Как да намерите площта на триъгълник с различни страни. Как да изчислим площта на триъгълник
От противоположния връх) и разделете получения продукт на две. Това изглежда така:
S = ½ * a * h,
Където:
S – площта на триъгълника,
a е дължината на неговата страна,
h е височината, спусната до тази страна.
Дължината и височината на страната трябва да бъдат представени в едни и същи мерни единици. В този случай площта на триъгълника ще бъде получена в съответните единици „ “.
Пример.
Върху едната страна на мащабен триъгълник с дължина 20 cm е спуснат перпендикуляр от срещуположния връх с дължина 10 cm.
Изисква се площта на триъгълника.
Решение.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).
Ако са известни дължините на които и да е две страни на скален триъгълник и ъгълът между тях, използвайте формулата:
S = ½ * a * b * sinγ,
където: a, b са дължините на две произволни страни, а γ е ъгълът между тях.
На практика, например, при измерване на парцели, използването на горните формули понякога е трудно, тъй като изисква допълнително изграждане и измерване на ъгли.
Ако знаете дължините на всичките три страни на скален триъгълник, използвайте формулата на Heron:
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),
a, b, c – дължини на страните на триъгълника,
p – полупериметър: p = (a+b+c)/2.
Ако в допълнение към дължините на всички страни е известен радиусът на окръжността, вписана в триъгълника, използвайте следната компактна формула:
където: r – радиус на вписаната окръжност (р – полупериметър).
За да изчислите площта на скален триъгълник и дължината на страните му, използвайте формулата:
където: R – радиус на описаната окръжност.
Ако знаете дължината на една от страните на триъгълника и три ъгъла (по принцип са достатъчни два - стойността на третия се изчислява от равенството на сумата от трите ъгъла на триъгълника - 180º), тогава използвайте формулата:
S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,
където α е стойността на ъгъла срещу страната a;
β, γ – стойности на останалите два ъгъла на триъгълника.
Необходимостта от намиране на различни елементи, включително площ триъгълник, се появява много векове преди новата ера сред учените астрономи на Древна Гърция. Квадрат триъгълникможе да се изчисли по различни начини с помощта на различни формули. Методът на изчисление зависи от кои елементи триъгълникизвестен.
Инструкции
Ако от условието знаем стойностите на двете страни b, c и ъгъла, образуван от тях?, тогава площта триъгълник ABC се намира по формулата:
S = (bcsin?)/2.
Ако от условието знаем стойностите на двете страни a, b и ъгъла, който не е образуван от тях?, тогава площта триъгълник ABC се намира, както следва:
Намиране на ъгъла?, грях? = bsin?/a, след това използвайте таблицата, за да определите самия ъгъл.
Намиране на ъгъл?, ? = 180°-?-?.
Намираме самата площ S = (абсин?)/2.
Ако от условието знаем стойностите само на три страни триъгълник a, b и c, след това площта триъгълник ABC се намира по формулата:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)), където p е полупериметърът p = (a+b+c)/2
Ако от условията на задачата знаем височината триъгълник h и страната, на която тази височина се спуска, след това площта триъгълник ABC по формулата:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.
Ако знаем значенията на страните триъгълник a, b, c и радиуса, описан за това триъгълник R, тогава площта на това триъгълник ABC се определя по формулата:
S = abc/4R.
Ако са известни три страни a, b, c и радиусът на вписаната, тогава площта триъгълник ABC се намира по формулата:
S = pr, където p е полупериметърът, p = (a+b+c)/2.
Ако ABC е равностранен, тогава площта се намира по формулата:
S = (a^2v3)/4.
Ако триъгълник ABC е равнобедрен, тогава площта се определя по формулата:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, където c – триъгълник.
Ако триъгълник ABC е правоъгълен, тогава площта се определя по формулата:
S = ab/2, където a и b са крака триъгълник.
Ако триъгълник ABC е правоъгълен равнобедрен триъгълник, тогава площта се определя по формулата:
S = c^2/4 = a^2/2, където c е хипотенузата триъгълник, a=b – крак.
Видео по темата
източници:
- как да измерите площта на триъгълник
Съвет 3: Как да намерите площта на триъгълник, ако ъгълът е известен
Познаването само на един параметър (ъгълът) не е достатъчно, за да се намери площта тре квадрат . Ако има допълнителни размери, тогава за определяне на площта можете да изберете една от формулите, в които стойността на ъгъла се използва като една от известните променливи. По-долу са дадени няколко от най-често използваните формули.
Инструкции
Ако освен големината на ъгъла (γ), образуван от двете страни тре квадрат , тогава дължините на тези страни (A и B) също са известни квадрат(S) на фигура може да се дефинира като половината от произведението на дължините на страните и синуса на този известен ъгъл: S=½×A×B×sin(γ).
Триъгълникът е една от най-често срещаните геометрични фигури, с които се запознаваме в началното училище. Всеки ученик е изправен пред въпроса как да намери площта на триъгълник в уроците по геометрия. И така, какви характеристики за намиране на площта на дадена фигура могат да бъдат идентифицирани? В тази статия ще разгледаме основните формули, необходими за изпълнение на такава задача, както и ще анализираме видовете триъгълници.
Видове триъгълници
Можете да намерите площта на триъгълник по напълно различни начини, защото в геометрията има повече от един тип фигура, съдържаща три ъгъла. Тези видове включват:
- Тъп.
- Равностранен (правилен).
- Правоъгълен триъгълник.
- Равнобедрен.
Нека разгледаме по-подробно всеки от съществуващите видове триъгълници.
Тази геометрична фигура се счита за най-често срещаната при решаването на геометрични задачи. Когато възникне необходимост от начертаване на произволен триъгълник, тази опция идва на помощ.
В остроъгълен триъгълник, както подсказва името, всички ъгли са остри и сборът им е 180°.
Този тип триъгълник също е много често срещан, но е малко по-рядко срещан от остроъгълния триъгълник. Например, когато решавате триъгълници (т.е. някои от неговите страни и ъгли са известни и трябва да намерите останалите елементи), понякога трябва да определите дали ъгълът е тъп или не. Косинусът е отрицателно число.
B, стойността на един от ъглите надвишава 90 °, така че останалите два ъгъла могат да приемат малки стойности (например 15 ° или дори 3 °).
За да намерите площта на триъгълник от този тип, трябва да знаете някои нюанси, за които ще говорим по-късно.
Правилен и равнобедрен триъгълник
Правилен многоъгълник е фигура, която включва n ъгъла и всички страни и ъгли са равни. Това е правилният триъгълник. Тъй като сборът от всички ъгли на триъгълник е 180°, тогава всеки от трите ъгъла е 60°.
Правилният триъгълник, поради своето свойство, се нарича още равностранна фигура.
Заслужава да се отбележи също, че в правилен триъгълник може да бъде вписан само един кръг и около него може да бъде описан само един кръг, като центровете им са разположени в една и съща точка.
В допълнение към равностранен тип, може да се разграничи и равнобедрен триъгълник, който е малко по-различен от него. В такъв триъгълник две страни и два ъгъла са равни един на друг, а третата страна (към която са съседни равни ъгли) е основата.
Фигурата показва равнобедрен триъгълник DEF, чиито ъгли D и F са равни, а DF е основата.
Правоъгълен триъгълник
Правоъгълният триъгълник се нарича така, защото един от ъглите му е прав, тоест равен на 90°. Другите два ъгъла дават сбор от 90°.
Най-голямата страна на такъв триъгълник, лежаща срещу ъгъл 90°, е хипотенузата, докато останалите две страни са катетите. За този тип триъгълник се прилага Питагоровата теорема:
Сборът от квадратите на дължините на катетите е равен на квадрата на дължината на хипотенузата.
Фигурата показва правоъгълен триъгълник BAC с хипотенуза AC и катети AB и BC.
За да намерите площта на триъгълник с прав ъгъл, трябва да знаете числените стойности на краката му.
Нека да преминем към формулите за намиране на площта на дадена фигура.
Основни формули за намиране на площ
В геометрията има две формули, които са подходящи за намиране на площта на повечето видове триъгълници, а именно за остри, тъпи, правилни и равнобедрени триъгълници. Нека разгледаме всеки от тях.
По страна и височина
Тази формула е универсална за намиране на площта на фигурата, която разглеждаме. За да направите това, достатъчно е да знаете дължината на страната и дължината на височината, начертана към нея. Самата формула (половината от произведението на основата и височината) е следната:
където A е страната на даден триъгълник, а H е височината на триъгълника.
Например, за да намерите площта на остър триъгълник ACB, трябва да умножите неговата страна AB по височината CD и да разделите получената стойност на две.
Въпреки това, не винаги е лесно да се намери площта на триъгълник по този начин. Например, за да използвате тази формула за тъп триъгълник, трябва да удължите една от страните му и едва след това да начертаете надморска височина към нея.
На практика тази формула се използва по-често от останалите.
От двете страни и ъгъл
Тази формула, както и предишната, е подходяща за повечето триъгълници и по смисъла си е следствие от формулата за намиране на площта на страната и височината на триъгълник. Тоест въпросната формула лесно може да се изведе от предишната. Формулировката му изглежда така:
S = ½*sinO*A*B,
където A и B са страните на триъгълника, а O е ъгълът между страните A и B.
Нека си припомним, че синусът на ъгъл може да се види в специална таблица, наречена на името на изключителния съветски математик В. М. Брадис.
Сега нека да преминем към други формули, които са подходящи само за изключителни видове триъгълници.
Площ на правоъгълен триъгълник
В допълнение към универсалната формула, която включва необходимостта да се намери надморската височина в триъгълник, площта на триъгълник, съдържащ прав ъгъл, може да се намери от неговите крака.
По този начин площта на триъгълник, съдържащ прав ъгъл, е половината от произведението на краката му или:
където a и b са катетите на правоъгълен триъгълник.
Правилен триъгълник
Този тип геометрична фигура е различна по това, че нейната площ може да бъде намерена с посочената стойност само на една от страните (тъй като всички страни на правилния триъгълник са равни). Така че, когато се сблъскате със задачата да „намирате площта на триъгълник, когато страните са равни“, трябва да използвате следната формула:
S = A 2 *√3 / 4,
където А е страната на равностранния триъгълник.
Формулата на Херон
Последният вариант за намиране на площта на триъгълник е формулата на Heron. За да го използвате, трябва да знаете дължините на трите страни на фигурата. Формулата на Heron изглежда така:
S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),
където a, b и c са страните на даден триъгълник.
Понякога проблемът се дава: „площта на правилен триъгълник е да се намери дължината на страната му“. В този случай трябва да използваме формулата, която вече знаем, за намиране на площта на правилен триъгълник и да извлечем от нея стойността на страната (или нейния квадрат):
A 2 = 4S / √3.
Изпитни задачи
В задачите на GIA по математика има много формули. Освен това доста често е необходимо да се намери площта на триъгълник върху карирана хартия.
В този случай е най-удобно да начертаете височината до една от страните на фигурата, да определите нейната дължина от клетките и да използвате универсалната формула за намиране на площта:
Така че, след като изучите формулите, представени в статията, няма да имате проблеми с намирането на площта на триъгълник от всякакъв вид.
Както може би си спомняте от училищната си програма по геометрия, триъгълникът е фигура, образувана от три сегмента, свързани с три точки, които не лежат на една и съща права линия. Триъгълникът образува три ъгъла, откъдето идва и името на фигурата. Дефиницията може да е различна. Триъгълник може да се нарече и многоъгълник с три ъгъла, отговорът също ще бъде правилен. Триъгълниците се делят според броя на равните страни и големината на ъглите във фигурите. По този начин триъгълниците се разграничават като равнобедрени, равностранни и мащабни, както и съответно правоъгълни, остри и тъпи.
Има много формули за изчисляване на площта на триъгълник. Изберете как да намерите площта на триъгълник, т.е. Коя формула да използвате зависи от вас. Но си струва да се отбележат само някои от обозначенията, които се използват в много формули за изчисляване на площта на триъгълник. И така, запомнете:
S е площта на триъгълника,
a, b, c са страните на триъгълника,
h е височината на триъгълника,
R е радиусът на описаната окръжност,
p е полупериметърът.
Ето основните обозначения, които могат да ви бъдат полезни, ако напълно сте забравили курса си по геометрия. По-долу са най-разбираемите и неусложнени опции за изчисляване на неизвестната и мистериозна площ на триъгълник. Не е трудно и ще ви бъде от полза както за вашите битови нужди, така и за помощ на вашите деца. Нека си припомним как да изчислим площта на триъгълник възможно най-лесно:
В нашия случай площта на триъгълника е: S = ½ * 2,2 см * 2,5 см = 2,75 кв. см. Не забравяйте, че площта се измерва в квадратни сантиметри (sqcm).
Правоъгълен триъгълник и неговата площ.
Правоъгълният триъгълник е триъгълник, в който единият ъгъл е равен на 90 градуса (оттук се нарича прав). Правият ъгъл се образува от две перпендикулярни прави (в случай на триъгълник, два перпендикулярни сегмента). В правоъгълен триъгълник може да има само един прав ъгъл, защото... сумата от всички ъгли на всеки триъгълник е равна на 180 градуса. Оказва се, че 2 други ъгъла трябва да разделят останалите 90 градуса, например 70 и 20, 45 и 45 и т.н. И така, помните основното, остава само да разберете как да намерите площта на правоъгълен триъгълник. Нека си представим, че имаме такъв правоъгълен триъгълник пред нас и трябва да намерим неговата площ S.
1. Най-простият начин за определяне на площта на правоъгълен триъгълник се изчислява по следната формула:
В нашия случай площта на правоъгълния триъгълник е: S = 2,5 см * 3 см / 2 = 3,75 кв. см.
По принцип вече няма нужда да проверявате площта на триъгълника по други начини, защото Само този ще бъде полезен и ще помогне в ежедневието. Но има и опции за измерване на площта на триъгълник чрез остри ъгли.
2. За други методи на изчисление трябва да имате таблица с косинуси, синуси и тангенси. Преценете сами, ето някои опции за изчисляване на площта на правоъгълен триъгълник, които все още могат да се използват:
Решихме да използваме първата формула и с някои малки петна (начертахме я в тетрадка и използвахме стара линийка и транспортир), но получихме правилното изчисление:
S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Получихме следните резултати: 3,6=3,7, но като вземем предвид изместването на клетките, можем да простим този нюанс.
Равнобедрен триъгълник и неговата площ.
Ако сте изправени пред задачата да изчислите формулата за равнобедрен триъгълник, тогава най-лесният начин е да използвате основната и това, което се счита за класическа формула за площта на триъгълник.
Но първо, преди да намерим площта на равнобедрен триъгълник, нека да разберем какъв вид фигура е това. Равнобедрен триъгълник е триъгълник, в който двете страни имат еднаква дължина. Тези две страни се наричат странични, третата страна се нарича основа. Не бъркайте равнобедрен триъгълник с равностранен триъгълник, т.е. правилен триъгълник с равни три страни. В такъв триъгълник няма специални тенденции към ъглите или по-скоро към техния размер. Ъглите при основата в равнобедрен триъгълник обаче са равни, но различни от ъгъла между равни страни. И така, вече знаете първата и основна формула; остава да разберете какви други формули за определяне на площта на равнобедрен триъгълник са известни:
Триъгълникът е геометрична фигура, която се състои от три прави линии, свързващи се в точки, които не лежат на една и съща права линия. Точките на свързване на линиите са върховете на триъгълника, които са обозначени с латински букви (например A, B, C). Свързващите прави линии на триъгълник се наричат сегменти, които също обикновено се обозначават с латински букви. Разграничават се следните видове триъгълници:
- Правоъгълна.
- Тъп.
- Остър ъглов.
- Разнообразен.
- Равностранен.
- Равнобедрен.
Общи формули за изчисляване на площта на триъгълник
Формула за площта на триъгълник въз основа на дължина и височина
S= a*h/2,
където a е дължината на страната на триъгълника, чиято площ трябва да се намери, h е дължината на височината, начертана към основата.
Формулата на Херон
S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
където √ е квадратният корен, p е полупериметърът на триъгълника, a,b,c е дължината на всяка страна на триъгълника. Полупериметърът на триъгълник може да се изчисли по формулата p=(a+b+c)/2.
Формула за площта на триъгълник въз основа на ъгъла и дължината на сегмента
S = (a*b*sin(α))/2,
където b,c е дължината на страните на триъгълника, sin(α) е синусът на ъгъла между двете страни.
Формула за площта на триъгълник, даден радиус на вписаната окръжност и три страни
S=p*r,
където p е полупериметърът на триъгълника, чиято площ трябва да се намери, r е радиусът на окръжността, вписана в този триъгълник.
Формула за площта на триъгълник, базирана на три страни и радиуса на описаната около него окръжност
S= (a*b*c)/4*R,
където a,b,c е дължината на всяка страна на триъгълника, R е радиусът на окръжността, описана около триъгълника.
Формула за площта на триъгълник въз основа на декартовите координати на точките
Декартовите координати на точките са координати в системата xOy, където x е абсцисата, y е ординатата. Декартовата координатна система xOy на равнина е взаимно перпендикулярните числени оси Ox и Oy с общо начало в точка O. Ако координатите на точките на тази равнина са дадени във формата A(x1, y1), B(x2, y2 ) и C(x3, y3), тогава можете да изчислите площта на триъгълника, като използвате следната формула, която се получава от векторния продукт на два вектора.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
където || означава модул.
Как да намерите площта на правоъгълен триъгълник
Правоъгълният триъгълник е триъгълник с един ъгъл, измерващ 90 градуса. Един триъгълник може да има само един такъв ъгъл.
Формула за площта на правоъгълен триъгълник от двете страни
S= a*b/2,
където a,b е дължината на краката. Краката са страните, съседни на прав ъгъл.
Формула за площта на правоъгълен триъгълник, базирана на хипотенузата и острия ъгъл
S = a*b*sin(α)/ 2,
където a, b са катетите на триъгълника, а sin(α) е синусът на ъгъла, под който се пресичат правите a, b.
Формула за площта на правоъгълен триъгълник, базирана на страната и срещуположния ъгъл
S = a*b/2*tg(β),
където a, b са катетите на триъгълника, tan(β) е тангенса на ъгъла, под който катетите a, b са свързани.
Как да изчислим площта на равнобедрен триъгълник
Равнобедрен триъгълник е този, който има две равни страни. Тези страни се наричат страни, а другата страна е основа. За да изчислите площта на равнобедрен триъгълник, можете да използвате една от следните формули.
Основна формула за изчисляване на площта на равнобедрен триъгълник
S=h*c/2,
където c е основата на триъгълника, h е височината на триъгълника, спусната до основата.
Формула на равнобедрен триъгълник със страна и основа
S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
където c е основата на триъгълника, a е размерът на една от страните на равнобедрения триъгълник.
Как да намерите площта на равностранен триъгълник
Равностранен триъгълник е триъгълник, в който всички страни са равни. За да изчислите площта на равностранен триъгълник, можете да използвате следната формула:
S = (√3*a*a)/4,
където a е дължината на страната на равностранния триъгълник.
Горните формули ще ви позволят да изчислите необходимата площ на триъгълника. Важно е да запомните, че за да изчислите площта на триъгълниците, трябва да вземете предвид вида на триъгълника и наличните данни, които могат да се използват за изчислението.
Понятие за площ
Концепцията за площта на всяка геометрична фигура, по-специално триъгълник, ще бъде свързана с фигура като квадрат. За единица площ на всяка геометрична фигура ще вземем площта на квадрат, чиято страна е равна на едно. За пълнота нека си припомним две основни свойства за понятието области на геометричните фигури.
Свойство 1:Ако геометричните фигури са равни, то техните повърхнини също са равни.
Свойство 2:Всяка фигура може да бъде разделена на няколко фигури. Освен това площта на оригиналната фигура е равна на сумата от площите на всичките й съставни фигури.
Нека разгледаме един пример.
Пример 1
Очевидно една от страните на триъгълника е диагонал на правоъгълник, едната страна на който е с дължина $5$ (тъй като има $5$ клетки), а другата е $6$ (тъй като има $6$ клетки). Следователно площта на този триъгълник ще бъде равна на половината от такъв правоъгълник. Площта на правоъгълника е
Тогава площта на триъгълника е равна на
Отговор: $15$.
След това ще разгледаме няколко метода за намиране на площите на триъгълниците, а именно с помощта на височината и основата, използвайки формулата на Heron и площта на равностранен триъгълник.
Как да намерите площта на триъгълник, като използвате неговата височина и основа
Теорема 1
Площта на триъгълник може да се намери като половината от произведението на дължината на страната и височината на тази страна.
Математически това изглежда така
$S=\frac(1)(2)αh$
където $a$ е дължината на страната, $h$ е височината, начертана към нея.
Доказателство.
Да разгледаме триъгълник $ABC$, в който $AC=α$. Към тази страна е начертана височината $BH$, която е равна на $h$. Нека го изградим до квадрата $AXYC$, както е на фигура 2.
Площта на правоъгълника $AXBH$ е $h\cdot AH$, а площта на правоъгълника $HBYC$ е $h\cdot HC$. Тогава
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Следователно необходимата площ на триъгълника, по свойство 2, е равна на
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
Теоремата е доказана.
Пример 2
Намерете площта на триъгълника на фигурата по-долу, ако клетката има площ, равна на единица
Основата на този триъгълник е равна на $9$ (тъй като $9$ е $9$ квадратчета). Височината също е $9$. Тогава, съгласно теорема 1, получаваме
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$
Отговор: 40,5$.
Формулата на Херон
Теорема 2
Ако са ни дадени три страни на триъгълник $α$, $β$ и $γ$, тогава неговата площ може да се намери, както следва
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
тук $ρ$ означава полупериметъра на този триъгълник.
Доказателство.
Помислете за следната фигура:
По Питагоровата теорема от триъгълника $ABH$ получаваме
От триъгълника $CBH$, според Питагоровата теорема, имаме
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
От тези две отношения получаваме равенството
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
Тъй като $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, тогава $α+β+γ=2ρ$, което означава
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
По теорема 1 получаваме
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
