Apa yang disebut barisan aritmatika. Bagaimana cara mencari barisan aritmatika? Contoh barisan aritmatika beserta penyelesaiannya

Banyak orang telah mendengar tentang perkembangan aritmatika, tetapi tidak semua orang memahaminya dengan baik. Pada artikel ini kami akan memberikan definisi yang sesuai, dan juga mempertimbangkan pertanyaan tentang bagaimana mencari perbedaan suatu barisan aritmatika, dan memberikan sejumlah contoh.

Definisi matematika

Jadi, jika kita berbicara tentang barisan aritmatika atau aljabar (konsep-konsep ini mendefinisikan hal yang sama), maka ini berarti ada deret bilangan tertentu yang memenuhi hukum berikut: setiap dua bilangan yang berdekatan dalam deret tersebut berbeda dengan nilai yang sama. Secara matematis ditulis seperti ini:

Di sini n berarti banyaknya unsur a n dalam barisan, dan bilangan d adalah selisih barisan (namanya mengikuti rumus yang disajikan).

Apa artinya mengetahui perbedaannya? Tentang seberapa “jauh” nomor-nomor yang bertetangga satu sama lain. Namun, pengetahuan tentang d merupakan kondisi yang diperlukan tetapi tidak cukup untuk menentukan (memulihkan) seluruh perkembangan. Perlu diketahui satu bilangan lagi, yang dapat berupa elemen apa pun dari deret yang dipertimbangkan, misalnya a 4, a10, tetapi, sebagai aturan, mereka menggunakan bilangan pertama, yaitu a 1.

Rumus untuk menentukan elemen perkembangan

Secara umum, informasi di atas sudah cukup untuk melanjutkan pemecahan masalah tertentu. Namun demikian, sebelum barisan aritmatika diberikan, dan perlu dicari perbedaannya, kami akan menyajikan beberapa rumus yang berguna, sehingga memudahkan proses penyelesaian masalah selanjutnya.

Mudah untuk menunjukkan bahwa setiap elemen barisan dengan nomor n dapat ditemukan sebagai berikut:

a n = a 1 + (n - 1) * d

Memang benar, siapa pun dapat memeriksa rumus ini dengan penelusuran sederhana: jika Anda mensubstitusi n = 1, Anda mendapatkan elemen pertama, jika Anda mensubstitusi n = 2, maka ekspresi tersebut memberikan jumlah bilangan pertama dan selisihnya, dan seterusnya.

Kondisi banyak soal disusun sedemikian rupa sehingga, dengan adanya pasangan bilangan yang diketahui, yang bilangan-bilangannya juga diberikan dalam barisan, maka perlu untuk merekonstruksi seluruh rangkaian bilangan (temukan selisih dan elemen pertama). Sekarang kita akan menyelesaikan masalah ini secara umum.

Jadi, misalkan dua elemen berbilangan n dan m diberikan. Dengan menggunakan rumus di atas, Anda dapat membuat sistem dua persamaan:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

am = a 1 + (m - 1) * d

Untuk menemukan besaran yang tidak diketahui, kita akan menggunakan teknik sederhana yang terkenal untuk menyelesaikan sistem seperti itu: kurangi ruas kiri dan kanan secara berpasangan, persamaan akan tetap valid. Kita punya:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a n - am = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Jadi, kami telah mengecualikan satu yang tidak diketahui (a 1). Sekarang kita dapat menulis ekspresi akhir untuk menentukan d:

d = (an - am) / (n - m), dimana n > m

Kami mendapat rumus yang sangat sederhana: untuk menghitung selisih d sesuai dengan kondisi soal, Anda hanya perlu mengambil perbandingan selisih antara unsur-unsur itu sendiri dan nomor urutnya. Satu hal penting yang harus diperhatikan: perbedaan yang diambil antara anggota “senior” dan “junior”, yaitu, n > m (“senior” berarti berdiri lebih jauh dari awal barisan, nilai absolutnya dapat berupa lebih besar atau lebih sedikit elemen "junior").

Ekspresi selisih d perkembangan harus disubstitusikan ke salah satu persamaan di awal penyelesaian masalah untuk mendapatkan nilai suku pertama.

Di zaman perkembangan teknologi komputer kita, banyak anak sekolah yang mencoba mencari solusi untuk tugasnya di Internet, sehingga pertanyaan seperti ini sering muncul: mencari perbedaan barisan aritmatika secara online. Untuk permintaan seperti itu, mesin pencari akan mengembalikan sejumlah halaman web, dengan membukanya Anda harus memasukkan data yang diketahui dari kondisi tersebut (ini bisa berupa dua suku perkembangan atau jumlah dari sejumlah suku tersebut. ) dan langsung menerima jawaban. Namun, pendekatan pemecahan masalah ini tidak produktif dalam hal perkembangan dan pemahaman siswa tentang esensi tugas yang diberikan kepadanya.

Solusi tanpa menggunakan rumus

Mari kita selesaikan soal pertama tanpa menggunakan rumus apa pun yang diberikan. Misalkan unsur-unsur deret tersebut diberikan: a6 = 3, a9 = 18. Tentukan selisih barisan aritmatikanya.

Unsur-unsur yang diketahui berdiri berdekatan satu sama lain dalam satu baris. Berapa kali selisih d harus dijumlahkan dengan nilai terkecil untuk mendapatkan nilai terbesar? Tiga kali (pertama kali menambahkan d, kita mendapatkan elemen ke-7, kedua kalinya - kedelapan, terakhir, ketiga kalinya - kesembilan). Bilangan berapa yang harus dijumlahkan tiga kali sebanyak tiga kali untuk mendapatkan 18? Ini adalah nomor lima. Benar-benar:

Jadi, selisih yang tidak diketahui d = 5.

Tentu saja penyelesaiannya bisa saja dilakukan dengan menggunakan rumus yang sesuai, namun hal ini tidak dilakukan dengan sengaja. Penjelasan rinci tentang penyelesaian masalah harus menjadi contoh yang jelas dan jelas tentang apa itu barisan aritmatika.

Tugas yang mirip dengan yang sebelumnya

Sekarang mari kita selesaikan masalah serupa, tetapi ubah data masukan. Jadi, carilah a3 = 2, a9 = 19.

Tentu saja, Anda dapat kembali menggunakan metode solusi “langsung”. Tetapi karena elemen-elemen deret tersebut diberikan yang jaraknya relatif jauh satu sama lain, metode ini tidak akan sepenuhnya nyaman. Namun menggunakan rumus yang dihasilkan akan segera mengarahkan kita pada jawabannya:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83

Di sini kita telah membulatkan angka terakhir. Sejauh mana pembulatan ini menyebabkan kesalahan dapat dinilai dengan memeriksa hasilnya:

a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Hasil ini hanya berbeda 0,1% dari nilai yang diberikan dalam kondisi. Oleh karena itu, pembulatan yang digunakan ke perseratus terdekat dapat dianggap sebagai pilihan yang berhasil.

Masalah yang melibatkan penerapan rumus untuk suatu suku

Mari kita perhatikan contoh klasik soal menentukan d yang tidak diketahui: tentukan selisih suatu barisan aritmatika jika a1 = 12, a5 = 40.

Jika diberikan dua bilangan barisan aljabar yang belum diketahui, dan salah satunya adalah unsur a 1, maka tidak perlu berpikir panjang, melainkan harus segera menerapkan rumus suku n tersebut. Dalam hal ini kita memiliki:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Kami menerima angka pastinya saat membagi, jadi tidak ada gunanya memeriksa keakuratan hasil perhitungan, seperti yang dilakukan pada paragraf sebelumnya.

Mari kita selesaikan soal serupa lainnya: kita perlu mencari selisih barisan aritmatika jika a1 = 16, a8 = 37.

Kami menggunakan pendekatan yang mirip dengan yang sebelumnya dan mendapatkan:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Apa lagi yang perlu Anda ketahui tentang perkembangan aritmatika?

Selain soal menemukan selisih atau elemen individual yang tidak diketahui, sering kali juga diperlukan penyelesaian soal jumlah suku pertama suatu barisan. Pertimbangan masalah-masalah ini berada di luar cakupan artikel, namun untuk kelengkapan informasi, kami menyajikan rumus umum jumlah n bilangan dalam suatu deret:

∑ n saya = 1 (ai) = n * (a 1 + an) / 2

Apa inti utama dari rumus tersebut?

Rumus ini memungkinkan Anda menemukannya setiap DENGAN NOMORNYA" N" .

Tentunya Anda juga perlu mengetahui istilah pertamanya sebuah 1 dan perbedaan perkembangan D, tanpa parameter ini Anda tidak dapat menuliskan perkembangan tertentu.

Menghafal (atau menuliskan) rumus ini saja tidak cukup. Anda perlu memahami esensinya dan menerapkan rumusnya dalam berbagai permasalahan. Dan juga jangan lupa di saat yang tepat ya...) Bagaimana caranya tidak lupa- Aku tidak tahu. Dan di sini bagaimana cara mengingatnya Jika perlu, saya pasti akan menyarankan Anda. Bagi mereka yang menyelesaikan pelajaran sampai akhir.)

Jadi, mari kita lihat rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika.

Apa yang dimaksud dengan rumus secara umum? Ngomong-ngomong, lihatlah jika Anda belum membacanya. Semuanya sederhana di sana. Masih mencari tahu apa itu istilah ke-n.

Kemajuan secara umum dapat ditulis sebagai rangkaian angka:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

sebuah 1- menunjukkan suku pertama suatu barisan aritmatika, sebuah 3- anggota ketiga, sebuah 4- yang keempat, dan seterusnya. Jika kita tertarik dengan suku kelima, misalkan kita sedang mengerjakannya sebuah 5, jika seratus dua puluh - s sebuah 120.

Bagaimana kita bisa mendefinisikannya secara umum? setiap suku suatu barisan aritmatika, dengan setiap nomor? Sangat sederhana! Seperti ini:

sebuah

Begitulah adanya suku ke-n suatu barisan aritmatika. Huruf n menyembunyikan semua nomor anggota sekaligus: 1, 2, 3, 4, dan seterusnya.

Dan apa yang dapat kita peroleh dari catatan tersebut? Bayangkan saja, alih-alih menggunakan angka, mereka menulis surat...

Notasi ini memberi kita alat yang ampuh untuk bekerja dengan perkembangan aritmatika. Menggunakan notasi sebuah, kita dapat dengan cepat menemukannya setiap anggota setiap perkembangan aritmatika. Dan menyelesaikan banyak masalah perkembangan lainnya. Anda akan melihat sendiri lebih jauh.

Rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika:

sebuah 1- suku pertama suatu barisan aritmatika;

N- nomor anggota.

Rumusnya menghubungkan parameter utama dari setiap perkembangan: sebuah ; sebuah 1 ; D Dan N. Semua masalah perkembangan berkisar pada parameter ini.

Rumus suku ke-n juga dapat digunakan untuk menulis suatu barisan tertentu. Misalnya, soal mungkin mengatakan bahwa kemajuan ditentukan oleh kondisi:

sebuah = 5 + (n-1) 2.

Masalah seperti itu bisa jadi jalan buntu... Tidak ada deret atau perbedaan... Namun, membandingkan kondisi dengan rumus, mudah dipahami bahwa dalam perkembangan ini a 1 =5, dan d=2.

Dan itu bisa lebih buruk lagi!) Jika kita mengambil kondisi yang sama: sebuah = 5 + (n-1) 2, Ya, buka tanda kurung dan bawa yang serupa? Kami mendapatkan rumus baru:

sebuah = 3 + 2n.

Ini Bukan secara umum, tetapi untuk perkembangan yang spesifik. Di sinilah jebakannya mengintai. Beberapa orang mengira suku pertama adalah angka tiga. Padahal kenyataannya suku pertama adalah lima... Sedikit lebih rendah kita akan bekerja dengan rumus yang dimodifikasi.

Dalam masalah perkembangan ada notasi lain - sebuah n+1. Ini, seperti yang Anda duga, adalah suku “n plus pertama” dari perkembangan tersebut. Artinya sederhana dan tidak berbahaya.) Ini adalah anggota barisan yang jumlahnya lebih besar dari bilangan n per satu. Misalnya saja jika dalam suatu permasalahan kita ambil sebuah semester kelima kalau begitu sebuah n+1 akan menjadi anggota keenam. Dll.

Paling sering sebutannya sebuah n+1 ditemukan dalam rumus perulangan. Jangan takut dengan kata menakutkan ini!) Ini hanyalah cara untuk menyatakan anggota barisan aritmatika melalui yang sebelumnya. Katakanlah kita diberikan suatu perkembangan aritmatika dalam bentuk ini, menggunakan rumus berulang:

sebuah+1 = sebuah+3

sebuah 2 = sebuah 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Yang keempat - sampai yang ketiga, yang kelima - sampai yang keempat, dan seterusnya. Bagaimana kita bisa langsung menghitung, katakanlah, suku kedua puluh? sebuah 20? Tapi tidak mungkin!) Sampai kita mengetahui suku ke-19, kita tidak dapat menghitung suku ke-20. Inilah perbedaan mendasar antara rumus berulang dan rumus suku ke-n. Berulang hanya berfungsi melalui sebelumnya suku, dan rumus suku ke-n adalah lewat Pertama dan memungkinkan langsung temukan anggota mana pun berdasarkan nomornya. Tanpa menghitung seluruh rangkaian angka secara berurutan.

Dalam perkembangan aritmatika, mudah untuk mengubah rumus berulang menjadi rumus biasa. Hitunglah sepasang suku yang berurutan, hitung selisihnya D, temukan, jika perlu, suku pertama sebuah 1, tulis rumusnya dalam bentuk biasa, dan kerjakan. Tugas seperti itu sering dijumpai di Akademi Ilmu Pengetahuan Negeri.

Penerapan rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika.

Pertama, mari kita lihat penerapan langsung rumusnya. Di akhir pelajaran sebelumnya ada masalah:

Perkembangan aritmatika (an) diberikan. Tentukan a 121 jika a 1 =3 dan d=1/6.

Soal ini dapat diselesaikan tanpa rumus apa pun, cukup berdasarkan arti barisan aritmatika. Tambahkan dan tambahkan... Satu atau dua jam.)

Dan menurut rumusnya, penyelesaiannya akan memakan waktu kurang dari satu menit. Anda dapat mengatur waktunya.) Mari kita putuskan.

Kondisi menyediakan semua data untuk menggunakan rumus: sebuah 1 =3, d=1/6. Masih mencari tahu apa yang setara N. Tidak masalah! Kita perlu menemukannya sebuah 121. Jadi kami menulis:

Mohon perhatian! Alih-alih indeks N nomor tertentu muncul: 121. Yang cukup logis.) Kami tertarik pada anggota perkembangan aritmatika nomor seratus dua puluh satu. Ini akan menjadi milik kita N. Inilah artinya N= 121 kita substitusikan lebih jauh ke dalam rumus, dalam tanda kurung. Kami mengganti semua angka ke dalam rumus dan menghitung:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Itu dia. Dengan cepat seseorang dapat menemukan suku kelima ratus sepuluh, dan suku seribu tiga, suku mana saja. Kami menempatkannya sebagai gantinya N nomor yang diinginkan pada indeks di sebelah huruf " A" dan dalam tanda kurung, dan kami menghitungnya.

Izinkan saya mengingatkan Anda intinya: rumus ini memungkinkan Anda menemukannya setiap istilah perkembangan aritmatika DENGAN NOMORNYA" N" .

Mari kita selesaikan masalah ini dengan cara yang lebih licik. Mari kita hadapi masalah berikut:

Tentukan suku pertama barisan aritmatika (an), jika a 17 =-2; d=-0,5.

Jika Anda mengalami kesulitan, saya akan memberi tahu Anda langkah pertama. Tuliskan rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika! Ya ya. Tuliskan dengan tangan Anda, tepat di buku catatan Anda:

Dan sekarang, dengan melihat huruf-huruf rumusnya, kita memahami data apa yang kita miliki dan apa yang hilang? Tersedia d=-0,5, ada anggota ketujuh belas... Begitukah? Kalau kamu berpikir hanya itu, maka kamu tidak akan menyelesaikan masalah ya...

Kami masih memiliki nomornya N! Dalam kondisi sebuah 17 =-2 tersembunyi dua parameter. Ini adalah nilai suku ketujuh belas (-2) dan bilangannya (17). Itu. n=17.“Hal sepele” ini sering kali luput dari perhatian, dan tanpanya, (tanpa “hal sepele”, bukan kepala!) masalah tidak dapat diselesaikan. Meskipun... dan tanpa kepala juga.)

Sekarang kita bisa dengan bodohnya mengganti data kita ke dalam rumus:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Oh ya, sebuah 17 kita tahu itu -2. Oke, mari kita gantikan:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Pada dasarnya itu saja. Tetap menyatakan suku pertama barisan aritmatika dari rumus dan menghitungnya. Jawabannya adalah: sebuah 1 = 6.

Teknik ini - menuliskan rumus dan mengganti data yang diketahui - sangat membantu dalam tugas-tugas sederhana. Ya, tentu saja Anda harus bisa mengekspresikan suatu variabel dari rumus, tapi apa yang harus dilakukan!? Tanpa keterampilan ini, matematika tidak mungkin dipelajari sama sekali...

Teka-teki populer lainnya:

Tentukan selisih barisan aritmatika (an), jika a 1 =2; sebuah 15 =12.

Apa yang kita lakukan? Anda akan terkejut, kami sedang menulis rumusnya!)

Mari pertimbangkan apa yang kita ketahui: sebuah 1 =2; sebuah 15 =12; dan (saya akan menyoroti secara khusus!) n=15. Jangan ragu untuk menggantinya ke dalam rumus:

12=2 + (15-1)d

Kami melakukan aritmatika.)

12=2 + 14d

D=10/14 = 5/7

Ini adalah jawaban yang benar.

Jadi, tugas untuk sebuah, sebuah 1 Dan D diputuskan. Yang tersisa hanyalah mempelajari cara menemukan nomor tersebut:

Bilangan 99 merupakan anggota barisan aritmatika (an), dimana a 1 =12; d=3. Temukan nomor anggota ini.

Kita substitusikan besaran-besaran yang kita ketahui ke dalam rumus suku ke-n:

dan = 12 + (n-1) 3

Sekilas, ada dua besaran yang tidak diketahui di sini: sebuah n dan n. Tetapi sebuah- ini adalah beberapa anggota perkembangan dengan nomor N...Dan kita tahu anggota perkembangan ini! Angkanya 99. Kami tidak tahu nomornya. N, Jadi nomor inilah yang perlu Anda temukan. Suku deret 99 kita substitusikan ke dalam rumus:

99 = 12 + (n-1) 3

Kami mengungkapkan dari rumus N, kami pikir. Kami mendapatkan jawabannya: n=30.

Dan sekarang soal dengan topik yang sama, tetapi lebih kreatif):

Tentukan apakah bilangan 117 termasuk anggota barisan aritmatika (an):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Mari kita tulis rumusnya lagi. Apa, tidak ada parameternya? Hm... Kenapa kita diberi mata?) Apakah kita melihat suku pertama dari perkembangannya? Kami melihat. Ini -3.6. Anda dapat dengan aman menulis: sebuah 1 = -3,6. Perbedaan D dapatkah kamu menentukan dari suatu rangkaian? Mudahnya jika Anda mengetahui apa perbedaan barisan aritmatika:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Jadi, kami melakukan hal yang paling sederhana. Masih berurusan dengan nomor tak dikenal N dan angka 117 yang tidak bisa dipahami. Pada soal sebelumnya, setidaknya diketahui istilah perkembangan yang diberikan. Tapi di sini kita bahkan tidak tahu... Apa yang harus dilakukan!? Nah, bagaimana menjadi, bagaimana menjadi... Nyalakan kemampuan kreatif Anda!)

Kami memperkirakan bahwa 117 adalah bagian dari kemajuan kita. Dengan nomor tak dikenal N. Dan, seperti pada soal sebelumnya, mari kita coba mencari nomor ini. Itu. kami menulis rumusnya (ya, ya!)) dan mengganti nomor kami:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Sekali lagi kita ungkapkan dari rumusN, kami menghitung dan mendapatkan:

Ups! Nomornya ternyata pecahan! Seratus satu setengah. Dan bilangan pecahan dalam perkembangannya tidak bisa. Kesimpulan apa yang bisa kita ambil? Ya! Nomor 117 tidak anggota kemajuan kita. Itu berada di antara suku keseratus pertama dan keseratus kedua. Jika bilangan tersebut ternyata natural, mis. adalah bilangan bulat positif, maka bilangan tersebut merupakan anggota barisan dengan bilangan yang ditemukan. Dan dalam kasus kami, jawaban atas masalahnya adalah: TIDAK.

Tugas berdasarkan versi GIA yang sebenarnya:

Perkembangan aritmatika diberikan oleh kondisi:

sebuah = -4 + 6,8n

Temukan suku pertama dan kesepuluh dari perkembangan tersebut.

Di sini perkembangannya diatur dengan cara yang tidak biasa. Semacam rumus... Itu terjadi.) Namun, rumus ini (seperti yang saya tulis di atas) - juga rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika! Dia juga mengizinkan temukan anggota perkembangan mana pun berdasarkan nomornya.

Kami sedang mencari anggota pertama. Orang yang berpikir. bahwa suku pertama dikurangi empat adalah kesalahan fatal!) Karena rumus dalam soal telah diubah. Suku pertama barisan aritmatika di dalamnya tersembunyi. Tidak apa-apa, kita akan menemukannya sekarang.)

Sama seperti pada soal sebelumnya, kita melakukan substitusi n=1 ke dalam rumus ini:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Di Sini! Suku pertama adalah 2,8, bukan -4!

Kami mencari suku kesepuluh dengan cara yang sama:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

Itu dia.

Dan sekarang, bagi mereka yang telah membaca baris-baris ini, bonus yang dijanjikan.)

Misalkan, dalam situasi pertarungan yang sulit dalam Ujian Negara atau Ujian Negara Terpadu, Anda lupa rumus yang berguna untuk suku ke-n suatu perkembangan aritmatika. Saya ingat sesuatu, tapi entah kenapa ragu-ragu... Atau N di sana, atau n+1, atau n-1... Bagaimana menjadi!?

Tenang! Rumus ini mudah diturunkan. Ini tidak terlalu ketat, tapi itu pasti cukup untuk kepercayaan diri dan keputusan yang tepat!) Untuk menarik kesimpulan, cukup mengingat makna dasar dari perkembangan aritmatika dan memiliki waktu beberapa menit. Anda hanya perlu menggambar. Untuk kejelasan.

Gambarlah garis bilangan dan tandai garis pertama di atasnya. kedua, ketiga, dan seterusnya. anggota. Dan kami mencatat perbedaannya D antar anggota. Seperti ini:

Kita melihat gambarnya dan berpikir: apa persamaan suku kedua? Kedua satu D:

A 2 =a 1 + 1 D

Apa istilah ketiga? Ketiga suku sama dengan suku pertama ditambah dua D.

A 3 =a 1 + 2 D

Apa kau mengerti? Bukan tanpa alasan saya menyorot beberapa kata dengan huruf tebal. Oke, satu langkah lagi).

Apa suku keempat? Keempat suku sama dengan suku pertama ditambah tiga D.

A 4 =a 1 + 3 D

Saatnya untuk menyadari bahwa jumlah kesenjangan, yaitu. D, Selalu kurang satu dari jumlah anggota yang Anda cari N. Artinya, ke nomor tersebut n, jumlah spasi akan n-1. Oleh karena itu, rumusnya adalah (tanpa variasi!):

Secara umum gambar visual sangat membantu dalam memecahkan banyak permasalahan dalam matematika. Jangan abaikan gambarnya. Tetapi jika menggambarnya sulit, maka... hanya rumus!) Selain itu, rumus suku ke-n memungkinkan Anda menghubungkan seluruh persenjataan matematika yang kuat ke solusinya - persamaan, pertidaksamaan, sistem, dll. Anda tidak dapat memasukkan gambar ke dalam persamaan...

Tugas untuk solusi mandiri.

Untuk pemanasan:

1. Dalam perkembangan aritmatika (an) a 2 =3; sebuah 5 =5.1. Temukan 3 .

Petunjuk: sesuai gambar, soal dapat diselesaikan dalam waktu 20 detik... Sesuai rumusnya ternyata lebih sulit. Tapi untuk menguasai rumusnya, itu lebih berguna.) Di Bagian 555, soal ini diselesaikan dengan menggunakan gambar dan rumus. Rasakan perbedaan nya!)

Dan ini bukan lagi pemanasan.)

2. Dalam barisan aritmatika (an) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Temukan a 3 .

Apa, kamu tidak ingin menggambar?) Tentu saja! Lebih baik sesuai rumusnya ya..

3. Perkembangan aritmatika diberikan oleh kondisi:sebuah 1 = -5,5; sebuah+1 = sebuah+0,5. Tentukan suku keseratus dua puluh lima dari perkembangan ini.

Dalam tugas ini, perkembangannya ditentukan secara berulang. Tapi menghitung sampai suku keseratus dua puluh lima... Tidak semua orang mampu melakukan hal seperti itu.) Tapi rumus suku ke-n ada dalam kekuatan semua orang!

4. Diketahui barisan aritmatika (an):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Tentukan bilangan suku positif terkecil dari barisan tersebut.

5. Berdasarkan ketentuan tugas 4, tentukan jumlah suku positif terkecil dan suku negatif terbesar dari barisan tersebut.

6. Hasil kali suku kelima dan kedua belas suatu barisan aritmatika meningkat sama dengan -2,5, dan jumlah suku ketiga dan kesebelas sama dengan nol. Temukan 14 .

Bukan tugas yang termudah, ya...) Metode “ujung jari” tidak akan berfungsi di sini. Anda harus menulis rumus dan menyelesaikan persamaan.

Jawaban (berantakan):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Telah terjadi? Itu bagus!)

Tidak semuanya berhasil? Terjadi. Omong-omong, ada satu poin halus dalam tugas terakhir. Diperlukan kehati-hatian saat membaca soal. Dan logika.

Solusi untuk semua masalah ini dibahas secara rinci di Bagian 555. Dan elemen fantasi untuk yang keempat, dan poin halus untuk yang keenam, dan pendekatan umum untuk memecahkan masalah apa pun yang melibatkan rumus suku ke-n - semuanya dijelaskan. Saya merekomendasi.

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.

Jumlah perkembangan aritmatika.

Penjumlahan suatu barisan aritmatika adalah hal yang sederhana. Baik arti maupun rumusnya. Tapi ada berbagai macam tugas tentang topik ini. Dari dasar hingga cukup solid.

Mari kita pahami dulu pengertian dan rumus besarannya. Dan kemudian kita akan memutuskan. Untuk kesenangan Anda sendiri.) Arti dari jumlah itu sesederhana moo. Untuk mencari jumlah suatu barisan aritmatika, Anda hanya perlu menjumlahkan semua sukunya dengan cermat. Jika suku-sukunya sedikit, Anda dapat menambahkannya tanpa rumus apa pun. Tetapi jika jumlahnya banyak, atau banyak... penambahannya menjengkelkan.) Dalam hal ini, rumusnya akan membantu.

Rumus besarannya sederhana:

Mari kita cari tahu huruf apa saja yang termasuk dalam rumus. Ini akan memperjelas banyak hal.

S n - jumlah perkembangan aritmatika. Hasil tambahan setiap orang anggota, dengan Pertama Oleh terakhir. Itu penting. Jumlahnya tepat Semua anggota berturut-turut, tanpa melewatkan atau melewatkan. Dan tepatnya, dimulai dari Pertama. Dalam soal seperti mencari jumlah suku ketiga dan kedelapan, atau jumlah suku kelima hingga kedua puluh, penerapan rumus secara langsung akan mengecewakan.)

sebuah 1 - Pertama anggota kemajuan. Semuanya jelas di sini, sederhana saja Pertama nomor baris.

sebuah- terakhir anggota kemajuan. Nomor terakhir dari seri. Bukan nama yang terlalu familiar, tapi jika diterapkan pada jumlahnya, cocok sekali. Kemudian Anda akan melihatnya sendiri.

N - nomor anggota terakhir. Penting untuk dipahami bahwa rumusnya adalah angka ini bertepatan dengan jumlah suku yang ditambahkan.

Mari kita definisikan konsepnya terakhir anggota sebuah. Pertanyaan rumit: anggota mana yang akan menjadi yang terakhir jika diberikan tak ada habisnya perkembangan aritmatika?)

Untuk menjawab dengan percaya diri, Anda perlu memahami arti dasar perkembangan aritmatika dan... bacalah tugas dengan cermat!)

Dalam tugas mencari jumlah suatu barisan aritmatika, suku terakhir selalu muncul (langsung atau tidak langsung), yang seharusnya dibatasi. Jika tidak, jumlah final dan spesifik tidak ada. Untuk penyelesaiannya, tidak masalah apakah perkembangannya diberikan: berhingga atau tak terhingga. Tidak peduli bagaimana cara pemberiannya: serangkaian angka, atau rumus suku ke-n.

Yang paling penting adalah memahami bahwa rumus tersebut bekerja dari suku pertama perkembangan ke suku dengan bilangan N. Sebenarnya nama lengkap rumusnya seperti ini: jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika. Jumlah anggota pertama ini, yaitu. N, ditentukan semata-mata oleh tugas. Dalam sebuah tugas, semua informasi berharga ini seringkali dienkripsi ya... Tapi sudahlah, pada contoh di bawah ini kami mengungkap rahasia tersebut.)

Contoh soal penjumlahan barisan aritmatika.

Pertama-tama, informasi berguna:

Kesulitan utama dalam tugas-tugas yang melibatkan jumlah barisan aritmatika terletak pada penentuan unsur-unsur rumus yang benar.

Tugas penulis mengenkripsi elemen-elemen ini dengan imajinasi tanpa batas.) Hal utama di sini adalah jangan takut. Memahami esensi elemen, cukup menguraikannya saja. Mari kita lihat beberapa contoh secara detail. Mari kita mulai dengan tugas berdasarkan GIA yang sebenarnya.

1. Perkembangan aritmatika diberikan oleh kondisi: a n = 2n-3.5. Tentukan jumlah 10 suku pertamanya.

Kerja bagus. Gampang.) Untuk menentukan besarannya menggunakan rumus apa saja yang perlu kita ketahui? Anggota pertama sebuah 1, semester terakhir sebuah, ya nomor anggota terakhir N.

Dimana saya bisa mendapatkan nomor anggota terakhir? N? Ya, di sana, dengan syarat! Bunyinya: temukan jumlahnya 10 anggota pertama. Nah, dengan nomor berapa? terakhir, anggota kesepuluh?) Anda tidak akan percaya, nomornya kesepuluh!) Oleh karena itu, alih-alih sebuah kita akan menggantinya ke dalam rumus sebuah 10, dan sebagai gantinya N- sepuluh. Saya ulangi, jumlah anggota terakhir sama dengan jumlah anggota.

Masih harus ditentukan sebuah 1 Dan sebuah 10. Ini mudah dihitung menggunakan rumus suku ke-n, yang diberikan dalam rumusan masalah. Tidak tahu bagaimana melakukan ini? Hadiri pelajaran sebelumnya, tanpa ini tidak ada jalan.

sebuah 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

sebuah 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Kita telah menemukan arti semua elemen rumus jumlah barisan aritmatika. Yang tersisa hanyalah menggantinya dan menghitung:

Itu dia. Jawaban: 75.

Tugas lain berdasarkan GIA. Sedikit lebih rumit:

2. Diketahui barisan aritmatika (an) yang selisihnya 3,7; sebuah 1 =2.3. Tentukan jumlah 15 suku pertamanya.

Kita langsung tuliskan rumus penjumlahannya:

Rumus ini memungkinkan kita mencari nilai suku apa pun berdasarkan nomornya. Kami mencari substitusi sederhana:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Yang tersisa hanyalah mengganti semua elemen ke dalam rumus jumlah perkembangan aritmatika dan menghitung jawabannya:

Jawaban: 423.

Omong-omong, jika dalam rumus penjumlahan, bukan sebuah Kita cukup mengganti rumus suku ke-n dan mendapatkan:

Mari kita sajikan rumus serupa dan dapatkan rumus baru untuk jumlah suku suatu barisan aritmatika:

Seperti yang Anda lihat, suku ke-n tidak diperlukan di sini sebuah. Dalam beberapa soal rumus ini sangat membantu ya... Anda bisa mengingat rumus ini. Atau Anda bisa menariknya di waktu yang tepat, seperti di sini. Lagi pula, Anda harus selalu mengingat rumus jumlah dan rumus suku ke-n.)

Sekarang tugasnya berupa enkripsi singkat):

3. Tentukan jumlah semua bilangan positif dua angka yang merupakan kelipatan tiga.

Wow! Baik anggota pertama Anda, maupun anggota terakhir Anda, atau kemajuan sama sekali... Bagaimana cara hidup!?

Anda harus berpikir dengan kepala Anda dan mengeluarkan semua elemen jumlah perkembangan aritmatika dari kondisi tersebut. Kita tahu apa itu angka dua digit. Mereka terdiri dari dua angka.) Berapakah angka dua digitnya Pertama? 10, mungkin.) A hal terakhir angka dua digit? 99, tentu saja! Yang tiga digit akan mengikutinya...

Kelipatan tiga... Hm... Ini bilangan-bilangan yang habis dibagi tiga, nih! Sepuluh tidak habis dibagi tiga, 11 tidak habis dibagi... 12... habis dibagi! Jadi, ada sesuatu yang muncul. Anda sudah dapat menuliskan rangkaian sesuai dengan kondisi soal:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Apakah deret tersebut merupakan barisan aritmatika? Tentu! Setiap istilah berbeda dari yang sebelumnya hanya tiga. Jika Anda menambahkan 2 atau 4 ke suatu suku, katakanlah hasilnya, mis. bilangan baru tersebut sudah tidak habis dibagi 3. Anda dapat langsung menentukan selisih barisan aritmatikanya: d = 3. Ini akan berguna!)

Jadi, kita dapat dengan aman menuliskan beberapa parameter perkembangan:

Berapa nomornya? N anggota terakhir? Siapa pun yang berpikir bahwa 99 adalah kesalahan fatal... Angkanya selalu berurutan, tapi anggota kami melompati tiga. Mereka tidak cocok.

Ada dua solusi di sini. Salah satu caranya adalah untuk pekerja super keras. Anda dapat menuliskan perkembangannya, seluruh rangkaian angkanya, dan menghitung jumlah anggotanya dengan jari Anda.) Cara kedua adalah untuk yang bijaksana. Anda perlu mengingat rumus suku ke-n. Jika kita menerapkan rumus tersebut pada soal kita, kita akan menemukan bahwa 99 adalah suku ketiga puluh dari barisan tersebut. Itu. n = 30.

Mari kita lihat rumus jumlah barisan aritmatika:

Kami melihat dan bersukacita.) Kami mengeluarkan dari rumusan masalah semua yang diperlukan untuk menghitung jumlahnya:

sebuah 1= 12.

sebuah 30= 99.

S n = S 30.

Yang tersisa hanyalah aritmatika dasar. Kami mengganti angka-angka tersebut ke dalam rumus dan menghitung:

Jawaban: 1665

Jenis teka-teki populer lainnya:

4. Diketahui barisan aritmatika:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Temukan jumlah suku dari dua puluh hingga tiga puluh empat.

Kami melihat rumus jumlahnya dan... kami kesal.) Izinkan saya mengingatkan Anda, rumusnya menghitung jumlahnya dari yang pertama anggota. Dan dalam soal Anda perlu menghitung jumlahnya sejak tanggal dua puluh... Rumusnya tidak akan berhasil.

Tentu saja, Anda dapat menuliskan seluruh perkembangannya dalam satu rangkaian, dan menambahkan suku dari 20 hingga 34. Tapi... itu agak bodoh dan memakan waktu lama, bukan?)

Ada solusi yang lebih elegan. Mari kita bagi seri kita menjadi dua bagian. Bagian pertama adalah dari periode pertama hingga periode kesembilan belas. Bagian kedua - dari dua puluh menjadi tiga puluh empat. Jelas jika kita menghitung jumlah suku bagian pertama S 1-19, mari kita tambahkan dengan jumlah suku-suku bagian kedua S 20-34, kita mendapatkan jumlah perkembangan dari suku pertama hingga suku ketiga puluh empat S 1-34. Seperti ini:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Dari sini kita dapat melihat bahwa temukan jumlahnya S 20-34 dapat dilakukan dengan pengurangan sederhana

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Kedua jumlah di sisi kanan dipertimbangkan dari yang pertama anggota, yaitu rumus penjumlahan standar cukup dapat diterapkan pada mereka. Mari kita mulai?

Kami mengekstrak parameter perkembangan dari pernyataan masalah:

d = 1,5.

sebuah 1= -21,5.

Untuk menghitung jumlah 19 suku pertama dan 34 suku pertama, kita memerlukan suku ke-19 dan ke-34. Kita menghitungnya menggunakan rumus suku ke-n, seperti pada soal 2:

sebuah 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

sebuah 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Tidak ada yang tersisa. Dari jumlah 34 suku, kurangi jumlah 19 suku:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Jawaban: 262.5

Satu catatan penting! Ada trik yang sangat berguna untuk mengatasi masalah ini. Daripada perhitungan langsung apa yang Anda butuhkan (S 20-34), kami menghitung sesuatu yang tampaknya tidak diperlukan - S 1-19. Dan kemudian mereka memutuskan S 20-34, membuang yang tidak perlu dari hasil keseluruhan. “Tipuan dengan telinga” semacam ini sering kali menyelamatkan Anda dari masalah yang buruk.)

Dalam pelajaran ini kita melihat soal-soal yang cukup untuk memahami arti jumlah suatu barisan aritmatika. Nah, Anda perlu mengetahui beberapa rumus.)

Saran praktis:

Saat menyelesaikan masalah apa pun yang melibatkan jumlah barisan aritmatika, saya sarankan segera menuliskan dua rumus utama dari topik ini.

Rumus suku ke-n:

Rumus-rumus ini akan segera memberi tahu Anda apa yang harus dicari dan ke arah mana harus berpikir untuk menyelesaikan masalah. Membantu.

Dan sekarang tugas untuk diselesaikan secara mandiri.

5. Tentukan jumlah semua bilangan dua angka yang tidak habis dibagi tiga.

Keren?) Petunjuknya tersembunyi di catatan soal 4. Nah, soal 3 akan membantu.

6. Perkembangan aritmatika diberikan dengan syarat: a 1 = -5,5; sebuah+1 = sebuah+0,5. Tentukan jumlah 24 suku pertamanya.

Tidak biasa?) Ini adalah rumus yang berulang. Anda dapat membacanya pada pelajaran sebelumnya. Jangan abaikan linknya, masalah seperti itu sering ditemukan di Akademi Ilmu Pengetahuan Negeri.

7. Vasya menabung uang untuk liburan. Sebanyak 4550 rubel! Dan saya memutuskan untuk memberikan beberapa hari kebahagiaan kepada orang yang saya cintai (saya sendiri). Hiduplah dengan indah tanpa menyangkal apa pun. Habiskan 500 rubel pada hari pertama, dan pada setiap hari berikutnya belanjakan 50 rubel lebih banyak dari hari sebelumnya! Sampai uangnya habis. Berapa hari kebahagiaan yang dialami Vasya?

Apakah sulit?) Rumus tambahan dari tugas 2 akan membantu.

Jawaban (berantakan): 7, 3240, 6.

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.

Jika untuk setiap bilangan asli N cocok dengan bilangan real sebuah , lalu mereka mengatakan bahwa itu diberikan urutan nomor :

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , sebuah , . . . .

Jadi, barisan bilangan merupakan fungsi dari argumen natural.

Nomor A 1 ditelepon suku pertama barisan tersebut , nomor A 2 — suku kedua barisan tersebut , nomor A 3 — ketiga dan seterusnya. Nomor sebuah ditelepon anggota urutan ke-n , dan bilangan asli N — nomornya .

Dari dua anggota yang berdekatan sebuah Dan sebuah +1 anggota urutan sebuah +1 ditelepon setelah (terhadap sebuah ), A sebuah — sebelumnya (terhadap sebuah +1 ).

Untuk menentukan suatu barisan, Anda perlu menentukan metode yang memungkinkan Anda menemukan anggota barisan dengan nomor berapa pun.

Seringkali urutannya ditentukan menggunakan rumus suku ke-n , yaitu rumus yang memungkinkan Anda menentukan anggota suatu barisan berdasarkan nomornya.

Misalnya,

barisan bilangan ganjil positif dapat diberikan dengan rumus

sebuah= 2N- 1,

dan urutan bergantian 1 Dan -1 - rumus

B N = (-1)N +1 . ◄

Urutannya dapat ditentukan rumus berulang, yaitu rumus yang menyatakan setiap anggota barisan, dimulai dari beberapa, hingga anggota sebelumnya (satu atau lebih).

Misalnya,

Jika A 1 = 1 , A sebuah +1 = sebuah + 5

A 1 = 1,

A 2 = A 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

A 3 = A 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

A 4 = A 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

A 5 = A 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Jika sebuah 1= 1, sebuah 2 = 1, sebuah +2 = sebuah + sebuah +1 , maka tujuh suku pertama barisan bilangan tersebut ditetapkan sebagai berikut:

sebuah 1 = 1,

sebuah 2 = 1,

sebuah 3 = sebuah 1 + sebuah 2 = 1 + 1 = 2,

sebuah 4 = sebuah 2 + sebuah 3 = 1 + 2 = 3,

sebuah 5 = sebuah 3 + sebuah 4 = 2 + 3 = 5,

A 6 = A 4 + A 5 = 3 + 5 = 8,

A 7 = A 5 + A 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Urutannya bisa terakhir Dan tak ada habisnya .

Urutannya disebut terakhir , jika jumlah anggotanya terbatas. Urutannya disebut tak ada habisnya , jika anggotanya sangat banyak.

Misalnya,

barisan bilangan asli dua angka:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

terakhir.

Barisan bilangan prima:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

tak ada habisnya. ◄

Urutannya disebut meningkat , jika masing-masing anggotanya, mulai dari anggota kedua, lebih besar dari anggota sebelumnya.

Urutannya disebut menurun , jika masing-masing anggotanya, mulai dari anggota kedua, lebih kecil dari anggota sebelumnya.

Misalnya,

2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . — meningkatkan urutan;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . — urutan menurun. ◄

Barisan yang unsur-unsurnya tidak berkurang seiring bertambahnya bilangan, atau sebaliknya tidak bertambah disebut urutan monoton .

Barisan monotonik khususnya adalah barisan naik dan barisan menurun.

Kemajuan aritmatika

Kemajuan aritmatika adalah barisan yang setiap sukunya, mulai dari suku kedua, sama dengan suku sebelumnya, yang ditambahi bilangan yang sama.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , sebuah, . . .

adalah barisan aritmatika jika untuk sembarang bilangan asli N syaratnya terpenuhi:

sebuah +1 = sebuah + D,

Di mana D - nomor tertentu.

Jadi, selisih antara suku-suku berikutnya dan suku-suku sebelumnya dari suatu perkembangan aritmatika tertentu selalu konstan:

sebuah 2 - A 1 = sebuah 3 - A 2 = . . . = sebuah +1 - sebuah = D.

Nomor D ditelepon perbedaan perkembangan aritmatika.

Untuk menentukan suatu barisan aritmatika, cukup dengan menunjukkan suku pertamanya dan selisihnya.

Misalnya,

Jika A 1 = 3, D = 4 , maka kita carilah lima suku pertama barisan tersebut sebagai berikut:

sebuah 1 =3,

sebuah 2 = sebuah 1 + D = 3 + 4 = 7,

sebuah 3 = sebuah 2 + D= 7 + 4 = 11,

sebuah 4 = sebuah 3 + D= 11 + 4 = 15,

A 5 = A 4 + D= 15 + 4 = 19. ◄

Untuk barisan aritmatika dengan suku pertama A 1 dan perbedaannya D dia N

sebuah = sebuah 1 + (N- 1)D.

Misalnya,

tentukan suku ketiga puluh barisan aritmatika tersebut

1, 4, 7, 10, . . .

sebuah 1 =1, D = 3,

sebuah 30 = sebuah 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

sebuah n-1 = sebuah 1 + (N- 2)D,

sebuah= sebuah 1 + (N- 1)D,

sebuah +1 = A 1 + dan,

maka jelas

Setiap suku suatu barisan aritmatika, mulai dari suku kedua, sama dengan rata-rata aritmatika suku-suku sebelumnya dan selanjutnya.

bilangan a, b, dan c adalah suku-suku yang berurutan dari suatu barisan aritmatika jika dan hanya jika salah satunya sama dengan rata-rata aritmatika dari dua bilangan lainnya.

Misalnya,

sebuah = 2N- 7 , adalah barisan aritmatika.

Mari kita gunakan pernyataan di atas. Kita punya:

sebuah = 2N- 7,

sebuah n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,

sebuah n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2N- 5.

Karena itu,

◄

Perhatikan itu N Suku ke suatu barisan aritmatika tidak hanya dapat dicari melalui A 1 , tetapi juga sebelumnya sebuah k

sebuah = sebuah k + (N- k)D.

Misalnya,

Untuk A 5 dapat dituliskan

sebuah 5 = sebuah 1 + 4D,

sebuah 5 = sebuah 2 + 3D,

sebuah 5 = sebuah 3 + 2D,

sebuah 5 = sebuah 4 + D. ◄

sebuah = sebuah nk + kd,

sebuah = sebuah n+k - kd,

maka jelas

setiap anggota suatu barisan aritmatika, mulai dari suku kedua, sama dengan setengah jumlah anggota barisan aritmatika tersebut yang berjarak sama darinya.

Selain itu, untuk setiap perkembangan aritmatika, persamaan berikut berlaku:

am + an = a k + a l,

m + n = k + aku.

Misalnya,

dalam perkembangan aritmatika

1) A 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (A 9 + A 11 )/2;

2) 28 = sebuah 10 = sebuah 3 + 7D= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) sebuah 10= 28 = (19 + 37)/2 = (angka 7 + angka 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, Karena

sebuah 2 + sebuah 12= 4 + 34 = 38,

sebuah 5 + sebuah 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= sebuah 1 + sebuah 2 + sebuah 3 + . . .+ sebuah,

Pertama N suku-suku suatu barisan aritmatika sama dengan hasil kali setengah jumlah suku ekstrim dan banyaknya suku:

Oleh karena itu, khususnya, jika Anda perlu menjumlahkan suku-sukunya

sebuah k, sebuah k +1 , . . . , sebuah,

maka rumus sebelumnya mempertahankan strukturnya:

Misalnya,

dalam perkembangan aritmatika 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jika diberikan perkembangan aritmatika, maka besarannya A 1 , sebuah, D, N DanS N dihubungkan dengan dua rumus:

Oleh karena itu, jika nilai dari tiga besaran ini diberikan, maka nilai yang bersesuaian dari dua besaran lainnya ditentukan dari rumus ini, digabungkan menjadi sistem dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui.

Barisan aritmatika merupakan barisan monotonik. Di mana:

• Jika D > 0 , kemudian meningkat;
• Jika D < 0 , maka menurun;
• Jika D = 0 , maka barisan tersebut akan stasioner.

Kemajuan geometris

Kemajuan geometris adalah suatu barisan yang setiap sukunya, mulai dari suku kedua, sama dengan suku sebelumnya dikalikan dengan bilangan yang sama.

B 1 , B 2 , B 3 , . . . , bn, . . .

adalah barisan geometri jika untuk sembarang bilangan asli N syaratnya terpenuhi:

bn +1 = bn · Q,

Di mana Q ≠ 0 - nomor tertentu.

Jadi, perbandingan suku berikutnya suatu barisan geometri tertentu dengan suku sebelumnya adalah bilangan konstan:

B 2 / B 1 = B 3 / B 2 = . . . = bn +1 / bn = Q.

Nomor Q ditelepon penyebut barisan geometri.

Untuk menentukan suatu barisan geometri, cukup dengan menunjukkan suku pertama dan penyebutnya.

Misalnya,

Jika B 1 = 1, Q = -3 , maka kita carilah lima suku pertama barisan tersebut sebagai berikut:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · Q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · Q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · Q= 9 · (-3) = -27,

B 5 = B 4 · Q= -27 · (-3) = 81. ◄

B 1 dan penyebut Q dia N Suku ke-th dapat dicari dengan menggunakan rumus:

bn = B 1 · qn -1 .

Misalnya,

tentukan suku ketujuh barisan geometri tersebut 1, 2, 4, . . .

B 1 = 1, Q = 2,

B 7 = B 1 · Q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

bn = b 1 · qn -1 ,

bn +1 = B 1 · qn,

maka jelas

bn 2 = bn -1 · bn +1 ,

setiap anggota barisan geometri, mulai dari suku kedua, sama dengan rata-rata geometri (sebanding) suku-suku sebelumnya dan selanjutnya.

Karena kebalikannya juga benar, pernyataan berikut ini berlaku:

bilangan a, b, dan c adalah suku-suku yang berurutan pada suatu barisan geometri jika dan hanya jika kuadrat salah satu bilangan tersebut sama dengan hasil kali dua bilangan lainnya, yaitu salah satu bilangan tersebut merupakan rata-rata geometri dua bilangan lainnya.

Misalnya,

Mari kita buktikan barisan yang diberikan oleh rumus bn= -3 2 N , adalah barisan geometri. Mari kita gunakan pernyataan di atas. Kita punya:

bn= -3 2 N,

bn -1 = -3 2 N -1 ,

bn +1 = -3 2 N +1 .

Karena itu,

bn 2 = (-3 2 N) 2 = (-3 2 N -1 ) · (-3 · 2 N +1 ) = bn -1 · bn +1 ,

yang membuktikan pernyataan yang diinginkan. ◄

Perhatikan itu N Suku ke suatu barisan geometri dapat dicari tidak hanya melalui B 1 , tetapi juga anggota sebelumnya bk , untuk itu cukup menggunakan rumus saja

bn = bk · qn - k.

Misalnya,

Untuk B 5 dapat dituliskan

b 5 = b 1 · Q 4 ,

b 5 = b 2 · pertanyaan 3,

b 5 = b 3 · pertanyaan 2,

b 5 = b 4 · Q. ◄

bn = bk · qn - k,

bn = bn - k · qk,

maka jelas

bn 2 = bn - k· bn + k

kuadrat suatu suku suatu barisan geometri, mulai dari suku kedua, sama dengan hasil kali suku-suku yang berjarak sama dari barisan tersebut.

Selain itu, untuk setiap barisan geometri persamaannya benar:

bm· bn= bk· b l,

M+ N= k+ aku.

Misalnya,

dalam deret geometri

1) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = B 5 · B 7 ;

2) 1024 = B 11 = B 6 · Q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = B 4 · B 8 ;

4) B 2 · B 7 = B 4 · B 5 , Karena

B 2 · B 7 = 2 · 64 = 128,

B 4 · B 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= B 1 + B 2 + B 3 + . . . + bn

Pertama N anggota barisan geometri yang penyebutnya Q ≠ 0 dihitung dengan rumus:

Dan kapan Q = 1 - sesuai rumus

S n= catatan 1

Perhatikan bahwa jika Anda perlu menjumlahkan persyaratannya

bk, bk +1 , . . . , bn,

maka rumus yang digunakan adalah:

Misalnya,

dalam deret geometri 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jika suatu barisan geometri diberikan, maka besarannya B 1 , bn, Q, N Dan S n dihubungkan dengan dua rumus:

Oleh karena itu, jika nilai dari tiga besaran ini diberikan, maka nilai yang sesuai dari dua besaran lainnya ditentukan dari rumus ini, digabungkan menjadi sistem dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui.

Untuk barisan geometri dengan suku pertama B 1 dan penyebut Q berikut ini terjadi sifat monotonisitas :

• kemajuan meningkat jika salah satu kondisi berikut terpenuhi:

B 1 > 0 Dan Q> 1;

B 1 < 0 Dan 0 < Q< 1;

• Perkembangannya menurun jika salah satu kondisi berikut terpenuhi:

B 1 > 0 Dan 0 < Q< 1;

B 1 < 0 Dan Q> 1.

Jika Q< 0 , maka barisan geometri tersebut berselang-seling: suku-suku yang berbilangan ganjil mempunyai tanda yang sama dengan suku pertamanya, dan suku-suku yang berbilangan genap bertanda berlawanan. Jelaslah bahwa barisan geometri bolak-balik tidak monoton.

Produk yang pertama N anggota barisan geometri dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

hal= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · bn = (b 1 · bn) N / 2 .

Misalnya,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Kemajuan geometri yang menurun tanpa batas

Kemajuan geometri yang menurun tanpa batas disebut barisan geometri tak hingga yang modulus penyebutnya lebih kecil 1 , itu adalah

|Q| < 1 .

Perhatikan bahwa barisan geometri yang menurun tak terhingga belum tentu merupakan barisan menurun. Ini sesuai dengan kesempatan itu

1 < Q< 0 .

Dengan penyebut seperti itu, barisannya bergantian. Misalnya,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga sebutkan bilangan yang jumlah bilangan pertama mendekati tanpa batas N anggota suatu kemajuan dengan peningkatan jumlah yang tidak terbatas N . Bilangan ini selalu terbatas dan dinyatakan dengan rumus

Misalnya,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Hubungan antara barisan aritmatika dan geometri

Perkembangan aritmatika dan geometri berkaitan erat. Mari kita lihat dua contoh saja.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . D , Itu

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Misalnya,

1, 3, 5, . . . - perkembangan aritmatika dengan perbedaan 2 Dan

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - barisan geometri dengan penyebut 7 2 . ◄

B 1 , B 2 , B 3 , . . . - barisan geometri dengan penyebut Q , Itu

catatan ab 1, catatan ab 2, catatan ab 3, . . . - perkembangan aritmatika dengan perbedaan catatan aQ .

Misalnya,

2, 12, 72, . . . - barisan geometri dengan penyebut 6 Dan

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - perkembangan aritmatika dengan perbedaan lg 6 . ◄

Matematika mempunyai keindahan tersendiri, seperti halnya lukisan dan puisi.

Ilmuwan Rusia, mekanik N.E. Zhukovsky

Masalah yang sangat umum dalam ujian masuk matematika adalah masalah yang berkaitan dengan konsep barisan aritmatika. Agar berhasil menyelesaikan soal-soal tersebut, Anda harus memiliki pengetahuan yang baik tentang sifat-sifat barisan aritmatika dan memiliki keterampilan tertentu dalam penerapannya.

Mari kita mengingat kembali sifat-sifat dasar barisan aritmatika dan menyajikan rumus-rumus yang paling penting, terkait dengan konsep ini.

Definisi. Urutan nomor, di mana setiap suku berikutnya berbeda dari suku sebelumnya dengan bilangan yang sama, disebut barisan aritmatika. Dalam hal ini nomornyadisebut perbedaan perkembangan.

Untuk perkembangan aritmatika, rumus berikut ini valid:

, (1)

Di mana . Rumus (1) disebut rumus suku umum suatu barisan aritmatika, dan rumus (2) menyatakan sifat utama suatu barisan aritmatika: setiap suku barisan tersebut bertepatan dengan rata-rata aritmatika suku-suku tetangganya dan .

Perhatikan bahwa justru karena sifat inilah perkembangan yang dipertimbangkan disebut “aritmatika”.

Rumus (1) dan (2) di atas digeneralisasikan sebagai berikut:

(3)

Untuk menghitung jumlahnya Pertama suku-suku barisan aritmatikarumus yang biasa digunakan

(5) dimana dan .

Jika kita memperhitungkan rumus (1), maka dari rumus (5) berikut ini

Jika kita menyatakan , maka

Di mana . Karena , rumus (7) dan (8) merupakan generalisasi dari rumus yang bersangkutan (5) dan (6).

Secara khusus , dari rumus (5) sebagai berikut, Apa

Yang kurang diketahui oleh sebagian besar siswa adalah sifat-sifat barisan aritmatika, yang dirumuskan melalui teorema berikut.

Dalil. Jika kemudian

Bukti. Jika kemudian

Teorema tersebut telah terbukti.

Misalnya , menggunakan teorema, dapat ditunjukkan bahwa

Mari kita lanjutkan dengan mempertimbangkan contoh-contoh tipikal penyelesaian masalah pada topik “Perkembangan Aritmatika”.

Contoh 1. Biarlah. Menemukan .

Larutan. Menerapkan rumus (6), kita memperoleh . Sejak dan , maka atau .

Contoh 2. Misalkan tiga kali lebih besar, dan jika dibagi dengan hasil bagi, hasilnya adalah 2 dan sisanya 8. Tentukan dan .

Larutan. Dari kondisi contoh berikut sistem persamaannya

Karena , , dan , maka dari sistem persamaan (10) kita peroleh

Penyelesaian sistem persamaan ini adalah dan .

Contoh 3. Temukan jika dan .

Larutan. Menurut rumus (5) kita memiliki atau . Namun, dengan menggunakan properti (9), kita memperoleh .

Sejak dan , maka dari persamaan persamaannya berikut ini atau .

Contoh 4. Temukan jika .

Larutan.Menurut rumus (5) yang kita miliki

Namun, dengan menggunakan teorema tersebut, kita dapat menulis

Dari sini dan dari rumus (11) kita peroleh .

Contoh 5. Diberikan: . Menemukan .

Larutan. Dari dulu. Namun, oleh karena itu.

Contoh 6. Biarkan , dan . Menemukan .

Larutan. Dengan menggunakan rumus (9), kita memperoleh . Oleh karena itu, jika , maka atau .

Sejak dan maka di sini kita memiliki sistem persamaan

Memecahkan yang mana, kita mendapatkan dan .

Akar alami persamaan adalah .

Contoh 7. Temukan jika dan .

Larutan. Karena menurut rumus (3) kita mempunyai , maka sistem persamaan mengikuti kondisi masalah

Jika kita mengganti ekspresi tersebutke persamaan kedua sistem, lalu kita dapatkan atau .

Akar-akar persamaan kuadrat adalah Dan .

Mari kita pertimbangkan dua kasus.

1. Biarkan , lalu . Sejak dan , lalu .

Dalam hal ini, menurut rumus (6), kita punya

2. Jika , maka , dan

Jawaban: dan.

Contoh 8. Diketahui bahwa dan. Menemukan .

Larutan. Dengan memperhatikan rumus (5) dan kondisi contoh, kita tulis dan .

Ini menyiratkan sistem persamaan

Jika kita mengalikan persamaan pertama sistem dengan 2 dan kemudian menambahkannya ke persamaan kedua, kita mendapatkan

Menurut rumus (9) yang kita miliki. Dalam hal ini, berikut dari (12) atau .

Sejak dan , lalu .

Menjawab: .

Contoh 9. Temukan jika dan .

Larutan. Sejak , dan dengan syarat , maka atau .

Dari rumus (5) diketahui, Apa . Dari dulu.

Karena itu , di sini kita memiliki sistem persamaan linear

Dari sini kita mendapatkan dan . Dengan mempertimbangkan rumus (8), kami menulis .

Contoh 10. Selesaikan persamaannya.

Larutan. Dari persamaan yang diberikan berikut ini. Mari kita berasumsi bahwa , , dan . Pada kasus ini .

Menurut rumus (1), kita dapat menulis atau .

Karena , maka persamaan (13) mempunyai satu-satunya akar yang cocok .

Contoh 11. Temukan nilai maksimum asalkan dan .

Larutan. Sejak , maka perkembangan aritmatika yang dipertimbangkan menurun. Dalam hal ini, ekspresi tersebut memperoleh nilai maksimumnya jika merupakan bilangan suku positif minimum dari perkembangan tersebut.

Mari kita gunakan rumus (1) dan faktanya, sebagai . Lalu kita mendapatkan itu atau .

Sejak , lalu atau . Namun, dalam ketimpangan inibilangan asli terbesar, Itu sebabnya.

Jika nilai , dan disubstitusikan ke dalam rumus (6), kita peroleh .

Menjawab: .

Contoh 12. Tentukan jumlah semua bilangan asli dua angka yang bila dibagi dengan bilangan 6 akan menyisakan sisa 5.

Larutan. Mari kita nyatakan dengan himpunan semua bilangan asli dua digit, yaitu. . Selanjutnya, kita akan membuat himpunan bagian yang terdiri dari unsur-unsur (bilangan) himpunan yang bila dibagi dengan bilangan 6 akan menghasilkan sisa 5.

Mudah dipasang, Apa . Jelas sekali , bahwa unsur-unsur himpunan tersebutmembentuk barisan aritmatika, di mana dan .

Untuk menetapkan kardinalitas (jumlah elemen) suatu himpunan, kita asumsikan bahwa . Karena dan , maka mengikuti rumus (1) atau . Dengan mempertimbangkan rumus (5), kita memperoleh .

Contoh pemecahan masalah di atas sama sekali tidak bisa dianggap lengkap. Artikel ini ditulis berdasarkan analisis metode modern untuk memecahkan masalah umum pada topik tertentu. Untuk mempelajari lebih mendalam tentang metode penyelesaian masalah yang berkaitan dengan perkembangan aritmatika, disarankan untuk merujuk pada daftar literatur yang direkomendasikan.

1. Kumpulan Soal Matematika untuk Pelamar Perguruan Tinggi / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Perdamaian dan Pendidikan, 2013. – 608 hal.

2. Suprun V.P. Matematika untuk siswa sekolah menengah: bagian tambahan dari kurikulum sekolah. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 hal.

3. Medinsky M.M. Kursus matematika dasar lengkap dalam soal dan latihan. Buku 2: Urutan Angka dan Perkembangannya. – M.: Editus, 2015. – 208 hal.

Masih ada pertanyaan?

Untuk mendapatkan bantuan dari tutor, daftarlah.

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumber aslinya.