მთელი განტოლება და მისი ფესვები. პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

IN ეს გაკვეთილიჩვენ ვაგრძელებთ თემის "განტოლება ერთ ცვლადში" შესწავლას. შეგახსენებთ, რომ აბსოლუტურად ნებისმიერი განტოლების გადასაჭრელად, აუცილებელია არგუმენტების ყველა შესაფერისი მნიშვნელობის პოვნა, რომელიც განტოლებას ნამდვილ თანასწორობას აქცევს. შესაფერისი მნიშვნელობა ან მნიშვნელობა უცნობი ან განტოლების ფესვები- ეს ყველაფერი სინონიმებია და აუცილებელია მათი პოვნა ან დამტკიცება, რომ განტოლებაში ფესვები არ არის.

მართალია, ახლა ღირს ამაზე საუბარი მთელი განტოლება„და რამდენი ფესვი აქვს. აქედან გამომდინარე, აუცილებელია შემდეგი ორი მაგალითის გათვალისწინება.

"x" კუბსა და "x"-ს შორის სხვაობის კვადრატი მეხუთე ხარისხამდე ტოლია "x" მეექვსე ხარისხამდე მინუს ორჯერ სხვაობა "x"-სა და ერთს შორის.

მეორე განტოლებაში x მეოთხე ხარისხამდე მინუს ერთი გაყოფილი ოთხზე მინუს x კვადრატზე პლუს ერთი გაყოფილი ორზე უდრის სამ x კვადრატს.

თუ ყურადღებით დააკვირდებით, ამ განტოლებების ორივე მხარე თავისთავად მთლიანი გამონათქვამებია. ეს არის მთელი განტოლება. ახლა ღირს გარკვევა მთელი განტოლების განსაზღვრა ერთი ცვლადით (ეს არის განტოლება, სადაც ორივე მხარე არის მთელი რიცხვი ).

რა მოხდება, თუ გავამარტივებთ მაგალითებს? პირველ განტოლებაში ჯერ ვხსნით ფრჩხილებს, შემდეგ კი ყველა ტერმინს გადავიტანთ მარცხენა მხარეს და მივაქვთ მსგავსი ტერმინები. ყველა შესრულებული ტრანსფორმაცია საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ მნიშვნელობა: "x" მეხუთე ხარისხზე გამოკლებული ორი "x" კუბური პლუს ორი "x" გამოკლებული ერთი უდრის ნულს. მეორე განტოლებაში ვიმეორებთ შესრულებულ ტრანსფორმაციის ოპერაციებს. თუმცა, ჩვენ თავიდან ვაშორებთ მნიშვნელს განტოლების ოთხზე გამრავლებით. ასე რომ, ჩვენ მივიღებთ x მეოთხე ხარისხს მინუს თოთხმეტი x კვადრატში გამოკლებული სამი უდრის ნულს. ჩვენ განვახორციელეთ არაერთი ტრანსფორმაცია პირველ და მეორე განტოლებებში, მაგრამ მათ არ შეცვალეს მნიშვნელობები, არამედ მიგვიყვანა მხოლოდ ეკვივალენტურ განტოლებამდე.

შეგახსენებთ, რომ ეკვივალენტურ განტოლებებს ეკვივალენტსაც უწოდებენ. ეკვივალენტობა ქმნის დამატებითი თვისებებიგანტოლებები: სიმეტრია (როდესაც პირველი განტოლება უდრის მეორეს, მაშინ მეორე უდრის პირველს) და გარდამავალობა (თუ გვაქვს სამი განტოლება, სადაც პირველი უდრის მეორეს, ხოლო მეორე უდრის მესამეს, მაშინ ეს ნიშნავს, რომ პირველი უდრის მესამეს). განტოლებათა ეკვივალენტობის მოხერხებულობა მდგომარეობს იმაში, რომ მათზე შეიძლება განხორციელდეს მრავალი გამარტივება, რაც ხელს უწყობს ამოხსნის გამარტივებას.

შედეგად, ჩვენ ვხედავთ შემდეგი ფორმის განტოლებას: „x“-ის „P“ უდრის ნულს, სადაც „x“-ის „P“ არის მრავალწევრი. სტანდარტული ხედი. აბსოლუტურად ნებისმიერი მთლიანი განტოლება შეიძლება შეიცვალოს ეკვივალენტით, სადაც ერთი ნაწილი არის სტანდარტული ფორმის პოლინომი, ხოლო მეორე არის ნული. განტოლებას შეიძლება ჰქონდეს ნოტაციის ფორმატი, სადაც "P" "x"-დან არის სტანდარტული ფორმის პოლინომი. ამ ფორმით, განტოლების ხარისხი არის მრავალწევრის ხარისხი. თუ ავიღებთ თვითნებურ მთლიან განტოლებას, მაშინ მისი ხარისხი არის ეკვივალენტური განტოლების ხარისხი, რომელსაც აქვს ფორმა „P“ „x“-დან ნულის ტოლია. აქ "P" "x"-დან არის სტანდარტული ფორმის მრავალწევრი. ანუ მივიღებთ, რომ პირველი განტოლება არის მეხუთე ხარისხის განტოლება, ხოლო მეორე არის მეოთხე ხარისხის განტოლება.

თუ ვსაუბრობთ ელემენტარული მაგალითი, სადაც განტოლებას აქვს პირველი ხარისხის ერთი ცვლადი, მაშინ მას აქვს შემდეგი ფორმატი: „ცულის“ და „ბ“-ის ჯამი ნულის ტოლია. უცნობი ცვლადი არის "x", ხოლო "a" და "b" არის რამდენიმე რიცხვი. უფრო მეტიც, „ა“ არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, რადგან ის არის „x“ ცვლადის კოეფიციენტი და წინააღმდეგ შემთხვევაში ცვლადი ქრება. როდესაც ვაკეთებთ აუცილებელ გარდაქმნებს, ვხედავთ, თუ რას უდრის „x“ (მინუს „b“ გაყოფილი „ა“-ზე). ეს არის განტოლების ფესვი ან მისი მნიშვნელობა (ისინი ასევე ამბობენ, რომ ფესვი აკმაყოფილებს ეს განტოლება). შეიძლება გაჩნდეს კითხვა: რატომ მაინცდამაინც გაირკვეს, რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას? პასუხი მარტივია: ამ გზით ჩვენ გავიგებთ რამდენი გამოსავალი აქვს მას. მაგალითად, პირველი ხარისხის განტოლების უპირატესობა ის არის, რომ მას აქვს მხოლოდ ერთი ამონახსნი (ფესვი).

სანამ უფრო რთულ მაგალითებზე გადავიდოდეთ, საჭიროა გავიხსენოთ, რა ოპერაციების შესრულება შეიძლება განტოლებების გარდაქმნისთვის. Მათ შორის:

• განტოლების ნებისმიერ ნაწილში ფრჩხილების გაფართოება;
• მსგავსების მოყვანა განტოლების ნებისმიერ ნაწილზე;
• ნებისმიერი წევრის სხვა ნაწილზე გადაყვანა, რომელმაც ადრე შეცვალა მისი ნიშანი საპირისპიროდ;
• განტოლების ორივე მხარეს ერთი და იგივე გამოხატვის დამატება;
• განტოლების ორივე მხრიდან ერთი და იგივე გამოხატვის გამოკლება;
• გამრავლება და გაყოფა განტოლების ორივე მხარეს ნულის გარდა სხვა რიცხვზე. თუმცა ამ ქონებასშეუძლია ახალი ფესვების დამატება ან მათი მოშორება.

ასეთი გარდაქმნების სერიის განხორციელების შემდეგ, ჩვენ ვიღებთ ეკვივალენტურ განტოლებას.

ახლა მოდით შევხედოთ მეორე ხარისხის განტოლებას. ის შეიძლება შემცირდეს "ცულის" კვადრატში, "bx" და "c" ჯამის სახით. ნულის ტოლი. აქ ჩვენ ვხედავთ ცვლადს „x“, ისევე როგორც ზოგიერთ რიცხვს (კერძოდ, „a“ არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, რადგან მაშინ მეორე ხარისხის განტოლება გადაიქცევა პირველი ხარისხის განტოლებად). იმისათვის, რომ გავიგოთ, რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას, საჭიროა ვიპოვოთ დისკრიმინაციული "D" მნიშვნელობა, რომლის ფორმულა არის განსხვავება "b" კვადრატსა და ოთხ "ac"-ს შორის. როდესაც ჩვენ ვიპოვით დისკრიმინანტს, გვესმის, რომ განტოლებას შეიძლება ჰქონდეს ორი ამონახსნი (თუ დისკრიმინანტი მეტია ნულზე), შეიძლება ჰქონდეს ერთი ფესვი (თუ ნულის ტოლი) და არ აქვთ ფესვები (თუ ნულზე ნაკლებია). მეორე ხარისხის განტოლებას არ შეიძლება ჰქონდეს ორზე მეტი ფესვი. იმ შემთხვევებში, როდესაც არსებობს ორი გამოსავალი, ხელმისაწვდომია ძირეული ფორმულა, სადაც "x" უდრის მინუს "b" პლუს დისკრიმინანტის ფესვი გაყოფილი ორ "a"-ზე.

მეორე ხარისხის განტოლებას ან კვადრატულ განტოლებას აქვს ფესვი, რომელიც აქცევს ტრინომს ნულს ან ე.წ. თუ ვსაუბრობთ კოეფიციენტებზე, რომლებიც გამოიყენება კვადრატულ განტოლებაში, მაშინ თითოეულს აქვს კონკრეტული სახელი: "a" არის წამყვანი კოეფიციენტი, "b" არის კოეფიციენტი "x" ან მეორე კოეფიციენტი და "c" არის განტოლების თავისუფალი წევრი. არის მაგალითები, როდესაც უფროსი კოეფიციენტი ერთის ტოლი, ამ შემთხვევაში კვადრატულ განტოლებას შემცირებული ეწოდება. მეორე ხარისხის განტოლებაშეიძლება იყოს სრული ან არასრული. არასრული კვადრატული განტოლება არის ის, რომელშიც მეორე კოეფიციენტი ან თავისუფალი წევრი არის ნული. რა არის მეორე ხარისხის განტოლების გრაფიკი? აბსოლუტურად სწორია, ეს არის პარაბოლა, რომელიც სიმეტრიულია ორდინატთა ღერძის მიმართ და შეიძლება ჰქონდეს ფუნქციის მნიშვნელობა ნულიდან პლუს უსასრულობამდე ან ნულიდან მინუს უსასრულობამდე. მოდით, გრაფიკიდან გავიხსენოთ, რამდენი კვეთა შეიძლება ჰქონდეს პარაბოლას, რადგან ფესვების ან ამონახსნების რაოდენობა ამაზეა დამოკიდებული. როდესაც გადაკვეთა ხდება ერთ წერტილში, ანუ წვეროზე, ვიღებთ ერთ ფესვს ან, როგორც ამბობენ, ორ დამთხვევის ფესვს. როდესაც პარაბოლა ორჯერ ხვდება x ღერძს, ეს ნიშნავს, რომ გვაქვს ორი ფესვი ან ორი ამონახსნი. რამდენიმე პრინციპის გამოყენებით, პარაბოლის მიმართულება შეიძლება განისაზღვროს. ძირითადი კოეფიციენტის პოზიტივი მიუთითებს ტოტების ზევით მიმართულებაზე. წამყვანი და მეორე კოეფიციენტების მსგავსება მიუთითებს იმაზე, რომ გრაფიკი მდებარეობს მარცხენა ნახევარსიბრტყეში ორდინატთა ღერძის მიმართ. ამ კოეფიციენტებს შორის განსხვავება მიუთითებს, რომ ფიგურა მარჯვენა მხარეს არის.

თუ ჩვენ ვსაუბრობთ უფრო მაღალი ხარისხის განტოლებებზე, ისინი ასევე შეიძლება შემცირდეს მათ ძირითად ფორმამდე. მაგალითად, მესამე ხარისხის განტოლება ჰგავს "a" და "x" ნამრავლის ჯამს კუბურებად, "b" და "x" კვადრატში, "cx" და d, მაინც ნულის ტოლია. კუბურ განტოლებას ასევე აქვს ფუნქციების გრაფიკი, რომელიც არის დეკარტის სისტემაწარმოდგენილია კუბური პარაბოლის სახით. რაც შეეხება მეოთხე ხარისხის განტოლებას: "a" და "x" ნამრავლის ჯამი მეოთხე ხარისხზე, "b" და "x" კუბურები, "c" და "x" კვადრატში, "dx" და "e" . მეოთხე ხარისხის განტოლება ყველაზე მაღალია, რადგან მხოლოდ მეოთხე ხარისხამდეა შესაძლებელი ამოხსნა რადიკალებით ან სხვადასხვა მნიშვნელობაკოეფიციენტები ყველა შემთხვევაში, "a" არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, რადგან განტოლება გახდება უფრო დაბალი ხარისხის. Გაითვალისწინე n-ე ხარისხის განტოლებას არ შეიძლება ჰქონდეს ფესვების n-ე რიცხვზე მეტი. შესაძლებელია მესამე და მეოთხე ხარისხის განტოლებების ძირეული ფორმულების გამოყვანა, მაგრამ ისინი ძალიან რთული იქნება და მოსწავლეს შეუძლებელი იქნება მათი დამახსოვრება. თუ ვსაუბრობთ მეხუთე და უფრო მაღალი ხარისხის განტოლებებზე, მაშინ ფესვების ფორმულებიც კი არ არის მიღებული. მაშინ როგორ შეგიძლიათ ამოხსნათ მესამე ხარისხის და უფრო მაღალი განტოლებები?

ამ შემთხვევაში აუცილებელია ტექნიკის გამოყენება, რომელიც ხელს შეუწყობს გადაწყვეტის გამარტივებას. პირველი რჩევა არის პოლინომების ფაქტორირება. ვცადოთ განაცხადი ამ ტექნიკასპრაქტიკაში, მაგალითის ამოხსნა "x" კუბი მინუს რვა "x" კვადრატი მინუს "x" პლუს რვა უდრის ნულს. როცა ვაკეთებთ აუცილებელ გარდაქმნებს (ფრჩხილებიდან ვსვამთ „x“ კვადრატს, შემდეგ ვსვამთ განსხვავებას „x“ და რვას ფრჩხილებიდან და ბოლოს ვაფართოებთ მიღებულ ფორმულას). შედეგად, ჩვენ ვხედავთ, რომ სხვაობა "x" და რვა არის ნულის ტოლი, სხვაობა "x" და ერთი უდრის ნულის და ნამრავლი "x" და ერთი ტოლია ნულის. ასე რომ, ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ თავდაპირველ განტოლებას აქვს სამი ფესვი ან სამი მნიშვნელობა (რვა, ერთი და მინუს ერთი).

მეორე ხარისხის განტოლების ამოხსნისას, ზოგჯერ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ახალი ცვლადის შემოღების ტექნიკა. მაგალითად, არის განტოლება, სადაც x კვადრატის ნამრავლი მინუს ხუთ x პლუს ოთხი და x კვადრატში მინუს ხუთ x პლუს ექვსი უდრის ას ოცი. IN ამ მაგალითშიგამოსავლის მოსაძებნად, თქვენ უნდა გადაიტანოთ ყველაფერი მარცხენა მხარეს და გახსნათ ფრჩხილები, გააკეთოთ საჭირო გარდაქმნები. მივიღებთ "x" მეოთხე ხარისხს მინუს ათი "x" კუბური პლუს ოცდათხუთმეტი "x" კუბური მინუს ორმოცდაათი "x" გამოკლებული ოთხმოცდაათი უდრის ნულს. მსგავსებს რომც წარმოვადგინოთ, განტოლება მაინც ძალიან რთული აღმოჩნდება და მისი ამოხსნა აბსოლუტურად შეუძლებელი იქნება. მაშასადამე, მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ფორმულას და ვნახოთ, რომ განსხვავება "x" კვადრატში და ხუთი "x" მეორდება ორივე ფრჩხილში. რა მოხდება, თუ ამ ნაწილის ნაცვლად შემოვიყვანთ ახალ ცვლადს „y“? მაშინ მივიღებთ "y"-ის და ოთხის ჯამის ნამრავლს და "y"-სა და ექვსის, ტოლი ას ოცისა. გამარტივებით, ჩვენ ვიღებთ კვადრატულ განტოლებას ფესვების გამოკლებით თექვსმეტი და ექვსი. ახლა "y"-ის ნაცვლად შეგვიძლია შევცვალოთ სხვაობა "x" კვადრატში და ხუთი "x". განტოლებას "x" კვადრატში მინუს ხუთი "x" უდრის მინუს თექვსმეტს არ აქვს ფესვები, რადგან დისკრიმინანტი უარყოფითია. ხოლო მეორე კვადრატულ განტოლებას აქვს ნულზე მეტი დისკრიმინანტი, ამიტომ მივიღებთ ორ ფესვს: მინუს ერთი და ექვსი.

ახალი ცვლადის შემოღების მეთოდი აადვილებს მეოთხე ხარისხის განტოლებების ამოხსნას, რომლებსაც აქვთ შემდეგი ფორმა: "a" და "x" ნამრავლი მეოთხე ხარისხამდე პლუს "b" და "x" ნამრავლი მეორე სიმძლავრე პლუს "c" უდრის ნულს. ამ შემთხვევაში, "a" არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი. ეს არის მაგალითი ბი კვადრატული განტოლება, რადგან განტოლება არის კვადრატული "x" კვადრატის მიმართ. მოდით გამოვიყენოთ თეორია პრაქტიკაში ცხრა "x" განტოლების ამოხსნით მეოთხე ხარისხზე გამოკლებული ათი "x" მეორე ხარისხზე პლუს ერთი უდრის ნულს. „x“ კვადრატის ნაცვლად შემოგვაქვს ახალი ცვლადი „y“, შემდეგ ვიღებთ კვადრატულ განტოლებას „y“-ით, სადაც დისკრიმინანტი არის ნულის ზემოთ, ანუ მივიღებთ ორ ფესვს: მეცხრე და ერთს. ახლა ჩვენ ვცვლით "x"-ს კვადრატში და ვიღებთ ფესვის "x"-ის ოთხ მნიშვნელობას: მინუს ერთი მესამედი, ერთი მესამედი, მინუს ერთი და ერთი. გამოდის, რომ ორიგინალი ბიკვადრატული განტოლებააქვს ოთხი გამოსავალი.

გაკვეთილის შედეგად შევძელით განზოგადება და შეგვექმნა ცოდნის სისტემა თემაზე „განტოლებები“. ახლა მოსწავლეები შეძლებენ ლოგიკურად ამოხსნას რთული მაგალითებიახალი ტექნიკის გამოყენება და გადაწყვეტის პროცესის ანალიზი. თუ დარჩა Დამატებითი დრო, მაშინ ღირს მოკლე გამოკითხვის ჩატარება სტუდენტებს შორის. დაიწყეთ იმის განმარტებით, თუ რა არის ერთცვლადიანი განტოლება. შემდეგ, სთხოვეთ ისაუბროთ ამოხსნის პროცესზე და რა არის ფესვი, რამდენი ფესვი შეიძლება ჰქონდეს განტოლებას. შემდეგი მნიშვნელოვანი ნაწილიცოდნა - ეკვივალენტური ან ეკვივალენტური განტოლებები, ამიტომ აუცილებელია მოსწავლეებმა დაალაგონ ასეთი განტოლებისთვის დამახასიათებელი თვისებები.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, გადახედოთ ჩვენს კონფიდენციალურობის პრაქტიკას და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

შეიძლება მოგთხოვონ თქვენი პირადი ინფორმაციანებისმიერ დროს დაგვიკავშირდით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• როდესაც თქვენ გაგზავნით მოთხოვნას საიტზე, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, მისამართი ელფოსტადა ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენ მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ უნიკალური შეთავაზებების, აქციებისა და სხვა ღონისძიებების შესახებ და მომავალი მოვლენები.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და კომუნიკაციების გასაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს აქციაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

ინფორმაციის გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვამხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• საჭიროების შემთხვევაში - კანონის, სასამართლო პროცესის, სასამართლო პროცესის შესაბამისად ან/და საჯარო მოთხოვნის ან მოთხოვნის საფუძველზე. სამთავრობო სააგენტოებირუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ გადავწყვეტთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, კანონის აღსრულების ან სხვა საზოგადოებრივი მნიშვნელობის მიზნებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეიძლება გადავიტანოთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მემკვიდრე მესამე მხარეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პერსონალური ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის პატივისცემა კომპანიის დონეზე

თქვენი პერსონალური ინფორმაციის უსაფრთხოების უზრუნველსაყოფად, ჩვენ ვუწოდებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების სტანდარტებს ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

გაკვეთილის თემა: ”მთელი განტოლება და მისი ფესვები”.

მიზნები:

საგანმანათლებლო:

• განიხილოს მთელი განტოლების ამოხსნის გზა ფაქტორიზაციის გამოყენებით;

განვითარებადი:

საგანმანათლებლო:

Კლასი: 9

სახელმძღვანელო:Ალგებრა. მე-9 კლასი: სახელმძღვანელო ამისთვის საგანმანათლებო ინსტიტუტები/ [იუ.ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ. მინდიუკი, კ.ი. ნეშკოვი, ს.ბ. სუვოროვი]; რედაქტორი ს.ა. თელიაკოვსკი.- მე-16 გამოცემა. – მ.: განათლება, 2010 წ

აღჭურვილობა:კომპიუტერი პროექტორით, პრეზენტაცია "მთლიანი განტოლებები"

გაკვეთილების დროს:

ორგანიზების დრო.

უყურეთ ვიდეოს "ყველაფერი შენს ხელშია".

ცხოვრებაში არის მომენტები, როცა ნებდები და თითქოს არაფერი გამოვა. შემდეგ გაიხსენეთ ბრძენის სიტყვები "ყველაფერი შენს ხელშია" და დაე, ეს სიტყვები იყოს ჩვენი გაკვეთილის დევიზი.

ზეპირი სამუშაო.

2x + 6 =10, 14x = 7, x 2 – 16 = 0, x – 3 = 5 + 2x, x 2 = 0,

გაკვეთილის თემის მესიჯი, მიზნები.

დღეს ჩვენ გავეცნობით ახალი ტიპის განტოლებებს - ეს არის მთელი განტოლებები. მოდით ვისწავლოთ როგორ გადავჭრათ ისინი.

ჩავწეროთ ნომერი ნოუთბუქში, საკლასო დავალებადა გაკვეთილის თემა: ”მთელი განტოლება, მისი ფესვები”.

2.საბაზისო ცოდნის განახლება.

ამოხსენით განტოლება:

პასუხები: ა)x = 0; ბ) x =5/3; გ) x = -, ; დ) x = 1/6; - 1/6; ე) არ არის ფესვები; ე) x = 0; 5; - 5; ზ) 0; 1; -2; თ)0; 1; - 1; ი) 0,2; - 0,2; კ) -3; 3.

3.ახალი ცნებების ჩამოყალიბება.

საუბარი სტუდენტებთან:

რა არის განტოლება? (ტოლობა, რომელიც შეიცავს უცნობ რიცხვს)

რა ტიპის განტოლებები იცით? (წრფივი, კვადრატი)

3. რამდენი ფესვი შეიძლება ჰქონდეს წრფივ განტოლებას?) (ერთი, ბევრი და არა ფესვი)

4.რამდენი ფესვი შეიძლება ჰქონდეს კვადრატულ განტოლებას?

რა განსაზღვრავს ფესვების რაოდენობას? (დისკრიმინანტიდან)

რა შემთხვევაში აქვს კვადრატულ განტოლებას 2 ფესვი (D0)

რა შემთხვევაში აქვს კვადრატულ განტოლებას 1 ფესვი? (D=0)

რა შემთხვევაში არ აქვს კვადრატულ განტოლებას ფესვები? (D0)

მთელი განტოლებაარის მარცხენა და მარჯვენა მხარის განტოლება, რომელიც მთლიანი გამოხატულებაა. (ხმამაღლა წაიკითხეთ).

განხილული წრფივი და კვადრატული განტოლებიდან ჩვენ ვხედავთ, რომ ფესვების რაოდენობა არ აღემატება მის ხარისხს.

როგორ ფიქრობთ, შესაძლებელია მისი ფესვების რაოდენობის დადგენა განტოლების ამოხსნის გარეშე? (ბავშვების შესაძლო პასუხები)

გავეცნოთ მთელი განტოლების ხარისხის განსაზღვრის წესს?

თუ განტოლება ერთი ცვლადით არის დაწერილი სახით P(x) = 0, სადაც P(x) არის სტანდარტული ფორმის პოლინომი, მაშინ ამ მრავალწევრის ხარისხს განტოლების ხარისხი ეწოდება. თვითნებური მთელი განტოლების ხარისხი არის P(x) = 0 ფორმის ექვივალენტური განტოლების ხარისხი, სადაც P(x) არის სტანდარტული ფორმის პოლინომი.

განტოლებან ოჰ ხარისხი აღარ აქვსნ ფესვები.

მთელი განტოლება შეიძლება ამოიხსნას რამდენიმე გზით:

მთელი განტოლებების ამოხსნის გზები

ფაქტორიზაცია გრაფიკული შესავალიახალი

ცვლადი

(ჩაწერეთ დიაგრამა რვეულში)

დღეს განვიხილავთ ერთ-ერთ მათგანს: ფაქტორიზაცია შემდეგი განტოლების მაგალითის გამოყენებით: x 3 – 8x 2 – x +8 = 0. (მასწავლებელი განმარტავს დაფაზე, მოსწავლეები წერენ განტოლების ამონახსნებს რვეულში)

რა ჰქვია ფაქტორიზაციის მეთოდს, რომელიც შეიძლება გამოვიყენოთ განტოლების მარცხენა მხარის გასამრავლებლად? (დაჯგუფების მეთოდი). მოდით გავამრავლოთ განტოლების მარცხენა მხარე და ამისათვის დავაჯგუფოთ ტერმინები განტოლების მარცხენა მხარეს.

როდის უდრის ფაქტორების ნამრავლი ნულს? (როდესაც ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია). მოდით გავატოლოთ განტოლების თითოეული ფაქტორი ნულთან.

მოდით ამოხსნათ მიღებული განტოლებები

რამდენი ფესვი მივიღეთ? (ჩაწერეთ ბლოკნოტში)

x 2 (x – 8) – (x – 8) = 0

(x – 8) (x 2 – 1) = 0

(x – 8)(x – 1)(x + 1) = 0

x 1 = 8, x 2 = 1, x 3 = - 1.

პასუხი: 8; 1; -1.

4.უნარებისა და შესაძლებლობების ფორმირება. პრაქტიკული ნაწილი.

No265 სახელმძღვანელოზე მუშაობა (ჩაწერეთ რვეულში)

რა არის განტოლების ხარისხი და რამდენი ფესვი აქვს თითოეულ განტოლებას:

პასუხები: ა) 5, ბ) 6, გ) 5, დ) 2, ე) 1, ვ) 1

№ 266(a)(გადაწყვეტა დაფაზე განმარტებით)

ამოხსენით განტოლება:

5. გაკვეთილის შეჯამება:

კონსოლიდაცია თეორიული მასალა:

რომელ განტოლებას ერთი ცვლადით ეწოდება მთელი რიცხვი? მიეცი მაგალითი.

როგორ მოვძებნოთ მთელი განტოლების ხარისხი? რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას პირველი, მეორე, მე-n ხარისხის ერთ ცვლადთან?

6.რეფლექსია

შეაფასეთ თქვენი სამუშაო. აწიე ხელი ვინ...

1) მშვენივრად ესმოდა თემა

2) კარგად ესმოდა თემა

მე ჯერ კიდევ განვიცდი სირთულეებს

7.Საშინაო დავალება:

პუნქტი 12 (გვ. 75-77 მაგალითი 1) No267 (ა, ბ).

"სტუდენტური საკონტროლო სია"

მოსწავლეთა საკონტროლო სია

მოსწავლეთა საკონტროლო სია

კლასი______ გვარი სახელი ___________________

მოსწავლეთა საკონტროლო სია

კლასი______ გვარი სახელი ___________________

დოკუმენტის შინაარსის ნახვა
"დარიგება"

1. ამოხსენით განტოლებები:

ა) x 2 = 0 ე) x 3 – 25x = 0

ა) x 2 = 0 ე) x 3 – 25x = 0
ბ) 3x – 5 = 0 გ) x(x – 1)(x + 2) = 0
გ) x 2 –5 = 0 სთ) x 4 – x 2 = 0
დ) x 2 = 1/36 ი) x 2 –0.01 = 0.03
ე) x 2 = – 25 j) 19 – c 2 = 10

3. ამოხსენით განტოლებები:

x 2 -5x+6=0 y 2 -4y+7=0 x 2 -12x+36=0

4. ამოხსენით განტოლებები:

I ვარიანტი II ვარიანტი III ვარიანტი

x 3 -1=0 x 3 - 4x=0 x 3 -12x 2 +36x=0

"ტესტი"

გამარჯობა! ახლა შემოგთავაზებთ მათემატიკის ტესტს 4 კითხვით. დააწკაპუნეთ ეკრანზე ღილაკებზე იმ კითხვების ქვეშ, რომლებსაც, თქვენი აზრით, აქვთ სწორი პასუხი. ტესტირების დასაწყებად დააჭირეთ ღილაკს "შემდეგი". Წარმატებები!

1. ამოხსენით განტოლება:

3x + 6 = 0

სწორი

Პასუხის გარეშე

Ფესვები

სწორი

Პასუხის გარეშე

Ფესვები

4. ამოხსენით განტოლება: 0 x = - 4

Ფესვები

Ბევრი

ფესვები

პრეზენტაციის შინაარსის ნახვა
"1"

• ამოხსენით განტოლება:

• ზეპირი სამუშაო

მიზნები:

საგანმანათლებლო:

• განტოლებების შესახებ ინფორმაციის განზოგადება და გაღრმავება; გააცნოს მთელი განტოლების ცნება და მისი ხარისხი, მისი ფესვები; განვიხილოთ მთელი განტოლების ამოხსნის გზა ფაქტორიზაციის გამოყენებით.
• განტოლებების შესახებ ინფორმაციის განზოგადება და გაღრმავება;
• გააცნოს მთელი განტოლების ცნება და მისი ხარისხი, მისი ფესვები;
• განიხილეთ მთელი განტოლების ამოხსნის გზა ფაქტორიზაციის გამოყენებით.

განვითარებადი:

• მათემატიკური და ზოგადი მსოფლმხედველობის განვითარება, ლოგიკური აზროვნება, ანალიზის, დასკვნების გამოტანის უნარი;
• მათემატიკური და ზოგადი მსოფლმხედველობის განვითარება, ლოგიკური აზროვნება, ანალიზის, დასკვნების გამოტანის უნარი;

საგანმანათლებლო:

• განავითარეთ დამოუკიდებლობა, სიცხადე და სიზუსტე ქმედებებში.
• განავითარეთ დამოუკიდებლობა, სიცხადე და სიზუსტე ქმედებებში.

• ფსიქოლოგიური დამოკიდებულება

• ჩვენ ვაგრძელებთ განტოლებების შესახებ ინფორმაციის განზოგადებას და გაღრმავებას;
• გაეცანით მთელი განტოლების ცნებას,

განტოლების ხარისხის კონცეფციით;

• განტოლებების ამოხსნის უნარ-ჩვევების გამომუშავება;
• გააკონტროლოს მატერიალური ათვისების დონე;
• კლასში შეგვიძლია შეცდომები დავუშვათ, ეჭვი შეგვეპაროს და კონსულტაციები.
• თითოეული მოსწავლე ადგენს თავის მითითებებს.

• რა განტოლებებს უწოდებენ მთელ რიცხვებს?
• რა არის განტოლების ხარისხი?
• რამდენი ფესვი აქვს? განტოლება nthგრადუსი?
• პირველი, მეორე და მესამე ხარისხის განტოლებების ამოხსნის მეთოდები.

• Გაკვეთილის გეგმა

ნაჯახი 2 = 0 ე) x 3 - 25x = 0 გ) x 2 –5 = 0 სთ) x 4 - x 2 = 0 დ) x 2 = 1/36 ი) x 2 –0,01 = 0,03 ე) x 2 = – 25 კ) 19 – ს 2 = 10

ამოხსენით განტოლებები:

Მაგალითად:

X²=x³-2(x-1)

• განტოლებები

თუ განტოლება ერთი ცვლადით

დაწერილი როგორც

P(x) = 0, სადაც P(x) არის სტანდარტული ფორმის მრავალწევრი,

მაშინ ამ მრავალწევრის ხარისხი ეწოდება

ამ განტოლების ხარისხი

2x³+2x-1=0 (მე-5 ხარისხი)

14x²-3=0 (მე-4 ხარისხი)

Მაგალითად:

როგორია გაცნობის ხარისხი განტოლებები ჩვენთვის?

• ნაჯახი 2 = 0 ე) x 3 - 25x = 0
• ბ) 3x – 5 = 0 გ) x(x – 1)(x + 2) = 0
• გ) x 2 – 5 = 0 სთ) x 4 - x 2 = 0
• დ) x 2 = 1/36 ი) x 2 – 0,01 = 0,03
• ე) x 2 = – 25 კ) 19 – ს 2 = 10

• ამოხსენით განტოლებები:

• 2 ∙x + 5 =15
• 0∙x = 7

რამდენი ფესვი შეიძლება ჰქონდეს 1 ხარისხის განტოლებას?

არა უმეტეს ერთი!

• ამოხსენით განტოლებები:

• x 2 -5x+6=0 წ 2 -4y+7=0 x 2 -12x+36=0
• D=1, D0, D=-12, D

x 1 =2, x 2 =3 ფესვების გარეშე x=6.

რამდენი ფესვი შეიძლება ჰქონდეს მე ხარისხის განტოლებას? (კვადრატი) ?

არაუმეტეს ორი!

ამოხსენით განტოლებები:

• I ვარიანტი II ვარიანტი III ვარიანტი

x 3 -1=0x 3 - 4x=0x 3 -12x 2 +36x=0

• x 3 =1 x(x 2 - 4)=0 x(x 2 -12x+36)=0

x=1 x=0, x=2, x= -2 x=0, x=6

1 ფესვი 3 ფესვი 2 ფესვი

• რამდენი ფესვი შეიძლება ჰქონდეს I ხარისხის I I ხარისხის განტოლებას?

არაუმეტეს სამი!

• როგორ ფიქრობთ, რამდენი ფესვი შეიძლება ჰქონდეს განტოლებას?

IV, V, VI, VII, ნ ე გრადუსი?

• არაუმეტეს ოთხი, ხუთი, ექვსი, შვიდი ფესვისა!

მეტი საერთოდ ნ ფესვები!

ax²+bx+c=0

Კვადრატული განტოლება

ცული + b = 0

წრფივი განტოლება

არავითარი ფესვები

არავითარი ფესვები

ერთი ფესვი

გავაფართოვოთ განტოლების მარცხენა მხარე

მულტიპლიკატორების მიხედვით:

x²(x-8)-(x-8)=0

პასუხი:=1, =-1.

• ფორმის მესამე ხარისხის განტოლება: ax³+bx²+cx+d=0

ფაქტორიზაციით

(8x-1)(2x-3)-(4x-1)²=38

გავხსნათ ფრჩხილები და მივცეთ

მსგავსი ტერმინები

16x²-24x-2x+3-16x²+8x-138=0

პასუხი: x=-2

გავეცნოთ რაციონალურ და წილად რაციონალურ განტოლებებს, მივცეთ მათი განმარტება, მოვიყვანოთ მაგალითები და ასევე გავაანალიზოთ ამოცანების ყველაზე გავრცელებული ტიპები.

Yandex.RTB R-A-339285-1

რაციონალური განტოლება: განმარტება და მაგალითები

რაციონალური გამონათქვამების გაცნობა იწყება სკოლის მე-8 კლასში. ამ დროს, ალგებრის გაკვეთილებზე მოსწავლეები სულ უფრო ხშირად ხვდებიან განტოლებებით დავალებებს, რომლებიც შენიშვნებში რაციონალურ გამონათქვამებს შეიცავს. მოდით განვაახლოთ ჩვენი მეხსიერება იმის შესახებ, თუ რა არის ეს.

განმარტება 1

რაციონალური განტოლებაარის განტოლება, რომელშიც ორივე მხარე შეიცავს რაციონალურ გამონათქვამებს.

IN სხვადასხვა სარგებელიკიდევ ერთი ფორმულირება შეიძლება მოიძებნოს.

განმარტება 2

რაციონალური განტოლება- ეს არის განტოლება, რომლის მარცხენა მხარე შეიცავს რაციონალურ გამოხატულებას, ხოლო მარჯვენა მხარე შეიცავს ნულს.

ჩვენ მიერ რაციონალური განტოლებების განმარტებები ექვივალენტურია, რადგან ისინი საუბრობენ ერთსა და იმავეზე. ჩვენი სიტყვების სისწორეს ადასტურებს ის ფაქტი, რომ ნებისმიერი რაციონალური გამოთქმისთვის პდა ქგანტოლებები P = Qდა P - Q = 0იქნება ეკვივალენტური გამონათქვამები.

ახლა მოდით შევხედოთ მაგალითებს.

მაგალითი 1

რაციონალური განტოლებები:

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

რაციონალური განტოლებები, ისევე როგორც სხვა ტიპის განტოლებები, შეიძლება შეიცავდეს ცვლადების ნებისმიერ რაოდენობას 1-დან რამდენიმემდე. ჯერ გადავხედავთ მარტივი მაგალითები, რომელშიც განტოლებები შეიცავს მხოლოდ ერთ ცვლადს. შემდეგ კი ჩვენ დავიწყებთ დავალების თანდათანობით გართულებას.

რაციონალური განტოლებები იყოფა ორად დიდი ჯგუფები: მთელი რიცხვები და წილადები. ვნახოთ, რა განტოლებები გავრცელდება თითოეულ ჯგუფზე.

განმარტება 3

რაციონალური განტოლება იქნება მთელი რიცხვი, თუ მისი მარცხენა და მარჯვენა მხარეები შეიცავს მთელ რაციონალურ გამონათქვამებს.

განმარტება 4

რაციონალური განტოლება წილადი იქნება, თუ მისი ერთი ან ორივე ნაწილი შეიცავს წილადს.

წილადი რაციონალური განტოლებები აუცილებლად შეიცავს გაყოფას ცვლადზე ან ცვლადი იმყოფება მნიშვნელში. მთელი განტოლებების წერაში ასეთი დაყოფა არ არსებობს.

მაგალითი 2

3 x + 2 = 0და (x + y) · (3 · x 2 − 1) + x = − y + 0, 5- მთელი რაციონალური განტოლებები. აქ განტოლების ორივე მხარე წარმოდგენილია მთელი რიცხვებით.

1 x - 1 = x 3 და x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5არის წილადი რაციონალური განტოლებები.

მთლიანი რაციონალური განტოლებები მოიცავს წრფივ და კვადრატულ განტოლებებს.

მთელი განტოლებების ამოხსნა

ასეთი განტოლებების ამოხსნა ჩვეულებრივ მოდის მათ ეკვივალენტურ ალგებრულ განტოლებად გადაქცევაზე. ამის მიღწევა შესაძლებელია განტოლებების ეკვივალენტური გარდაქმნების განხორციელებით შემდეგი ალგორითმის მიხედვით:

• პირველ რიგში, ჩვენ ვიღებთ ნულს განტოლების მარჯვენა მხარეს, ამისათვის საჭიროა განტოლების მარჯვენა მხარეს გადავიტანოთ გამონათქვამი და შევცვალოთ ნიშანი;
• შემდეგ განტოლების მარცხენა მხარეს გამოსახულებას ვცვლით სტანდარტული ფორმის მრავალწევრად.

უნდა მივიღოთ ალგებრული განტოლება. ეს განტოლება ორიგინალური განტოლების ექვივალენტური იქნება. მარტივი შემთხვევები საშუალებას გვაძლევს დავიყვანოთ მთელი განტოლება წრფივ ან კვადრატულზე პრობლემის გადასაჭრელად. ზოგადად, ჩვენ ვხსნით ხარისხის ალგებრულ განტოლებას ნ.

მაგალითი 3

აუცილებელია ვიპოვოთ მთელი განტოლების ფესვები 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

გამოსავალი

მოდით გადავიტანოთ ორიგინალური გამოხატულება, რათა მივიღოთ ეკვივალენტური ალგებრული განტოლება. ამისთვის განტოლების მარჯვენა მხარეს მოცემულ გამოსახულებას მარცხენა მხარეს გადავიტანთ და ნიშანს საპირისპირო ნიშნით შევცვლით. შედეგად ვიღებთ: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

ახლა გადავიყვანოთ მარცხენა მხარეს არსებული გამოხატულება სტანდარტული ფორმის მრავალწევრად და შევასრულოთ საჭირო მოქმედებები ამ მრავალწევრთან:

3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = (3 x + 3) (x − 3) − 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 − 9 x + 3 x − 9 − 2 x 2 + x + 3 = x 2 − 5 x − 6

ჩვენ მოვახერხეთ თავდაპირველი განტოლების ამონახსნის შემცირება ფორმის კვადრატული განტოლების ამოხსნამდე x 2 − 5 x − 6 = 0. ამ განტოლების დისკრიმინანტი დადებითია: D = (− 5) 2 − 4 · 1 · (− 6) = 25 + 24 = 49 .Ეს ნიშნავს, ნამდვილი ფესვებიიქნება ორი. მოდი ვიპოვოთ ისინი კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის გამოყენებით:

x = - - 5 ± 49 2 1,

x 1 = 5 + 7 2 ან x 2 = 5 - 7 2,

x 1 = 6 ან x 2 = - 1

შევამოწმოთ ამოხსნის დროს აღმოჩენილი განტოლების ფესვების სისწორე. ამისთვის ჩვენ ვცვლით მიღებულ ნომრებს ორიგინალური განტოლება: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3და 3 · (− 1 + 1) · (− 1 − 3) = (− 1) · (2 ​​· (− 1) − 1) − 3. პირველ შემთხვევაში 63 = 63 , მეორეში 0 = 0 . Ფესვები x = 6და x = - 1მართლაც არის მაგალითში მოცემული განტოლების ფესვები.

პასუხი: 6 , − 1 .

მოდით შევხედოთ რას ნიშნავს "მთელი განტოლების ხარისხი". ამ ტერმინს ხშირად შევხვდებით ისეთ შემთხვევებში, როდესაც საჭიროა მთელი განტოლების ალგებრული სახით წარმოდგენა. მოდით განვსაზღვროთ კონცეფცია.

განმარტება 5

მთელი განტოლების ხარისხიარის ალგებრული განტოლების ხარისხი, რომელიც ექვივალენტურია თავდაპირველი მთელი განტოლების.

თუ ზემოთ მოყვანილი მაგალითიდან გადახედავთ განტოლებებს, შეგიძლიათ დაადგინოთ: მთელი ამ განტოლების ხარისხი მეორეა.

თუ ჩვენი კურსი შემოიფარგლებოდა მეორე ხარისხის განტოლებების ამოხსნით, მაშინ თემის განხილვა შეიძლება ამით დასრულდეს. მაგრამ ეს არც ისე მარტივია. მესამე ხარისხის განტოლებების ამოხსნა სავსეა სირთულეებით. ხოლო მეოთხე ხარისხზე მაღალი განტოლებისთვის არ არსებობს ზოგადი ფორმულებიფესვები. ამ მხრივ, მესამე, მეოთხე და სხვა ხარისხის განტოლებების ამოხსნა ჩვენგან მოითხოვს არაერთი სხვა ტექნიკისა და მეთოდის გამოყენებას.

ყველაზე ხშირად გამოყენებული მიდგომა მთელი რაციონალური განტოლებების ამოხსნისას ემყარება ფაქტორიზაციის მეთოდს. ამ შემთხვევაში მოქმედებების ალგორითმი შემდეგია:

• გამონათქვამს გადავიტანთ მარჯვენა მხრიდან მარცხნივ ისე, რომ ნული დარჩეს ჩანაწერის მარჯვენა მხარეს;
• ჩვენ წარმოვადგენთ მარცხენა მხარეს გამოსახულებას, როგორც ფაქტორების ნამრავლს და შემდეგ გადავდივართ რამდენიმე მარტივი განტოლების სიმრავლეზე.

იპოვეთ განტოლების ამონახსნი (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) .

გამოსავალი

გამონათქვამს გადავიტანთ ჩანაწერის მარჯვენა მხრიდან მარცხნივ საპირისპირო ნიშანი: (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) − 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) = 0. მარცხენა მხარის სტანდარტული ფორმის პოლინომად გადაქცევა შეუსაბამოა იმის გამო, რომ ეს მოგვცემს მეოთხე ხარისხის ალგებრულ განტოლებას: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. კონვერტაციის სიმარტივე არ ამართლებს ყველა სირთულეს ასეთი განტოლების ამოხსნისას.

ბევრად უფრო ადვილია სხვა გზით წასვლა: ავიღოთ საერთო ფაქტორი ფრჩხილებიდან x 2 − 10 x + 13 .ასე რომ, მივდივართ ფორმის განტოლებამდე (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. ახლა ჩვენ ვცვლით შედეგად განტოლებას ორი კვადრატული განტოლების სიმრავლით x 2 − 10 x + 13 = 0და x 2 − 2 x − 1 = 0და იპოვეთ მათი ფესვები დისკრიმინანტის საშუალებით: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

პასუხი: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

ანალოგიურად, შეგვიძლია გამოვიყენოთ ახალი ცვლადის შემოღების მეთოდი. ეს მეთოდი საშუალებას გვაძლევს გადავიდეთ ეკვივალენტურ განტოლებებზე, რომელთა გრადუსები უფრო დაბალია, ვიდრე გრადუსები თავდაპირველი მთელი რიცხვის განტოლებაში.

მაგალითი 5

აქვს თუ არა განტოლებას ფესვები? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

გამოსავალი

თუ ახლა შევეცდებით მთლიანი რაციონალური განტოლების შემცირებას ალგებრულ განტოლებამდე, მივიღებთ მე-4 ხარისხის განტოლებას, რომელსაც არ აქვს რაციონალური ფესვები. აქედან გამომდინარე, გაგვიადვილდება სხვა გზით წასვლა: შემოიტანეთ ახალი ცვლადი y, რომელიც ჩაანაცვლებს განტოლების გამოხატულებას. x 2 + 3 x.

ახლა ჩვენ ვიმუშავებთ მთელ განტოლებაზე (y + 1) 2 + 10 = − 2 · (y − 4). მოდით გადავანაწილოთ მარჯვენა მხარეგანტოლებები მარცხნივ საპირისპირო ნიშნით და განახორციელეთ საჭირო გარდაქმნები. ჩვენ ვიღებთ: y 2 + 4 y + 3 = 0. ვიპოვოთ კვადრატული განტოლების ფესვები: y = − 1და y = − 3.

ახლა გავაკეთოთ საპირისპირო ჩანაცვლება. ვიღებთ ორ განტოლებას x 2 + 3 x = − 1და x 2 + 3 · x = − 3 .მოდით გადავიწეროთ ისინი x 2 + 3 x + 1 = 0 და x 2 + 3 x + 3 = 0. ჩვენ ვიყენებთ კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულას, რათა ვიპოვოთ პირველი განტოლების ფესვები მიღებულიდან: - 3 ± 5 2. მეორე განტოლების დისკრიმინანტი უარყოფითია. ეს ნიშნავს, რომ მეორე განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები.

პასუხი:- 3 ± 5 2

მთელი განტოლებები მაღალი გრადუსისაკმაოდ ხშირად გვხვდება პრობლემებში. არ არის საჭირო მათი შიში. თქვენ მზად უნდა იყოთ განაცხადისთვის არასტანდარტული მეთოდიმათი გადაწყვეტილებები, მათ შორის არაერთი ხელოვნური ტრანსფორმაცია.

წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნა

ჩვენ დავიწყებთ ამ ქვეთემის განხილვას p (x) q (x) = 0 ფორმის წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნის ალგორითმით, სადაც p(x)და q(x)- მთელი რაციონალური გამონათქვამები. სხვა წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნა ყოველთვის შეიძლება დაიყვანოს მითითებული ტიპის განტოლებათა ამოხსნამდე.

ყველაზე ხშირად გამოყენებული მეთოდი p (x) q (x) = 0 განტოლებების ამოსახსნელად ეფუძნება შემდეგ განცხადებას: რიცხვითი წილადი u v, სად ვ- ეს არის რიცხვი, რომელიც განსხვავდება ნულისაგან, ნულის ტოლია მხოლოდ იმ შემთხვევებში, როდესაც წილადის მრიცხველი ნულის ტოლია. ზემოაღნიშნული განცხადების ლოგიკის მიხედვით, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ განტოლების ამონახსნი p (x) q (x) = 0 შეიძლება შემცირდეს ორი პირობის შესრულებამდე: p(x)=0და q(x) ≠ 0. ეს არის საფუძველი p (x) q (x) = 0 ფორმის წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნის ალგორითმის აგებისთვის:

• იპოვნეთ მთელი რაციონალური განტოლების ამონახსნი p(x)=0;
• ვამოწმებთ, დაკმაყოფილებულია თუ არა ხსნარის დროს ნაპოვნი ფესვების მდგომარეობა q(x) ≠ 0.

თუ ეს პირობა დაკმაყოფილებულია, მაშინ ნაპოვნი ფესვი თუ არა, მაშინ ფესვი არ არის პრობლემის გადაწყვეტა.

მაგალითი 6

ვიპოვოთ 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 განტოლების ფესვები.

გამოსავალი

საქმე გვაქვს p (x) q (x) = 0 ფორმის წილად რაციონალურ განტოლებასთან, რომელშიც p (x) = 3 x − 2, q (x) = 5 x 2 − 2 = 0. დავიწყოთ წრფივი განტოლების ამოხსნა 3 x − 2 = 0. ამ განტოლების ფესვი იქნება x = 2 3.

შევამოწმოთ ნაპოვნი ფესვი, რომ ვნახოთ აკმაყოფილებს თუ არა ის პირობას 5 x 2 − 2 ≠ 0. ამისათვის მოდით შევცვალოთ რიცხვითი მნიშვნელობაგამოხატვაში. ვიღებთ: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0.

პირობა შესრულებულია. Ეს ნიშნავს, რომ x = 2 3არის საწყისი განტოლების ფესვი.

პასუხი: 2 3 .

არსებობს წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნის კიდევ ერთი ვარიანტი p (x) q (x) = 0. შეგახსენებთ, რომ ეს განტოლება მთლიანი განტოლების ტოლია p(x)=0რეგიონში მისაღები ღირებულებებისაწყისი განტოლების x ცვლადი. ეს საშუალებას გვაძლევს გამოვიყენოთ შემდეგი ალგორითმი p (x) q (x) = 0 განტოლებების ამოხსნისას:

• განტოლების ამოხსნა p(x)=0;
• იპოვნეთ x ცვლადის დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი;
• ჩვენ ვიღებთ ფესვებს, რომლებიც მდებარეობს x ცვლადის დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონში, როგორც ორიგინალური წილადი რაციონალური განტოლების სასურველი ფესვები.

ამოხსენით განტოლება x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0.

გამოსავალი

პირველ რიგში, მოდით ამოხსნათ კვადრატული განტოლება x 2 − 2 x − 11 = 0. მისი ფესვების გამოსათვლელად ვიყენებთ ფესვების ფორმულას ლუწი მეორე კოეფიციენტისთვის. ვიღებთ D 1 = (− 1) 2 − 1 · (− 11) = 12და x = 1 ± 2 3 .

ახლა ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ ODZ ცვლადი x საწყისი განტოლებისთვის. ეს არის ყველა ის რიცხვი, რისთვისაც x 2 + 3 x ≠ 0. იგივეა რაც x (x + 3) ≠ 0, საიდანაც x ≠ 0, x ≠ − 3.

ახლა შევამოწმოთ, არის თუ არა ამოხსნის პირველ ეტაპზე მიღებული ფესვები x = 1 ± 2 3 x ცვლადის დასაშვები მნიშვნელობების ფარგლებში. ჩვენ ვხედავთ მათ შემოსვლას. ეს ნიშნავს, რომ თავდაპირველ წილადობრივ რაციონალურ განტოლებას აქვს ორი ფესვი x = 1 ± 2 3.

პასუხი: x = 1 ± 2 3

აღწერილი ამოხსნის მეორე მეთოდი უფრო მარტივია, ვიდრე პირველი იმ შემთხვევებში, როდესაც ადვილად იპოვება x ცვლადის დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი და განტოლების ფესვები. p(x)=0ირაციონალური. მაგალითად, 7 ± 4 · 26 9. ფესვები შეიძლება იყოს რაციონალური, მაგრამ დიდი მრიცხველით ან მნიშვნელით. Მაგალითად, 127 1101 და − 31 59 . ეს დაზოგავს დროს მდგომარეობის შემოწმებაზე q(x) ≠ 0: ბევრად უფრო ადვილია გამორიცხოთ ფესვები, რომლებიც არ არის შესაფერისი ODZ-ის მიხედვით.

იმ შემთხვევებში, როდესაც განტოლების ფესვები p(x)=0არის მთელი რიცხვები, უფრო მიზანშეწონილია გამოვიყენოთ აღწერილი ალგორითმებიდან პირველი p (x) q (x) = 0 ფორმის განტოლებების ამოსახსნელად. იპოვნეთ მთელი განტოლების ფესვები უფრო სწრაფად p(x)=0, და შემდეგ შეამოწმეთ არის თუ არა მათთვის პირობა დაკმაყოფილებული q(x) ≠ 0ვიდრე ODZ-ის პოვნა და შემდეგ განტოლების ამოხსნა p(x)=0ამ ODZ-ზე. ეს იმის გამო ხდება, რომ ასეთ შემთხვევებში, როგორც წესი, უფრო ადვილია შემოწმება, ვიდრე დზ-ის პოვნა.

მაგალითი 8

იპოვეთ განტოლების ფესვები (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.

გამოსავალი

დავიწყოთ მთელი განტოლებით (2 x − 1) (x − 6) (x 2 − 5 x + 14) (x + 1) = 0და მისი ფესვების პოვნა. ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ განტოლებების ამოხსნის მეთოდს ფაქტორიზაციის გზით. გამოდის, რომ თავდაპირველი განტოლება უდრის ოთხი განტოლების სიმრავლეს 2 x − 1 = 0, x − 6 = 0, x 2 − 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, რომელთაგან სამი წრფივი და ერთი არის კვადრატული. ფესვების პოვნა: პირველი განტოლებიდან x = 1 2, მეორედან - x = 6, მესამედან – x = 7 , x = − 2 , მეოთხედან – x = - 1.

გადავამოწმოთ მიღებული ფესვები. ჩვენთვის რთულია ამ შემთხვევაში ODZ-ის დადგენა, რადგან ამისთვის მეხუთე ხარისხის ალგებრული განტოლების ამოხსნა მოგვიწევს. უფრო ადვილი იქნება იმ პირობის შემოწმება, რომლის მიხედვითაც განტოლების მარცხენა მხარეს მყოფი წილადის მნიშვნელი ნულამდე არ უნდა გადავიდეს.

მოდი რიგრიგობით ჩავანაცვლოთ ფესვები გამონათქვამში x ცვლადი x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112და გამოთვალეთ მისი ღირებულება:

1 2 5 − 15 1 2 4 + 57 1 2 3 − 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 122 + ≠ 1

6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 · (− 2) 4 + 57 · (− 2) 3 − 13 · (− 2) 2 + 26 · (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 · (− 1) 4 + 57 · (− 1) 3 − 13 · (− 1) 2 + 26 · (− 1) + 112 = 0 .

განხორციელებული შემოწმება საშუალებას გვაძლევს დავადგინოთ, რომ თავდაპირველი წილადი რაციონალური განტოლების ფესვები არის 1 2, 6 და − 2 .

პასუხი: 1 2 , 6 , - 2

მაგალითი 9

იპოვეთ წილადი რაციონალური განტოლების ფესვები 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0.

გამოსავალი

დავიწყოთ განტოლებით მუშაობა (5 x 2 − 7 x − 1) (x − 2) = 0. მოდი ვიპოვოთ მისი ფესვები. ჩვენთვის უფრო ადვილია წარმოვიდგინოთ ეს განტოლება, როგორც კვადრატული და წრფივი განტოლებები 5 x 2 − 7 x − 1 = 0და x − 2 = 0.

ფესვების საპოვნელად ვიყენებთ კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულას. პირველი განტოლებიდან ვიღებთ ორ ფესვს x = 7 ± 69 10, ხოლო მეორედან x = 2.

ჩვენთვის საკმაოდ რთული იქნება ფესვების მნიშვნელობის ორიგინალური განტოლებით ჩანაცვლება პირობების შესამოწმებლად. უფრო ადვილი იქნება x ცვლადის ODZ-ის დადგენა. ამ შემთხვევაში, x ცვლადის ODZ არის ყველა რიცხვი, გარდა იმ რიცხვებისა, რომელთათვისაც პირობა დაკმაყოფილებულია x 2 + 5 x − 14 = 0. ვიღებთ: x ∈ - ∞, - 7 ∪ - 7, 2 ∪ 2, + ∞.

ახლა შევამოწმოთ, ეკუთვნის თუ არა ჩვენს მიერ ნაპოვნი ფესვები x ცვლადის დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონს.

ფესვები x = 7 ± 69 10 ეკუთვნის, შესაბამისად, ისინი თავდაპირველი განტოლების ფესვებია და x = 2- არ ეკუთვნის, მაშასადამე, ის უცხო ფესვია.

პასუხი: x = 7 ± 69 10 .

ცალ-ცალკე განვიხილოთ შემთხვევები, როდესაც p (x) q (x) = 0 ფორმის წილადი რაციონალური განტოლების მრიცხველი შეიცავს რიცხვს. ასეთ შემთხვევებში, თუ მრიცხველი შეიცავს ნულის გარდა სხვა რიცხვს, მაშინ განტოლებას ფესვები არ ექნება. თუ ეს რიცხვი ნულის ტოლია, მაშინ განტოლების ფესვი იქნება ნებისმიერი რიცხვი ODZ-დან.

მაგალითი 10

ამოხსენით წილადი რაციონალური განტოლება - 3, 2 x 3 + 27 = 0.

გამოსავალი

ამ განტოლებას არ ექნება ფესვები, რადგან განტოლების მარცხენა მხარეს მდებარე წილადის მრიცხველი შეიცავს არანულოვან რიცხვს. ეს ნიშნავს, რომ x-ის არც ერთი მნიშვნელობის შემთხვევაში პრობლემის დებულებაში მოცემული წილადის მნიშვნელობა ნულის ტოლი იქნება.

პასუხი:ფესვების გარეშე.

მაგალითი 11

ამოხსენით განტოლება 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

გამოსავალი

ვინაიდან წილადის მრიცხველი შეიცავს ნულს, განტოლების ამონახსნი იქნება ნებისმიერი x მნიშვნელობა x ცვლადის ODZ-დან.

ახლა განვსაზღვროთ ODZ. იგი მოიცავს x-ის ყველა მნიშვნელობას, რომლისთვისაც x 4 + 5 x 3 ≠ 0. განტოლების ამონახსნები x 4 + 5 x 3 = 0არიან 0 და − 5 , ვინაიდან ეს განტოლება განტოლების ტოლფასია x 3 (x + 5) = 0, და ეს თავის მხრივ უდრის ორი განტოლების კომბინაციას x 3 = 0 და x + 5 = 0, სადაც ეს ფესვები ჩანს. მივდივართ დასკვნამდე, რომ მისაღები მნიშვნელობების სასურველი დიაპაზონი არის ნებისმიერი x გარდა x = 0და x = − 5.

გამოდის, რომ წილადი რაციონალური განტოლება 0 x 4 + 5 x 3 = 0 აქვს უსასრულო ნაკრებიამონახსნები, რომლებიც არის ნებისმიერი რიცხვი, გარდა ნულისა და - 5-ისა.

პასუხი: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

ახლა მოდით ვისაუბროთ წილადის რაციონალურ განტოლებებზე თვითნებური ტიპიდა მათი გადაჭრის მეთოდები. ისინი შეიძლება დაიწეროს როგორც r(x) = s(x), სად r(x)და s(x)- რაციონალური გამონათქვამები და ერთი მათგანი მაინც არის წილადი. ასეთი განტოლებების ამოხსნა მცირდება p (x) q (x) = 0 ფორმის განტოლებების ამოხსნამდე.

ჩვენ უკვე ვიცით, რომ ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ ეკვივალენტური განტოლება განტოლების მარჯვენა მხრიდან მარცხნივ საპირისპირო ნიშნით გამოხატვის გადატანით. ეს ნიშნავს, რომ განტოლება r(x) = s(x)განტოლების ტოლფასია r (x) − s (x) = 0. ჩვენ ასევე უკვე განვიხილეთ რაციონალური გამოხატვის რაციონალურ წილადად გადაქცევის გზები. ამის წყალობით, ჩვენ შეგვიძლია მარტივად გარდაქმნათ განტოლება r (x) − s (x) = 0 p (x) q (x) ფორმის იდენტურ რაციონალურ წილადად.

ასე რომ, ჩვენ გადავდივართ თავდაპირველი წილადი რაციონალური განტოლებიდან r(x) = s(x) p (x) q (x) = 0 ფორმის განტოლებამდე, რომლის ამოხსნა უკვე ვისწავლეთ.

გასათვალისწინებელია, რომ გადასვლების განხორციელებისას r (x) − s (x) = 0 p(x)q(x) = 0-მდე და შემდეგ p(x)=0შეიძლება არ გავითვალისწინოთ x ცვლადის დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონის გაფართოება.

სავსებით შესაძლებელია, რომ თავდაპირველი განტოლება r(x) = s(x)და განტოლება p(x)=0გარდაქმნების შედეგად ისინი შეწყვეტენ ეკვივალენტობას. შემდეგ განტოლების ამონახსნი p(x)=0შეუძლია მოგვცეს ფესვები, რომლებიც უცხო იქნება r(x) = s(x). ამასთან დაკავშირებით, თითოეულ შემთხვევაში აუცილებელია გადამოწმების ჩატარება ზემოთ აღწერილი რომელიმე მეთოდის გამოყენებით.

იმისათვის, რომ გაგიადვილოთ თემის შესწავლა, ჩვენ შევაჯამეთ ყველა ინფორმაცია ფორმის წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნის ალგორითმში. r(x) = s(x):

• გამონათქვამს გადავიტანთ მარჯვენა მხრიდან საპირისპირო ნიშნით და მარჯვნივ მივიღებთ ნულს;
• თავდაპირველი გამოხატვის გარდაქმნა რაციონალურ წილადად p (x) q (x) , თანმიმდევრულად ასრულებს მოქმედებებს წილადებთან და მრავალწევრებთან;
• განტოლების ამოხსნა p(x)=0;
• ჩვენ იდენტიფიცირებთ უცხო ფესვებს ODZ-თან მათი კუთვნილების შემოწმებით ან თავდაპირველ განტოლებაში ჩანაცვლებით.

ვიზუალურად, მოქმედებების ჯაჭვი ასე გამოიყურება:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → აღმოფხვრა გარე ფესვები

მაგალითი 12

ამოხსენით წილადი რაციონალური განტოლება x x + 1 = 1 x + 1 .

გამოსავალი

გადავიდეთ განტოლებაზე x x + 1 - 1 x + 1 = 0. გადავიყვანოთ განტოლების მარცხენა მხარეს წილადი რაციონალური გამოხატულება p (x) q (x) ფორმაში.

ამისათვის ჩვენ მოგვიწევს მოყვანა რაციონალური წილადებირომ საერთო მნიშვნელიდა გაამარტივე გამოთქმა:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)

იმისათვის, რომ ვიპოვოთ განტოლების ფესვები - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, უნდა ამოხსნათ განტოლება − 2 x − 1 = 0. ჩვენ ვიღებთ ერთ ფესვს x = - 1 2.

ჩვენ მხოლოდ უნდა შევამოწმოთ რომელიმე მეთოდის გამოყენებით. მოდით შევხედოთ ორივე მათგანს.

მოდით ჩავანაცვლოთ მიღებული მნიშვნელობა თავდაპირველ განტოლებაში. ჩვენ ვიღებთ - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1. ჩვენ მივედით სწორ რიცხვობრივ ტოლობამდე − 1 = − 1 . Ეს ნიშნავს, რომ x = − 1 2არის საწყისი განტოლების ფესვი.

ახლა მოდით შევამოწმოთ ODZ-ის მეშვეობით. მოდით განვსაზღვროთ x ცვლადის დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი. ეს იქნება რიცხვების მთელი სიმრავლე, − 1 და 0-ის გარდა (x = − 1-ზე და x=0-ზე, წილადების მნიშვნელები ქრება). ფესვი ჩვენ მივიღეთ x = − 1 2ეკუთვნის ODZ-ს. ეს ნიშნავს, რომ ეს არის საწყისი განტოლების ფესვი.

პასუხი: − 1 2 .

მაგალითი 13

იპოვეთ x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x განტოლების ფესვები.

გამოსავალი

საქმე გვაქვს წილადის რაციონალურ განტოლებასთან. ამიტომ, ჩვენ ვიმოქმედებთ ალგორითმის მიხედვით.

გადავიტანოთ გამონათქვამი მარჯვენა მხრიდან მარცხნივ საპირისპირო ნიშნით: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

განვახორციელოთ საჭირო გარდაქმნები: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.

მივდივართ განტოლებამდე x = 0. ამ განტოლების ფესვი არის ნული.

მოდით შევამოწმოთ, არის თუ არა ეს ფესვი საწყისი განტოლებისთვის უცხო. მოდით ჩავანაცვლოთ მნიშვნელობა თავდაპირველ განტოლებაში: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0. როგორც ხედავთ, მიღებულ განტოლებას აზრი არ აქვს. ეს ნიშნავს, რომ 0 არის უცხო ფესვი, ხოლო თავდაპირველ წილადი რაციონალურ განტოლებას ფესვები არ აქვს.

პასუხი:ფესვების გარეშე.

თუ ალგორითმში არ ჩავრთეთ სხვები ექვივალენტური გარდაქმნები, ეს არ ნიშნავს რომ მათი გამოყენება შეუძლებელია. ალგორითმი უნივერსალურია, მაგრამ ის შექმნილია დასახმარებლად და არა შეზღუდვისთვის.

მაგალითი 14

ამოხსენით განტოლება 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

გამოსავალი

უმარტივესი გზაა მოცემული წილადი რაციონალური განტოლების ალგორითმის მიხედვით ამოხსნა. მაგრამ არსებობს სხვა გზა. განვიხილოთ.

გამოვაკლოთ 7 მარჯვენა და მარცხენა მხარეს, მივიღებთ: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24.

აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ მარცხენა მხარის მნიშვნელში გამოსახული უნდა იყოს რიცხვის ტოლი საპასუხო ნომერიმარჯვენა მხრიდან, ანუ 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7.

გამოვაკლოთ 3 ორივე მხარეს: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. ანალოგიით, 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, საიდანაც 1 5 - x 2 = 1 3 და შემდეგ 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2

მოდით შევამოწმოთ იმის დასადგენად, არის თუ არა ნაპოვნი ფესვები თავდაპირველი განტოლების ფესვები.

პასუხი: x = ± 2

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter