რის ტოლია ლიმი? საზღვრები მათემატიკაში დუმებისთვის: ახსნა, თეორია, ამონახსნების მაგალითები

ლიმიტების ამოხსნის მეთოდები. გაურკვევლობები.
ფუნქციის ზრდის თანმიმდევრობა. ჩანაცვლების მეთოდი

მაგალითი 4

იპოვეთ ლიმიტი

ეს უფრო მარტივი მაგალითია საკუთარი თავის მოსაგვარებლად. შემოთავაზებულ მაგალითში კვლავ არის გაურკვევლობა (უფრო მაღალი რიგის ზრდა ვიდრე ფესვი).

თუ "x" მიდრეკილია "მინუს უსასრულობისკენ"

"მინუს უსასრულობის" აჩრდილი ამ სტატიაში დიდი ხანია ტრიალებს. განვიხილოთ ლიმიტები მრავალწევრებით, რომლებშიც . გადაწყვეტის პრინციპები და მეთოდები ზუსტად იგივე იქნება, რაც გაკვეთილის პირველ ნაწილში, მთელი რიგი ნიუანსების გამოკლებით.

მოდით გადავხედოთ 4 ხრიკს, რომელიც საჭირო იქნება პრაქტიკული ამოცანების გადასაჭრელად:

1) გამოთვალეთ ლიმიტი

ლიმიტის ღირებულება დამოკიდებულია მხოლოდ ტერმინზე, რადგან მას აქვს ზრდის უმაღლესი რიგი. თუ, მაშინ უსასრულოდ დიდი მოდულითუარყოფითი რიცხვი EVEN ხარისხზე, ამ შემთხვევაში – მეოთხეში უდრის „პლუს უსასრულობას“: . მუდმივი ("ორი") დადებითი, Ამიტომაც:

2) გამოთვალეთ ლიმიტი

აი ისევ უმაღლესი ხარისხი თუნდაც, Ამიტომაც: . მაგრამ მის წინ არის "მინუსი" ( უარყოფითიმუდმივი –1), შესაბამისად:

3) გამოთვალეთ ლიმიტი

ლიმიტის მნიშვნელობა დამოკიდებულია მხოლოდ. როგორც სკოლიდან გახსოვთ, "მინუსი" "ხტება" კენტი ხარისხის ქვეშ, ასე რომ უსასრულოდ დიდი მოდულითუარყოფითი რიცხვი კენტ ხარისხზეუდრის "მინუს უსასრულობას", ამ შემთხვევაში: .
მუდმივი ("ოთხი") დადებითი, ნიშნავს:

4) გამოთვალეთ ლიმიტი

სოფელში პირველი ბიჭი ისევ ჰყავს კენტიხარისხი, გარდა ამისა, წიაღში უარყოფითიმუდმივი, რაც ნიშნავს: ამგვარად:
.

მაგალითი 5

იპოვეთ ლიმიტი

ზემოაღნიშნული პუნქტების გამოყენებით მივდივართ დასკვნამდე, რომ აქ არის გაურკვევლობა. მრიცხველი და მნიშვნელი ზრდის ერთნაირი რიგისაა, რაც ნიშნავს, რომ ლიმიტში შედეგი იქნება სასრული რიცხვი. მოდით გავიგოთ პასუხი ყველა ფრაის გადაგდებით:

გამოსავალი ტრივიალურია:

მაგალითი 6

იპოვეთ ლიმიტი

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

ახლა კი, ალბათ, ყველაზე დახვეწილი შემთხვევები:

მაგალითი 7

იპოვეთ ლიმიტი

წამყვანი ტერმინების გათვალისწინებით, მივდივართ დასკვნამდე, რომ აქ არის გაურკვევლობა. მრიცხველი ზრდის უფრო მაღალი რიგისაა, ვიდრე მნიშვნელი, ამიტომ დაუყოვნებლივ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ზღვარი უსასრულობის ტოლია. მაგრამ რა სახის უსასრულობა, „პლუს“ თუ „მინუს“? ტექნიკა იგივეა - მოდით, თავი დავაღწიოთ წვრილმანებს მრიცხველში და მნიშვნელში:

Ჩვენ ვწყვეტთ:

გაყავით მრიცხველი და მნიშვნელი

მაგალითი 15

იპოვეთ ლიმიტი

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. საბოლოო დიზაინის სავარაუდო ნიმუში გაკვეთილის ბოლოს.

კიდევ რამდენიმე საინტერესო მაგალითი ცვლადის ჩანაცვლების თემაზე:

მაგალითი 16

იპოვეთ ლიმიტი

ერთიანობის ლიმიტში ჩანაცვლებისას მიიღება გაურკვევლობა. ცვლადის შეცვლა უკვე თავისთავად გვთავაზობს, მაგრამ ჯერ ტანგენტს გარდაქმნით ფორმულის გამოყენებით. მართლაც, რატომ გვჭირდება ტანგენსი?

გაითვალისწინეთ, რომ ამიტომ. თუ მთლად ნათელი არ არის, შეხედეთ სინუსურ მნიშვნელობებს ტრიგონომეტრიული ცხრილი. ამრიგად, ჩვენ მაშინვე ვიშორებთ მულტიპლიკატორს, გარდა ამისა, ვიღებთ უფრო ნაცნობ გაურკვევლობას 0:0. კარგი იქნება, თუ ჩვენი ლიმიტი ნულისკენ მიისწრაფვის.

შევცვალოთ:

თუ, მაშინ

კოსინუსის ქვეშ გვაქვს „x“, რომელიც ასევე უნდა გამოვხატოთ „ტე“-ით.
ჩანაცვლებიდან გამოვხატავთ: .

ჩვენ ვასრულებთ გამოსავალს:

(1) ჩვენ ვახორციელებთ ჩანაცვლებას

(2) გახსენით ფრჩხილები კოსინუსის ქვეშ.

(4) ორგანიზება პირველი მშვენიერი ლიმიტი, ხელოვნურად გავამრავლოთ მრიცხველი და საპასუხო რიცხვი.

ამოცანა დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 17

იპოვეთ ლიმიტი

სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

ეს იყო მარტივი დავალებები მათ კლასში, პრაქტიკაში ყველაფერი შეიძლება იყოს უარესი და, გარდა ამისა შემცირების ფორმულები, თქვენ უნდა გამოიყენოთ მრავალფეროვანი ტრიგონომეტრიული ფორმულები, ისევე როგორც სხვა ხრიკები. სტატიაში რთული ლიმიტები მე გადავხედე რამდენიმე რეალურ მაგალითს =)

დღესასწაულის წინა დღეს, ჩვენ საბოლოოდ განვმარტავთ სიტუაციას კიდევ ერთი საერთო გაურკვევლობით:

გაურკვევლობის აღმოფხვრა "ერთი უსასრულობის ძალამდე"

ეს გაურკვევლობა "ემსახურება" მეორე მშვენიერი ლიმიტიდა ამ გაკვეთილის მეორე ნაწილში ჩვენ დეტალურად განვიხილეთ გადაწყვეტილებების სტანდარტული მაგალითები, რომლებიც უმეტეს შემთხვევაში გვხვდება პრაქტიკაში. ახლა სრულდება სურათი ექსპონენტებთან ერთად, გარდა ამისა, გაკვეთილის საბოლოო დავალებები დაეთმობა „ყალბ“ საზღვრებს, რომლებშიც ჩანს, რომ აუცილებელია მე-2 მშვენიერი ლიმიტის გამოყენება, თუმცა ეს საერთოდ არ არის საქმე.

მე-2 ღირსშესანიშნავი ლიმიტის ორი სამუშაო ფორმულის მინუსი არის ის, რომ არგუმენტი უნდა იყოს მიდრეკილი „პლუს უსასრულობისკენ“ ან ნულისკენ. მაგრამ რა მოხდება, თუ არგუმენტი მიდრეკილია სხვა რიცხვისკენ?

სამაშველოში მოდის უნივერსალური ფორმულა (რაც რეალურად მეორე მნიშვნელოვანი ლიმიტის შედეგია):

გაურკვევლობა შეიძლება აღმოიფხვრას ფორმულის გამოყენებით:

სადღაც მგონი უკვე ავხსენი, რას ნიშნავს კვადრატული ფრჩხილები. არაფერი განსაკუთრებული, ბრეკეტები მხოლოდ ფრჩხილებია. ისინი ჩვეულებრივ გამოიყენება მათემატიკური აღნიშვნის უფრო მკაფიოდ ხაზგასასმელად.

მოდით გამოვყოთ ფორმულის ძირითადი პუნქტები:

1) ეს დაახლოებით მხოლოდ გაურკვევლობაზე და სხვა არაფერი.

2) "x" არგუმენტი შეიძლება მიდრეკილი იყოს თვითნებური მნიშვნელობა(და არა მხოლოდ ნულამდე ან, კერძოდ, "მინუს უსასრულობამდე" ან მდე ვინმესსასრული რიცხვი.

ამ ფორმულის გამოყენებით შეგიძლიათ ამოხსნათ გაკვეთილის ყველა მაგალითი. მშვენიერი საზღვრები, რომლებიც მიეკუთვნება მე-2 ღირსშესანიშნავ ზღვარს. მაგალითად, გამოვთვალოთ ლიმიტი:

Ამ შემთხვევაში და ფორმულის მიხედვით :

მართალია, მე არ გირჩევთ ამის გაკეთებას, ტრადიცია არის გადაწყვეტის "ჩვეულებრივი" დიზაინის გამოყენება, თუ მისი გამოყენება შესაძლებელია. თუმცა ფორმულის გამოყენებით მისი შემოწმება ძალიან მოსახერხებელია"კლასიკური" მაგალითები მე-2 ღირსშესანიშნავ ზღვარამდე.

ფუნქციის ლიმიტი უსასრულობაში:
|f(x) - a|< ε при |x| >ნ

კოშის ლიმიტის განსაზღვრა
მოდით ფუნქცია f (x)განისაზღვრება უსასრულობის წერტილის გარკვეულ სამეზობლოში, |x|-ით > რიცხვს a ეწოდება ფუნქციის ლიმიტივ (x)როგორც x მიდრეკილია უსასრულობისკენ (), თუ რომელიმე, თუმცა მცირე, დადებითი რიცხვისთვის ε > 0 , არის ნომერი N ε >კ, დამოკიდებულია ε, რომელიც ყველა x, |x| > N ε, ფუნქციის მნიშვნელობები მიეკუთვნება a წერტილის ε-მეზობელს:
|ვ (x) - ა|< ε .
ფუნქციის ზღვარი უსასრულობაში აღინიშნება შემდეგნაირად:
.
ან ზე.

ასევე ხშირად გამოიყენება შემდეგი აღნიშვნა:
.

მოდით დავწეროთ ეს განმარტება არსებობისა და უნივერსალურობის ლოგიკური სიმბოლოების გამოყენებით:
.
ეს ვარაუდობს, რომ მნიშვნელობები ეკუთვნის ფუნქციის დომენს.

ცალმხრივი საზღვრები

ფუნქციის მარცხენა ზღვარი უსასრულობაში:
|f(x) - a|< ε при x < -N

ხშირია შემთხვევები, როდესაც ფუნქცია განისაზღვრება მხოლოდ x ცვლადის დადებითი ან უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის (უფრო ზუსტად წერტილის სიახლოვეს ან ). ასევე, x-ის დადებითი და უარყოფითი მნიშვნელობების უსასრულობის ზღვრებს შეიძლება ჰქონდეს განსხვავებული მნიშვნელობები. შემდეგ გამოიყენება ცალმხრივი ლიმიტები.

მარცხენა ზღვარი უსასრულობაშიან ზღვარი, როგორც x მიდრეკილია მინუს უსასრულობამდე () განისაზღვრება შემდეგნაირად:
.
მარჯვენა ზღვარი უსასრულობაშიან ზღვარი, რადგან x მიდრეკილია პლუს უსასრულობამდე ():
.
ცალმხრივი საზღვრები უსასრულობაში ხშირად აღინიშნება შემდეგნაირად:
; .

ფუნქციის უსასრულო ზღვარი უსასრულობაში

ფუნქციის უსასრულო ზღვარი უსასრულობაში:
|f(x)| > M for |x| > N

უსასრულო ზღვრის განსაზღვრა კოშის მიხედვით
მოდით ფუნქცია f (x)განისაზღვრება უსასრულობის წერტილის გარკვეულ სამეზობლოში, |x|-ით > K, სადაც K დადებითი რიცხვია. ფუნქციის ლიმიტი f (x)როგორც x მიდრეკილია უსასრულობისკენ (), უდრის უსასრულობას, თუ რაიმე თვითნებურად დიდი რიცხვისთვის M > 0 , არის ასეთი რიცხვი N M >კ, დამოკიდებულია M-ზე, რომელიც ყველა x, |x| > N M, ფუნქციის მნიშვნელობები მიეკუთვნება წერტილის მეზობელს უსასრულობაში:
|ვ (x) | > მ.
უსასრულო ზღვარი, როგორც x მიდრეკილია უსასრულობისკენ, აღინიშნება შემდეგნაირად:
.
ან ზე.

არსებობისა და უნივერსალურობის ლოგიკური სიმბოლოების გამოყენებით, ფუნქციის უსასრულო ზღვრის განმარტება შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:
.

ანალოგიურად, შემოღებულია გარკვეული ნიშნების უსასრულო საზღვრების განმარტებები, რომლებიც ტოლია და:
.
.

ცალმხრივი საზღვრების განმარტებები უსასრულობაში.
მარცხენა საზღვრები.
.
.
.
სწორი საზღვრები.
.
.
.

ფუნქციის ზღვრის განსაზღვრა ჰაინეს მიხედვით

მოდით ფუნქცია f (x)განსაზღვრულია x წერტილის ზოგიერთ მიმდებარედ უსასრულობაში 0 , სად ან ან .
რიცხვს a (სასრულო ან უსასრულობაში) f ფუნქციის ზღვარი ეწოდება (x) x წერტილში 0 :
,
თუ რაიმე თანმიმდევრობით (xn), კონვერტაცია x-ზე 0 : ,
რომლის ელემენტები მიეკუთვნება მეზობლობას, თანმიმდევრობას (f(xn))თანხვედრაშია:
.

თუ სამეზობლად ავიღებთ უსასრულობაში ხელმოუწერელი წერტილის მეზობლობას: , მაშინ მივიღებთ ფუნქციის ზღვრის განმარტებას, რადგან x მიდრეკილია უსასრულობისკენ, . თუ ავიღებთ x წერტილის მარცხნივ ან მარჯვნივ მეზობლობას უსასრულობაში 0 : ან , მაშინ მივიღებთ ლიმიტის განმარტებას, რადგან x მიდრეკილია მინუს უსასრულობისკენ და პლუს უსასრულობისკენ, შესაბამისად.

ლიმიტის ჰეინისა და კოშის განმარტებები ექვივალენტურია.

მაგალითები

მაგალითი 1

ამის საჩვენებლად კოშის განმარტების გამოყენება
.

მოდით შემოგთავაზოთ შემდეგი აღნიშვნა:
.
ვიპოვოთ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი. ვინაიდან წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი პოლინომებია, ფუნქცია განისაზღვრება ყველა x-ისთვის, გარდა იმ წერტილებისა, რომლებშიც მნიშვნელი ქრება. მოდი ვიპოვოთ ეს პუნქტები. კვადრატული განტოლების ამოხსნა. ;
.
განტოლების ფესვები:
; .
მას შემდეგ და .
ამიტომ ფუნქცია განისაზღვრება. ამას მოგვიანებით გამოვიყენებთ.

მოდით ჩამოვწეროთ ფუნქციის სასრული ზღვრის განმარტება უსასრულობაში კოშის მიხედვით:
.
მოდით შევცვალოთ განსხვავება:
.
გაყავით მრიცხველი და მნიშვნელი და გაამრავლეთ მასზე -1 :
.

დაე .
მაშინ
;
;
;
.

ასე რომ, ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ როდესაც,
.
.
Აქედან გამომდინარეობს, რომ
ზე და.

რადგან ყოველთვის შეგიძლიათ მისი გაზრდა, ავიღოთ. მაშინ ვინმესთვის,
ზე.
Ეს ნიშნავს, რომ .

მაგალითი 2

დაე .
ლიმიტის კოშის განმარტების გამოყენებით აჩვენე, რომ:
1) ;
2) .

1) ამონახსნი, როგორც x მიდრეკილია მინუს უსასრულობისკენ

ვინაიდან ფუნქცია განისაზღვრება ყველა x-ისთვის.
მოდით ჩამოვწეროთ ფუნქციის ლიმიტის განმარტება მინუს უსასრულობის ტოლი:
.

დაე .
;
.

ასე რომ, ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ როდესაც,
.
მაშინ
.
შეიყვანეთ დადებითი რიცხვები და:
.

აქედან გამომდინარეობს, რომ ნებისმიერი დადებითი რიცხვისთვის M არის რიცხვი, ასე რომ,

Ეს ნიშნავს, რომ .

2) ამონახსნი, როგორც x მიდრეკილია პლუს უსასრულობისკენ
.
მოდით გადავცვალოთ ორიგინალური ფუნქცია. გაამრავლეთ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი და გამოიყენეთ კვადრატების სხვაობის ფორმულა:

.
Ჩვენ გვაქვს:
.

შემოვიღოთ აღნიშვნა: .
მოდით შევცვალოთ განსხვავება:
.
გაამრავლეთ მრიცხველი და მნიშვნელი:
.

დაე
.
მაშინ
;
.

ასე რომ, ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ როდესაც,
.
მაშინ
.
Აქედან გამომდინარეობს, რომ
ზე და.

ვინაიდან ეს ეხება ნებისმიერ დადებით რიცხვს, მაშინ
.

ცნობები:
ᲡᲛ. ნიკოლსკი. მათემატიკური ანალიზის კურსი. ტომი 1. მოსკოვი, 1983 წ.

ტიპისა და სახეობების გაურკვევლობა არის ყველაზე გავრცელებული გაურკვევლობა, რომელიც უნდა იყოს გამჟღავნებული ლიმიტების ამოხსნისას.

ლიმიტის პრობლემების უმეტესობა, რომლებსაც სტუდენტები აწყდებიან, სწორედ ასეთ გაურკვევლობებს შეიცავს. მათი გამოსავლენად ან, უფრო ზუსტად, გაურკვევლობის თავიდან ასაცილებლად, არსებობს რამდენიმე ხელოვნური ხერხი ზღვრული ნიშნის ქვეშ გამოხატვის ტიპის ტრანსფორმაციისთვის. ეს ტექნიკა შემდეგია: მრიცხველისა და მნიშვნელის ტერმინებით დაყოფა ცვლადის უმაღლეს ხარისხზე, გამრავლება კონიუგატულ გამოხატულებაზე და ფაქტორიზაცია შემდგომი შემცირებისთვის კვადრატული განტოლებების ამონახსნებისა და შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენებით.

სახეობების გაურკვევლობა

მაგალითი 1.

ნუდრის 2-ს. მაშასადამე, მრიცხველისა და მნიშვნელის ნაწილს ვყოფთ:

.

კომენტარი გააკეთეთ გამოხატვის მარჯვენა მხარეს. ისრები და რიცხვები მიუთითებენ, თუ რა მიდრეკილია წილადები ჩანაცვლების შემდეგ ნნიშნავს უსასრულობას. აქ, როგორც მე-2 მაგალითში, ხარისხი ნმნიშვნელში უფრო მეტია, ვიდრე მრიცხველში, რის შედეგადაც მთელი წილადი მიდრეკილია იყოს უსასრულოდ მცირე ან „ზეპატარა“.

ჩვენ ვიღებთ პასუხს: ამ ფუნქციის ზღვარი უსასრულობისკენ მიდრეკილი ცვლადით უდრის .

მაგალითი 2. .

გამოსავალი. აქ არის ცვლადის უმაღლესი სიმძლავრე xუდრის 1. მაშასადამე, მრიცხველი და მნიშვნელი ვანაწილებთ ნაწილზე ვყოფთ x:

.

კომენტარი გადაწყვეტილების მიმდინარეობის შესახებ. მრიცხველში ვატარებთ „x“-ს მესამე ხარისხის ფესვის ქვეშ და ისე, რომ მისი საწყისი ხარისხი (1) უცვლელი დარჩეს, მას მივანიჭებთ იმავე ხარისხს, როგორც ფესვს, ანუ 3. არ არის ისრები ან დამატებითი რიცხვები. ამ ჩანაწერში, ასე რომ, სცადეთ გონებრივად, მაგრამ წინა მაგალითის ანალოგიით, დაადგინეთ, თუ რისკენ მიისწრაფვიან მრიცხველისა და მნიშვნელის გამონათქვამები „x“-ის ნაცვლად უსასრულობის ჩანაცვლების შემდეგ.

მივიღეთ პასუხი: ამ ფუნქციის ზღვარი უსასრულობისკენ მიდრეკილი ცვლადით უდრის ნულს.

სახეობების გაურკვევლობა

მაგალითი 3.აღმოაჩინე გაურკვევლობა და იპოვე ზღვარი.

გამოსავალი. მრიცხველი არის კუბების სხვაობა. მოდით გავამრავლოთ იგი სასკოლო მათემატიკის კურსიდან გამრავლების შემოკლებული ფორმულის გამოყენებით:

მნიშვნელი შეიცავს კვადრატულ ტრინომს, რომელსაც ჩვენ განვასხვავებთ კვადრატული განტოლების ამოხსნით (კიდევ ერთხელ ბმული კვადრატული განტოლებების ამოხსნით):

ჩამოვწეროთ გარდაქმნების შედეგად მიღებული გამოხატულება და ვიპოვოთ ფუნქციის ზღვარი:

მაგალითი 4.გახსენით გაურკვევლობა და იპოვეთ ლიმიტი

გამოსავალი. კოეფიციენტის ლიმიტის თეორემა აქ არ გამოიყენება, ვინაიდან

მაშასადამე, ჩვენ გარდაქმნით წილადს იდენტურად: ვამრავლებთ მრიცხველს და მნიშვნელს ბინომის კონიუგატზე მნიშვნელზე და ვამცირებთ x+1. თეორემა 1-ის დასკვნის მიხედვით ვიღებთ გამონათქვამს, რომლის ამოხსნისას ვპოულობთ სასურველ ზღვარს:

მაგალითი 5.გახსენით გაურკვევლობა და იპოვეთ ლიმიტი

გამოსავალი. პირდაპირი მნიშვნელობის ჩანაცვლება x= 0 მოცემულ ფუნქციაში იწვევს 0/0 ფორმის გაურკვევლობას. მის გამოსავლენად ვასრულებთ იდენტურ გარდაქმნებს და საბოლოოდ ვიღებთ სასურველ ზღვარს:

მაგალითი 6.გამოთვალეთ

გამოსავალი:მოდით გამოვიყენოთ თეორემები ლიმიტებზე

პასუხი: 11

მაგალითი 7.გამოთვალეთ

გამოსავალი:ამ მაგალითში მრიცხველისა და მნიშვნელის ზღვრები 0-ის ტოლია:

; . ჩვენ მივიღეთ, მაშასადამე, თეორემა კოეფიციენტის ზღვარზე არ შეიძლება გამოყენებულ იქნას.

მოდით გავამრავლოთ მრიცხველი და მნიშვნელი, რათა წილადი შევამციროთ ნულისკენ მიდრეკილი საერთო კოეფიციენტით და, მაშასადამე, შევძლებთ მე-3 თეორემის გამოყენებას.

მოდით გავაფართოვოთ კვადრატული ტრინომი მრიცხველში ფორმულის გამოყენებით, სადაც x 1 და x 2 არის ტრინომის ფესვები. ფაქტორული და მნიშვნელის შემდეგ შეამცირეთ წილადი (x-2) და გამოიყენეთ თეორემა 3.

პასუხი:

მაგალითი 8.გამოთვალეთ

გამოსავალი:როდესაც მრიცხველი და მნიშვნელი მიდრეკილია უსასრულობისკენ, შესაბამისად, მე-3 თეორემის უშუალო გამოყენებისას, ჩვენ ვიღებთ გამონათქვამს, რომელიც წარმოადგენს გაურკვევლობას. ამ ტიპის გაურკვევლობის თავიდან ასაცილებლად, თქვენ უნდა გაყოთ მრიცხველი და მნიშვნელი არგუმენტის უმაღლეს ხარისხზე. ამ მაგალითში, თქვენ უნდა გაყოთ X:

პასუხი:

მაგალითი 9.გამოთვალეთ

გამოსავალი: x 3:

პასუხი: 2

მაგალითი 10.გამოთვალეთ

გამოსავალი:როდესაც მრიცხველი და მნიშვნელი მიდრეკილია უსასრულობისკენ. მრიცხველი და მნიშვნელი გავყოთ არგუმენტის უმაღლეს ხარისხზე, ე.ი. x 5:

=

წილადის მრიცხველი მიდრეკილია 1-ისკენ, მნიშვნელი 0-ისკენ, ასე რომ, წილადი მიისწრაფვის უსასრულობისკენ.

პასუხი:

მაგალითი 11.გამოთვალეთ

გამოსავალი:როდესაც მრიცხველი და მნიშვნელი მიდრეკილია უსასრულობისკენ. მრიცხველი და მნიშვნელი გავყოთ არგუმენტის უმაღლეს ხარისხზე, ე.ი. x 7:

პასუხი: 0

წარმოებული.

y = f(x) ფუნქციის წარმოებული x არგუმენტის მიმართეწოდება მისი y ნამატის შეფარდების ზღვარი x არგუმენტის x ნამატთან, როცა არგუმენტის ზრდა ნულისკენ მიისწრაფვის: . თუ ეს ზღვარი სასრულია, მაშინ ფუნქცია y = f(x)ამბობენ, რომ დიფერენცირებადია x წერტილში. თუ ეს ლიმიტი არსებობს, მაშინ ისინი ამბობენ, რომ ფუნქცია y = f(x)აქვს უსასრულო წარმოებული x წერტილში.

ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულები:

1. (const)=0 9.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

დიფერენცირების წესები:

ა)

V)

მაგალითი 1.იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

გამოსავალი:თუ მეორე წევრის წარმოებული ნაპოვნია წილადების დიფერენცირების წესის გამოყენებით, მაშინ პირველი წევრი რთული ფუნქციაა, რომლის წარმოებულიც გვხვდება ფორმულით:

, სად , მაშინ

ამოხსნისას გამოიყენეს შემდეგი ფორმულები: 1,2,10,a,c,d.

პასუხი:

მაგალითი 21.იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

გამოსავალი:ორივე ტერმინი რთული ფუნქციაა, სადაც პირველი , , და მეორე , , შემდეგ

პასუხი:

წარმოებული აპლიკაციები.

1. სიჩქარე და აჩქარება

მოდით აღწეროთ ფუნქცია s(t). პოზიციაობიექტი ზოგიერთ კოორდინატულ სისტემაში t დროს. მაშინ s(t) ფუნქციის პირველი წარმოებული არის მყისიერი სიჩქარეობიექტი:
v=s′=f′(t)
s(t) ფუნქციის მეორე წარმოებული წარმოადგენს მყისიერს აჩქარებაობიექტი:
w=v′=s′′=f′′(t)

2. ტანგენტის განტოლება
y−y0=f′(x0)(x−x0),
სადაც (x0,y0) არის ტანგენტის წერტილის კოორდინატები, f′(x0) არის f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა ტანგენტის წერტილში.

3. ნორმალური განტოლება
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),

სადაც (x0,y0) არის იმ წერტილის კოორდინატები, სადაც ნორმაა შედგენილი, f′(x0) არის f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა ამ წერტილში.

4. გაზრდის და შემცირების ფუნქცია
თუ f′(x0)>0, მაშინ ფუნქცია იზრდება x0 წერტილში. ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში ფუნქცია იზრდება x-ით x2.
თუ f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1თუ f′(x0)=0 ან წარმოებული არ არსებობს, მაშინ ეს კრიტერიუმი არ გვაძლევს საშუალებას განვსაზღვროთ x0 წერტილში ფუნქციის ერთფეროვნების ბუნება.

5. ფუნქციის ლოკალური ექსტრემი
ფუნქცია f(x) აქვს ადგილობრივი მაქსიმუმი x1 წერტილში, თუ არის x1 წერტილის მეზობლობა ისეთი, რომ ყველა x ამ სამეზობლოდან არის f(x1)≥f(x) უტოლობა.
ანალოგიურად აქვს f(x) ფუნქციას ადგილობრივი მინიმალური x2 წერტილში, თუ არსებობს x2 წერტილის ისეთი მეზობლობა, რომ ყველა x ამ სამეზობლოდან არის f(x2)≤f(x) უტოლობა.

6. კრიტიკული წერტილები
წერტილი x0 არის კრიტიკული წერტილიფუნქცია f(x), თუ მასში წარმოებული f′(x0) ნულის ტოლია ან არ არსებობს.

7. ექსტრემის არსებობის პირველი საკმარისი ნიშანი
თუ ფუნქცია f(x) იზრდება (f′(x)>0) ყველა x-ისთვის რაღაც ინტერვალში (a,x1] და მცირდება (f′(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) ყველა x-ისთვის ინტერვალიდან )