უსასრულო კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ფორმულა. არითმეტიკული და გეომეტრიული პროგრესიები

გეომეტრიული პროგრესიაარანაკლებ მნიშვნელოვანია მათემატიკაში არითმეტიკასთან შედარებით. გეომეტრიული პროგრესია არის b1, b2,..., b[n] რიცხვების თანმიმდევრობა, რომელთა ყოველი შემდეგი წევრი მიიღება წინა რიცხვის მუდმივ რიცხვზე გამრავლებით. ამ რიცხვს, რომელიც ასევე ახასიათებს ზრდის ან პროგრესირების ტემპს, ე.წ გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელიდა აღვნიშნავთ

გეომეტრიული პროგრესიის სრულად დასაზუსტებლად, მნიშვნელის გარდა, აუცილებელია მისი პირველი წევრის ცოდნა ან განსაზღვრა. მნიშვნელის დადებითი მნიშვნელობისთვის პროგრესია არის მონოტონური მიმდევრობა და თუ რიცხვების ეს თანმიმდევრობა მონოტონურად კლებადია და თუ ის მონოტონურად იზრდება. შემთხვევა, როდესაც მნიშვნელი ერთის ტოლია, პრაქტიკაში არ განიხილება, რადგან გვაქვს იდენტური რიცხვების თანმიმდევრობა და მათი ჯამი პრაქტიკული ინტერესი არ არის.

გეომეტრიული პროგრესიის ზოგადი ტერმინიგამოითვლება ფორმულით

გეომეტრიული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამიგანისაზღვრება ფორმულით

მოდით შევხედოთ კლასიკური გეომეტრიული პროგრესიის ამოცანების გადაწყვეტილებებს. დავიწყოთ ყველაზე მარტივი გასაგებად.

მაგალითი 1. გეომეტრიული პროგრესიის პირველი წევრია 27, ხოლო მნიშვნელი არის 1/3. იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის პირველი ექვსი წევრი.

ამოხსნა: მოდით ჩავწეროთ პრობლემის პირობა ფორმაში

გამოთვლებისთვის ვიყენებთ გეომეტრიული პროგრესიის მე-n წევრის ფორმულას

მასზე დაყრდნობით ვპოულობთ პროგრესირების უცნობ ტერმინებს

როგორც ხედავთ, გეომეტრიული პროგრესიის პირობების გამოთვლა არ არის რთული. თავად პროგრესი ასე გამოიყურება

მაგალითი 2. მოცემულია გეომეტრიული პროგრესიის პირველი სამი წევრი: 6; -12; 24. იპოვეთ მნიშვნელი და მისი მეშვიდე წევრი.

ამოხსნა: ჩვენ ვიანგარიშებთ გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელს მისი განმარტების საფუძველზე

ჩვენ მივიღეთ ალტერნატიული გეომეტრიული პროგრესია, რომლის მნიშვნელი უდრის -2-ს. მეშვიდე ტერმინი გამოითვლება ფორმულის გამოყენებით

ეს წყვეტს პრობლემას.

მაგალითი 3. გეომეტრიული პროგრესია მოცემულია მისი ორი წევრით . იპოვეთ პროგრესიის მეათე წევრი.

გამოსავალი:

მოდით დავწეროთ მოცემული მნიშვნელობები ფორმულების გამოყენებით

წესების მიხედვით, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ მნიშვნელი და შემდეგ მოვძებნოთ სასურველი მნიშვნელობა, მაგრამ მეათე წევრისთვის გვაქვს

იგივე ფორმულის მიღება შესაძლებელია შეყვანის მონაცემებით მარტივი მანიპულაციების საფუძველზე. სერიის მეექვსე წევრი გავყოთ მეორეზე და შედეგად მივიღებთ

თუ მიღებული მნიშვნელობა გამრავლებულია მეექვსე წევრზე, მივიღებთ მეათეს

ამრიგად, ასეთი პრობლემებისთვის, მარტივი ტრანსფორმაციების სწრაფი გამოყენებით, შეგიძლიათ იპოვოთ სწორი გადაწყვეტა.

მაგალითი 4. გეომეტრიული პროგრესია მოცემულია განმეორებადი ფორმულებით

იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი და პირველი ექვსი წევრის ჯამი.

გამოსავალი:

მოცემული მონაცემები დავწეროთ განტოლებათა სისტემის სახით

გამოთქვით მნიშვნელი მეორე განტოლების პირველზე გაყოფით

ვიპოვოთ პროგრესიის პირველი წევრი პირველი განტოლებიდან

მოდით გამოვთვალოთ შემდეგი ხუთი წევრი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამის საპოვნელად

ახლა განვიხილოთ უსასრულო გეომეტრიული პროგრესიის შეჯამების საკითხი. მოცემული უსასრულო პროგრესიის ნაწილობრივი ჯამი დავარქვათ მისი პირველი წევრთა ჯამი. ნაწილობრივი ჯამი ავღნიშნოთ სიმბოლოთი

ყოველი უსასრულო პროგრესისთვის

შეიძლება მისი ნაწილობრივი ჯამების (ასევე უსასრულო) თანმიმდევრობის შედგენა

დაე, შეუზღუდავი გაზრდის მქონე მიმდევრობას ჰქონდეს ლიმიტი

ამ შემთხვევაში S რიცხვს, ანუ პროგრესიის ნაწილობრივი ჯამების ზღვარს, უსასრულო პროგრესიის ჯამი ეწოდება. ჩვენ დავამტკიცებთ, რომ უსასრულო კლებად გეომეტრიულ პროგრესიას ყოველთვის აქვს ჯამი და გამოვიყვანთ ამ ჯამის ფორმულას (ასევე შეგვიძლია ვაჩვენოთ, რომ თუ უსასრულო პროგრესიას ჯამი არ აქვს, ის არ არსებობს).

მოდით ჩავწეროთ ნაწილობრივი ჯამის გამოხატულება, როგორც პროგრესიის წევრთა ჯამი ფორმულის გამოყენებით (91.1) და განვიხილოთ ნაწილობრივი ჯამის ზღვარი:

89-ე თეორემიდან ცნობილია, რომ კლებადი პროგრესიისთვის; მაშასადამე, განსხვავებების ზღვრული თეორემის გამოყენებით ვხვდებით

(აქ ასევე გამოიყენება წესი: მუდმივი ფაქტორი აღებულია ზღვრულ ნიშანს მიღმა). არსებობა დადასტურებულია და ამავე დროს მიღებულია უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამის ფორმულა:

ტოლობა (92.1) ასევე შეიძლება ჩაიწეროს ფორმაში

აქ შეიძლება პარადოქსულად ჩანდეს, რომ უსასრულო რაოდენობის ტერმინების ჯამს ენიჭება ძალიან განსაზღვრული სასრული მნიშვნელობა.

ამ სიტუაციის ასახსნელად შეიძლება იყოს ნათელი ილუსტრაცია. განვიხილოთ კვადრატი, რომლის გვერდიც ტოლია (სურ. 72). ეს კვადრატი ჰორიზონტალური ხაზით გაყავით ორ თანაბარ ნაწილად და ზედა ნაწილი მიამაგრეთ ქვედას ისე, რომ მართკუთხედი ჩამოყალიბდეს გვერდებით 2 და . ამის შემდეგ ამ მართკუთხედის მარჯვენა ნახევარს ისევ ჰორიზონტალური ხაზით გავყოფთ შუაზე და ზედა ნაწილს მივამაგრებთ ქვედას (როგორც ნაჩვენებია ნახ. 72-ზე). ამ პროცესის გაგრძელებით, ჩვენ განუწყვეტლივ ვაქცევთ 1-ის ტოლი ფართობის თავდაპირველ კვადრატს თანაბარი ზომის ფიგურებად (გათხელებული საფეხურებით კიბის ფორმას ვიღებთ).

ამ პროცესის უსასრულო გაგრძელებით, კვადრატის მთელი ფართობი იშლება უსასრულო რაოდენობის ტერმინებად - მართკუთხედების ფართობები 1-ის ტოლი და სიმაღლეებით მართკუთხედების არეები ზუსტად ქმნიან უსასრულო კლებად პროგრესირებას, მის ჯამს

ანუ, როგორც მოსალოდნელია, კვადრატის ფართობის ტოლია.

მაგალითი. იპოვეთ შემდეგი უსასრულო პროგრესიების ჯამები:

ამოხსნა, ა) ვამჩნევთ, რომ ეს პროგრესია ამიტომ ფორმულის გამოყენებით (92.2) ვპოულობთ

ბ) აქ ნიშნავს, რომ იგივე ფორმულის გამოყენებით (92.2) გვაქვს

გ) ჩვენ ვხვდებით, რომ ამ პროგრესს არ აქვს ჯამი.

მე-5 პუნქტში ნაჩვენები იყო ფორმულის გამოყენება უსასრულოდ კლებადი პროგრესიის წევრთა ჯამის პერიოდული ათობითი წილადის ჩვეულებრივ წილადად გადაქცევაზე.

Სავარჯიშოები

1. უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი არის 3/5, ხოლო მისი პირველი ოთხი წევრის ჯამი 13/27. იპოვეთ პროგრესიის პირველი წევრი და მნიშვნელი.

2. იპოვეთ ოთხი რიცხვი, რომლებიც ქმნიან მონაცვლეობით გეომეტრიულ პროგრესიას, რომლებშიც მეორე წევრი პირველზე ნაკლებია 35-ით, ხოლო მესამე მეტია მეოთხეზე 560-ით.

3. აჩვენე, რომ თუ მიმდევრობა

აყალიბებს უსასრულოდ კლებად გეომეტრიულ პროგრესიას, შემდეგ მიმდევრობას

ნებისმიერისთვის ის ქმნის უსასრულოდ კლებად გეომეტრიულ პროგრესიას. იქნება თუ არა ჭეშმარიტი ეს განცხადება როდის

გამოიტანეთ ფორმულა გეომეტრიული პროგრესიის პირობების ნამრავლისთვის.

მათემატიკა არის რაადამიანები აკონტროლებენ ბუნებას და საკუთარ თავს.

საბჭოთა მათემატიკოსი, აკადემიკოსი ა.ნ. კოლმოგოროვი

გეომეტრიული პროგრესია.

არითმეტიკული პროგრესიის ამოცანებთან ერთად, მათემატიკაში მისაღები გამოცდებში ხშირია გეომეტრიული პროგრესიის ცნებასთან დაკავშირებული პრობლემებიც. ასეთი პრობლემების წარმატებით გადასაჭრელად, თქვენ უნდა იცოდეთ გეომეტრიული პროგრესიების თვისებები და გქონდეთ მათი გამოყენების კარგი უნარები.

ეს სტატია ეძღვნება გეომეტრიული პროგრესიის ძირითადი თვისებების პრეზენტაციას. აქ ასევე მოცემულია ტიპიური პრობლემების გადაჭრის მაგალითები., მათემატიკაში მისაღები გამოცდების ამოცანებიდან ნასესხები.

ჯერ აღვნიშნოთ გეომეტრიული პროგრესიის ძირითადი თვისებები და გავიხსენოთ ყველაზე მნიშვნელოვანი ფორმულები და განცხადებები, დაკავშირებულია ამ კონცეფციასთან.

განმარტება.რიცხვთა თანმიმდევრობას ეწოდება გეომეტრიული პროგრესია, თუ ყოველი რიცხვი, მეორიდან დაწყებული, ტოლია წინა, გამრავლებული იმავე რიცხვზე. რიცხვს ეწოდება გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი.

გეომეტრიული პროგრესირებისთვისფორმულები მოქმედებს

, (1)

სად . ფორმულა (1) ეწოდება გეომეტრიული პროგრესიის ზოგადი ტერმინის ფორმულას, ხოლო ფორმულა (2) წარმოადგენს გეომეტრიული პროგრესიის ძირითად თვისებას: პროგრესიის თითოეული წევრი ემთხვევა მისი მეზობელი ტერმინების გეომეტრიულ საშუალოს და .

Შენიშვნა, რომ სწორედ ამ თვისების გამო ეძახიან განსახილველ პროგრესიას „გეომეტრიულს“.

ზემოთ მოყვანილი ფორმულები (1) და (2) განზოგადებულია შემდეგნაირად:

, (3)

თანხის გამოსათვლელადპირველი გეომეტრიული პროგრესიის ტერმინებიფორმულა მოქმედებს

თუ აღვნიშნავთ, მაშინ

სად . ვინაიდან ფორმულა (6) არის (5) ფორმულის განზოგადება.

იმ შემთხვევაში, როდესაც და გეომეტრიული პროგრესიაუსასრულოდ მცირდება. თანხის გამოსათვლელადუსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ყველა ტერმინიდან გამოიყენება ფორმულა

. (7)

Მაგალითად , ფორმულის გამოყენებით (7) შეგვიძლია ვაჩვენოთ, Რა

სად . ეს ტოლობები მიიღება ფორმულიდან (7) იმ პირობით, რომ , (პირველი თანასწორობა) და , (მეორე ტოლობა).

თეორემა.თუ, მაშინ

მტკიცებულება. თუ, მაშინ

თეორემა დადასტურდა.

მოდით გადავიდეთ პრობლემის გადაჭრის მაგალითების განხილვაზე თემაზე "გეომეტრიული პროგრესია".

მაგალითი 1.მოცემული: , და . იპოვე .

გამოსავალი.თუ გამოვიყენებთ ფორმულას (5), მაშინ

პასუხი:.

მაგალითი 2.Იყოს. იპოვე .

გამოსავალი.ვინაიდან და , ვიყენებთ ფორმულებს (5), (6) და ვიღებთ განტოლებათა სისტემას

თუ სისტემის მეორე განტოლება (9) იყოფა პირველზე, მაშინ ან . აქედან გამომდინარეობს, რომ . განვიხილოთ ორი შემთხვევა.

1. თუ, მაშინ (9) სისტემის პირველი განტოლებიდან გვაქვს.

2. თუ , მაშინ .

მაგალითი 3.დაე , და . იპოვე .

გამოსავალი.(2) ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ ან . მას შემდეგ ან .

პირობით. თუმცა, ამიტომ. მას შემდეგ, რაც და მაშინ აქ გვაქვს განტოლებათა სისტემა

თუ სისტემის მეორე განტოლება იყოფა პირველზე, მაშინ ან .

ვინაიდან, განტოლებას აქვს უნიკალური შესაფერისი ფესვი. ამ შემთხვევაში, ეს გამომდინარეობს სისტემის პირველი განტოლებიდან.

ფორმულის (7) გათვალისწინებით, ვიღებთ.

პასუხი:.

მაგალითი 4.მოცემული: და . იპოვე .

გამოსავალი.Მას შემდეგ.

მას შემდეგ ან

ფორმულის მიხედვით (2) გვაქვს. ამასთან დაკავშირებით, თანასწორობიდან (10) ვიღებთ ან .

თუმცა, პირობით, ამიტომ.

მაგალითი 5.ცნობილია რომ . იპოვე .

გამოსავალი. თეორემის მიხედვით გვაქვს ორი ტოლობა

მას შემდეგ ან . იმიტომ რომ, მაშინ.

პასუხი:.

მაგალითი 6.მოცემული: და . იპოვე .

გამოსავალი.ფორმულის (5) გათვალისწინებით, ვიღებთ

Მას შემდეგ. მას შემდეგ, რაც და, მაშინ.

მაგალითი 7.Იყოს. იპოვე .

გამოსავალი.(1) ფორმულის მიხედვით შეგვიძლია დავწეროთ

ამიტომ გვაქვს ან . ცნობილია რომ და მაშასადამე და .

პასუხი:.

მაგალითი 8.იპოვეთ უსასრულო კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი თუ

და .

გამოსავალი. ფორმულიდან (7) გამომდინარეობსდა . აქედან და პრობლემის პირობებიდან ვიღებთ განტოლებათა სისტემას

თუ სისტემის პირველი განტოლება კვადრატია, და შემდეგ გაყავით მიღებული განტოლება მეორე განტოლებაზე, შემდეგ მივიღებთ

ან .

პასუხი:.

მაგალითი 9.იპოვეთ ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც თანმიმდევრობა, , არის გეომეტრიული პროგრესია.

გამოსავალი.დაე , და . ფორმულის მიხედვით (2), რომელიც განსაზღვრავს გეომეტრიული პროგრესიის ძირითად თვისებას, შეგვიძლია დავწეროთ ან .

აქედან ვიღებთ კვადრატულ განტოლებას, რომლის ფესვებიადა .

შევამოწმოთ: თუ, შემდეგ და ; თუ , მაშინ და .

პირველ შემთხვევაში გვაქვსდა , და მეორეში – და .

პასუხი: ,.

მაგალითი 10.ამოხსენით განტოლება

, (11)

სად და.

გამოსავალი. განტოლების (11) მარცხენა მხარე არის უსასრულო კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი, რომელშიც და , ექვემდებარება: და .

ფორმულიდან (7) გამომდინარეობს, Რა . ამასთან დაკავშირებით, განტოლება (11) იღებს ფორმასან . შესაფერისი ფესვი კვადრატული განტოლება არის

პასუხი:.

მაგალითი 11.პ დადებითი რიცხვების თანმიმდევრობააყალიბებს არითმეტიკულ პროგრესიას, ა - გეომეტრიული პროგრესია, რა შუაშია . იპოვე .

გამოსავალი.იმიტომ რომ არითმეტიკული თანმიმდევრობა, ეს (არითმეტიკული პროგრესიის მთავარი თვისება). Იმიტომ რომ, მაშინ ან . ეს გულისხმობს, რომ გეომეტრიულ პროგრესიას აქვს ფორმა. ფორმულის მიხედვით (2)შემდეგ ჩვენ დავწერთ ამას.

მას შემდეგ და მერე . ამ შემთხვევაში გამოთქმაიღებს ფორმას ან. პირობით, ასე რომ, განტოლებიდანჩვენ ვიღებთ განსახილველი პრობლემის უნიკალურ გადაწყვეტას, ე.ი. .

პასუხი:.

მაგალითი 12.ჯამის გამოთვლა

. (12)

გამოსავალი. გაამრავლეთ ტოლობის ორივე მხარე (12) 5-ზე და მიიღეთ

თუ გამოვაკლებთ (12) გამოსახულებას, ეს

ან .

გამოსათვლელად, ჩვენ ვცვლით მნიშვნელობებს ფორმულაში (7) და ვიღებთ . Მას შემდეგ.

პასუხი:.

აქ მოცემული პრობლემის გადაჭრის მაგალითები გამოსადეგი იქნება აპლიკანტებისთვის მისაღები გამოცდებისთვის მომზადებისას. პრობლემის გადაჭრის მეთოდების უფრო ღრმა შესწავლისთვის, დაკავშირებულია გეომეტრიულ პროგრესირებასთან, შეგიძლიათ გამოიყენოთ გაკვეთილები რეკომენდებული ლიტერატურის სიიდან.

1. მათემატიკაში ამოცანების კრებული კოლეჯების მსურველთათვის / რედ. მ.ი. სკანავი. – მ.: მირი და განათლება, 2013. – 608გვ.

2. სუპრუნი ვ.პ. მათემატიკა საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის: სასკოლო სასწავლო გეგმის დამატებითი განყოფილებები. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216გვ.

3. მედინსკი მ.მ. ელემენტარული მათემატიკის სრული კურსი ამოცანებსა და სავარჯიშოებში. წიგნი 2: რიცხვების თანმიმდევრობა და პროგრესი. – მ.: ედიტუსი, 2015. – 208გვ.

ჯერ კიდევ გაქვთ შეკითხვები?

დამრიგებლის დახმარების მისაღებად დარეგისტრირდით.

ვებსაიტზე, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა წყაროს ბმული.

რიცხვითი მიმდევრობები VI

§ 148. უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი

აქამდე ჯამებზე საუბრისას ყოველთვის ვვარაუდობდით, რომ ამ ჯამებში ტერმინების რაოდენობა სასრულია (მაგალითად, 2, 15, 1000 და ა.შ.). მაგრამ ზოგიერთი ამოცანის ამოხსნისას (განსაკუთრებით უმაღლესი მათემატიკის) საქმე უსასრულო რაოდენობის ტერმინების ჯამებთან არის დაკავშირებული.

S= ა 1 + ა 2 + ... + ა ნ + ... . (1)

რა არის ეს თანხები? ა-პრიორიტეტი უსასრულო რაოდენობის ტერმინების ჯამი ა 1 , ა 2 , ..., ა ნ , ... ეწოდება ჯამის ზღვარი S ნ პირველი პ ნომრები როცა პ -> ∞ :

S=S ნ = (ა 1 + ა 2 + ... + ა ნ ). (2)

ლიმიტი (2), რა თქმა უნდა, შეიძლება არსებობდეს ან არ იყოს. შესაბამისად ამბობენ, რომ ჯამი (1) არსებობს ან არ არსებობს.

როგორ გავარკვიოთ, არსებობს თუ არა ჯამი (1) თითოეულ კონკრეტულ შემთხვევაში? ამ საკითხის ზოგადი გადაწყვეტა სცილდება ჩვენი პროგრამის ფარგლებს. თუმცა, არის ერთი მნიშვნელოვანი განსაკუთრებული შემთხვევა, რომელიც ახლა უნდა განვიხილოთ. ჩვენ ვისაუბრებთ უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ტერმინების შეჯამებაზე.

დაე ა 1 , ა 1 ქ , ა 1 ქ 2, ... არის უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია. ეს ნიშნავს, რომ | ქ |< 1. Сумма первых პ ამ პროგრესირების პირობები თანაბარია

ცვლადების ზღვრების ძირითადი თეორემებიდან (იხ. § 136) ვიღებთ:

მაგრამ 1 = 1, ა qn = 0. ამიტომ

ასე რომ, უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი უდრის ამ პროგრესიის პირველ წევრს გაყოფილი ერთზე გამოკლებული ამ პროგრესიის მნიშვნელი.

1) გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... უდრის

ხოლო გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი არის 12; -6; 3; - 3/2 , ... ტოლია

2) გადააქციეთ მარტივი პერიოდული წილადი 0,454545 ... ჩვეულებრივად.

ამ პრობლემის გადასაჭრელად, წარმოიდგინეთ ეს წილადი, როგორც უსასრულო ჯამი:

ამ ტოლობის მარჯვენა მხარე არის უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი, რომლის პირველი წევრი უდრის 45/100-ს, ხოლო მნიშვნელი არის 1/100. Ამიტომაც

აღწერილი მეთოდის გამოყენებით შეიძლება მივიღოთ მარტივი პერიოდული წილადების ჩვეულებრივ წილადებად გადაქცევის ზოგადი წესი (იხ. თავი II, § 38):

მარტივი პერიოდული წილადის ჩვეულებრივ წილადად გადასაყვანად, თქვენ უნდა გააკეთოთ შემდეგი: მრიცხველში ჩადეთ ათობითი წილადის წერტილი, ხოლო მნიშვნელში - რიცხვი, რომელიც შედგება ცხრასაგან, აღებული იმდენჯერ, რამდენჯერაც არის რიცხვი პერიოდში. ათობითი წილადის.

3) შერეული პერიოდული წილადი 0.58333 .... გადააქციე ჩვეულებრივ წილადად.

წარმოვიდგინოთ ეს წილადი, როგორც უსასრულო ჯამი:

ამ ტოლობის მარჯვენა მხარეს ყველა წევრი, დაწყებული 3/1000-დან, ქმნის უსასრულოდ კლებად გეომეტრიულ პროგრესიას, რომლის პირველი წევრი უდრის 3/1000-ს, ხოლო მნიშვნელი 1/10. Ამიტომაც

აღწერილი მეთოდის გამოყენებით შეიძლება მივიღოთ შერეული პერიოდული წილადების ჩვეულებრივ წილადებად გადაქცევის ზოგადი წესი (იხ. თავი II, § 38). ჩვენ შეგნებულად არ წარმოვადგენთ აქ. არ არის საჭირო ამ უხერხული წესის დამახსოვრება. ბევრად უფრო სასარგებლოა იმის ცოდნა, რომ ნებისმიერი შერეული პერიოდული წილადი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, როგორც უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი და გარკვეული რიცხვი. და ფორმულა

უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამისთვის, რა თქმა უნდა, უნდა გახსოვდეთ.

როგორც სავარჯიშო გთავაზობთ, ქვემოთ მოცემული No995-1000 პრობლემების გარდა, კიდევ ერთხელ მიმართოთ No301 § 38 პრობლემას.

Სავარჯიშოები

995. რას ჰქვია უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი?

996. იპოვეთ უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიების ჯამები:

997. რა ღირებულებებზე X პროგრესირება

უსასრულოდ მცირდება? იპოვეთ ასეთი პროგრესიის ჯამი.

998. გვერდით ტოლგვერდა სამკუთხედში ა ახალი სამკუთხედი იწერება მისი გვერდების შუა წერტილების შეერთებით; ამ სამკუთხედში იგივენაირად იწერება ახალი სამკუთხედი და ა.შ. ad infinitum.

ა) ყველა ამ სამკუთხედის პერიმეტრების ჯამი;

ბ) მათი ფართობების ჯამი.

999. კვადრატი გვერდითი ა ახალი კვადრატი იწერება მისი გვერდების შუა წერტილების შეერთებით; ამ კვადრატში კვადრატი იწერება იმავე გზით და ასე უსასრულოდ. იპოვეთ ყველა ამ კვადრატის პერიმეტრის ჯამი და მათი ფართობების ჯამი.

1000. შეადგინეთ უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია ისე, რომ მისი ჯამი უდრის 25/4-ს, ხოლო მისი წევრთა კვადრატების ჯამი 625/24-ის ტოლია.

გაკვეთილი თემაზე „უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია“ (ალგებრა, მე-10 კლასი)

გაკვეთილის მიზანი:სტუდენტების ახალი ტიპის მიმდევრობის გაცნობა - უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია.

აღჭურვილობა:პროექტორი, ეკრანი.

გაკვეთილის ტიპი:გაკვეთილი - ახალი თემის შესწავლა.

გაკვეთილების დროს

მე . ორგ. მომენტი. დაასახელეთ გაკვეთილის თემა და მიზანი.

II . მოსწავლეთა ცოდნის განახლება.

მე-9 კლასში შეისწავლეთ არითმეტიკული და გეომეტრიული პროგრესიები.

კითხვები

1. არითმეტიკული პროგრესიის განმარტება. (არითმეტიკული პროგრესია არის თანმიმდევრობა, რომელშიც თითოეული წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის იმავე რიცხვს დამატებულ წინა წევრს).

2. ფორმულა ნარითმეტიკული პროგრესიის მე-1 წევრი (
)

3. პირველის ჯამის ფორმულა ნარითმეტიკული პროგრესიის პირობები.

(
ან
)

4. გეომეტრიული პროგრესიის განმარტება. (გეომეტრიული პროგრესია არის არანულოვანი რიცხვების თანმიმდევრობა, რომელთა ყოველი წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის წინა წევრს გამრავლებული იმავე რიცხვზე).

5. ფორმულა ნგეომეტრიული პროგრესიის მე-1 წევრი (

)

6. პირველის ჯამის ფორმულა ნგეომეტრიული პროგრესიის წევრები. (
)

7. კიდევ რა ფორმულები იცით?

(
, სად
;
;
;
,
)

5. გეომეტრიული პროგრესიისთვის
იპოვეთ მეხუთე ტერმინი.

6. გეომეტრიული პროგრესიისთვის
იპოვე ნწევრი.

7. ექსპონენტურად ბ 3 = 8 და ბ 5 = 2 . იპოვე ბ 4 . (4)

8. ექსპონენტურად ბ 3 = 8 და ბ 5 = 2 . იპოვე ბ 1 და ქ .

9. ექსპონენტურად ბ 3 = 8 და ბ 5 = 2 . იპოვე ს 5 . (62)

III . ახალი თემის სწავლა(პრეზენტაციის დემონსტრირება).

განვიხილოთ კვადრატი, რომლის გვერდიც ტოლია 1. დავხატოთ სხვა კვადრატი, რომლის გვერდი არის პირველი კვადრატის ნახევარი, შემდეგ მეორე, რომლის გვერდიც არის მეორეს ნახევარი, შემდეგ შემდეგი და ა.შ. ყოველ ჯერზე ახალი კვადრატის გვერდი უდრის წინა კვადრატის ნახევარს.

შედეგად მივიღეთ კვადრატების გვერდების თანმიმდევრობა გეომეტრიული პროგრესიის ფორმირება მნიშვნელთან ერთად.

და, რაც ძალიან მნიშვნელოვანია, რაც მეტს ავაშენებთ ასეთ კვადრატებს, მით უფრო პატარა იქნება კვადრატის მხარე. Მაგალითად,

იმათ. როგორც n რიცხვი იზრდება, პროგრესირების პირობები ნულს უახლოვდება.

ამ ფიგურის გამოყენებით, შეგიძლიათ განიხილოთ სხვა თანმიმდევრობა.

მაგალითად, კვადრატების ფართობების თანმიმდევრობა:

. და კიდევ, თუ ნიზრდება განუსაზღვრელი ვადით, მაშინ ფართობი უახლოვდება ნულს, რამდენადაც გსურთ.

მოდით შევხედოთ სხვა მაგალითს. ტოლგვერდა სამკუთხედი, რომლის გვერდები ტოლია 1 სმ. ავაშენოთ შემდეგი სამკუთხედი 1-ლი სამკუთხედის გვერდების შუა წერტილებში წვეროებით, სამკუთხედის შუა ხაზის შესახებ თეორემის მიხედვით - მე-2-ის გვერდი უდრის პირველის გვერდის ნახევარს, მე-3-ის გვერდს. უდრის მე-2 მხარის ნახევარს და ა.შ. კვლავ ვიღებთ სამკუთხედების გვერდების სიგრძის თანმიმდევრობას.

ზე
.

თუ განვიხილავთ გეომეტრიულ პროგრესიას უარყოფითი მნიშვნელით.

შემდეგ, ისევ, მზარდი რიცხვებით ნპროგრესის მიდგომის პირობები ნულოვანი.

მივაქციოთ ყურადღება ამ მიმდევრობების მნიშვნელებს. ყველგან მნიშვნელები აბსოლუტური მნიშვნელობით 1-ზე ნაკლები იყო.

შეგვიძლია დავასკვნათ: გეომეტრიული პროგრესია იქნება უსასრულოდ კლებადი, თუ მისი მნიშვნელის მოდული 1-ზე ნაკლებია.

განმარტება:

გეომეტრიულ პროგრესიას ამბობენ, რომ უსასრულოდ მცირდება, თუ მისი მნიშვნელის მოდული ერთზე ნაკლებია.
.

განმარტების გამოყენებით, შეგიძლიათ გადაწყვიტოთ გეომეტრიული პროგრესია უსასრულოდ მცირდება თუ არა.

დავალება

არის თუ არა მიმდევრობა უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია, თუ იგი მოცემულია ფორმულით:

;
.

გამოსავალი:

. ჩვენ ვიპოვით ქ .

;
;
;
.

ეს გეომეტრიული პროგრესია უსასრულოდ მცირდება.

ბ)ეს თანმიმდევრობა არ არის უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია.

განვიხილოთ კვადრატი, რომლის გვერდიც ტოლია 1. გაყავით შუაზე, ერთი ნახევარი შუაზე და ა.შ. ყველა მიღებული მართკუთხედის ფართობი ქმნის უსასრულოდ კლებულ გეომეტრიულ პროგრესიას:

ამ გზით მიღებული ყველა მართკუთხედის ფართობის ჯამი იქნება 1-ლი კვადრატის ფართობის ტოლი და 1-ის ტოლი.