არითმეტიკული პროგრესია. არითმეტიკული პროგრესია: რა არის ეს?

რიცხვების მიმდევრობის კონცეფცია გულისხმობს, რომ თითოეული ნატურალური რიცხვი შეესაბამება გარკვეულ რეალურ მნიშვნელობას. რიცხვების ასეთი სერია შეიძლება იყოს თვითნებური ან ჰქონდეს გარკვეული თვისებები - პროგრესია. ამ უკანასკნელ შემთხვევაში, თანმიმდევრობის ყოველი მომდევნო ელემენტი (წევრი) შეიძლება გამოითვალოს წინას გამოყენებით.

არითმეტიკული პროგრესია არის რიცხვითი მნიშვნელობების თანმიმდევრობა, რომელშიც მისი მეზობელი წევრები განსხვავდებიან ერთმანეთისგან ერთი და იგივე რაოდენობით (სერიის ყველა ელემენტს, მე-2-დან დაწყებული, აქვს მსგავსი თვისება). ეს რიცხვი - განსხვავება წინა და მომდევნო ტერმინებს შორის - მუდმივია და მას პროგრესიის სხვაობა ეწოდება.

პროგრესის განსხვავება: განმარტება

განვიხილოთ j მნიშვნელობებისაგან შემდგარი თანმიმდევრობა A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j ეკუთვნის ნატურალური რიცხვების სიმრავლეს N. არითმეტიკა პროგრესია, მისი განმარტების მიხედვით, არის თანმიმდევრობა, რომელშიც a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. მნიშვნელობა d არის ამ პროგრესიის სასურველი განსხვავება.

d = a(j) – a(j-1).

მონიშნეთ:

• მზარდი პროგრესია, ამ შემთხვევაში d > 0. მაგალითი: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• პროგრესირების შემცირება, შემდეგ დ< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

განსხვავების პროგრესირება და მისი თვითნებური ელემენტები

თუ ცნობილია პროგრესიის 2 თვითნებური წევრი (i-th, k-th), მაშინ სხვაობა მოცემული მიმდევრობისთვის შეიძლება განისაზღვროს ურთიერთობის საფუძველზე:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, რაც ნიშნავს d = (a(i) – a(k))/(i-k).

პროგრესირების განსხვავება და მისი პირველი ტერმინი

ეს გამოთქმა დაგეხმარებათ უცნობი მნიშვნელობის დადგენაში მხოლოდ იმ შემთხვევებში, როდესაც ცნობილია მიმდევრობის ელემენტის რაოდენობა.

პროგრესირების სხვაობა და მისი ჯამი

პროგრესიის ჯამი არის მისი ტერმინების ჯამი. მისი პირველი j ელემენტების ჯამური მნიშვნელობის გამოსათვლელად გამოიყენეთ შესაბამისი ფორმულა:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, მაგრამ მას შემდეგ a(j) = a(1) + d(j – 1), შემდეგ S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

საშუალო სკოლაში (მე-9 კლასი) ალგებრის შესწავლისას ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი თემაა რიცხვითი მიმდევრობების შესწავლა, რომელიც მოიცავს პროგრესირებას - გეომეტრიულ და არითმეტიკას. ამ სტატიაში განვიხილავთ არითმეტიკულ პროგრესიას და მაგალითებს ამონახსნებით.

რა არის არითმეტიკული პროგრესია?

ამის გასაგებად საჭიროა განვსაზღვროთ მოცემული პროგრესი, ასევე მივაწოდოთ ძირითადი ფორმულები, რომლებიც მოგვიანებით იქნება გამოყენებული პრობლემების გადაჭრისას.

ცნობილია, რომ ზოგიერთ ალგებრულ პროგრესიაში 1 წევრი უდრის 6-ს, ხოლო მე-7 წევრი უდრის 18-ს. საჭიროა სხვაობის პოვნა და ამ თანმიმდევრობის აღდგენა მე-7 წევრამდე.

გამოვიყენოთ ფორმულა უცნობი ტერმინის დასადგენად: a n = (n - 1) * d + a 1 . მოდით ჩავანაცვლოთ მასში მდგომარეობიდან ცნობილი მონაცემები, ანუ რიცხვები a 1 და a 7, გვაქვს: 18 = 6 + 6 * d. ამ გამოთქმიდან შეგიძლიათ მარტივად გამოთვალოთ განსხვავება: d = (18 - 6) /6 = 2. ამრიგად, ჩვენ ვუპასუხეთ ამოცანის პირველ ნაწილს.

თანმიმდევრობის აღსადგენად მე-7 წევრამდე, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ალგებრული პროგრესიის განმარტება, ანუ a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d და ა.შ. შედეგად, ჩვენ აღვადგენთ მთელ თანმიმდევრობას: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

მაგალითი No3: პროგრესიის შედგენა

კიდევ უფრო გავართულოთ პრობლემა. ახლა ჩვენ უნდა ვუპასუხოთ კითხვას, როგორ ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესია. შეიძლება მოვიყვანოთ შემდეგი მაგალითი: მოცემულია ორი რიცხვი, მაგალითად - 4 და 5. აუცილებელია ალგებრული პროგრესიის შექმნა ისე, რომ მათ შორის მოთავსდეს კიდევ სამი წევრი.

სანამ ამ პრობლემის გადაჭრას დაიწყებდეთ, უნდა გესმოდეთ, რა ადგილს დაიკავებენ მოცემული რიცხვები მომავალ პროგრესში. ვინაიდან მათ შორის იქნება კიდევ სამი ტერმინი, მაშინ 1 = -4 და 5 = 5. ამის დადგენის შემდეგ გადავდივართ პრობლემაზე, რომელიც წინას მსგავსია. ისევ, მე-n ტერმინისთვის ვიყენებთ ფორმულას, მივიღებთ: a 5 = a 1 + 4 * d. მდებარეობა: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. რაც აქ მივიღეთ არ არის სხვაობის მთელი რიცხვი, მაგრამ რაციონალური რიცხვია, ამიტომ ალგებრული პროგრესიის ფორმულები იგივე რჩება.

ახლა დავამატოთ ნაპოვნი განსხვავება 1-ს და აღვადგინოთ პროგრესიის გამოტოვებული პირობები. ვიღებთ: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, რომელიც დაემთხვა პრობლემის პირობებთან.

მაგალითი No4: პროგრესირების პირველი ვადა

გავაგრძელოთ არითმეტიკული პროგრესიის მაგალითების მოყვანა ამონახსნებით. ყველა წინა ამოცანაში ცნობილი იყო ალგებრული პროგრესიის პირველი რიცხვი. ახლა განვიხილავთ სხვა ტიპის პრობლემას: მოყვანილი იყოს ორი რიცხვი, სადაც 15 = 50 და 43 = 37. აუცილებელია ვიპოვოთ რა რიცხვით იწყება ეს თანმიმდევრობა.

აქამდე გამოყენებული ფორმულები ითვალისწინებს 1 და დ-ის ცოდნას. პრობლემის განცხადებაში არაფერია ცნობილი ამ რიცხვების შესახებ. მიუხედავად ამისა, ჩვენ ჩამოვწერთ გამონათქვამებს თითოეული ტერმინისთვის, რომლის შესახებაც ხელმისაწვდომია ინფორმაცია: a 15 = a 1 + 14 * d და a 43 = a 1 + 42 * d. მივიღეთ ორი განტოლება, რომელშიც არის 2 უცნობი სიდიდე (a 1 და d). ეს ნიშნავს, რომ პრობლემა მცირდება წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნით.

ამ სისტემის ამოხსნის უმარტივესი გზაა 1-ის გამოხატვა თითოეულ განტოლებაში და შემდეგ მიღებული გამონათქვამების შედარება. პირველი განტოლება: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; მეორე განტოლება: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. ამ გამონათქვამების გათანაბრებისას მივიღებთ: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, საიდანაც განსხვავება d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (მოყვანილია მხოლოდ 3 ათობითი ადგილი).

იცოდეთ d, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ზემოთ მოცემული 2 გამოთქმიდან რომელიმე 1-ისთვის. მაგალითად, პირველი: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.

თუ ეჭვი გაქვთ მიღებულ შედეგზე, შეგიძლიათ გადაამოწმოთ, მაგალითად, განსაზღვროთ პროგრესირების 43-ე ვადა, რომელიც მითითებულია პირობაში. ჩვენ ვიღებთ: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. მცირე შეცდომა გამოწვეულია იმით, რომ გამოთვლებში გამოყენებული იყო დამრგვალება მეათასედამდე.

მაგალითი No5: თანხა

ახლა მოდით გადავხედოთ რამდენიმე მაგალითს არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ამონახსნებით.

მივცეთ შემდეგი ფორმის რიცხვითი პროგრესია: 1, 2, 3, 4, ...,. როგორ გამოვთვალოთ ამ რიცხვებიდან 100-ის ჯამი?

კომპიუტერული ტექნოლოგიების განვითარების წყალობით შესაძლებელია ამ პრობლემის გადაჭრა, ანუ ყველა რიცხვის მიმდევრობით დამატება, რასაც კომპიუტერი გააკეთებს, როგორც კი ადამიანი დააჭერს Enter ღილაკს. თუმცა, პრობლემის მოგვარება შესაძლებელია გონებრივად, თუ ყურადღებას მიაქცევთ, რომ რიცხვების წარმოდგენილი სერია არის ალგებრული პროგრესია და მისი სხვაობა უდრის 1-ს. ჯამის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

საინტერესოა აღინიშნოს, რომ ამ პრობლემას „გაუსური“ ჰქვია, რადგან მე-18 საუკუნის დასაწყისში ცნობილმა გერმანელმა, ჯერ კიდევ მხოლოდ 10 წლისამ, თავის თავში რამდენიმე წამში გადაჭრა. ბიჭმა არ იცოდა ალგებრული პროგრესიის ჯამის ფორმულა, მაგრამ მან შენიშნა, რომ თუ მიმდევრობის ბოლოების რიცხვებს წყვილებში დაამატებთ, ყოველთვის ერთსა და იმავე შედეგს მიიღებთ, ანუ 1 + 100 = 2 + 99. = 3 + 98 = ..., და რადგან ეს ჯამები იქნება ზუსტად 50 (100/2), მაშინ სწორი პასუხის მისაღებად საკმარისია 50 გავამრავლოთ 101-ზე.

მაგალითი No6: წევრთა ჯამი n-დან m-მდე

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის კიდევ ერთი ტიპიური მაგალითია შემდეგი: მოცემული რიცხვების სერია: 3, 7, 11, 15, ..., თქვენ უნდა იპოვოთ, თუ რას უდრის მისი წევრთა ჯამი 8-დან 14-მდე. .

პრობლემა მოგვარებულია ორი გზით. პირველი მათგანი მოიცავს უცნობი ტერმინების მოძიებას 8-დან 14-მდე და შემდეგ მათი თანმიმდევრობით შეჯამება. ვინაიდან რამდენიმე ტერმინია, ეს მეთოდი არ არის საკმაოდ შრომატევადი. მიუხედავად ამისა, შემოთავაზებულია ამ პრობლემის გადაჭრა მეორე მეთოდის გამოყენებით, რომელიც უფრო უნივერსალურია.

იდეა არის მივიღოთ ფორმულა ალგებრული პროგრესიის ჯამისთვის m და n ტერმინებს შორის, სადაც n > m არის მთელი რიცხვები. ორივე შემთხვევისთვის ჩვენ ვწერთ ორ გამონათქვამს ჯამისთვის:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

ვინაიდან n > m, აშკარაა, რომ მე-2 ჯამი მოიცავს პირველს. ბოლო დასკვნა ნიშნავს, რომ თუ ავიღებთ განსხვავებას ამ ჯამებს შორის და დავუმატებთ ტერმინს a m-ს (სხვაობის აღების შემთხვევაში ის გამოვაკლდება S n-ს ჯამს), მივიღებთ ამოცანის აუცილებელ პასუხს. გვაქვს: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). ამ გამოსახულებაში აუცილებელია n და m ფორმულების ჩანაცვლება. შემდეგ მივიღებთ: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

შედეგად მიღებული ფორმულა გარკვეულწილად რთულია, თუმცა S mn ჯამი დამოკიდებულია მხოლოდ n, m, a 1 და d-ზე. ჩვენს შემთხვევაში, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. ამ რიცხვების ჩანაცვლებით მივიღებთ: S mn = 301.

როგორც ზემოთ მოყვანილი ამონახსნებიდან ჩანს, ყველა პრობლემა ემყარება n-ე წევრის გამოხატვის ცოდნას და პირველი წევრთა სიმრავლის ჯამის ფორმულას. სანამ რომელიმე ამ პრობლემის გადაჭრას დაიწყებთ, რეკომენდებულია, ყურადღებით წაიკითხოთ მდგომარეობა, ნათლად გაიგოთ, რა უნდა იპოვოთ და მხოლოდ ამის შემდეგ გააგრძელოთ გამოსავალი.

კიდევ ერთი რჩევა არის სიმარტივისკენ სწრაფვა, ანუ თუ თქვენ შეგიძლიათ უპასუხოთ კითხვას რთული მათემატიკური გამოთვლების გამოყენების გარეშე, მაშინ სწორედ ეს უნდა გააკეთოთ, რადგან ამ შემთხვევაში შეცდომის დაშვების ალბათობა ნაკლებია. მაგალითად, არითმეტიკული პროგრესიის მაგალითში მე-6 ამონახსნით, შეიძლება შევჩერდეთ ფორმულაზე S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, და დაყავით მთლიანი პრობლემა ცალკეულ ქვეამოცნებებად (ამ შემთხვევაში ჯერ იპოვეთ ტერმინები a n და a m).

თუ თქვენ გაქვთ ეჭვი მიღებულ შედეგზე, რეკომენდებულია მისი შემოწმება, როგორც ეს გაკეთდა ზოგიერთ მოყვანილ მაგალითში. ჩვენ გავარკვიეთ, როგორ ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესია. თუ გაარკვიე, არც ისე რთულია.

გაკვეთილი და პრეზენტაცია თემაზე: "რიცხვთა მიმდევრობა. არითმეტიკული პროგრესია"

დამატებითი მასალები
ძვირფასო მომხმარებლებო, არ დაგავიწყდეთ დატოვოთ თქვენი კომენტარები, მიმოხილვები, სურვილები! ყველა მასალა შემოწმებულია ანტივირუსული პროგრამით.

საგანმანათლებლო საშუალებები ონლაინ მაღაზია „ინტეგრალში“ მე-9 კლასის სახელმძღვანელოებისთვის
მაკარიჩევა იუ.ნ. ალიმოვა შ.ა. მორდკოვიჩი ა.გ. მურავინა გ.კ.

რა არის არითმეტიკული პროგრესია?

რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომელშიც ყოველი წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის წინა და გარკვეული ფიქსირებული რიცხვის ჯამს, ეწოდება არითმეტიკული პროგრესია.

არითმეტიკული პროგრესია არის განმეორებით განსაზღვრული რიცხვითი პროგრესია.

ჩამოვწეროთ განმეორებითი ფორმა: $a_(1)=a$; $a_(n)=a_(n-1)+d$, რიცხვი d – პროგრესიის სხვაობა. a და d არის გარკვეული მოცემული რიცხვები.

მაგალითი. 1,4,7,10,13,16... არითმეტიკული პროგრესია $a=1, d=3$-ით.

მაგალითი. 3,0,-3,-6,-9... არითმეტიკული პროგრესია $a=3, d=-3$-ით.

მაგალითი. 5,5,5,5,5... არითმეტიკული პროგრესია $a=5, d=0$-ით.

არითმეტიკულ პროგრესიას აქვს მონოტონურობის თვისებები: თუ პროგრესიის სხვაობა ნულზე მეტია, მაშინ მიმდევრობა იზრდება, თუ პროგრესიის სხვაობა ნულზე ნაკლებია, მაშინ მიმდევრობა მცირდება.

თუ არითმეტიკულ პროგრესიას აქვს ელემენტების სასრული რაოდენობა, მაშინ პროგრესიას ეწოდება სასრული არითმეტიკული პროგრესია.

თუ მოცემულია $a_(n)$ თანმიმდევრობა და ეს არის არითმეტიკული პროგრესია, მაშინ ჩვეულებრივ უნდა აღვნიშნოთ: $a_(1), a_(2), …, a_(n), …$.

არითმეტიკული პროგრესიის მე-n წევრის ფორმულა

მოდით დავუბრუნდეთ ჩვენს მაგალითებს და ჩავწეროთ ჩვენი ფორმულა თითოეული მაგალითისთვის.

მაგალითი. 1,4,7,10,13,16... არითმეტიკული პროგრესია, რომელშიც a=1, d=3. $a_(n)=1+(n-1)3=3n-2$.

მაგალითი. 3,0,-3,-6,-9... არითმეტიკული პროგრესია, რომლისთვისაც a=3, d=-3. $a_(n)=3+(n-1)(-3)=-3n+6$.

მაგალითი. მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია: $a_(1), a_(2), …, a_(n), …$.
ა) ცნობილია, რომ $a_(1)=5$, $d=3$. იპოვეთ $a_(23)$.
ბ) ცნობილია, რომ $a_(1)=4$, $d=5$, $a_(n)=109$. იპოვე ნ.
გ) ცნობილია, რომ $d=-1$, $a_(22)=15$. იპოვეთ $a_(1)$.
დ) ცნობილია, რომ $a_(1)=-3$, $a_(10)=24$. იპოვეთ დ.
გამოსავალი.
ა) $a_(23)=a_(1)+22d=5+66=71$.
ბ) $a_(n)=a_(1)+(n-1)d=4+5(n-1)=5n-1=109$.
$5n=110=>n=22$.
გ) $a_(22)=a_(1)+21d=a_(1)-21=15=> a_()1=36$.
დ) $a_(10)=a_(1)+9d=-3+9d=24=>d=3$.

მაგალითი. არითმეტიკული პროგრესიის მეცხრე წევრის მეორე წევრზე გაყოფისას კოეფიციენტი რჩება 7-ზე, ხოლო მეცხრე წევრის მეხუთეზე გაყოფისას კოეფიციენტი არის 2, ხოლო ნაშთი არის 5. იპოვეთ პროგრესიის ოცდამეათე წევრი.
გამოსავალი.
მოდით, თანმიმდევრულად დავწეროთ ჩვენი პროგრესირების ფორმულები 2,5 და 9.
$a_(2)=a_(1)+d$.
$a_(5)=a_(1)+4d$.
$a_(9)=a_(1)+8d$.
ჩვენ ასევე ვიცით მდგომარეობიდან:
$a_(9)=7a_(2)$.
$a_(9)=2a_(5)+5$.
ან:
$a_(1)+8d=7(a_(1)+d)$.
$a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5$.
შევქმნათ განტოლებათა სისტემა:
$\begin(cases)a_(1)+8d=7(a_(1)+d)\\a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5\end(cases)$.
$\begin(cases)d=6a_(1)\\d=a_(1)+5\end(cases)$.
სისტემის ამოხსნის შემდეგ ვიღებთ: $d=6, a_(1)=1$.
მოდი ვიპოვოთ $a_(30)$.
$a_(30)=a_(1)+29d=175$.

სასრულ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი

მოდით მივცეთ არითმეტიკული პროგრესია 1,2,3,4,5...100.
მოდით წარმოვიდგინოთ მისი წევრების ჯამი ასე:
$S_(n)=1+2+3+4+⋯+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯+(50+51)=$
$=101+101+⋯+101=50*101=5050$.
მაგრამ მსგავსი ფორმულა გამოიყენება ნებისმიერი არითმეტიკული პროგრესიისთვის:
$a_(3)+a_(n-2)=a_(2)+a_(n-1)=a_(1)+a_(n)$.
დავწეროთ ჩვენი ფორმულა ზოგად შემთხვევაში: $a_(k)+a_(n-k+1)=a_(1)+a_(n)$, სადაც $k<1$.
მოდით გამოვიტანოთ ფორმულა არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა ჯამის გამოსათვლელად, დავწეროთ ფორმულა ორჯერ სხვადასხვა თანმიმდევრობით:
$S_(n)=a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n-1)+a_(n)$.
$S_(n)=a_(n)+a_(n-1)+⋯+a_(2)+a_(1)$.
მოდით დავამატოთ ეს ფორმულები:
$2S_(n)=(a_(1)+a_(n))+(a_(2)+a_(n-1))+⋯+(a_(n-1)+a_(2))+(a_ (n)+a_(1))$.
ჩვენი თანასწორობის მარჯვენა მხარეს არის n ტერმინი და ვიცით, რომ თითოეული მათგანი $a_(1)+a_(n)$-ის ტოლია.
შემდეგ:
$S_(n)=\frac(n(a_(1)+a_(n)))(2)$.
ჩვენი ფორმულა ასევე შეიძლება გადაიწეროს სახით: ვინაიდან $a_(n)=a_(1)+(n-1)d$,
შემდეგ $S_(n)=\frac(2a_(1)+d(n-1))(2)*n$.
ყველაზე ხშირად უფრო მოსახერხებელია ამ კონკრეტული ფორმულის გამოყენება, ამიტომ კარგია მისი დამახსოვრება!

მაგალითი. მოცემულია სასრული არითმეტიკული პროგრესია.
იპოვე:
ა) $s_(22), თუ a_(1)=7, d=2$.
ბ) d,თუ $a_(1)=9$, $s_(8)=144$.
გამოსავალი.
ა) გამოვიყენოთ ჯამის მეორე ფორმულა $S_(22)=\frac(2a_(1)+d(22-1))(2)*22=\frac(14+2(22-1))(2) *22 = 616$.
ბ) ამ მაგალითში გამოვიყენებთ პირველ ფორმულას: $S_(8)=\frac(8(a_(1)+a_(1)))(2)=4a_(1)+4a_(8)$.
$144=36+4a_(8)$.
$a_(8)=27$.
$a_(8)=a_(1)+7d=9+7d$.
$d=2\frac(4)(7)$.

მაგალითი. იპოვეთ ყველა კენტი ორნიშნა რიცხვის ჯამი.
გამოსავალი.
ჩვენი პროგრესირების პირობებია: $a_(1)=11$, $a_(2)=13$, …, $a_(n)=99$.
ვიპოვოთ პროგრესიის ბოლო წევრის რიცხვი:
$a_(n)=a_(1)+d(n-1)$.
$99=11+2(n-1)$.
$n=45$.
ახლა ვიპოვოთ ჯამი: $S_(45)=\frac(45(11+99))(2)=2475$.

მაგალითი. ბიჭები ლაშქრობაში წავიდნენ. ცნობილია, რომ პირველ საათში მათ გაიარეს 500 მ, რის შემდეგაც დაიწყეს 25 მეტრით ნაკლები სიარული, ვიდრე პირველ საათში. რამდენი საათი დასჭირდებათ მათ 2975 მეტრის დასაფარად?
გამოსავალი.
ყოველ საათში გავლილი გზა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც არითმეტიკული პროგრესია:
$a_(1)=500$, $a_(2)=475$, $a_(3)=450…$.
არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა არის $d=-25$.
2975 მეტრში გავლილი მანძილი არის არითმეტიკული პროგრესიის ტერმინების ჯამი.
$S_(n)=2975$, სადაც n არის მოგზაურობაზე გატარებული საათები.
შემდეგ:
$S_(n)=\frac(1000-25(n-1))(2)$, $n=2975$.
$1000n-25(n-1)n=5950$.
გაყავით ორივე მხარე 25-ზე.
$40n-(n-1)n=238$.
$n^2-41n+238=0$.
$n_(1)=7$, $n_(2)=34$.
ცხადია, უფრო ლოგიკურია აირჩიოს $n=7$.
უპასუხე. ბიჭები გზაში 7 საათი იყვნენ.

არითმეტიკული პროგრესიის დამახასიათებელი თვისება

თუ პროგრესია სასრულია, მაშინ ეს თანასწორობა მოქმედებს ყველა წევრისთვის, გარდა პირველისა და უკანასკნელისა.
თუ წინასწარ არ არის ცნობილი, რა ფორმა აქვს მიმდევრობას, მაგრამ ცნობილია, რომ: $a_(n)=\frac(a_(n-1)+a_(n+1))(2)$.
მაშინ თამამად შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ეს არის არითმეტიკული პროგრესია.

რიცხვითი მიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია, როდესაც ამ პროგრესიის თითოეული წევრი უდრის ჩვენი პროგრესიის ორი მეზობელი წევრის საშუალო არითმეტიკულს (არ დაგავიწყდეთ, რომ სასრული პროგრესიისთვის ეს პირობა არ არის დაკმაყოფილებული პროგრესიის პირველი და ბოლო წევრისთვის) .

მაგალითი. იპოვეთ x ისეთი, რომ $3x+2$; $x-1$; $4x+3$ – არითმეტიკული პროგრესიის სამი თანმიმდევრული წევრი.
გამოსავალი. მოდით გამოვიყენოთ ჩვენი ფორმულა:
$x-1=\frac(3x+2+4x+3)(2)$.
$2x-2=7x+5$.
$-5x=7$.
$x=-1\frac(2)(5)=-1,4$.
შევამოწმოთ, ჩვენი გამონათქვამები მიიღებს ფორმას: -2,2; -2.4; -2.6.
ცხადია, ეს არის არითმეტიკული პროგრესიის ტერმინები და $d=-0.2$.

დამოუკიდებლად გადასაჭრელი პრობლემები

არითმეტიკული პროგრესიადაასახელეთ რიცხვების თანმიმდევრობა (პროგრესიის პირობები)

რომელშიც ყოველი მომდევნო ტერმინი წინასგან განსხვავდება ახალი ტერმინით, რომელსაც ასევე ე.წ ნაბიჯის ან პროგრესის განსხვავება.

ამრიგად, პროგრესირების საფეხურის და მისი პირველი ტერმინის მითითებით, შეგიძლიათ იპოვოთ მისი ნებისმიერი ელემენტი ფორმულის გამოყენებით

არითმეტიკული პროგრესიის თვისებები

1) არითმეტიკული პროგრესიის თითოეული წევრი, მეორე რიცხვიდან დაწყებული, არის პროგრესიის წინა და შემდეგი წევრების საშუალო არითმეტიკული

პირიქითაც მართალია. თუ პროგრესიის მიმდებარე კენტი (ლუწი) წევრთა საშუალო არითმეტიკული ტოლია იმ ტერმინისა, რომელიც დგას მათ შორის, მაშინ რიცხვების ეს თანმიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია. ამ განცხადების გამოყენებით, ძალიან ადვილია ნებისმიერი თანმიმდევრობის შემოწმება.

ასევე, არითმეტიკული პროგრესიის თვისებით, ზემოაღნიშნული ფორმულა შეიძლება განზოგადდეს შემდეგზე

ამის გადამოწმება ადვილია, თუ დაწერთ პირობებს ტოლობის ნიშნის მარჯვნივ

ის ხშირად გამოიყენება პრაქტიკაში პრობლემების გამოთვლების გასამარტივებლად.

2) არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი გამოითვლება ფორმულით

კარგად დაიმახსოვრეთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ფორმულა გამოთვლებში ის შეუცვლელია და საკმაოდ ხშირად გვხვდება ცხოვრების მარტივ სიტუაციებში.

3) თუ თქვენ გჭირდებათ არა მთელი ჯამის, არამედ მიმდევრობის ნაწილის პოვნა, რომელიც იწყება მისი k-ე ტერმინიდან, მაშინ შემდეგი ჯამის ფორმულა გამოგადგებათ.

4) პრაქტიკული ინტერესია kth რიცხვიდან დაწყებული არითმეტიკული პროგრესიის n წევრთა ჯამის პოვნა. ამისათვის გამოიყენეთ ფორმულა

ამით სრულდება თეორიული მასალა და გადადის საერთო პრობლემების პრაქტიკაში გადაჭრაზე.

მაგალითი 1. იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის მეორმოცე წევრი 4;7;...

გამოსავალი:

იმ პირობის მიხედვით, რაც გვაქვს

მოდით განვსაზღვროთ პროგრესის ნაბიჯი

ცნობილი ფორმულის გამოყენებით ვპოულობთ პროგრესიის ორმოცდამეათე ტერმინს

მაგალითი 2.

გამოსავალი:

არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია მისი მესამე და მეშვიდე წევრებით. იპოვეთ პროგრესიის პირველი წევრი და ათეულის ჯამი.

პირველს გამოვაკლებთ მეორე განტოლებას, შედეგად ვპოულობთ პროგრესირების საფეხურს

ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი მნიშვნელობას რომელიმე განტოლებაში, რათა ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრი

ჩვენ ვიანგარიშებთ პროგრესიის პირველი ათი წევრის ჯამს

რთული გამოთვლების გამოყენების გარეშე, ჩვენ ვიპოვეთ ყველა საჭირო რაოდენობა.

მაგალითი 3. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია მნიშვნელით და მისი ერთ-ერთი წევრით. იპოვეთ პროგრესიის პირველი წევრი, მისი 50 წევრის ჯამი 50-დან და პირველი 100-ის ჯამი.

გამოსავალი:

მოდით ჩამოვწეროთ პროგრესიის მეასე ელემენტის ფორმულა

და იპოვნეთ პირველი

პირველზე დაყრდნობით ვხვდებით პროგრესიის 50-ე ტერმინს

პროგრესიის ნაწილის ჯამის პოვნა

და პირველი 100-ის ჯამი

პროგრესის ოდენობაა 250.

მაგალითი 4.

იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა რაოდენობა, თუ:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

გამოსავალი:

დავწეროთ განტოლებები პირველი წევრისა და პროგრესიის საფეხურის მიხედვით და განვსაზღვროთ

მიღებულ მნიშვნელობებს ვანაცვლებთ ჯამის ფორმულას, რათა განვსაზღვროთ ჯამში ტერმინების რაოდენობა

ვახორციელებთ გამარტივებებს

და ამოხსენით კვადრატული განტოლება

ნაპოვნი ორი მნიშვნელობიდან მხოლოდ ნომერი 8 შეესაბამება პრობლემის პირობებს. ამრიგად, პროგრესიის პირველი რვა წევრის ჯამი არის 111.

მაგალითი 5.

ამოხსენით განტოლება

1+3+5+...+x=307.

ამოხსნა: ეს განტოლება არის არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი. მოდით დავწეროთ მისი პირველი ტერმინი და ვიპოვოთ განსხვავება პროგრესირებაში

მნიშვნელოვანი შენიშვნები!
1. თუ ფორმულების ნაცვლად ხედავთ gobbledygook, გაასუფთავეთ თქვენი ქეში. როგორ გავაკეთოთ ეს თქვენს ბრაუზერში წერია აქ:
2. სანამ სტატიის კითხვას დაიწყებთ, ყურადღება მიაქციეთ ჩვენს ნავიგატორს ყველაზე სასარგებლო რესურსებისთვის

რიცხვების თანმიმდევრობა

მაშ, დავჯდეთ და დავიწყოთ რამდენიმე რიცხვის წერა. მაგალითად:
თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ნებისმიერი რიცხვი და შეიძლება იყოს იმდენი, რამდენიც გსურთ (ჩვენს შემთხვევაში, არის ისინი). რამდენი რიცხვიც არ უნდა დავწეროთ, ყოველთვის შეგვიძლია ვთქვათ, რომელია პირველი, რომელი მეორე და ასე შემდეგ ბოლომდე, ანუ შეგვიძლია მათი დათვლა. ეს არის რიცხვების თანმიმდევრობის მაგალითი:

რიცხვების თანმიმდევრობა
მაგალითად, ჩვენი თანმიმდევრობისთვის:

მინიჭებული ნომერი სპეციფიკურია თანმიმდევრობით მხოლოდ ერთი ნომრისთვის. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მიმდევრობაში არ არის სამი მეორე რიცხვი. მეორე რიცხვი (ისევე როგორც მეთე რიცხვი) ყოველთვის იგივეა.
რიცხვთან ერთად რიცხვს მიმდევრობის მე-თე წევრი ეწოდება.

ჩვენ ჩვეულებრივ მთელ მიმდევრობას ვუწოდებთ რაღაც ასოს (მაგალითად,) და ამ მიმდევრობის თითოეული წევრი არის იგივე ასო, რომლის ინდექსი ტოლია ამ წევრის რიცხვის: .

ჩვენს შემთხვევაში:

ვთქვათ, გვაქვს რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომელშიც სხვაობა მიმდებარე რიცხვებს შორის იგივე და ტოლია.
მაგალითად:

და ა.შ.
ამ რიცხვთა თანმიმდევრობას არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება.
ტერმინი „პროგრესია“ შემოიღო რომაელმა ავტორმა ბოეთიუსმა ჯერ კიდევ მე-6 საუკუნეში და ფართო გაგებით გაიგო, როგორც უსასრულო რიცხვითი თანმიმდევრობა. სახელწოდება „არითმეტიკა“ გადავიდა უწყვეტი პროპორციების თეორიიდან, რომელსაც სწავლობდნენ ძველი ბერძნები.

ეს არის რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომლის თითოეული წევრი უდრის იმავე რიცხვს დამატებულ წინას. ამ რიცხვს ეწოდება არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა და მითითებულია.

შეეცადეთ დაადგინოთ, რომელი რიცხვის მიმდევრობაა არითმეტიკული პროგრესია და რომელი არა:

ა)
ბ)
გ)
დ)

გაიგე? მოდით შევადაროთ ჩვენი პასუხები:
არისარითმეტიკული პროგრესია - b, c.
არ არისარითმეტიკული პროგრესია - ა, დ.

დავუბრუნდეთ მოცემულ პროგრესიას () და ვეცადოთ ვიპოვოთ მისი მე-ე წევრის მნიშვნელობა. არსებობს ორიმისი პოვნის გზა.

1. მეთოდი

ჩვენ შეგვიძლია დავამატოთ პროგრესიის ნომერი წინა მნიშვნელობას მანამ, სანამ არ მივაღწევთ პროგრესიის მე-6 ტერმინს. კარგია, რომ ბევრი რამ არ გვაქვს შესაჯამებელი - მხოლოდ სამი მნიშვნელობა:

ასე რომ, აღწერილი არითმეტიკული პროგრესიის მე-1 წევრი უდრის.

2. მეთოდი

რა მოხდება, თუ გვჭირდებოდა პროგრესიის მე-ე ტერმინის მნიშვნელობის პოვნა? შეჯამება ერთ საათზე მეტს დაგვჭირდება და ფაქტი არ არის, რომ რიცხვების შეკრებისას შეცდომას არ დავუშვებთ.
რა თქმა უნდა, მათემატიკოსებმა მოიგონეს გზა, რომლითაც არ არის აუცილებელი არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობის დამატება წინა მნიშვნელობაზე. დააკვირდით დახატულ სურათს... რა თქმა უნდა, თქვენ უკვე შენიშნეთ გარკვეული ნიმუში, კერძოდ:

მაგალითად, ვნახოთ, რას მოიცავს ამ არითმეტიკული პროგრესიის მეათე წევრის მნიშვნელობა:


სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ:

ეცადეთ, ამ გზით თავად იპოვოთ მოცემული არითმეტიკული პროგრესიის წევრის მნიშვნელობა.

გამოთვალეთ? შეადარეთ თქვენი შენიშვნები პასუხთან:

გთხოვთ, გაითვალისწინოთ, რომ თქვენ მიიღეთ ზუსტად იგივე რიცხვი, რაც წინა მეთოდში, როდესაც ჩვენ თანმიმდევრულად დავამატეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირობები წინა მნიშვნელობას.
შევეცადოთ ამ ფორმულის „დეპერსონალიზაცია“ - მოდი დავდოთ იგი ზოგადი ფორმით და მივიღოთ:

არითმეტიკული პროგრესიები შეიძლება იყოს მზარდი ან კლებადი.

მზარდი- პროგრესები, რომლებშიც ტერმინების ყოველი მომდევნო მნიშვნელობა წინაზე მეტია.
მაგალითად:

დაღმავალი- პროგრესები, რომლებშიც ტერმინების ყოველი მომდევნო მნიშვნელობა წინაზე ნაკლებია.
მაგალითად:

მიღებული ფორმულა გამოიყენება არითმეტიკული პროგრესიის როგორც მზარდი, ასევე კლებადი ტერმინების გამოთვლაში.
მოდით შევამოწმოთ ეს პრაქტიკაში.
ჩვენ გვეძლევა არითმეტიკული პროგრესია, რომელიც შედგება შემდეგი რიცხვებისგან: მოდით შევამოწმოთ რა იქნება ამ არითმეტიკული პროგრესიის მეათე რიცხვი, თუ გამოვიყენებთ ჩვენს ფორმულას მის გამოსათვლელად:

მას შემდეგ:

ამრიგად, ჩვენ დარწმუნებულები ვართ, რომ ფორმულა მოქმედებს როგორც შემცირების, ისე გაზრდის არითმეტიკული პროგრესიის დროს.
შეეცადეთ თავად იპოვოთ ამ არითმეტიკული პროგრესიის მე-4 ტერმინები.

შევადაროთ შედეგები:

არითმეტიკული პროგრესიის თვისება

გავართულოთ პრობლემა - გამოვიყვანთ არითმეტიკული პროგრესიის თვისებას.
ვთქვათ, გვაქვს შემდეგი პირობა:
- არითმეტიკული პროგრესია, იპოვნეთ მნიშვნელობა.
მარტივია, ამბობ და იწყებ დათვლას უკვე ცნობილი ფორმულის მიხედვით:

მოდით, აჰ, მაშინ:

აბსოლუტურად მართალია. გამოდის, რომ ჯერ ვპოულობთ, შემდეგ ვამატებთ პირველ რიცხვს და ვიღებთ იმას, რასაც ვეძებთ. თუ პროგრესია წარმოდგენილია მცირე მნიშვნელობებით, მაშინ ამაში არაფერია რთული, მაგრამ რა მოხდება, თუ პირობით რიცხვებს მივიღებთ? გეთანხმებით, არის გამოთვლებში შეცდომის დაშვების შესაძლებლობა.
ახლა დაფიქრდით, შესაძლებელია თუ არა ამ პრობლემის გადაჭრა რომელიმე ფორმულით ერთი ნაბიჯით? რა თქმა უნდა, დიახ, და ეს არის ის, რისი გარკვევასაც ახლა შევეცდებით.

მოდი აღვნიშნოთ არითმეტიკული პროგრესიის საჭირო ტერმინი, როგორც ჩვენთვის ცნობილია მისი პოვნის ფორმულა - ეს არის იგივე ფორმულა, რაც თავიდან გამოვიყვანეთ:
, შემდეგ:

• პროგრესის წინა ვადა არის:
• პროგრესის შემდეგი ტერმინი არის:

მოდით შევაჯამოთ პროგრესის წინა და შემდგომი პირობები:

გამოდის, რომ პროგრესიის წინა და შემდგომი პუნქტების ჯამი არის მათ შორის მდებარე პროგრესიის ტერმინის ორმაგი მნიშვნელობა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პროგრესული ტერმინის მნიშვნელობის საპოვნელად ცნობილი წინა და თანმიმდევრული მნიშვნელობებით, თქვენ უნდა დაამატოთ ისინი და გაყოთ.

მართალია, იგივე ნომერი მივიღეთ. დავიცავთ მასალას. თავად გამოთვალეთ პროგრესის ღირებულება, ეს სულაც არ არის რთული.

კარგად გააკეთე! თქვენ თითქმის ყველაფერი იცით პროგრესის შესახებ! რჩება მხოლოდ ერთი ფორმულის გარკვევა, რომელიც, ლეგენდის თანახმად, ადვილად გამოიტანა ყველა დროის ერთ-ერთმა უდიდესმა მათემატიკოსმა, „მათემატიკოსთა მეფემ“ - კარლ გაუსმა...

როდესაც კარლ გაუსი 9 წლის იყო, მასწავლებელმა, რომელიც დაკავებული იყო სხვა კლასებში მოსწავლეების მუშაობის შემოწმებით, კლასში დაავალა შემდეგი დავალება: „გამოთვალეთ ყველა ნატურალური რიცხვის ჯამი (სხვა წყაროების მიხედვით) ინკლუზივიდან“. წარმოიდგინეთ მასწავლებლის გაოცება, როდესაც მისმა ერთ-ერთმა მოსწავლემ (ეს იყო კარლ გაუსმა) ერთი წუთის შემდეგ სწორი პასუხი გასცა დავალებას, მაშინ როცა გაბედულის თანაკლასელების უმეტესობამ, ხანგრძლივი გათვლების შემდეგ, არასწორი შედეგი მიიღო...

ახალგაზრდა კარლ გაუსმა შენიშნა გარკვეული ნიმუში, რომელსაც თქვენც ადვილად შეამჩნევთ.
ვთქვათ, გვაქვს არითმეტიკული პროგრესია, რომელიც შედგება -ე ტერმინებისგან: ჩვენ უნდა ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის ამ წევრთა ჯამი. რა თქმა უნდა, ჩვენ შეგვიძლია ხელით შევაჯამოთ ყველა მნიშვნელობა, მაგრამ რა მოხდება, თუ დავალება მოითხოვს მისი ტერმინების ჯამის პოვნას, როგორც ამას გაუსი ეძებდა?

მოდით გამოვსახოთ ჩვენთვის მოცემული პროგრესი. ყურადღებით დააკვირდით მონიშნულ რიცხვებს და შეეცადეთ მათთან ერთად შეასრულოთ სხვადასხვა მათემატიკური მოქმედებები.


სცადე? რა შეამჩნიე? უფლება! მათი ჯამები ტოლია

ახლა მითხარი, სულ რამდენი ასეთი წყვილია ჩვენთვის მოცემულ პროგრესში? რა თქმა უნდა, ყველა რიცხვის ზუსტად ნახევარი, ანუ.
იქიდან გამომდინარე, რომ არითმეტიკული პროგრესიის ორი წევრის ჯამი ტოლია და მსგავსი წყვილები ტოლია, მივიღებთ, რომ ჯამი უდრის:
.
ამრიგად, ნებისმიერი არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრთა ჯამის ფორმულა იქნება:

ზოგიერთ პრობლემაში ჩვენ არ ვიცით ტერმინი, მაგრამ ვიცით პროგრესირების განსხვავება. შეეცადეთ ჩაანაცვლოთ მეათე წევრის ფორმულა ჯამის ფორმულით.
რა მიიღე?

კარგად გააკეთე! ახლა დავუბრუნდეთ პრობლემას, რომელიც დაუსვეს კარლ გაუსს: თავად გამოთვალეთ რის ტოლია -th-დან დაწყებული რიცხვების ჯამი და -th-დან დაწყებული რიცხვების ჯამი.

რამდენი მიიღეთ?
გაუსმა აღმოაჩინა, რომ ტერმინთა ჯამი ტოლია და წევრთა ჯამი. ასე გადაწყვიტე?

სინამდვილეში, არითმეტიკული პროგრესიის ტერმინების ჯამის ფორმულა დაამტკიცა ძველმა ბერძენმა მეცნიერმა დიოფანტმა ჯერ კიდევ მე-3 საუკუნეში და მთელი ამ ხნის განმავლობაში მახვილგონივრული ადამიანები სრულად იყენებდნენ არითმეტიკული პროგრესიის თვისებებს.
მაგალითად, წარმოიდგინეთ ძველი ეგვიპტე და იმ დროის უდიდესი სამშენებლო პროექტი - პირამიდის მშენებლობა... სურათზე ჩანს მისი ერთი მხარე.

სად არის აქ პროგრესი, თქვენ ამბობთ? დააკვირდით და იპოვეთ ნიმუში პირამიდის კედლის თითოეულ რიგში ქვიშის ბლოკების რაოდენობაში.


რატომ არა არითმეტიკული პროგრესია? გამოთვალეთ რამდენი ბლოკია საჭირო ერთი კედლის ასაშენებლად, თუ ბლოკის აგური მოთავსებულია ბაზაზე. იმედი მაქვს, მონიტორზე თითის გადაადგილებისას არ ითვლით, გახსოვთ ბოლო ფორმულა და ყველაფერი, რაც ვთქვით არითმეტიკული პროგრესიის შესახებ?

ამ შემთხვევაში, პროგრესი ასე გამოიყურება: .
არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.
არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა რაოდენობა.
მოდით ჩავანაცვლოთ ჩვენი მონაცემები ბოლო ფორმულებში (გამოვთვალოთ ბლოკების რაოდენობა 2 გზით).

მეთოდი 1.

მეთოდი 2.

ახლა კი შეგიძლიათ მონიტორზე გამოთვალოთ: შეადარეთ მიღებული მნიშვნელობები ჩვენს პირამიდაში არსებული ბლოკების რაოდენობასთან. გაიგე? კარგია, თქვენ აითვისეთ არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრთა ჯამი.
რა თქმა უნდა, თქვენ არ შეგიძლიათ პირამიდის აშენება ბაზაზე არსებული ბლოკებისგან, მაგრამ? შეეცადეთ გამოთვალოთ რამდენი ქვიშის აგურია საჭირო ამ პირობით კედლის ასაშენებლად.
მოახერხე?
სწორი პასუხი არის ბლოკები:

ტრენინგი

ამოცანები:

1. მაშა ზაფხულისთვის ფორმაში დგება. ყოველდღე ის ზრდის ჩაჯდომების რაოდენობას. რამდენჯერ გააკეთებს მაშა ჩაჯდომას კვირაში, თუ მან ჩაჯდომა გააკეთა პირველ ვარჯიშზე?
2. რა არის ყველა კენტი რიცხვის ჯამი, რომელიც შეიცავს.
3. ლოგების შენახვისას, ლოგერები აწყობენ მათ ისე, რომ ყოველი ზედა ფენა შეიცავს წინაზე ნაკლებს. რამდენი მორი არის ერთ ქვისა, თუ ქვისა საძირკველი არის მორები?

პასუხები:

1. მოდით განვსაზღვროთ არითმეტიკული პროგრესიის პარამეტრები. ამ შემთხვევაში
   (კვირები = დღეები).

   პასუხი:ორ კვირაში, მაშამ უნდა გააკეთოს squats დღეში ერთხელ.

2. პირველი კენტი რიცხვი, ბოლო რიცხვი.
   არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.
   კენტი რიცხვების რაოდენობა ნახევარშია, თუმცა, მოდით შევამოწმოთ ეს ფაქტი არითმეტიკული პროგრესიის მეათე წევრის ფორმულის გამოყენებით:

   რიცხვები შეიცავს კენტ რიცხვებს.
   მოდით ჩავანაცვლოთ არსებული მონაცემები ფორმულაში:

   პასუხი:ყველა კენტი რიცხვის ჯამი ტოლია.

3. გავიხსენოთ პრობლემა პირამიდების შესახებ. ჩვენს შემთხვევაში, a, რადგან თითოეული ზედა ფენა მცირდება ერთი ჟურნალით, მაშინ მთლიანობაში არის ფენების თაიგული, ანუ.
   მოდით ჩავანაცვლოთ მონაცემები ფორმულაში:

   პასუხი:ქვისა მორებია.

მოდით შევაჯამოთ

1. - რიცხვების თანმიმდევრობა, რომელშიც სხვაობა მიმდებარე რიცხვებს შორის არის იგივე და ტოლი. ის შეიძლება გაიზარდოს ან შემცირდეს.
2. ფორმულის პოვნაარითმეტიკული პროგრესიის მე-1 წევრი იწერება ფორმულით - , სადაც არის რიცხვების რაოდენობა პროგრესიაში.
3. არითმეტიკული პროგრესიის წევრების თვისება- - სად არის რიცხვების რაოდენობა პროგრესირებაში.
4. არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა ჯამიშეიძლება მოიძებნოს ორი გზით:
   
   , სადაც არის მნიშვნელობების რაოდენობა.

არითმეტიკული პროგრესია. შუა დონე

რიცხვების თანმიმდევრობა

დავჯდეთ და დავიწყოთ რამდენიმე რიცხვის წერა. მაგალითად:

თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ნებისმიერი რიცხვი და შეიძლება იყოს იმდენი, რამდენიც გსურთ. მაგრამ ყოველთვის შეგვიძლია ვთქვათ, რომელია პირველი, რომელი მეორე და ასე შემდეგ, ანუ შეგვიძლია მათი დათვლა. ეს არის რიცხვების მიმდევრობის მაგალითი.

რიცხვების თანმიმდევრობაარის რიცხვების ნაკრები, რომელთაგან თითოეულს შეიძლება მიენიჭოს უნიკალური ნომერი.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თითოეული რიცხვი შეიძლება დაკავშირებული იყოს გარკვეულ ბუნებრივ რიცხვთან და უნიკალურთან. და ჩვენ არ მივანიჭებთ ამ ნომერს ამ ნაკრებიდან არცერთ სხვა ნომერს.

რიცხვს, რომელსაც აქვს რიცხვი, ეწოდება მიმდევრობის მე-ა წევრი.

ჩვენ ჩვეულებრივ მთელ მიმდევრობას ვუწოდებთ რაღაც ასოს (მაგალითად,) და ამ მიმდევრობის თითოეული წევრი არის იგივე ასო, რომლის ინდექსი ტოლია ამ წევრის რიცხვის: .

ძალიან მოსახერხებელია, თუ მიმდევრობის მეათე ტერმინი შეიძლება განისაზღვროს რაიმე ფორმულით. მაგალითად, ფორმულა

ადგენს თანმიმდევრობას:

და ფორმულა არის შემდეგი თანმიმდევრობა:

მაგალითად, არითმეტიკული პროგრესია არის თანმიმდევრობა (პირველი წევრი აქ ტოლია და განსხვავება არის). ან (, განსხვავება).

ფორმულა n-ე ტერმინი

ჩვენ ვუწოდებთ ფორმულას მორეციდივე, რომელშიც, იმისათვის, რომ გაიგოთ ტერმინი, თქვენ უნდა იცოდეთ წინა ან რამდენიმე წინა:

ამ ფორმულის გამოყენებით, მაგალითად, პროგრესიის მეათე წევრის საპოვნელად, წინა ცხრა უნდა გამოვთვალოთ. მაგალითად, დაუშვით. შემდეგ:

აბა, ახლა გასაგებია, რა ფორმულაა?

თითოეულ სტრიქონს ვამატებთ, გამრავლებული რაღაც რიცხვზე. რომელი? ძალიან მარტივია: ეს არის ამჟამინდელი წევრის რიცხვი მინუს:

ახლა ბევრად უფრო მოსახერხებელია, არა? ჩვენ ვამოწმებთ:

თავად გადაწყვიტე:

არითმეტიკული პროგრესიის დროს იპოვეთ n-ე წევრის ფორმულა და იპოვეთ მეასე წევრი.

გამოსავალი:

პირველი ვადა თანაბარია. რა განსხვავებაა? აი რა:

(ამიტომ უწოდებენ მას განსხვავებას, რადგან უდრის პროგრესიის თანმიმდევრული ტერმინების სხვაობას).

ასე რომ, ფორმულა:

მაშინ მეასე წევრი უდრის:

რა არის ყველა ნატურალური რიცხვის ჯამი დან?

ლეგენდის თანახმად, დიდმა მათემატიკოსმა კარლ გაუსმა, როგორც 9 წლის ბიჭმა, ეს თანხა რამდენიმე წუთში გამოთვალა. მან შეამჩნია, რომ პირველი და ბოლო რიცხვების ჯამი ტოლია, მეორეს და წინაბოლოების ჯამი იგივეა, ბოლოდან მესამე და მე-3-ის ჯამი იგივეა და ა.შ. სულ რამდენი ასეთი წყვილია? მართალია, ყველა რიცხვის ზუსტად ნახევარი, ანუ. ასე რომ,

ნებისმიერი არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრთა ჯამის ზოგადი ფორმულა იქნება:

მაგალითი:
იპოვეთ ყველა ორნიშნა ჯერადი ჯამი.

გამოსავალი:

პირველი ასეთი რიცხვია. ყოველი მომდევნო რიცხვი მიიღება წინა რიცხვის დამატებით. ამრიგად, რიცხვები, რომლებიც ჩვენ გვაინტერესებს, ქმნიან არითმეტიკულ პროგრესიას პირველი წევრით და სხვაობით.

ამ პროგრესირების ტერმინის ფორმულა:

რამდენი ტერმინია პროგრესიაში, თუ ისინი ყველა ორნიშნა უნდა იყოს?

ძალიან ადვილია:.

პროგრესირების ბოლო ვადა თანაბარი იქნება. შემდეგ ჯამი:

პასუხი:.

ახლა თავად გადაწყვიტე:

1. ყოველდღე სპორტსმენი უფრო მეტ მეტრს დარბის, ვიდრე წინა დღეს. სულ რამდენ კილომეტრს გაივლის ის კვირაში, თუ პირველ დღეს გაიარა კმ მ?
2. ველოსიპედისტი ყოველდღე უფრო მეტ კილომეტრს გადის, ვიდრე წინა დღეს. პირველ დღეს მან გაიარა კმ. რამდენი დღე სჭირდება მას კილომეტრის გასავლელად? რამდენ კილომეტრს გაივლის ის მოგზაურობის ბოლო დღეს?
3. მაღაზიაში მაცივრის ფასი ყოველწლიურად ამდენივე მცირდება. დაადგინეთ, რამდენად იკლებს მაცივრის ფასი ყოველწლიურად, თუ გასაყიდად რუბლებში იყო გამოტანილი, ექვსი წლის შემდეგ ის გაიყიდა რუბლებში.

პასუხები:

1. აქ ყველაზე მნიშვნელოვანი არის არითმეტიკული პროგრესიის ამოცნობა და მისი პარამეტრების დადგენა. ამ შემთხვევაში, (კვირები = დღეები). თქვენ უნდა განსაზღვროთ ამ პროგრესიის პირველი ტერმინების ჯამი:
   .
   პასუხი:
2. აქ მოცემულია: , უნდა მოიძებნოს.
   ცხადია, თქვენ უნდა გამოიყენოთ იგივე ჯამის ფორმულა, როგორც წინა პრობლემაში:
   .
   შეცვალეთ მნიშვნელობები:

   ფესვი აშკარად არ ჯდება, ამიტომ პასუხი არის.
   გამოვთვალოთ ბოლო დღის განმავლობაში გავლილი გზა მე-ე წევრის ფორმულით:
   (კმ).
   პასუხი:

3. მოცემული: . იპოვეთ: .
   ეს არ შეიძლება იყოს უფრო მარტივი:
   (რუბში).
   პასუხი:

არითმეტიკული პროგრესია. მოკლედ მთავარის შესახებ

ეს არის რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომელშიც სხვაობა მიმდებარე რიცხვებს შორის არის იგივე და ტოლი.

არითმეტიკული პროგრესია შეიძლება იყოს მზარდი () და კლებადი ().

მაგალითად:

არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის პოვნის ფორმულა

იწერება ფორმულით, სადაც არის რიცხვების რაოდენობა პროგრესირებაში.

არითმეტიკული პროგრესიის წევრების თვისება

ის საშუალებას გაძლევთ მარტივად იპოვოთ პროგრესიის ტერმინი, თუ ცნობილია მისი მეზობელი ტერმინები - სად არის რიცხვების რაოდენობა პროგრესიაში.

არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა ჯამი

თანხის პოვნის ორი გზა არსებობს:

სად არის მნიშვნელობების რაოდენობა.

სად არის მნიშვნელობების რაოდენობა.

ისე, თემა დამთავრდა. თუ ამ სტრიქონებს კითხულობ, ეს ნიშნავს, რომ ძალიან მაგარი ხარ.

იმიტომ რომ ადამიანების მხოლოდ 5%-ს შეუძლია რაღაცის დაუფლება დამოუკიდებლად. და თუ ბოლომდე წაიკითხავთ, მაშინ ამ 5%-ში ხართ!

ახლა ყველაზე მთავარი.

თქვენ გაიგეთ თეორია ამ თემაზე. და ვიმეორებ, ეს... ეს უბრალოდ სუპერა! თქვენ უკვე უკეთესი ხართ, ვიდრე თქვენი თანატოლების უმრავლესობა.

პრობლემა ის არის, რომ ეს შეიძლება არ იყოს საკმარისი...

რისთვის?

ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის, კოლეჯში ბიუჯეტით ჩასვლისთვის და რაც მთავარია, უვადოდ.

არაფერში არ დაგარწმუნებთ, მხოლოდ ერთს გეტყვით...

ადამიანები, რომლებმაც მიიღეს კარგი განათლება, ბევრად მეტს გამოიმუშავებენ, ვიდრე მათ, ვინც არ მიუღია. ეს არის სტატისტიკა.

მაგრამ ეს არ არის მთავარი.

მთავარი ის არის, რომ ისინი უფრო ბედნიერები არიან (არის ასეთი კვლევები). იქნებ იმიტომ, რომ კიდევ ბევრი შესაძლებლობა იხსნება მათ წინაშე და ცხოვრება უფრო ნათელი ხდება? არ ვიცი...

მაგრამ შენ თვითონ იფიქრე...

რა არის საჭირო იმისთვის, რომ ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე სხვებზე უკეთესი იყო და საბოლოოდ... ბედნიერი?

მოიპოვეთ თქვენი ხელი ამ თემაზე არსებული პრობლემების გადაჭრით.

გამოცდის დროს თეორიას არ მოგთხოვენ.

დაგჭირდებათ პრობლემების გადაჭრა დროის წინააღმდეგ.

და თუ არ მოაგვარეთ ისინი (ბევრი!), აუცილებლად დაუშვებთ სადღაც სულელურ შეცდომას ან უბრალოდ დრო არ გექნებათ.

ეს ისეა, როგორც სპორტში - აუცილებლად უნდა გაიმეორო, რომ აუცილებლად გაიმარჯვო.

იპოვე კოლექცია სადაც გინდა, აუცილებლად გადაწყვეტილებებით, დეტალური ანალიზითდა გადაწყვიტე, გადაწყვიტე, გადაწყვიტე!

თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჩვენი ამოცანები (სურვილისამებრ) და ჩვენ, რა თქმა უნდა, გირჩევთ მათ.

იმისათვის, რომ უკეთ გამოიყენოთ ჩვენი ამოცანები, თქვენ უნდა დაეხმაროთ YouClever სახელმძღვანელოს სიცოცხლის გახანგრძლივებას, რომელსაც ამჟამად კითხულობთ.

როგორ? არსებობს ორი ვარიანტი:

1. განბლოკეთ ყველა ფარული დავალება ამ სტატიაში -
2. განბლოკეთ წვდომა ყველა ფარულ ამოცანაზე სახელმძღვანელოს 99-ვე სტატიაში - შეიძინეთ სახელმძღვანელო - 499 რუბლი

დიახ, ჩვენ გვაქვს 99 ასეთი სტატია ჩვენს სახელმძღვანელოში და წვდომა ყველა ამოცანაზე და მათში ყველა ფარულ ტექსტზე შეიძლება დაუყოვნებლივ გაიხსნას.

ყველა ფარულ ამოცანაზე წვდომა უზრუნველყოფილია საიტის მთელი ცხოვრების განმავლობაში.

და ბოლოს...

თუ არ მოგწონთ ჩვენი ამოცანები, იპოვეთ სხვები. უბრალოდ არ გაჩერდე თეორიაზე.

"გაგება" და "მე შემიძლია გადაჭრა" სრულიად განსხვავებული უნარებია. ორივე გჭირდება.

იპოვნეთ პრობლემები და მოაგვარეთ ისინი!