ეს ამტკიცებს ბუნებრივი მაჩვენებლის სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებულის ფორმულას.

ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული.

წარმოგიდგენთ წარმოებული ფორმულის წარმოებულს განმარტებაზე დაყრდნობით:

გაურკვევლობაში მივედით. მის გასაფართოვებლად, ჩვენ შემოგთავაზებთ ახალ ცვლადს და ზე. მაშინ . ბოლო გადასვლისას ჩვენ გამოვიყენეთ ახალ ლოგარითმულ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა.

მოდით ჩავანაცვლოთ ორიგინალური ლიმიტი:

თუ გავიხსენებთ მეორე შესანიშნავ ზღვარს, მივალთ ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებულის ფორმულამდე:

ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებული.

მოდით დავამტკიცოთ ყველასთვის ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებულის ფორმულა xგანმარტების დომენიდან და ბაზის ყველა მოქმედი მნიშვნელობიდან ალოგარითმი წარმოებულის განმარტებით გვაქვს:

როგორც შენიშნეთ, მტკიცების დროს გარდაქმნები განხორციელდა ლოგარითმის თვისებების გამოყენებით. Თანასწორობა მართალია მეორე მნიშვნელოვანი ლიმიტის გამო.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულები.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულების ფორმულების გამოსაყვანად მოგვიწევს გავიხსენოთ რამდენიმე ტრიგონომეტრიული ფორმულა, ისევე როგორც პირველი ღირსშესანიშნავი ზღვარი.

სინუსური ფუნქციის წარმოებულის განმარტებით გვაქვს .

მოდით გამოვიყენოთ სინუსების სხვაობის ფორმულა:

რჩება პირველ საყურადღებო ზღვარზე გადასვლა:

ამრიგად, ფუნქციის წარმოებული ცოდვა xᲘქ არის cos x.

კოსინუსის წარმოებულის ფორმულა ზუსტად იგივე გზით არის დადასტურებული.

მაშასადამე, ფუნქციის წარმოებული cos xᲘქ არის -ცოდვა x.

ჩვენ გამოვიყვანთ წარმოებულთა ცხრილის ფორმულებს ტანგენტისა და კოტანგენსისთვის დიფერენცირების დადასტურებული წესების გამოყენებით (წილადის წარმოებული).

ჰიპერბოლური ფუნქციების წარმოებულები.

დიფერენციაციის წესები და ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებულის ფორმულა წარმოებულების ცხრილიდან საშუალებას გვაძლევს გამოვიტანოთ ფორმულები ჰიპერბოლური სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის წარმოებულებისთვის.

შებრუნებული ფუნქციის წარმოებული.

პრეზენტაციის დროს დაბნეულობის თავიდან ასაცილებლად, აბსკრიპტში ავღნიშნოთ ფუნქციის არგუმენტი, რომლითაც ხდება დიფერენციაცია, ანუ ის არის ფუნქციის წარმოებული. f(x)ავტორი x.

ახლა ჩამოვაყალიბოთ შებრუნებული ფუნქციის წარმოებულის პოვნის წესი.

დაუშვით ფუნქციები y = f(x)და x = g(y)ურთიერთშებრუნებული, განსაზღვრული ინტერვალებით და შესაბამისად. თუ ერთ წერტილში არის ფუნქციის სასრული არანულოვანი წარმოებული f(x), მაშინ წერტილში არის შებრუნებული ფუნქციის სასრულ წარმოებული g(y), და . სხვა პოსტში .

ეს წესი შეიძლება გადაფორმდეს ნებისმიერისთვის xინტერვალიდან, მაშინ ვიღებთ .

მოდით შევამოწმოთ ამ ფორმულების მართებულობა.

ვიპოვოთ შებრუნებული ფუნქცია ბუნებრივი ლოგარითმისთვის (Აქ წარის ფუნქცია და x- არგუმენტი). ამ განტოლების ამოხსნის შემდეგ x, მივიღებთ (აქ xარის ფუნქცია და წ- მისი არგუმენტი). ანუ და ურთიერთშებრუნებული ფუნქციები.

წარმოებულების ცხრილიდან ვხედავთ, რომ და .

მოდით დავრწმუნდეთ, რომ შებრუნებული ფუნქციის წარმოებულების პოვნის ფორმულები მიგვიყვანს იმავე შედეგებამდე:

ექსპონენციის (e x სიმძლავრის) და ექსპონენციალური ფუნქციის (a x სიმძლავრის) წარმოებულის ფორმულების დადასტურება და წარმოშობა. e^2x, e^3x და e^nx წარმოებულების გამოთვლის მაგალითები. უმაღლესი რიგის წარმოებულების ფორმულები.

მაჩვენებლის წარმოებული ტოლია თავად მაჩვენებლის (e-ს წარმოებული x სიმძლავრის ტოლია e x სიმძლავრის):
(1) (e x)′ = e x.

a ფუძის მქონე ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული ტოლია თავად ფუნქციის გამრავლებული a-ს ბუნებრივ ლოგარითმზე:
(2) .

ექსპონენციალური წარმოებულის ფორმულის წარმოშობა x ხარისხამდე

ექსპონენცია არის ექსპონენციალური ფუნქცია, რომლის ფუძე უდრის e რიცხვს, რომელიც არის შემდეგი ზღვარი:
.
აქ ეს შეიძლება იყოს როგორც ბუნებრივი, ასევე ნამდვილი რიცხვი. შემდეგი, ჩვენ გამოვიყვანთ ფორმულას (1) ექსპონენციალური წარმოებულისთვის.

ექსპონენციალური წარმოებული ფორმულის წარმოშობა

განვიხილოთ ექსპონენცია, e x ხარისხზე:
y = e x.
ეს ფუნქცია განსაზღვრულია ყველასთვის. ვიპოვოთ მისი წარმოებული x ცვლადის მიმართ. განმარტებით, წარმოებული არის შემდეგი ლიმიტი:
(3) .

მოდით გარდავქმნათ ეს გამონათქვამი, რათა შევამციროთ იგი ცნობილზე მათემატიკური თვისებებიდა წესები. ამისათვის ჩვენ გვჭირდება შემდეგი ფაქტები:
ა)მაჩვენებლის თვისება:
(4) ;
ბ)ლოგარითმის თვისება:
(5) ;
IN)ლოგარითმის უწყვეტობა და ლიმიტების თვისება უწყვეტი ფუნქციისთვის:
(6) .
აქ არის ფუნქცია, რომელსაც აქვს ლიმიტი და ეს ლიმიტი დადებითია.
გ)მეორე ღირსშესანიშნავი ლიმიტის მნიშვნელობა:
(7) .

მოდით გამოვიყენოთ ეს ფაქტები ჩვენს ლიმიტამდე (3). ჩვენ ვიყენებთ ქონებას (4):
;
.

მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება. შემდეგ;
.
.
ექსპონენციალური უწყვეტობის გამო,
.

ამიტომ, როდესაც, . შედეგად ვიღებთ:
.

მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება. მაშინ .
ზე, .
.

და ჩვენ გვაქვს:
.
გამოვიყენოთ ლოგარითმის თვისება (5): . მერეგამოვიყენოთ ქონება (6). ვინაიდან არსებობს დადებითი ზღვარი და ლოგარითმი უწყვეტია, მაშინ:
.

აქ მეორეც გამოვიყენეთ

ღირსშესანიშნავი ზღვარი

(7). მერე
(8)
ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ ფორმულა (1) ექსპონენციალური წარმოებულისთვის.

ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებულის ფორმულის წარმოშობა ახლა ჩვენ გამოვიყვანთ ფორმულას (2) ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებულისთვის a ხარისხის ფუძით. ჩვენ გვჯერა, რომ და. შემდეგ ექსპონენციალური ფუნქციაყველასთვის განსაზღვრული.
;
.
გადავცვალოთ ფორმულა (8). ამისთვის გამოვიყენებთ
.

ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებები

და ლოგარითმი.
(14) .
(1) .

ასე რომ, ჩვენ გადავიყვანეთ ფორმულა (8) შემდეგ ფორმაში:
;
.

e-ის უმაღლესი რიგის წარმოებულები x სიმძლავრემდე
.

ახლა ვიპოვოთ უმაღლესი რიგის წარმოებულები. ჯერ ვნახოთ მაჩვენებლები:

ჩვენ ვხედავთ, რომ ფუნქციის (14) წარმოებული უდრის თავად ფუნქციას (14). დიფერენცირებით (1), ვიღებთ მეორე და მესამე რიგის წარმოებულებს: ეს აჩვენებს, რომ n-ე რიგის წარმოებული ასევე უდრის თავდაპირველ ფუნქციას:ექსპონენციალური ფუნქციის უმაღლესი რიგის წარმოებულები
.
ახლა განვიხილოთ
(15) .

ექსპონენციალური ფუნქცია
;
.

დენის ბაზით a:
.

ჩვენ ვიპოვეთ მისი პირველი რიგის წარმოებული: დიფერენცირებით (15), ვიღებთ მეორე და მესამე რიგის წარმოებულებს:ჩვენ ვხედავთ, რომ ყოველი დიფერენციაცია იწვევს ორიგინალური ფუნქციის გამრავლებას. ამრიგად, n-ე რიგის წარმოებულს აქვს შემდეგი ფორმა: თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.:

წ არგუმენტის ზრდა Δ(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) = თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 2 + (2თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. x როგორც ჩანს, ყველაფერი ნათელია. მაგრამ შეეცადეთ გამოიყენოთ ეს ფორმულა, რომ გამოთვალოთ, ვთქვათ, ფუნქციის წარმოებული თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.ვ თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.+ 3) ·

ე ცოდვა. თუ ყველაფერს აკეთებთ განსაზღვრებით, მაშინ რამდენიმე გვერდიანი გამოთვლების შემდეგ უბრალოდ დაიძინებთ. ამიტომ, არსებობს უფრო მარტივი და ეფექტური გზები.

ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულები

ელემენტარული ფუნქციები არის ყველა ქვემოთ ჩამოთვლილი. ამ ფუნქციების წარმოებულები ზეპირად უნდა იყოს ცნობილი. უფრო მეტიც, მათი დამახსოვრება სულაც არ არის რთული - ამიტომ ისინი ელემენტარულია.

ასე რომ, ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულები:

თუ ელემენტარული ფუნქცია მრავლდება თვითნებურ მუდმივზე, მაშინ ახალი ფუნქციის წარმოებული ასევე ადვილად გამოითვლება:

(C · არგუმენტის ზრდა Δ)’ = C · არგუმენტის ზრდა Δ ’.

ზოგადად, მუდმივები შეიძლება ამოღებულ იქნეს წარმოებულის ნიშნიდან. Მაგალითად:

(2თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 3)' = 2 · ( თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 3)' = 2 3 თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 2 = 6თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 2 .

ცხადია, ელემენტარული ფუნქციები შეიძლება დაემატოს ერთმანეთს, გამრავლდეს, გაიყოს - და ბევრი სხვა. ასე გამოჩნდება ახალი ფუნქციები, აღარ არის განსაკუთრებით ელემენტარული, მაგრამ ასევე დიფერენცირებადი გარკვეული წესები. ეს წესები განიხილება ქვემოთ.

ჯამისა და სხვაობის წარმოებული

მიეცით ფუნქციები არგუმენტის ზრდა Δ(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) და გ(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.), რომლის წარმოებულები ჩვენთვის ცნობილია. მაგალითად, შეგიძლიათ აიღოთ ზემოთ განხილული ელემენტარული ფუნქციები. შემდეგ შეგიძლიათ იპოვოთ ამ ფუნქციების ჯამისა და სხვაობის წარმოებული:

1. (არგუმენტის ზრდა Δ + გ)’ = არგუმენტის ზრდა Δ ’ + გ ’
2. (არგუმენტის ზრდა Δ − გ)’ = არგუმენტის ზრდა Δ ’ − გ ’

ასე რომ, ორი ფუნქციის ჯამის (განსხვავების) წარმოებული უდრის წარმოებულების ჯამს (განსხვავებას). შეიძლება მეტი ვადები იყოს. Მაგალითად, ( არგუმენტის ზრდა Δ + გ + თ)’ = არგუმენტის ზრდა Δ ’ + გ ’ + თ ’.

მკაცრად რომ ვთქვათ, ალგებრაში არ არსებობს "გამოკლების" ცნება. არსებობს "ნეგატიური ელემენტის" კონცეფცია. ამიტომ განსხვავება არგუმენტის ზრდა Δ − გშეიძლება გადაიწეროს ჯამის სახით არგუმენტის ზრდა Δ+ (−1) გ, და შემდეგ რჩება მხოლოდ ერთი ფორმულა - ჯამის წარმოებული.

არგუმენტის ზრდა Δ(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) = თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 2 + ცოდვა x; გ(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) = თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 4 + 2თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 2 − 3.

ფუნქცია არგუმენტის ზრდა Δ(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) არის ორი ელემენტარული ფუნქციის ჯამი, შესაბამისად:

არგუმენტის ზრდა Δ ’(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) = (თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 2 + ცოდვა თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.)’ = (თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 2)“ + (ცოდვა თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.)’ = 2თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.+ cos x;

ჩვენ ანალოგიურად ვმსჯელობთ ფუნქციისთვის გ(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.). მხოლოდ სამი ტერმინია (ალგებრას თვალსაზრისით):

გ ’(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) = (თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 4 + 2თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 2 − 3)’ = (თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 4 + 2თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 2 + (−3))’ = (თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 4)’ + (2თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 2)’ + (−3)’ = 4თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 3 + 4თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. + 0 = 4თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. · ( თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 2 + 1).

პასუხი:
არგუმენტის ზრდა Δ ’(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) = 2თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.+ cos x;
გ ’(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) = 4თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. · ( თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 2 + 1).

პროდუქტის წარმოებული

მათემატიკა ლოგიკური მეცნიერებაა, ამიტომ ბევრს სჯერა, რომ თუ ჯამის წარმოებული ტოლია წარმოებულების ჯამს, მაშინ პროდუქტის წარმოებული გაფიცვა">უდრის წარმოებულების ნამრავლს. ოღონდ ატეხე! პროდუქტის წარმოებული გამოითვლება სრულიად განსხვავებული ფორმულით. კერძოდ:

(არგუმენტის ზრდა Δ · გ) ’ = არგუმენტის ზრდა Δ ’ · გ + არგუმენტის ზრდა Δ · გ ’

ფორმულა მარტივია, მაგრამ ხშირად დავიწყებულია. და არა მხოლოდ სკოლის მოსწავლეები, არამედ სტუდენტებიც. შედეგი არის არასწორად მოგვარებული პრობლემები.

დავალება. იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები: არგუმენტის ზრდა Δ(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) = თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 3 cos x; გ(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) = (თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 2 + 7თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.− 7) · როგორც ჩანს, ყველაფერი ნათელია. მაგრამ შეეცადეთ გამოიყენოთ ეს ფორმულა, რომ გამოთვალოთ, ვთქვათ, ფუნქციის წარმოებული თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. .

ფუნქცია არგუმენტის ზრდა Δ(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) არის ორი ელემენტარული ფუნქციის პროდუქტი, ამიტომ ყველაფერი მარტივია:

არგუმენტის ზრდა Δ ’(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) = (თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 3 cos თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.)’ = (თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 3)' cos თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. + თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 3 (კოს თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.)’ = 3თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 2 cos თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. + თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 3 (-ცოდვა თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) = თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 2 (3 cos თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. − თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.ცოდვა თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.)

ფუნქცია გ(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) პირველი ფაქტორი ცოტა უფრო რთულია, მაგრამ ზოგადი სქემაეს არ იცვლება. ცხადია, ფუნქციის პირველი ფაქტორი გ(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) მრავალწევრია და მისი წარმოებული არის ჯამის წარმოებული. Ჩვენ გვაქვს:

გ ’(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) = ((თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 2 + 7თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.− 7) · როგორც ჩანს, ყველაფერი ნათელია. მაგრამ შეეცადეთ გამოიყენოთ ეს ფორმულა, რომ გამოთვალოთ, ვთქვათ, ფუნქციის წარმოებული თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.)’ = (თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 2 + 7თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.− 7)' · როგორც ჩანს, ყველაფერი ნათელია. მაგრამ შეეცადეთ გამოიყენოთ ეს ფორმულა, რომ გამოთვალოთ, ვთქვათ, ფუნქციის წარმოებული თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. + (თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 2 + 7თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.− 7) · ( როგორც ჩანს, ყველაფერი ნათელია. მაგრამ შეეცადეთ გამოიყენოთ ეს ფორმულა, რომ გამოთვალოთ, ვთქვათ, ფუნქციის წარმოებული თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.)’ = (2თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.+ 7) · როგორც ჩანს, ყველაფერი ნათელია. მაგრამ შეეცადეთ გამოიყენოთ ეს ფორმულა, რომ გამოთვალოთ, ვთქვათ, ფუნქციის წარმოებული თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. + (თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 2 + 7თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.− 7) · როგორც ჩანს, ყველაფერი ნათელია. მაგრამ შეეცადეთ გამოიყენოთ ეს ფორმულა, რომ გამოთვალოთ, ვთქვათ, ფუნქციის წარმოებული თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. = როგორც ჩანს, ყველაფერი ნათელია. მაგრამ შეეცადეთ გამოიყენოთ ეს ფორმულა, რომ გამოთვალოთ, ვთქვათ, ფუნქციის წარმოებული თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.· (2 თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. + 7 + თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 2 + 7თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. −7) = (თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 2 + 9თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) · როგორც ჩანს, ყველაფერი ნათელია. მაგრამ შეეცადეთ გამოიყენოთ ეს ფორმულა, რომ გამოთვალოთ, ვთქვათ, ფუნქციის წარმოებული თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. = თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.+ 9) · როგორც ჩანს, ყველაფერი ნათელია. მაგრამ შეეცადეთ გამოიყენოთ ეს ფორმულა, რომ გამოთვალოთ, ვთქვათ, ფუნქციის წარმოებული თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. .

პასუხი:
არგუმენტის ზრდა Δ ’(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) = თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 2 (3 cos თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. − თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.ცოდვა თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.);
გ ’(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) = თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.+ 9) · როგორც ჩანს, ყველაფერი ნათელია. მაგრამ შეეცადეთ გამოიყენოთ ეს ფორმულა, რომ გამოთვალოთ, ვთქვათ, ფუნქციის წარმოებული თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. .

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ბოლო საფეხურზე ხდება წარმოებულის ფაქტორიზირება. ფორმალურად, ამის გაკეთება არ არის საჭირო, მაგრამ წარმოებულების უმეტესობა არ არის გამოთვლილი დამოუკიდებლად, არამედ ფუნქციის შესამოწმებლად. ეს ნიშნავს, რომ შემდგომში წარმოებული იქნება ნულის ტოლფასი, დადგინდება მისი ნიშნები და ა.შ. ასეთი შემთხვევისთვის უმჯობესია გამონათქვამის ფაქტორიზებული იყოს.

თუ არსებობს ორი ფუნქცია არგუმენტის ზრდა Δ(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) და გ(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.), და გ(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) ≠ 0 ნაკრებზე, რომელიც გვაინტერესებს, შეგვიძლია განვსაზღვროთ ახალი თვისება თ(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) = არგუმენტის ზრდა Δ(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.)/გ(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.). ასეთი ფუნქციისთვის ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ წარმოებული:

სუსტი არაა, არა? საიდან გაჩნდა მინუსი? რატომ გ 2? და ასე! ეს არის ერთ-ერთი ყველაზე რთული ფორმულები- ბოთლის გარეშე ვერ გაიგებ. ამიტომ ჯობია მისი შესწავლა კონკრეტული მაგალითები.

დავალება. იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები:

ყოველი წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს ელემენტარულ ფუნქციებს, ასე რომ, ყველაფერი რაც ჩვენ გვჭირდება არის კოეფიციენტის წარმოებულის ფორმულა:

ტრადიციის თანახმად, მოდით, მრიცხველის ფაქტორიზირება - ეს მნიშვნელოვნად გაამარტივებს პასუხს:

რთული ფუნქცია სულაც არ არის ნახევარი კილომეტრის სიგრძის ფორმულა. მაგალითად, საკმარისია ფუნქციის აღება არგუმენტის ზრდა Δ(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) = ცოდვა თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.და შეცვალეთ ცვლადი თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი., ვთქვათ, on თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 2 + ln თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.. გამოვა არგუმენტის ზრდა Δ(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) = ცოდვა ( თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 2 + ln თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) - ეს რთული ფუნქციაა. მას ასევე აქვს წარმოებული, მაგრამ მისი პოვნა შეუძლებელი იქნება ზემოთ განხილული წესების გამოყენებით.

Რა უნდა გავაკეთო? ასეთ შემთხვევებში ცვლადისა და წარმოებული ფორმულის შეცვლა ეხმარება რთული ფუნქცია:

არგუმენტის ზრდა Δ ’(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) = არგუმენტის ზრდა Δ ’(ტ) · ტ“, თუ თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.ჩანაცვლებულია ტ(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.).

როგორც წესი, სიტუაცია ამ ფორმულის გაგებით კიდევ უფრო სამწუხაროა, ვიდრე კოეფიციენტის წარმოებულთან. ამიტომ, ასევე უკეთესია მისი ახსნა კონკრეტული მაგალითებით, თან დეტალური აღწერაყოველი ნაბიჯი.

დავალება. იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები: არგუმენტის ზრდა Δ(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) = როგორც ჩანს, ყველაფერი ნათელია. მაგრამ შეეცადეთ გამოიყენოთ ეს ფორმულა, რომ გამოთვალოთ, ვთქვათ, ფუნქციის წარმოებული 2თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. + 3 ; გ(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) = ცოდვა ( თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 2 + ln თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.)

გაითვალისწინეთ, რომ თუ ფუნქციაში არგუმენტის ზრდა Δ(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) გამოთქმის ნაცვლად 2 თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.+3 ადვილი იქნება თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი., მაშინ გამოვა ელემენტარული ფუნქცია არგუმენტის ზრდა Δ(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) = როგორც ჩანს, ყველაფერი ნათელია. მაგრამ შეეცადეთ გამოიყენოთ ეს ფორმულა, რომ გამოთვალოთ, ვთქვათ, ფუნქციის წარმოებული თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.. ამიტომ, ჩვენ ვაკეთებთ ჩანაცვლებას: მოდით 2 თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. + 3 = ტ, არგუმენტის ზრდა Δ(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) = არგუმენტის ზრდა Δ(ტ) = როგორც ჩანს, ყველაფერი ნათელია. მაგრამ შეეცადეთ გამოიყენოთ ეს ფორმულა, რომ გამოთვალოთ, ვთქვათ, ფუნქციის წარმოებული ტ. ჩვენ ვეძებთ რთული ფუნქციის წარმოებულს ფორმულის გამოყენებით:

არგუმენტის ზრდა Δ ’(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) = არგუმენტის ზრდა Δ ’(ტ) · ტ ’ = (როგორც ჩანს, ყველაფერი ნათელია. მაგრამ შეეცადეთ გამოიყენოთ ეს ფორმულა, რომ გამოთვალოთ, ვთქვათ, ფუნქციის წარმოებული ტ)’ · ტ ’ = როგორც ჩანს, ყველაფერი ნათელია. მაგრამ შეეცადეთ გამოიყენოთ ეს ფორმულა, რომ გამოთვალოთ, ვთქვათ, ფუნქციის წარმოებული ტ · ტ ’

ახლა კი - ყურადღება! ჩვენ ვასრულებთ საპირისპირო ჩანაცვლებას: ტ = 2თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.+ 3. ვიღებთ:

არგუმენტის ზრდა Δ ’(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) = როგორც ჩანს, ყველაფერი ნათელია. მაგრამ შეეცადეთ გამოიყენოთ ეს ფორმულა, რომ გამოთვალოთ, ვთქვათ, ფუნქციის წარმოებული ტ · ტ ’ = როგორც ჩანს, ყველაფერი ნათელია. მაგრამ შეეცადეთ გამოიყენოთ ეს ფორმულა, რომ გამოთვალოთ, ვთქვათ, ფუნქციის წარმოებული 2თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.+ 3 (2 თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. + 3)’ = როგორც ჩანს, ყველაფერი ნათელია. მაგრამ შეეცადეთ გამოიყენოთ ეს ფორმულა, რომ გამოთვალოთ, ვთქვათ, ფუნქციის წარმოებული 2თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.+ 3 2 = 2 როგორც ჩანს, ყველაფერი ნათელია. მაგრამ შეეცადეთ გამოიყენოთ ეს ფორმულა, რომ გამოთვალოთ, ვთქვათ, ფუნქციის წარმოებული 2თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. + 3

ახლა მოდით შევხედოთ ფუნქციას გ(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.). ცხადია, ის უნდა შეიცვალოს თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 2 + ln თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. = ტ. Ჩვენ გვაქვს:

გ ’(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) = გ ’(ტ) · ტ= (ცოდვა ტ)’ · ტ’ = cos ტ · ტ ’

საპირისპირო ჩანაცვლება: ტ = თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 2 + ln თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.. შემდეგ:

გ ’(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) = cos ( თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 2 + ln თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) · ( თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 2 + ln თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.)' = cos ( თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 2 + ln თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) · (2 თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. + 1/თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.).

Სულ ეს არის! როგორც ბოლო გამონათქვამიდან ჩანს, მთელი პრობლემა დაყვანილია წარმოებული ჯამის გამოთვლაზე.

პასუხი:
არგუმენტის ზრდა Δ ’(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) = 2 · როგორც ჩანს, ყველაფერი ნათელია. მაგრამ შეეცადეთ გამოიყენოთ ეს ფორმულა, რომ გამოთვალოთ, ვთქვათ, ფუნქციის წარმოებული 2თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. + 3 ;
გ ’(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) = (2თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. + 1/თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) cos ( თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 2 + ln თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.).

ძალიან ხშირად ჩემს გაკვეთილებზე, ტერმინის „წარმოებულის“ ნაცვლად, ვიყენებ სიტყვას „პირველი“. მაგალითად, პრაიმი თანხიდან ჯამის ტოლიპარალიზები. ეს უფრო ნათელია? ისე, კარგია.

ამრიგად, წარმოებულის გამოთვლა მცირდება იმავე დარტყმების მოშორებაზე ზემოთ განხილული წესების მიხედვით. როგორც ბოლო მაგალითიდავუბრუნდეთ წარმოებულ ძალას რაციონალური მაჩვენებლით:

(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. ნ)’ = ნ · თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. ნ − 1

ცოტამ თუ იცის ეს როლში ნშეიძლება იყოს წილადი რიცხვი. მაგალითად, ფესვი არის თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 0.5. რა მოხდება, თუ ფესვის ქვეშ არის რაღაც ლამაზი? ისევ და ისევ, შედეგი იქნება რთული ფუნქცია - მათ მოსწონთ ასეთი კონსტრუქციების მიცემა ტესტებიდა გამოცდები.

დავალება. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული:

პირველი, მოდით გადავიწეროთ ფესვი, როგორც ძალა რაციონალური მაჩვენებლით:

არგუმენტის ზრდა Δ(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) = (თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 2 + 8თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. − 7) 0,5 .

ახლა ჩვენ ვაკეთებთ ჩანაცვლებას: მოდით თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 2 + 8თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. − 7 = ტ. ჩვენ ვიპოვით წარმოებულს ფორმულის გამოყენებით:

არგუმენტის ზრდა Δ ’(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) = არგუმენტის ზრდა Δ ’(ტ) · ტ ’ = (ტ 0.5)' · ტ’ = 0,5 · ტ−0,5 · ტ ’.

მოდით გავაკეთოთ საპირისპირო ჩანაცვლება: ტ = თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 2 + 8თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.− 7. გვაქვს:

არგუმენტის ზრდა Δ ’(თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.) = 0,5 · ( თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 2 + 8თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.− 7) −0,5 · ( თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 2 + 8თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.− 7)’ = 0,5 · (2 თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი.+ 8) ( თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. 2 + 8თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. − 7) −0,5 .

და ბოლოს, დავუბრუნდეთ ფესვებს:

წარმოებული გამოთვლები ხშირად გვხვდება ერთიანი სახელმწიფო საგამოცდო დავალებები. ეს გვერდი შეიცავს წარმოებულების პოვნის ფორმულების ჩამონათვალს.

დიფერენცირების წესები

1. (k⋅ f(x))′=k⋅ f ′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. რთული ფუნქციის წარმოებული. თუ y=F(u) და u=u(x), მაშინ ფუნქციას y=f(x)=F(u(x)) ეწოდება x-ის რთული ფუნქცია. უდრის y′(x)=Fu′⋅ ux′.
5. იმპლიციტური ფუნქციის წარმოებული. გამოძახებულია ფუნქცია y=f(x). იმპლიციტური ფუნქცია, მოცემულია F(x,y)=0 მიმართებით, თუ F(x,f(x))≡0.
6. შებრუნებული ფუნქციის წარმოებული. თუ g(f(x))=x, მაშინ გამოიძახება ფუნქცია g(x). შებრუნებული ფუნქცია y=f(x) ფუნქციისთვის.
7. პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქციის წარმოებული. მოდით x და y მითითებული იყოს t ცვლადის ფუნქციებად: x=x(t), y=y(t). ისინი ამბობენ, რომ y=y(x) პარამეტრულად მოცემული ფუნქცია x∈ (a;b) ინტერვალზე, თუ ამ ინტერვალზე განტოლება x=x(t) შეიძლება გამოისახოს t=t(x) და ფუნქცია y=y(t(x))=y(x) შეიძლება განისაზღვროს.
8. სიმძლავრე-ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული. ნაპოვნია ლოგარითმების მიღებით ბუნებრივი ლოგარითმის ფუძემდე.

სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებულის ფორმულის წარმოშობა (x a-ს ხარისხამდე). განიხილება წარმოებულები x-ის ფესვებიდან. სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებულის ფორმულა უმაღლესი წესრიგი. წარმოებულების გამოთვლის მაგალითები.

x-ის წარმოებული a-ს ხარისხზე ტოლია x-ის ხარისხზე მინუს ერთი:
(1) .

x-ის n-ე ფესვის წარმოებული mth ხარისხთან არის:
(2) .

სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებულის ფორმულის წარმოშობა

შემთხვევა x > 0

განვიხილოთ x ცვლადის სიმძლავრის ფუნქცია a მაჩვენებლით:
(3) .
აქ a არის თვითნებური რეალური რიცხვი. ჯერ საქმე განვიხილოთ.

(3) ფუნქციის წარმოებულის საპოვნელად ვიყენებთ სიმძლავრის ფუნქციის თვისებებს და გარდაქმნით მას შემდეგ ფორმაში:
.

ახლა ჩვენ ვიპოვით წარმოებულს გამოყენებით:
;
.
Აქ .

ფორმულა (1) დადასტურებულია.

x-ის n ხარისხის ფესვის წარმოებულის ფორმულის წარმოშობა m ხარისხამდე

ახლა განიხილეთ ფუნქცია, რომელიც არის შემდეგი ფორმის ფესვი:
(4) .

წარმოებულის საპოვნელად, ფესვს ვაქცევთ ძალაუფლების ფუნქციად:
.
(3) ფორმულასთან შედარება ჩვენ ვხედავთ, რომ
.
მერე
.

ფორმულის გამოყენებით (1) ვიპოვით წარმოებულს:
(1) ;
;
(2) .

პრაქტიკაში არ არის საჭირო ფორმულის დამახსოვრება (2). ბევრად უფრო მოსახერხებელია ჯერ ფესვების გადაქცევა ძალაუფლების ფუნქციებად, შემდეგ კი მათი წარმოებულების პოვნა ფორმულის გამოყენებით (1) (იხილეთ მაგალითები გვერდის ბოლოს).

შემთხვევა x = 0

თუ , მაშინ სიმძლავრის ფუნქცია განისაზღვრება x = ცვლადის მნიშვნელობისთვის 0 . ვიპოვოთ (3) ფუნქციის წარმოებული x =-ზე 0 . ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ წარმოებულის განმარტებას:
.

ჩავანაცვლოთ x = 0 :
.
ამ შემთხვევაში წარმოებულში ვგულისხმობთ მარჯვენა ზღვარს, რომლისთვისაც .

ასე რომ, ჩვენ აღმოვაჩინეთ:
.
აქედან ირკვევა, რომ , .
ზე, .
ზე, .
ეს შედეგი ასევე მიღებულია ფორმულიდან (1):
(1) .
ამიტომ, ფორმულა (1) ასევე მოქმედებს x =-ისთვის 0 .

შემთხვევა x< 0

კვლავ განიხილეთ ფუნქცია (3):
(3) .
a მუდმივის გარკვეული მნიშვნელობებისთვის ის ასევე განისაზღვრება უარყოფითი მნიშვნელობებიცვლადი x. კერძოდ, დაე იყოს რაციონალური რიცხვი. მაშინ ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც შეუქცევადი წილადი:
,
სადაც m და n არის მთელი რიცხვები გარეშე საერთო გამყოფი.

თუ n კენტია, მაშინ ძალაუფლების ფუნქცია ასევე განისაზღვრება x ცვლადის უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის. მაგალითად, როდესაც n = 3 და m = 1 ჩვენ გვაქვს კუბის ფესვი x-დან:
.
ის ასევე განისაზღვრება x ცვლადის უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის.

ვიპოვოთ ძალაუფლების ფუნქციის (3) წარმოებული for and for რაციონალური ღირებულებებიმუდმივი a, რომლისთვისაც იგი განსაზღვრულია. ამისათვის წარმოვიდგინოთ x შემდეგი ფორმით:
.
მაშინ,
.
წარმოებულს ვპოულობთ წარმოებულის ნიშნის გარეთ მუდმივის მოთავსებით და რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის გამოყენებით:

.
Აქ . მაგრამ
.
Მას შემდეგ
.
მერე
.
ანუ, ფორმულა (1) ასევე მოქმედებს:
(1) .

უმაღლესი რიგის წარმოებულები

ახლა ვიპოვოთ სიმძლავრის ფუნქციის უმაღლესი რიგის წარმოებულები
(3) .
ჩვენ უკვე ვიპოვეთ პირველი რიგის წარმოებული:
.

წარმოებულის ნიშნის გარეთ a მუდმივის აღებით, ჩვენ ვპოულობთ მეორე რიგის წარმოებულს:
.
ანალოგიურად, ჩვენ ვპოულობთ მესამე და მეოთხე რიგის წარმოებულებს:
;

.

აქედან ირკვევა, რომ თვითნებური n-ე რიგის წარმოებულიაქვს შემდეგი ფორმა:
.

შეამჩნია, რომ თუ არის ბუნებრივი რიცხვი , მაშინ n-ე წარმოებული მუდმივია:
.
მაშინ ყველა მომდევნო წარმოებული ტოლია ნულის:
,
ზე.

წარმოებულების გამოთვლის მაგალითები

მაგალითი

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული:
.

გამოსავალი

მოდით გადავიყვანოთ ფესვები ძლიერებად:
;
.
შემდეგ ორიგინალური ფუნქცია იღებს ფორმას:
.

ძალაუფლების წარმოებულების პოვნა:
;
.
მუდმივის წარმოებული არის ნული:
.