რა არის კუთხე კიდეებს შორის? პირამიდის კუთხეების პოვნა

მოკლედ ვიქნები. ორ სწორ ხაზს შორის კუთხე ტოლია მათ მიმართულების ვექტორებს შორის. ამრიგად, თუ მოახერხებთ a = (x 1 ; y 1 ; z 1) და b = (x 2 ; y 2 ​​; z 2 ) მიმართულების ვექტორების კოორდინატების პოვნას, შეგიძლიათ იპოვოთ კუთხე. უფრო ზუსტად, კუთხის კოსინუსი ფორმულის მიხედვით:

ვნახოთ, როგორ მუშაობს ეს ფორმულა კონკრეტული მაგალითების გამოყენებით:

დავალება. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 კუბში აღინიშნება E და F წერტილები - A 1 B 1 და B 1 C 1 კიდეების შუა წერტილები. იპოვეთ კუთხე AE და BF წრფეებს შორის.

ვინაიდან კუბის კიდე არ არის მითითებული, მოდით დავაყენოთ AB = 1. შემოგთავაზებთ სტანდარტულ კოორდინატულ სისტემას: საწყისი არის A წერტილში, x, y, z ღერძები მიმართულია შესაბამისად AB, AD და AA 1-ის გასწვრივ. ერთეული სეგმენტი უდრის AB = 1. ახლა ვიპოვოთ ჩვენი ხაზების მიმართულების ვექტორების კოორდინატები.

ვიპოვოთ AE ვექტორის კოორდინატები. ამისათვის ჩვენ გვჭირდება წერტილები A = (0; 0; 0) და E = (0.5; 0; 1). ვინაიდან წერტილი E არის A 1 B 1 სეგმენტის შუა ნაწილი, მისი კოორდინატები ტოლია ბოლოების კოორდინატების საშუალო არითმეტიკულის. გაითვალისწინეთ, რომ AE ვექტორის წარმოშობა ემთხვევა კოორდინატების საწყისს, ამიტომ AE = (0.5; 0; 1).

ახლა მოდით შევხედოთ BF ვექტორს. ანალოგიურად, ჩვენ ვაანალიზებთ წერტილებს B = (1; 0; 0) და F = (1; 0.5; 1), რადგან F არის B 1 C 1 სეგმენტის შუა. ჩვენ გვაქვს:
BF = (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) = (0; 0.5; 1).

ასე რომ, მიმართულების ვექტორები მზად არის. სწორ ხაზებს შორის კუთხის კოსინუსი არის მიმართულების ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსი, ამიტომ გვაქვს:

დავალება. ჩვეულებრივ სამკუთხა პრიზმაში ABCA 1 B 1 C 1, რომლის ყველა კიდე 1-ის ტოლია, D და E წერტილები აღინიშნება - A 1 B 1 და B 1 C 1 კიდეების შუა წერტილები, შესაბამისად. იპოვეთ კუთხე AD და BE წრფეებს შორის.

შემოვიღოთ სტანდარტული კოორდინატთა სისტემა: საწყისი არის A წერტილში, x ღერძი მიმართულია AB, z - AA 1-ის გასწვრივ. მოდით მივმართოთ y ღერძი ისე, რომ OXY სიბრტყე დაემთხვა ABC სიბრტყეს. ერთეული სეგმენტი უდრის AB = 1. ვიპოვოთ მიმართულების ვექტორების კოორდინატები საჭირო ხაზებისთვის.

ჯერ ვიპოვოთ AD ვექტორის კოორდინატები. განვიხილოთ წერტილები: A = (0; 0; 0) და D = (0.5; 0; 1), რადგან D - A 1 B 1 სეგმენტის შუა. ვინაიდან AD ვექტორის დასაწყისი ემთხვევა კოორდინატების წარმოშობას, ვიღებთ AD ​​= (0.5; 0; 1).

ახლა ვიპოვოთ BE ვექტორის კოორდინატები. წერტილი B = (1; 0; 0) ადვილი გამოსათვლელია. E წერტილით - C 1 B 1 სეგმენტის შუა - ეს ცოტა უფრო რთულია. ჩვენ გვაქვს:

რჩება კუთხის კოსინუსის პოვნა:

დავალება. რეგულარულ ექვსკუთხა პრიზმაში ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, რომლის ყველა კიდე 1-ის ტოლია, აღინიშნება K და L წერტილები - A 1 B 1 და B 1 C 1 კიდეების შუა წერტილები, შესაბამისად. . იპოვეთ კუთხე AK და BL წრფეებს შორის.

მოდით შემოვიტანოთ სტანდარტული კოორდინატთა სისტემა პრიზმისთვის: კოორდინატების საწყისს ვათავსებთ ქვედა ფუძის ცენტრში, x ღერძი მიმართულია FC-ის გასწვრივ, y ღერძი მიმართულია AB და DE სეგმენტების შუა წერტილებში და z. ღერძი მიმართულია ვერტიკალურად ზემოთ. ერთეული სეგმენტი ისევ AB = 1-ის ტოლია. ჩამოვწეროთ ჩვენთვის საინტერესო წერტილების კოორდინატები:

წერტილები K და L არის A 1 B 1 და B 1 C 1 სეგმენტების შუა წერტილები, შესაბამისად, მათი კოორდინატები გვხვდება საშუალო არითმეტიკული საშუალებით. წერტილების ცოდნით, ვპოულობთ მიმართულების ვექტორების AK და BL კოორდინატებს:

ახლა ვიპოვოთ კუთხის კოსინუსი:

დავალება. ჩვეულებრივ ოთხკუთხა პირამიდაში SABCD, რომლის ყველა კიდე 1-ის ტოლია, E და F წერტილები აღინიშნება - SB და SC გვერდების შუა წერტილები, შესაბამისად. იპოვეთ კუთხე AE და BF წრფეებს შორის.

შემოვიღოთ სტანდარტული კოორდინატთა სისტემა: საწყისი არის A წერტილში, x და y ღერძები მიმართულია შესაბამისად AB და AD გასწვრივ, ხოლო z ღერძი მიმართულია ვერტიკალურად ზემოთ. ერთეული სეგმენტი უდრის AB = 1.

წერტილები E და F არის SB და SC სეგმენტების შუა წერტილები, შესაბამისად, მათი კოორდინატები გვხვდება ბოლოების საშუალო არითმეტიკული სახით. ჩამოვწეროთ ჩვენთვის საინტერესო წერტილების კოორდინატები:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

წერტილების ცოდნა, ჩვენ ვპოულობთ მიმართულების ვექტორების AE და BF კოორდინატებს:

AE ვექტორის კოორდინატები ემთხვევა E წერტილის კოორდინატებს, ვინაიდან A წერტილი არის საწყისი. რჩება კუთხის კოსინუსის პოვნა:

დავალება

გამოსავალი.

ვიპოვოთ ნეკნების დახრილობის კუთხე ფუძის სიბრტყეზე.
ვინაიდან რეგულარული პირამიდის ძირში დევს რეგულარული ოთხკუთხედი, მაშინ, ამ შემთხვევაში, ეს არის კვადრატი. ვინაიდან პირამიდის სიმაღლე დაპროექტებულია ფუძის ცენტრში, ეს არის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი. საიდან მოდის KN = a/2?

სამკუთხედი OKN არის მართკუთხა, OK არის სიმაღლე 3a-ის ტოლი.
ვიპოვოთ KNO კუთხის ტანგენსი, რომელიც აღვნიშნავთ მას, როგორც α.

Tg α = OK / KN
tg α = 3a / (a/2) = 6
α = არქტანი 6 ≈ 80,5377°

ვიპოვოთ პირამიდის კიდის დახრილობის კუთხე.
კვადრატის დიაგონალი a გვერდით უდრის a√2. მას შემდეგ, რაც სიმაღლე დაპროექტებულია ბაზის ცენტრში, დიაგონალები ამ ეტაპზე იყოფა ნახევრად.

ამრიგად, მართკუთხა სამკუთხედისთვის OKC, KCO კუთხის ტანგენსი (ჩვენ აღვნიშნავთ მას β) უდრის

Tg β = OK / KC
tg β = 3a / (a√2/2) = 6 / √2
β = არქტანი 6/√2 ≈ 76,7373°

უპასუხე: სახეების დახრილობის კუთხე arctg 6 ≈ 80,5377°; ნეკნების დახრილობის კუთხე arctg 6/√2 ≈ 76,7373°

სიბრტყე ВСE (ნახ.) დახატულია AS კიდეზე პერპენდიკულარული ВС გვერდით. ორმხრივი კუთხეები გვერდით სახეებს შორის (ყველა მათგანი თანაბარია) იზომება BEC = კუთხით. φ . სამკუთხედი WEIGHT არის ტოლფერდა.

კვეთის ფართობის S და კუთხის დასადგენად φ , საკმარისია ვიპოვოთ DE (D არის ძვ. წ. შუა). ამისათვის ჩვენ თანმიმდევრულად ვპოულობთ BS (სამკუთხედიდან BSD, სადაც BD = ა / 2 და ∠BSD = α / 2 ).

შემდეგ BE (BSE სამკუთხედიდან, სადაც ∠BSE = α ) და ბოლოს DE=√BE 2 -BD 2 . ვიღებთ

შენიშვნა 1 . S წვეროზე სიბრტყე კუთხეების ჯამი ყოველთვის 360°-ზე ნაკლებია. ამიტომ 0<α <120°. При этом условии 2cos α / 2 > 1, ანუ განტოლება ყოველთვის აქვს გამოსავალი.

შენიშვნა 2 . თუ α >90°, ანუ გვერდითი სახის წვეროსთან ASB კუთხე ბლაგვია, მაშინ ASB სამკუთხედის BE სიმაღლე გადაკვეთს ფუძის გაგრძელებას და BEC სიბრტყე არ მისცემს პირამიდის არცერთ მონაკვეთს. ამასობაში ფორმულა

და ბლაგვი კუთხით α (120°-ზე ნაკლები, იხილეთ შენიშვნა 1) მისცემს S-ის გარკვეულ მნიშვნელობას.

პასუხი: φ = 2 რკალი ცოდვა (1/2 წმ α / 2 );

მსგავსი მაგალითები:

პირამიდის ძირში დგას მართკუთხედი. ერთ-ერთი გვერდითი სახე აქვს ტოლფერდა სამკუთხედის ფორმას და არის ფუძის პერპენდიკულარული; მეორე სახეზე, პირველის საპირისპიროდ, არის ტოლი გვერდითი კიდეები ბ , შექმენით 2-იანი კუთხე ერთმანეთთან α და დახრილი პირველი სახისკენ კუთხით α . დაადგინეთ პირამიდის მოცულობა და კუთხე მითითებულ ორ სახეს შორის.