6 2i 5 i ხსნარი. რთული რიცხვები

შეგახსენებთ საჭირო ინფორმაციართული რიცხვების შესახებ.

კომპლექსური ნომერიფორმის გამოხატულებაა ა + ბი, სად ა, ბ - რეალური რიცხვები, ა მე- ე.წ წარმოსახვითი ერთეული , სიმბოლო, რომლის კვადრატი უდრის –1, ანუ მე 2 = –1. ნომერი ადაურეკა რეალური ნაწილი და ნომერი ბ - წარმოსახვითი ნაწილი რთული რიცხვი ზ = ა + ბი. თუ ბ= 0, შემდეგ ნაცვლად ა + 0მეისინი უბრალოდ წერენ ა. ჩანს, რომ რეალური რიცხვებია განსაკუთრებული შემთხვევართული რიცხვები.

კომპლექსურ რიცხვებზე არითმეტიკული მოქმედებები იგივეა, რაც რეალურ რიცხვებზე: მათი დამატება, გამოკლება, გამრავლება და ერთმანეთზე გაყოფა შესაძლებელია. შეკრება და გამოკლება ხდება წესის მიხედვით ( ა + ბი) ± ( გ + დი) = (ა ± გ) + (ბ ± დ)მედა გამრავლება მიჰყვება წესს ( ა + ბი) · ( გ + დი) = (აწ – ბდ) + (რეკლამა + ძვ.წ)მე(აქ ის გამოიყენება მე 2 = -1). ნომერი = ა – ბიდაურეკა რთული კონიუგატირომ ზ = ა + ბი. თანასწორობა ზ · = ა 2 + ბ 2 საშუალებას გაძლევთ გაიგოთ, როგორ გავყოთ ერთი რთული რიცხვი სხვა (არანულოვანი) კომპლექსური რიცხვით:

(მაგალითად, .)

კომპლექსურ რიცხვებს აქვთ მოსახერხებელი და ვიზუალური გეომეტრიული წარმოდგენა: რიცხვი ზ = ა + ბიშეიძლება წარმოდგენილი იყოს ვექტორით კოორდინატებით ( ა; ბ) ზე დეკარტის თვითმფრინავი(ან, რაც თითქმის იგივეა, წერტილი - ვექტორის დასასრული ამ კოორდინატებით). ამ შემთხვევაში, ორი რთული რიცხვის ჯამი გამოსახულია შესაბამისი ვექტორების ჯამად (რომლის ნახვა შესაძლებელია პარალელოგრამის წესის გამოყენებით). პითაგორას თეორემის მიხედვით, ვექტორის სიგრძე კოორდინატებთან ( ა; ბ) უდრის. ამ რაოდენობას ე.წ მოდულირთული რიცხვი ზ = ა + ბიდა აღინიშნება | ზ|. კუთხე, რომელსაც ეს ვექტორი ქმნის x ღერძის დადებითი მიმართულების მიმართ (ითვლება საათის ისრის საწინააღმდეგოდ) ე.წ. არგუმენტირთული რიცხვი ზდა აღინიშნება არგ ზ. არგუმენტი არ არის ცალსახად განსაზღვრული, მაგრამ მხოლოდ იმ მნიშვნელობის დამატებამდე, რომელიც არის 2-ის ჯერადი π რადიანები (ან 360°, თუ დათვლილია გრადუსებში) - ბოლოს და ბოლოს, ცხადია, რომ ასეთი კუთხით ბრუნვა საწყისის გარშემო არ შეცვლის ვექტორს. მაგრამ თუ სიგრძის ვექტორი რაყალიბებს კუთხეს φ x-ღერძის დადებითი მიმართულებით, მაშინ მისი კოორდინატები ტოლია ( რ cos φ ; რცოდვა φ ). აქედან თურმე ტრიგონომეტრიული აღნიშვნართული რიცხვი: ზ = |ზ| · (არგ ზ) + მეცოდვა (არგ ზ)). ხშირად მოსახერხებელია ამ ფორმით რთული რიცხვების დაწერა, რადგან ეს მნიშვნელოვნად ამარტივებს გამოთვლებს. რთული რიცხვების ტრიგონომეტრიული ფორმით გამრავლება ძალიან მარტივია: ზ 1 · ზ 2 = |ზ 1 | · | ზ 2 | · (არგ ზ 1 + არგ ზ 2) + მეცოდვა (არგ ზ 1 + არგ ზ 2)) (ორი რთული რიცხვის გამრავლებისას მრავლდება მათი მოდულები და ემატება მათი არგუმენტები). აქედან მიჰყევით მოივრის ფორმულები: z n = |ზ|ნ· (რადგან ნ· (არგ ზ)) + მეცოდვა ( ნ· (არგ ზ))). ამ ფორმულების გამოყენებით ადვილია ისწავლო რთული რიცხვებიდან ნებისმიერი ხარისხის ფესვების ამოღება. ფესვი n-ე ხარისხი z ნომრიდან- ეს რთული რიცხვია ვ, რა w n = ზ. გასაგებია რომ და სად კშეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა კომპლექტიდან (0, 1, ..., ნ- 1). ეს ნიშნავს, რომ ყოველთვის არის ზუსტად ნფესვები ნრთული რიცხვის ე ხარისხი (სიბრტყეზე ისინი განლაგებულია რეგულარულის წვეროებზე ნ-გონი).