წესრიგის აქსიომები. წერტილი და წრფე წერტილიდან, რომელიც არ ეკუთვნის სიბრტყეს

ბრინჯი. 3.2ხაზების შედარებითი პოზიცია

სივრცეში ხაზებს შეუძლიათ დაიკავონ სამი პოზიციიდან ერთ-ერთი ერთმანეთთან შედარებით:

1) იყოს პარალელური;

2) იკვეთება;

3) შეჯვარება.

პარალელურადეწოდება სწორი ხაზები, რომლებიც დევს ერთ სიბრტყეში და არ აქვთ საერთო წერტილები.

თუ ხაზები ერთმანეთის პარალელურია, მაშინ CN-ზე მათი ამავე სახელწოდების პროგნოზებიც პარალელურია (იხ. განყოფილება 1.2).

იკვეთებაეწოდება სწორი ხაზები, რომლებიც დევს ერთ სიბრტყეში და აქვთ ერთი საერთო წერტილი.

CN-ზე გადამკვეთი ხაზებისთვის, ამავე სახელწოდების პროგნოზები იკვეთება წერტილის პროგნოზებში. ა. უფრო მეტიც, ამ წერტილის შუბლის () და ჰორიზონტალური () პროგნოზები უნდა იყოს იმავე საკომუნიკაციო ხაზზე.

შეჯვარებაეწოდება წრფეებს, რომლებიც დევს პარალელურ სიბრტყეში და არ აქვთ საერთო წერტილები.

თუ ხაზები იკვეთება, მაშინ CN-ზე მათი ამავე სახელწოდების პროგნოზები შეიძლება იკვეთებოდეს, მაგრამ ამავე სახელწოდების პროგნოზების გადაკვეთის წერტილები არ იქნება იმავე შეერთების ხაზზე.

ნახ. 3.4 ქულა თანხაზს ეკუთვნის ბდა მიუთითეთ დ- სწორი ა. ეს წერტილები იმავე მანძილზეა შუბლის პროექციის სიბრტყიდან. წერტილის მსგავსი ედა ფმიეკუთვნება სხვადასხვა ხაზებს, მაგრამ იმავე მანძილზე არიან პროგნოზების ჰორიზონტალური სიბრტყიდან. ამიტომ, CN-ზე მათი შუბლის პროგნოზები ემთხვევა.

სიბრტყის მიმართ წერტილის მდებარეობის ორი შესაძლო შემთხვევაა: წერტილი შეიძლება ეკუთვნოდეს სიბრტყეს ან არ ეკუთვნოდეს მას (ნახ. 3.5).

წერტილისა და სწორი სიბრტყის კუთვნილების ნიშანი:

წერტილი თვითმფრინავს ეკუთვნის, თუ იგი ეკუთვნის ამ სიბრტყეში მდებარე ხაზს.

სწორი ხაზი სიბრტყეს ეკუთვნის, თუ მას ორი საერთო წერტილი აქვს მასთან ან აქვს ერთი საერთო წერტილი და პარალელურია ამ სიბრტყეში მდებარე სხვა წრფისა.

ნახ. 3.5 გვიჩვენებს სიბრტყეს და წერტილებს დდა ე. Წერტილი დეკუთვნის თვითმფრინავს, რადგან ის ეკუთვნის ხაზს ლ, რომელსაც აქვს ორი საერთო წერტილი ამ სიბრტყესთან - 1 და ა. Წერტილი ეარ ეკუთვნის თვითმფრინავს, რადგან შეუძლებელია მოცემულ სიბრტყეში მის გავლით სწორი ხაზის დახატვა.

ნახ. 3.6 გვიჩვენებს სიბრტყეს და სწორ ხაზს ტ, იწვა ამ თვითმფრინავში, რადგან საერთო აზრი აქვს მასთან 1 და ხაზის პარალელურად ა.

კუთვნილების ნიშნები კარგად არის ცნობილი პლანიმეტრიის კურსიდან. ჩვენი ამოცანაა განვიხილოთ ისინი გეომეტრიული ობიექტების პროგნოზებთან მიმართებაში.

წერტილი ეკუთვნის სიბრტყეს, თუ იგი ეკუთვნის ამ სიბრტყეში მდებარე ხაზს.

სწორი სიბრტყის კუთვნილება განისაზღვრება ორიდან ერთი კრიტერიუმით:

ა) სწორი ხაზი გადის ამ სიბრტყეში მდებარე ორ წერტილში;

ბ) წრფე გადის წერტილში და პარალელურია ამ სიბრტყეში მდებარე წრფეების.

ამ თვისებების გამოყენებით, მოდით გადავჭრათ პრობლემა, როგორც მაგალითი. დაე, სიბრტყე განისაზღვროს სამკუთხედით ABC. საჭიროა დაკარგული პროექციის აგება დ 1 ქულა დამ თვითმფრინავს ეკუთვნის. კონსტრუქციების თანმიმდევრობა ასეთია (ნახ. 2.5).

ბრინჯი. 2.5. სიბრტყის კუთვნილი წერტილის პროგნოზების აგება

წერტილის მეშვეობით დ 2 ჩვენ ვახორციელებთ სწორი ხაზის პროექციას დ, იწვა თვითმფრინავში  ABCსამკუთხედისა და წერტილის ერთ-ერთი გვერდის გადაკვეთა ა 2. მაშინ წერტილი 1 2 ეკუთვნის ხაზებს ა 2 დ 2 და C 2 IN 2. ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ მისი ჰორიზონტალური პროექცია 1 1-ზე C 1 IN 1 საკომუნიკაციო ხაზით. დამაკავშირებელი წერტილები 1 1 და ა 1, ვიღებთ ჰორიზონტალურ პროექციას დ 1 . დგასაგებია, რომ საქმე დ 2 .

1 ეკუთვნის მას და დევს წერტილთან პროექციის კავშირის ხაზზე

პრობლემა იმის დადგენა, ეკუთვნის თუ არა წერტილი თუ სწორი სიბრტყე, საკმაოდ მარტივად წყდება. ნახ. ნახაზი 2.6 გვიჩვენებს ასეთი პრობლემების გადაჭრის პროგრესს. პრობლემის წარმოდგენის სიცხადისთვის სიბრტყეს განვსაზღვრავთ სამკუთხედით.

ბრინჯი. 2.6. პრობლემები იმის დასადგენად, ეკუთვნის თუ არა წერტილი სწორ სიბრტყეს. ერათა დადგინდეს, ეკუთვნის თუ არა წერტილი  ABCთვითმფრინავი ა, დახაზეთ სწორი ხაზი მისი შუბლის პროექციის E 2-ში  ABC 2. ვივარაუდოთ, რომ სწორი ხაზი a ეკუთვნის სიბრტყეს ა, ავაშენოთ მისი ჰორიზონტალური პროექცია ა 1 გადაკვეთის წერტილებზე 1 და 2. როგორც ვხედავთ (ნახ. 2.6, ა), სწორი ე 1 წერტილი არ გადის ე ABC.

1 . ამიტომ, წერტილი ხაზის კუთვნილების პრობლემაშივ ABCსამკუთხედის თვითმფრინავები ხაზის კუთვნილების პრობლემაში(ნახ. 2.6, ბ), საკმარისია გამოიყენოთ ერთ-ერთი სწორი ხაზის პროექცია ხაზის კუთვნილების პრობლემაში 2 ავაშენე მეორე ხაზის კუთვნილების პრობლემაში ABC 1 * იმის გათვალისწინებით, რომ ხაზის კუთვნილების პრობლემაში. როგორც ვხედავთ, ხაზის კუთვნილების პრობლემაში 1* და ხაზის კუთვნილების პრობლემაში   ABC.

1 არ ემთხვევა. ამიტომ, სწორი ხაზი

2.4. დონის ხაზები თვითმფრინავში დონის ხაზების განმარტება ადრე იყო მოცემული. მოცემულ სიბრტყეს კუთვნილი დონის ხაზები ეწოდება მთავარი

. ეს ხაზები (სწორი ხაზები) მნიშვნელოვან როლს ასრულებენ აღწერითი გეომეტრიის რიგი ამოცანების გადაჭრაში.

განვიხილოთ დონის ხაზების აგება სამკუთხედით განსაზღვრულ სიბრტყეში (ნახ. 2.7).

ბრინჯი. 2.7. სამკუთხედით განსაზღვრული სიბრტყის ძირითადი ხაზების აგება  ABCჰორიზონტალური თვითმფრინავი ვიწყებთ მისი ფრონტალური პროექციის დახატვითთ 2, რომელიც ცნობილია ღერძის პარალელურადოჰ  ABC. ვინაიდან ეს ჰორიზონტალური ხაზი ამ სიბრტყეს ეკუთვნის, ის გადის სიბრტყის ორ წერტილში ა, კერძოდ, ქულები ადა 1. მათი ფრონტალური პროექციები ა 2 და 1 2, საკომუნიკაციო ხაზის მეშვეობით ვიღებთ ჰორიზონტალურ პროგნოზებს ( ა 1 უკვე არსებობს) 1 1 . წერტილების შეერთება ვიწყებთ მისი ფრონტალური პროექციის დახატვით 1 და 1 1, ჩვენ გვაქვს ჰორიზონტალური პროექცია  ABC 1 ჰორიზონტალური სიბრტყე ვიწყებთ მისი ფრონტალური პროექციის დახატვით. პროფილის პროექცია  ABC 3 ჰორიზონტალური სიბრტყე 2, რომელიც ცნობილია ღერძის პარალელურადა-პრიორიტეტი.

წინა თვითმფრინავი  ABCაგებულია ანალოგიურად (ნახ. 2.7) მხოლოდ იმ განსხვავებით, რომ მისი ნახაზი იწყება ჰორიზონტალური პროექციით. ვ 1, რადგან ცნობილია, რომ ის პარალელურია OX ღერძის. პროფილის პროექცია ვ 3 ფრონტი უნდა იყოს OZ ღერძის პარალელურად და გაიაროს პროგნოზებში თან 3, 2 3 იგივე ქულები თანდა 2.

თვითმფრინავის პროფილის ხაზი  ABCაქვს ჰორიზონტალური რ 1 და წინა რღერძების პარალელურად 2 პროექცია OYდა OZდა პროფილის პროექცია რ 3 შეგიძლიათ მიიღოთ წინა მხრიდან გადაკვეთის წერტილების გამოყენებით INდა 3 წმ  ABC.

სიბრტყის მთავარი ხაზების აგებისას უნდა გახსოვდეთ მხოლოდ ერთი წესი: პრობლემის გადასაჭრელად ყოველთვის უნდა მიიღოთ მოცემულ სიბრტყესთან გადაკვეთის ორი წერტილი. სხვაგვარად განსაზღვრულ სიბრტყეში მოთავსებული ძირითადი ხაზების აგება არ არის იმაზე რთული, ვიდრე ზემოთ იყო განხილული. ნახ. სურათი 2.8 გვიჩვენებს ჰორიზონტალური და შუბლის სიბრტყის კონსტრუქციას, რომლებიც განისაზღვრება ორი გადამკვეთი სწორი ხაზით. ადა ხაზის კუთვნილების პრობლემაში.

ბრინჯი. 2.8. სწორი ხაზების გადაკვეთით განსაზღვრული სიბრტყის ძირითადი ხაზების აგება.

დეკარტის ნამრავლზე, სადაც M არის წერტილების სიმრავლე, შემოგვაქვს 3 ადგილიანი მიმართება d. თუ წერტილების მოწესრიგებული სამეული (A, B, C) მიეკუთვნება ამ მიმართებას, მაშინ ვიტყვით, რომ წერტილი B მდებარეობს A და C წერტილებს შორის და გამოვიყენებთ აღნიშვნას: A-B-C. შემოღებული მიმართება უნდა აკმაყოფილებდეს შემდეგ აქსიომებს:

თუ წერტილი B მდებარეობს A და C წერტილებს შორის, მაშინ A, B, C არის სამი განსხვავებული წერტილი იმავე წრფეზე, ხოლო B მდებარეობს C და A-ს შორის.

როგორიც არ უნდა იყოს A და B წერტილები, არის მინიმუმ ერთი წერტილი C ისეთი, რომ B მდებარეობს A და C-ს შორის.

ხაზის ნებისმიერ სამ წერტილს შორის არის მაქსიმუმ ერთი, რომელიც დევს დანარჩენ ორს შორის.

მეორე ჯგუფის ბოლო, მეოთხე აქსიომის ჩამოსაყალიბებლად მოსახერხებელია შემდეგი კონცეფციის შემოღება.

განმარტება 3.1. სეგმენტში (ჰილბერტის მიხედვით) ვგულისხმობთ AB წერტილების წყვილს. A და B წერტილებს დავარქმევთ სეგმენტის ბოლოებს, წერტილებს, რომლებიც მდებარეობს მის ბოლოებს შორის - სეგმენტის შიდა წერტილებს, ან უბრალოდ სეგმენტის წერტილებს და AB სწორი ხაზის წერტილებს, რომლებიც ბოლოებს შორის არ დევს. A და B - სეგმენტის გარე წერტილები.

. (პაშის აქსიომა) დავუშვათ A, B და C სამი წერტილი, რომლებიც არ დევს ერთ წრფეზე, ხოლო l არის ABC სიბრტყის სწორი ხაზი, რომელიც გადის ამ წერტილებზე. მაშინ, თუ სწორი ხაზი l გადის AB სეგმენტის წერტილს, მაშინ ის შეიცავს წერტილს AC სეგმენტზე ან წერტილს BC სეგმენტზე.

პირველი და მეორე ჯგუფის აქსიომებიდან გამომდინარეობს წერტილების, წრფეების და სეგმენტების საკმაოდ ბევრი გეომეტრიული თვისება. შეიძლება დადასტურდეს, რომ ნებისმიერ სეგმენტს აქვს მინიმუმ ერთი შიდა წერტილი, წრფის სამ წერტილს შორის ყოველთვის არის ერთი და მხოლოდ ერთი დევს ორ სხვას შორის, ხაზის ორ წერტილს შორის ყოველთვის არის უსასრულოდ ბევრი წერტილი, რაც ნიშნავს რომ არის უსასრულოდ. ბევრი წერტილი ხაზზე. ასევე შეიძლება დადასტურდეს, რომ ფაშის აქსიომის დებულება მართებულია იმავე წრფეზე მდებარე წერტილებისთვისაც: თუ A, B და C წერტილები ერთსა და იმავე წრფეს მიეკუთვნება, l წრფე არ გადის ამ წერტილებს და კვეთს ერთ-ერთ სეგმენტს. მაგალითად, AB შიდა წერტილში, შემდეგ ის კვეთს AC სეგმენტს ან BC სეგმენტს შიდა წერტილში. გაითვალისწინეთ ისიც, რომ პირველი და მეორე ჯგუფის აქსიომებიდან არ გამომდინარეობს, რომ წრფეზე წერტილთა სიმრავლე უთვალავია. ჩვენ არ მოგაწოდებთ მტკიცებულებებს ამ განცხადებებისთვის. მკითხველს შეუძლია მათი გაცნობა სახელმძღვანელოებში და. მოდით უფრო დეტალურად ვისაუბროთ ძირითად გეომეტრიულ ცნებებზე, კერძოდ, სხივზე, ნახევრად სიბრტყეზე და ნახევარსივრცეში, რომლებიც შემოტანილია წევრობისა და რიგის აქსიომების გამოყენებით.

შემდეგი განცხადება მართალია:

l წრფის O წერტილი ყოფს ამ წრფის დარჩენილი წერტილების სიმრავლეს ორ ცარიელ ქვეჯგუფად ისე, რომ ნებისმიერი ორი A და B წერტილისთვის, რომლებიც მიეკუთვნება იმავე ქვეჯგუფს, O წერტილი არის AB სეგმენტის გარე წერტილი და ნებისმიერი ორი წერტილი C და D, რომლებიც მიეკუთვნება სხვადასხვა ქვესიმრავლეს, წერტილი O არის CD სეგმენტის შიდა წერტილი.

თითოეულ ამ ქვეჯგუფს ე.წ სხივისწორი ხაზი l დასაწყისით O წერტილით. სხივები აღინიშნა h, l, k, ...OA, OB, OC,..., სადაც O არის სხივის დასაწყისი და A, B და C. არის სხივის წერტილები. ამ განცხადების მტკიცებულებას მოგვიანებით, მე-7 განყოფილებაში მოვიყვანთ, მაგრამ სამგანზომილებიანი ევკლიდური სივრცის განსხვავებული აქსიომატიკის გამოყენებით. სხივის კონცეფცია საშუალებას გვაძლევს განვსაზღვროთ ყველაზე მნიშვნელოვანი გეომეტრიული ობიექტი - კუთხე.

განმარტება 3.2.კუთხით (ჰილბერტის მიხედვით) ვგულისხმობთ h და k სხივების წყვილს, რომლებსაც აქვთ საერთო საწყისი O და არ დევს ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე.

O წერტილს კუთხის წვერო ეწოდება, h და k სხივები მისი გვერდებია. კუთხეებისთვის გამოვიყენებთ აღნიშვნას . განვიხილოთ ელემენტარული გეომეტრიის ყველაზე მნიშვნელოვანი ცნება - ნახევარსიბრტყის ცნება.

თეორემა 3.1.წრფე a, რომელიც მდებარეობს a სიბრტყეში, ყოფს თავის წერტილთა სიმრავლეს, რომლებიც არ მიეკუთვნება წრფეს ორ ცარიელ ქვეჯგუფად, ასე რომ, თუ A და B წერტილები ერთსა და იმავე ქვესიმრავლეს ეკუთვნის, მაშინ AB სეგმენტს არ აქვს საერთო წერტილები l წრფესთან. და თუ A და B წერტილები სხვადასხვა ქვესიმრავლეს ეკუთვნის, მაშინ AB სეგმენტი კვეთს l წრფეს მის შიდა წერტილში.

მტკიცებულება.მტკიცებულებაში გამოვიყენებთ ეკვივალენტურობის მიმართების შემდეგ თვისებას. თუ ორობითი მიმართება შემოტანილია გარკვეულ სიმრავლეზე, რომელიც არის ეკვივალენტური მიმართება, ე.ი. აკმაყოფილებს რეფლექსურობის, სიმეტრიისა და ტრანზიტულობის პირობებს, შემდეგ მთელი სიმრავლე იყოფა განცალკევებულ ქვესიმრავლებად - ეკვივალენტურ კლასებად და ნებისმიერი ორი ელემენტი მიეკუთვნება ერთსა და იმავე კლასს, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ისინი ეკვივალენტურია.

განვიხილოთ სიბრტყის წერტილების სიმრავლე, რომელიც არ მიეკუთვნება a სწორ წრფეს. ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ ორი წერტილი A და B არის ბინარულ მიმართებაში d: AdB თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ AB სეგმენტზე არ არის შიდა წერტილები, რომლებიც მიეკუთვნება a წრფეს. ასევე განვიხილოთ ეს ნიშნავს, რომ ნებისმიერი წერტილი ორობით კავშირშია d თავისთან. ვაჩვენოთ, რომ ნებისმიერი A წერტილისთვის, რომელიც არ მიეკუთვნება a წრფეს, არის A-სგან განსხვავებული წერტილები, როგორც ის, ვინც არის და ის, ვინც მასთან ორობით კავშირშია. ავირჩიოთ თვითნებური წერტილი P სწორ ხაზზე a (იხ. სურ. 6). შემდეგ, აქსიომის შესაბამისად, AP წრფეზე არის B წერტილი ისეთი, რომ P-A-B. AB წრფე კვეთს a-ს P წერტილში, რომელიც არ დევს A და B წერტილებს შორის, ამიტომ A და B წერტილები დ მიმართებაშია. იგივე აქსიომის შესაბამისად არის C წერტილი ისეთი, რომ A-R-C. მაშასადამე, P წერტილი A-სა და C-ს შორისაა, A და C წერტილები d-სთან მიმართებაში არ არის.

დავამტკიცოთ, რომ მიმართება d არის ეკვივალენტური მიმართება. რეფლექსურობის პირობა აშკარად დაკმაყოფილებულია ბინარული მიმართების d: AdA განმარტებით. დავუშვათ A და B წერტილები d მიმართებაში. მაშინ არ არის წერტილები სწორ ხაზზე a სეგმენტზე AB. აქედან გამომდინარეობს, რომ BA სეგმენტზე a სწორ ხაზზე არ არის წერტილები, ამიტომ BdA, სიმეტრიის მიმართება დაკმაყოფილებულია. დაბოლოს, მივცეთ სამი წერტილი A, B და C, რომ AdB და BdC. ვაჩვენოთ, რომ A და C წერტილები d ბინარულ მიმართებაშია. დავუშვათ, პირიქით, AC სეგმენტზე არის a სწორი ხაზის წერტილი P (ნახ. 7). შემდეგ, ფაშის აქსიომის, აქსიომის ძალით, სწორი ხაზი a კვეთს BC სეგმენტს ან AB სეგმენტს (ნახ. 7 სწორი ხაზი კვეთს BC სეგმენტს). ჩვენ მივედით წინააღმდეგობამდე, რადგან АdВ და ВdС პირობებიდან გამომდინარეობს, რომ სწორი ხაზი არ კვეთს ამ მონაკვეთებს. ამრიგად, მიმართება d არის ეკვივალენტური მიმართება და ის ყოფს სიბრტყის წერტილების სიმრავლეს, რომლებიც არ მიეკუთვნება a ხაზს ეკვივალენტურ კლასებად.

მოდით შევამოწმოთ, რომ არსებობს ზუსტად ორი ასეთი ეკვივალენტობის კლასი. ამისათვის საკმარისია დავამტკიცოთ, რომ თუ A და C და B და C წერტილები არ არის ეკვივალენტური, მაშინ A და B წერტილები, თავის მხრივ, ერთმანეთის ეკვივალენტურია. ვინაიდან A და C და B და C წერტილები არ არიან d ეკვივალენტურ მიმართებაში, სწორი ხაზი A კვეთს AC და BC სეგმენტებს P და Q წერტილებში (იხ. სურ. 7). მაგრამ შემდეგ, ფაშის აქსიომიდან გამომდინარე, ეს ხაზი ვერ კვეთს AB სეგმენტს. მაშასადამე, A და B წერტილები ერთმანეთის ეკვივალენტურია. თეორემა დადასტურდა.

თეორემა 3.2-ში განსაზღვრული ეკვივალენტობის თითოეულ კლასს ეწოდება ნახევრად თვითმფრინავი.ამრიგად, თვითმფრინავის ნებისმიერი სწორი ხაზი ყოფს მას ორ ნახევრად სიბრტყეზე, რისთვისაც ის ემსახურება საზღვარი.

ნახევრად სიბრტყის ცნების მსგავსად შემოღებულია ნახევრად სივრცის ცნება. დადასტურებულია თეორემა, რომელიც ამბობს, რომ სივრცის ნებისმიერი სიბრტყე a ყოფს წერტილებს სივრცეში ორ სიმრავლედ. სეგმენტს, რომლის ბოლოები ერთი სიმრავლის წერტილებია, საერთო წერტილები არ აქვს a სიბრტყესთან. თუ სეგმენტის ბოლოები მიეკუთვნება სხვადასხვა სიმრავლეს, მაშინ ასეთ სეგმენტს აქვს სიბრტყე წერტილი a, როგორც მისი ინტერიერი. ამ განცხადების მტკიცებულება მსგავსია თეორემა 3.2-ის მტკიცებულებასთან.

მოდით განვსაზღვროთ კუთხის შიდა წერტილის კონცეფცია. მიეცით კუთხე. განვიხილოთ სწორი ხაზი OA, რომელიც შეიცავს OA სხივს, ამ კუთხის მხარეს. ნათელია, რომ OB სხივის წერტილი მიეკუთვნება იმავე ნახევრად სიბრტყეს სწორ ხაზთან მიმართებაში OA. ანალოგიურად, OA სხივის წერტილები, მოცემული კუთხის გვერდები, მიეკუთვნება იმავე b ნახევარ სიბრტყეს, რომლის საზღვარი არის პირდაპირი OB (ნახ. 8). a და b ნახევრად სიბრტყეების გადაკვეთის კუთვნილ წერტილებს უწოდებენ შიდა წერტილებიკუთხე. სურათზე 8, წერტილი M არის შიდა წერტილი. კუთხის ყველა შიდა წერტილის სიმრავლეს მისი ეწოდება შიდა ტერიტორია. სხივი, რომლის წვერო ემთხვევა კუთხის წვეროს და რომლის ყველა წერტილი შიდაა, ეწოდება შიდა სხივიკუთხე. სურათი 8 გვიჩვენებს AOB კუთხის h შიდა სხივს.

შემდეგი განცხადებები მართალია.

10 . თუ კუთხის წვეროდან დაწყებული სხივი შეიცავს მის შიდა წერტილებს მაინც, მაშინ ეს არის ამ კუთხის შიდა სხივი.

20 . თუ სეგმენტის ბოლოები განლაგებულია კუთხის ორ სხვადასხვა მხარეს, მაშინ სეგმენტის ნებისმიერი შიდა წერტილი არის კუთხის შიდა წერტილი.

ოცდაათი . კუთხის ნებისმიერი შიდა სხივი კვეთს სეგმენტს, რომლის ბოლოები კუთხის გვერდებზეა.

ამ დებულებების მტკიცებულებებს განვიხილავთ მოგვიანებით, მე-5 პუნქტში. მეორე ჯგუფის აქსიომების გამოყენებით განისაზღვრა გატეხილი წრფის, სამკუთხედის, მრავალკუთხედის ცნებები, მარტივი მრავალკუთხედის შიდა რეგიონის ცნება და დადასტურდა, რომ მარტივი მრავალკუთხედი ყოფს სიბრტყეს ორ რეგიონად, მის შიდა და გარე.

სამგანზომილებიანი ევკლიდური სივრცის ჰილბერტის აქსიომების მესამე ჯგუფი შედგება ე.წ. მოდით S იყოს სეგმენტების სიმრავლე, A კუთხეების სიმრავლე. დეკარტისეულ პროდუქტებზე შემოგთავაზებთ ბინარულ ურთიერთობებს, რომელსაც დავარქმევთ კონგრუენციის მიმართებას.

გაითვალისწინეთ, რომ ამ გზით შემოღებული მიმართება არ არის განსახილველი აქსიომატიკის ძირითადი ობიექტების მიმართება, ე.ი. ხაზების და სიბრტყეების წერტილები. აქსიომების მესამე ჯგუფის შემოღება შესაძლებელია მხოლოდ მაშინ, როდესაც განისაზღვრება სეგმენტის და კუთხის ცნებები, ე.ი. შემოიღეს ჰილბერტის აქსიომების პირველი და მეორე ჯგუფი.

მოდით შევთანხმდეთ, რომ თანმიმდევრულ სეგმენტებს ან კუთხეებს ასევე გეომეტრიულად ტოლი ან უბრალოდ ტოლი სეგმენტები ან კუთხეები ვუწოდოთ, ტერმინი „კონგრუენტი“ იმ შემთხვევაში, თუ ეს არ გამოიწვევს გაუგებრობას, შეიცვლება ტერმინით „ტოლი“ და აღინიშნება; სიმბოლო "=".

წერტილი და სწორი ხაზი არის სიბრტყის ძირითადი გეომეტრიული ფიგურები.

წერტილისა და ხაზის განმარტება არ არის დანერგილი გეომეტრიაში, ეს ცნებები განიხილება ინტუიციურ კონცეპტუალურ დონეზე.

ქულები აღინიშნება ლათინური ასოებით დიდი (მთავრული, დიდი) ასოებით: A, B, C, D, ...

პირდაპირი ხაზები აღინიშნება ერთი პატარა (პატარა) ლათინური ასოთი, მაგალითად,

- პირდაპირ ა.

სწორი ხაზი შედგება უსასრულო რაოდენობის წერტილებისგან და არ აქვს არც დასაწყისი და არც დასასრული. ფიგურა ასახავს სწორი ხაზის მხოლოდ ნაწილს, მაგრამ გასაგებია, რომ ის უსასრულოდ შორს ვრცელდება სივრცეში და გრძელდება განუსაზღვრელი ვადით ორივე მიმართულებით.

წერტილები, რომლებიც დევს ხაზზე, ამბობენ, რომ ამ ხაზს ეკუთვნის. კუთვნილება აღინიშნება ∈ ნიშნით. ხაზს გარეთ მდებარე წერტილები არ ეკუთვნის ამ ხაზს. ნიშანი "არ ეკუთვნის" არის ∉.

მაგალითად, წერტილი B ეკუთვნის a ხაზს (დაწერეთ: B∈a),

წერტილი F არ მიეკუთვნება a წრფეს, (დაწერეთ: F∉a).

სიბრტყეზე წერტილებისა და წრფეების კუთვნილების ძირითადი თვისებები:

როგორიც არ უნდა იყოს ხაზი, არის წერტილები, რომლებიც ეკუთვნის ამ წრფეს და წერტილები, რომლებიც მას არ ეკუთვნის.

ნებისმიერი ორი წერტილიდან შეგიძლიათ დახაზოთ სწორი ხაზი და მხოლოდ ერთი.

ხაზები ასევე აღინიშნება ორი დიდი ლათინური ასოებით, იმ წერტილების სახელების შემდეგ, რომლებიც დევს ხაზზე.

- სწორი AB.

- ამ ხაზს შეიძლება ეწოდოს MK ან MN ან NK.

ორი ხაზი შეიძლება იკვეთოს ან არ იკვეთოს. თუ ხაზები არ იკვეთება, მათ არ აქვთ საერთო წერტილები. თუ ხაზები იკვეთება, მათ აქვთ ერთი საერთო წერტილი. გადაკვეთის ნიშანი - ∩ .

მაგალითად, a და b წრფეები იკვეთება O წერტილში

(დაწერე ∩ b=O).

ხაზები c და d ასევე იკვეთება, თუმცა მათი გადაკვეთის წერტილი ნახატზე არ არის ნაჩვენები.